【数学】2021届一轮复习北师大版（理）30平面向量的基本定理及坐标表示作业 6页

平面向量的基本定理及坐标表示 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．设平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，则‎2a－3b等于(　　)‎ A．(6,3) B．(－2，－6)‎ C．(2,1) D．(7,2)‎ B　[‎2a－3b＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．]‎ ‎2．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m,‎3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，2) B．(2，＋∞)‎ C．(－∞，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)‎ D　[由题意可知a与b不共线，即‎3m－2≠‎2m，∴m≠2.故选D.]‎ ‎3．若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝，则c可用向量a，b表示为(　　)‎ A．c＝a＋b B．c＝－a－b C．c＝a＋b D．c＝a－b A　[设c＝xa＋yb，易知 ∴ ‎∴c＝a＋b.故选A.]‎ ‎4.如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于(　　)‎ A. B. C.1 D. A　[法一：＝＋＝＋ ‎＝＋(＋)＝－，‎ 所以λ＝，μ＝－，故λ2＋μ2＝，故选A.‎ 法二：本题也可以用特例法，如取ABCD为正方形，解略．]‎ ‎5．(2018·东北三校二模)已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,2)，若(a－b)∥(‎2a＋tb)，则t＝(　　)‎ A．0 B. C．－2 D．－3‎ C　[由题意得a－b＝(2，－1)，‎2a＋tb＝(2－t,2＋2t)．因为(a－b)∥(‎2a＋tb)，‎ 所以2×(2＋2t)＝(－1)×(2－t)，解得t＝－2，故选C.]‎ ‎6．如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝(　　)‎ A．a－b B.a－b C．a＋b D.a＋b D　[连接CD(图略)，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且＝＝a，‎ 所以＝＋＝b＋a.]‎ ‎7．(2019·厦门模拟)已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且与的夹角为30°，设＝m＋n(m，n∈R)，则的值为(　　)‎ A．2 B． C．3 D．4‎ C　[∵·＝0，∴⊥，‎ 以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，‎ ＝(1,0)，＝(0，)，＝m＋n＝(m，n)．‎ ‎∵tan 30°＝＝，∴m＝3n，即＝3，故选C.]‎ 二、填空题 ‎8．在▱ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则向量的坐标为________．‎ ‎(－3，－5)　[∵＋＝，∴＝－＝(－1，－1)，‎ ‎∴＝－＝－＝(－3，－5)．]‎ ‎9．已知A(1,0)，B(4,0)，C(3,4)，O为坐标原点，且＝(＋－)，则||＝________.‎ ‎2　[由＝(＋－)＝(＋)知，点D是线段AC的中点，故D(2,2)，所以＝(－2,2)．‎ 故||＝＝2.]‎ ‎10．平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，则＝________.(用e1，e2表示)‎ ‎－e1＋e2　[如图，＝－＝＋2＝＋ ‎＝－＋(－)‎ ‎＝－e2＋(e2－e1)‎ ‎＝－e1＋e2.]‎ ‎1．如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e1，e2表示为(　　)‎ A．e1＋e2‎ B．－2e1＋e2‎ C．2e1－e2‎ D．2e1＋e2‎ B　[以e1的起点为坐标原点，e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，由题意可得e1＝(1,0)，e2＝(－1，1)，a＝(－3,1)，因为a＝xe1＋ye2＝x(1,0)＋y(－1,1)＝(x－y，y)，则解得 故a＝－2e1＋e2.]‎ ‎2.(2019·南充模拟)如图，原点O是△ABC内一点，顶点A在x轴上，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，||＝2，||＝1，||＝3，若＝λ＋μ，则＝(　　)‎ A．－ B. C．－ D. D　[由题可得A(2,0)，B，C.因为＝λ＋μ，所以由向量相等的坐标表示可得解得所以＝，故选D.]‎ ‎3．已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.‎ ‎3　[由已知条件得＋＝－，M为△ABC的重心，∴ ‎＝(＋)，‎ 即＋＝3，则m＝3.]‎ ‎4．如图，已知▱ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且＝e1，＝e2，则＝________；＝________.(用e1，e2表示)．‎ ‎－e1＋e2　－e1＋e2　[设＝x，＝y，则＝x，＝－y.‎ 由＋＝，＋＝，‎ 得 ‎①＋②×(－2)，得x－2x＝e1－2e2，即x＝－(e1－2e2)＝－e1＋e2，‎ 所以＝－e1＋e2.‎ 同理可得y＝(－2e1＋e2)，‎ 即＝－e1＋e2.]‎ ‎1．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. D　[法一：依题意，设＝λ，其中1＜λ＜，则有＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.又＝x＋(1－x)，且，不共线，于是有x＝1－λ∈，即x的取值范围是，选D.‎ 法二：∵＝x＋－x，∴－＝x(－)，即＝x＝－3x，∵O在线段CD(不含C，D两点)上，∴0＜－3x＜1，‎ ‎∴－＜x＜0.]‎ ‎2．矩形ABCD中，AB＝，BC＝，P为矩形内一点，且AP＝，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的最大值为________．‎ 　[建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)，B(，0)，C(，)，D(0，)．‎ ‎∵AP＝，∴x2＋y2＝.‎ 点P满足的约束条件为 ‎∵＝λ＋μ(λ，μ∈R)，‎ ‎∴(x，y)＝λ(，0)＋μ(0，)，‎ ‎∴∴x＋y＝λ＋μ.‎ ‎∵x＋y≤＝＝，‎ 当且仅当x＝y时取等号，‎ ‎∴λ＋μ的最大值为.]‎