浙江省2021届高考数学一轮复习第三章函数概念及基本初等函数Ⅰ第1节函数及其表示课件 31页

第 1 节　函数及其表示 考试要求　 1. 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念； 2. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法 ( 如图象法、列表法、解析法 ) 表示函数； 3. 了解简单的分段函数，并能简单地应用 ( 函数分段不超过三段 ). 知 识 梳 理 1 . 函数与映射的概念 非空数集   函数 映射 两个集合 A ， B 设 A ， B 是两 个 __________ 设 A ， B 是两 个 __________ 对应关系 f ： A → B 如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中 的 _____ 一 个数 x ，在集合 B 中都 有 __________ 的 数 f ( x ) 和它对应 如果按某一个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中 的 _____ 一 个元素 x ，在集合 B 中都 有 _________ 的 元素 y 与之对应 非空集合 任意 唯一确定 任意 唯一确定 名称 称 ________ 为 从集合 A 到集合 B 的一个函数 称 ________ 为 从集合 A 到集合 B 的一个映射 记法 函数 y ＝ f ( x ) ， x ∈ A 映射： f ： A → B f ： A → B f ： A → B 2. 函数的定义域、值域 (1) 在函数 y ＝ f ( x ) ， x ∈ A 中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的 ________ ；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的 ______________ 叫做函数的 ______ . (2) 如果两个函数的 _______ 相同，并且 __________ 完全一致，则这两个函数为相等函数 . 定义域 集合 { f ( x )| x ∈ A } 值域 定义域 对应关系 3 . 函数的表示法 表示函数的常用方法有 ________ 、图象法和 ________ . 4 . 分段函数 (1) 若函数在其定义域的不同子集上，因 _________ 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数 . (2) 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ______ ，其值域等于各段函数的值域的 ______ ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数 . 解析法 列表法 对应关系 并集 并集 [ 常用结论与易错提醒 ] 1. 由函数解析式确定定义域的原则 (1) 分式中，分母不为 0 ； (2) 偶次根式中，被开方数非负； (3) 对于幂函数 y ＝ x α ，如果 α ≤ 0 ，要求 x ≠ 0 ； (4) 对数函数中，真数大于 0 ，底数大于 0 且不等于 1 ； (5) 指数函数的底数大于 0 且不等于 1 ； 2. 与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有 1 个交点 . 诊 断 自 测 1. 判断下列说法的正误 . (1) 函数 y ＝ 1 与 y ＝ x 0 是同一个函数 .( 　　 ) (2) 与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点 .( 　　 ) 解析 　 (1) 函数 y ＝ 1 的定义域为 R ，而 y ＝ x 0 的定义域为 { x | x ≠ 0} ，其定义域不同，故不是同一函数 . (4) 若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数 . 答案 　 (1) × 　 (2) √ 　 (3) × 　 (4) × 2.( 必修 1P25B2 改编 ) 若函数 y ＝ f ( x ) 的定义域为 M ＝ { x | － 2 ≤ x ≤ 2} ，值域为 N ＝ { y |0 ≤ y ≤ 2} ，则函数 y ＝ f ( x ) 的图象可能是 ( 　　 ) 解析　 A 中函数定义域不是 [ － 2 ， 2] ， C 中图形不表示函数图象， D 中函数值域不是 [0 ， 2]. 答案　 B 解析 　由 4 － x 2 ≥ 0 得－ 2 ≤ x ≤ 2 ， ∴ A ＝ [ － 2 ， 2] ，由 1 － x ＞ 0 得 x ＜ 1 ， ∴ B ＝ ( － ∞ ， 1). ∴ A ∩ B ＝ [ － 2 ， 1) ，故选 D. 答案 　 D A.2 a B. a C.2 D. a 或 2 解析　 因为 2 a ＋ 2 ＞ 2 ，所以 f (2 a ＋ 2) ＝ log 2 (2 a ＋ 2 － 2) ＝ a ，故选 B. 答案　 B 5. 设函数 f ( x ) ＝ 2 x ＋ 3 ， g ( x ＋ 2) ＝ f ( x ) ，则 g ( x ) ＝ ________. 解析　 由题意得 g ( x ＋ 2) ＝ 2 x ＋ 3 ＝ 2( x ＋ 2) － 1 ， ∴ g ( x ) ＝ 2 x － 1. 答案　 2 x － 1 考点一　求函数的定义域 答案　 (1)[ － 3 ， 1] 　 [0 ， 2] 　 (2){ x |0 ≤ x ≤ 2 019 ，且 x ≠ 1} 规律方法　 求函数定义域的类型及方法 (1) 已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式 ( 组 ) 求解 . (2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式 ( 组 ) 求解 . (3) 若已知 f ( x ) 的定义域为 [ a ， b ] ，则 f ( g ( x )) 的定义域可由 a ≤ g ( x ) ≤ b 求出；若已知 f ( g ( x )) 的定义域为 [ a ， b ] ，则 f ( x ) 的定义域为 g ( x ) 在 x ∈ [ a ， b ] 时的值域 . (2) 当 a ＝ 1 时， f ( x ) ≥ 1 ⇔ 2 x 2 － 2 x ＋ 1 ≥ 2 ，由指数函数的单调性可得 x 2 － 2 x ＋ 1 ≥ 1 ，解得不等式的解集为 ( － ∞ ， 0] ∪ [2 ，＋ ∞ ). 若函数的定义域为 R ，即不等式 2 x 2 － 2 ax ＋ a ≥ 1 恒成立，等价于 x 2 － 2 ax ＋ a ≥ 0 恒成立，只需 Δ ＝ 4 a 2 － 4 a ≤ 0 ，解得 a ∈ [0 ， 1]. 答案　 (1)D 　 (2)( － ∞ ， 0] ∪ [2 ，＋ ∞ ) 　 [0 ， 1] 考点二　求函数的解析式 【例 2 】 (1) 已知 f ( x ) ＝ ax 3 ＋ bx 2 ＋ cx ＋ d ， f (1) ＝ f (2) ＝ 1 ， f (3) ＝ f (4) ＝ 2 ，则 a ＝ ________ ， f (5) ＝ ________. 解析　 (1) 设 f ( x ) ＝ a ( x － 1)( x － 2)( x － h ) ＋ 1 ， 则 f (3) ＝ 2 a (3 － h ) ＋ 1 ＝ 2 ， f (4) ＝ 6 a (4 － h ) ＋ 1 ＝ 2 ， 规律方法　 求函数解析式的常用方法 (1) 待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法 . (2) 换元法：已知复合函数 f ( g ( x )) 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围 . (4) 配凑法：由已知条件 f ( g ( x )) ＝ F ( x ) ，可将 F ( x ) 改写成关于 g ( x ) 的表达式，然后以 x 替代 g ( x ) ，便得 f ( x ) 的表达式 . (3) 当 x ∈ ( － 1 ， 1) 时，有 2 f ( x ) － f ( － x ) ＝ lg( x ＋ 1). ① 将 x 换成－ x ，则－ x 换成 x ，得 2 f ( － x ) － f ( x ) ＝ lg( － x ＋ 1). ② 考点三　分段函数 角度 1 　求分段函数的函数值 多维探究 解析　 根据分段函数的意义， f ( － 2) ＝ 1 ＋ log 2 (2 ＋ 2) ＝ 1 ＋ 2 ＝ 3. 又 log 2 12>1 ， ∴ f (log 2 12) ＝ 2 (log 2 12 － 1) ＝ 2 log 2 6 ＝ 6 ，因此 f ( － 2) ＋ f (log 2 12) ＝ 3 ＋ 6 ＝ 9. 答案　 C 角度 2 　求参数的值或取值范围 规律方法 　 (1) 根据分段函数解析式求函数值 . 首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解 . (2) 已知函数值或函数值的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围 . 提醒 　 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论 . 答案　 (1)A 　 (2)5 　 ( － 2 ， 0) ∪ (1 ，＋ ∞ )