百师联盟2020届高三练习题二（全国卷II）数学（理）试题 Word版含解析 22页

- 1 - 百师联盟 2020 届高三练习题二 全国卷 理科数学 一､选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.已知实数集 R ，集合  22 3 0A x x x   ，则 A Rð （ ） A. 3( , 1) ( , )2    B. 3( 1, )2  C. 31, 2     D. 3( , 1) [ , )2     【答案】C 【解析】 【分析】 解出集合 A 中的不等式即可 【详解】因为  22 3 0A x x x    3 2x x  或 1x   所以 31, 2R A      ð 故选：C 【点睛】本题考查的是集合的运算，较简单. 2.已知函数 ( )f x 的导函数为 ( )f x ，且满足 2( ) ln (1)f x x x f x   ，则 (2)f   （ ） A. 13 2  B. 13 2 C. 15 2 D. 15 2  【答案】A 【解析】 【分析】 先求出    1 2 1 +1f x f xx    ，然后令 1x  求出  1f  ，然后即可求出  2f  【详解】因为 2( ) ln (1)f x x x f x   所以    1 2 1 +1f x f xx    令 1x  时有    1 1 2 1 +1f f   ，所以  1 2f    - 2 - 所以   1 4 +1f x xx    所以   1 132 8+12 2f      故选：A 【点睛】本题考查的是导数的运算，较简单. 3.如图是某校高三某班甲､乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩，若甲、乙两人的平均成绩 分别是 1x 、 2x ，则下列判断正确的是（ ） A. 1 2x x ，甲比乙成绩稳定 B. 1 2x x ，乙比甲成绩稳定 C. 1 2x x ，甲比乙成绩稳定 D. 1 2x x ，乙比甲成绩稳定 【答案】D 【解析】 【分析】 由茎叶图分别求出 1 2,x x ，从而得到 1 2x x ，由茎叶图知甲的数据较分散，乙的数据较集中， 从而得到乙比甲成绩稳定. 【详解】由茎叶图知： 1 111 115 123 128 136 143 1266x       2 112 126 127 124 132 135 1266x       所以 1 2x x 由茎叶图知甲的数据较分散，乙的数据较集中 所以乙比甲成绩稳定 - 3 - 故选：D 【点睛】本题考查的是茎叶图的知识，较简单. 4.设 2 2 1 log ( 1), 1( ) 2 1, 1x x xf x x       ，则 ( (1))f f 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出  1f ，然后即可求出 ( (1))f f 【详解】因为 2 2 1 log ( 1), 1( ) 2 1, 1x x xf x x       所以   21 2 1 3f    所以   2( (1)) 3 log 8 3f f f   故选：B 【点睛】本题考查的是分段函数的知识，较简单. 5.设 表示平面， ,m n 是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ） ①若 m  ， / /n m ，则 / /n  ②若 m  ， / /n m ，则 n  ③若 m  ， / /n  ，则 m n ④若 / /m  ， / /n  ，则 //m n A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】 根据空间中直线与平面的相关定理逐一判断即可 【详解】若 m  ， / /n m ，则 / /n  或 n  ，故①错误 若 m  ， / /n m ，则 n  ，故②正确 若 m  ， / /n  ，则 m n ，故③正确 若 / /m  ， / /n  ，则 ,m n 可以相交、平行、异面，故④错误 - 4 - 故选：B 【点睛】本题考查的是运用空间中直线与平面的相关定理判断命题的真假，较简单. 6.某居民小区要建一个容积为 38m ，高为 2m 的无盖长方体蓄水池，已知该蓄水池的底面造 价师每平方米 200 元，当最低造价为3200元时，则侧面每平方米的造价为（ ） A. 110元 B. 130元 C. 150元 D. 170元 【答案】C 【解析】 【分析】 设长方体容器的长为 xm，宽为 ym ，侧面每平方米的造价为 a 元，则可得到 4xy  ，然后该 容器的造价为：    200 2 2 2 2 800 4z xy x x y y a x y a         ，用基本不等式求出 最小值，然后即可解出 a 【详解】设长方体容器的长为 xm，宽为 ym ，侧面每平方米的造价为 a 元 则 2 8xy  ，即 4xy  则该容器的造价为：    200 2 2 2 2 800 4z xy x x y y a x y a         800 2 4 800 16xy a a     当且仅当 2x y  时取得最小值 所以800 16 3200a  ，解得 150a  故选：C 【点睛】本题考查的是利用基本不等式求解实际问题中的最值问题，较简单. 7.已知 1sin cos 3    ， ( ,0)2    ，则 2 cos( )4 sin 2     （ ） A. 3 17 8  B. 3 17 8 C. 3 17 4  D. 3 17 4 【答案】A 【解析】 【分析】 由条件先算出 8sin2 9  ，然后再求出  2cos sin  即可 - 5 - 【详解】因为 1sin cos 3    ，所以  2 1sin cos 9    即 11 2sin cos 9    ，即 11 sin 2 9   ，所以 8sin2 9  所以 2 17cos sin 1 sin 2 9       因为 ( ,0)2    ，所以 cos sin 0   所以 17cos sin 3    所以 172 cos( ) cos sin 3 1734 8sin 2 sin 2 8 9            故选：A 【点睛】要熟悉sin cos  与 sin cos  的关系，即  2sin cos 1 2sin cos 1 sin 2         . 8.已知向量 ( 1,2)AB   ， (4, 1)BC   ，则向量 AC  在向量 BA  方向上的投影为（ ） A. 2 5 5  B. 5 5  C. 5 5 D. 2 5 5 【答案】C 【解析】 【分析】 先算出 AC  和 BA  的坐标，然后即可求出答案. 【详解】因为 ( 1,2)AB   ， (4, 1)BC   所以    3,1 , 1, 2AC AB BC BA        所以向量 AC  在向量 BA  方向上的投影为  3 1 1 2 5 51 4 AC BA BA           故选：C 【点睛】本题考查的是坐标形式下向量的相关计算，较简单. 9.函数   2 lnf x x x 的图象大致是（ ） - 6 - A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数   2 lnf x x x 为偶函数，可排除 ,B D 选项，再根据函数值的情况排除C ,得到答案. 【详解】由   2 2( ) ln ln ( )f x x x x x f x      ， 即函数  f x 为偶函数，其图像关于 y 轴对称, 可排除 ,B D 选项. 又当 x   时， ( )f x   ，可排除C . 故选：A 【点睛】本题考查根据表达式选择图像，这类题主要从函数的定义域、值域、对称性(奇偶性)、 单调性、特殊点处的函数值等方面着手分析,属于中档题. 10.《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中一个寓言故事，通过讲述已知乌鸦喝水的故事，告诉人们 遇到困难要运用智慧，认真思考才能让问题迎刃而解的道理，如图 2 所示，乌鸦想喝水，发现 有一个锥形瓶，上面部分是圆柱体，下面部分是圆台，瓶口直径为 3 厘米，瓶底直径为9厘米， 瓶口距瓶颈为 2 3 厘米，瓶颈到水位线距离和水位线到瓶底距离均为 3 32 厘米，现将1颗石 子投入瓶中，发现水位线上移 3 2 厘米，若只有当水位线到达瓶口时乌鸦才能喝到水，则乌鸦 共需要投入的石子数量至少是（ ） - 7 - A. 2 颗 B. 3 颗 C. 4 颗 D. 5 颗 【答案】C 【解析】 【分析】 利用图形中的数据，分别算出石子的体积和空瓶的体积即可. 【详解】 如图， 9 , 3 , 3 3AB cm EF GH cm LO cm    所以 60A  ，原水位线直径 6CD cm ，投入石子后，水位线直径 5IJ cm 则由圆台的体积公式可得石子的体积为：  2 2 31 91 3 3 24MN CN IM CN IM cm       空瓶的体积为：  2 2 21 3 LN CN EL CN EL EL KL        63 3 36 3 99 3 8 8 8      所以需要石子的个数为：   99 3 2978 3,49191 3 24     所以至少需要 4 颗石子 - 8 - 故选：C 【点睛】本题考查的是圆台和圆柱体积的算法，掌握其公式是解题的关键. 11.已知函数 2( ) xf x x e  ，对  1,x   ，都有 ( ) 2f x kx  ，则实数 k 的取值范围是 （ ） A. 2 1,e   B.  2 1,e   C.  2, 1e  D.  2,e 1   【答案】D 【解析】 【分析】 由  ( ) 2, 1,f x kx x    得 2 21 xek x   ，然后利用导数求出右边的最小值即可. 【详解】由  ( ) 2, 1,f x kx x    得 2 21 xek x   令 2 2( ) 1 xeg x x   ，则 2 2 2 2 2( ) x xe x eg x x     令 2 2( ) 2 2x xh x e x e    ，则 2 2 2 2( ) 4 2 2 4 0x x x xh x e x e e e x        所以 ( )h x 在 1, 上单调递增 所以   2 2 2( ) 1 2 2 2 0h x h e e e       ，所以 ( ) 0g x  所以 ( )g x 在 1, 上单调递增 所以     21 1g x g e   ，所以 2 1k e  故选：D 【点睛】恒成立问题或者存在性问题，首选的方法是分离变量法，通过分离变量然后转化为 最值问题. 12.已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 1 2 32, 5, 10a a a   ，又当 2n  时， 1 1 23 3 0n n n nS S S S m       恒成立，则使得 2 3 1 1 1 1 1 17...2 2 2 2 30k ka a a a         成立的正整数 k 的最小值为（ ） - 9 - A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】 由 1 1 23 3 0n n n nS S S S m       得 2 1 13 3 0n n n nS S S S m       ， 两 式 相 减 得 2 +1 13 +3 0n n n na a a a    ， 即      2 +1 1 1+ 2n n n n n na a a a a a      ， 然 后 得 1 2 1n na a n    ， 然 后 得 2 1na n  ， 然 后 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1... 12 2 2 2 2 2 1k ka a a a k k                ，然后解出不等式即可. 【详解】因为当 2n  时， 1 1 23 3 0n n n nS S S S m       所以当 1n  时， 2 1 13 3 0n n n nS S S S m       两式相减得： 2 +1 13 +3 0n n n na a a a    所以     2 +1 1 1+ 2n n n n n na a a a a a      所以 1n na a  是等差数列 因为 1 2 32, 5, 10a a a   ，所以 2 1 3 23, 5a a a a    所以  1 3 1 2 2 1n na a n n        所以 2 1 2 1 3 2 1 2 3 5 2 1 1n n na a a a a a a a n n                 所以  22 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1... ...2 2 2 2 2 1 3 1 11 1k ka a a a kk                 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 171 12 3 2 4 3 5 1 1 2 2 1 30k k k k                          所以 1 1 11 1 30k k   解得 5k  或 6 11k   （舍） 所以正整数 k 的最小值为 5 故选：B - 10 - 【点睛】本题考查的知识点有：数列 na 与 nS 的关系，累加法求通项公式、裂项相消法求和， 属于比较综合的题. 二､填空题(每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上) 13.已知数列 na ， nS 是数列的前 n 项和，满足 22nS n n  ，通过计算 1 2 3, ,a a a ，可以猜想 na  __________. 【答案】 4 1n  【解析】 【分析】 由 22nS n n  算出 1 2 3, ,a a a 即可猜想出答案 【详解】因为 22nS n n  所以 1 1 3a S  ， 2 12 10 3 7Sa S    ， 33 2 21 10 11Sa S    所以猜想 4 1na n  故答案为： 4 1n  【点睛】本题考查数列 na 与 nS 的关系，较简单. 14.已知圆 2 2:( 1) ( 2) 2C x y    ，过圆C 外一点 (3,4)P 作圆的两条切线 PA ， PB ，切 点分别为 ,A B ，则直线 AB 的方程为__________. 【答案】 2 6 5 0x y   【解析】 【分析】 设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则切线 PA 的方程为：     1 11 1 2 2 5x x y y      ，由 P 点 在直线上，得 1 12 6 5x y   ，同理可得 2 22 6 5x y   ，然后即可得出答案. 【详解】设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则切线 PA 的方程为：     1 11 1 2 2 5x x y y      因为点  3,4P 在切线 PA 上，所以切线 PA 的方程为： 1 12 6 5x y   同理，切线 PB 的方程为： 2 22 6 5x y   - 11 - 所以直线 AB 的方程为： 2 6 5x y   故答案为： 2 6 5x y   【点睛】过圆外一点  1 1,P x y 作圆：    2 2 2 0 0x x y y r    的切线方程为：       2 0 1 0 1x x x x y y y y r      15.下列五个命题： （1） 2" , 2 1 0"x R x x     的否定是 2 0 0 0" , 2 1 0"x R x x     ； （2）函数 sin(2 )3y x   的图象可以由 sin(2 )4y x   的图象向左 24  平移个单位而得到； （3）若 0a b   ，则 a  与b  的夹角为钝角； （4）若 (1, )x  ，则函数 1( )f x x x   的最小值为 2 ； （5）" 5"x  是" 3"x  的充分不必要条件； 其中正确命题的序号是(只填序号)__________. 【答案】（1）（2）（5） 【解析】 【分析】 利用相关知识逐一判断即可. 【详解】根据全称命题的否定是特称命题知（1）正确 函数 sin(2 )3y x   的图象可以由 sin(2 )4y x   的图象向左 24  平移个单位而得到； 故（2）正确 若 0a b   ，则 a  与b  的夹角为钝角或 ，故（3）错误 1( ) 2f x x x    ，当且仅当 1x  时等号成立，故（4）错误 " 5"x  是" 3"x  的充分不必要条件，故（5）正确 故答案为：（1）（2）（5） 【点睛】本题考查的知识点有：全称命题的否定，三角函数图象的平移变换，向量的数量积， 基本不等式及充分不必要条件的判断，属于综合题. 16.已知函数 2( ) 2sin cos 2 3cos 3f x x x x a       ( 0 ，xR ，a 是常数)的 - 12 - 图象的一条对称轴方程为 5 12x  ，与其相邻的一个对称中心为 2( , 1)3   ，则函数 ( )f x 的单 调区间递减区间为__________. 【答案】 5 11, ( )12 12k k k Z        【解析】 【分析】 由条件可得出 2 5 4 3 12 4 T      ，然后即可得到 1  ，由图象过点 2( , 1)3   可得 1a   ， 然后解出不等式 32 2 2 ,2 3 2k x k k Z         即可 【详解】 2( ) 2sin cos 2 3cos 3f x x x x a       sin 2 3 cos2 2sin 2 3x x a x a           因为图象的一条对称轴方程为 5 12x  ，与其相邻的一个对称中心为 2( , 1)3   所以 2 5 4 3 12 4 T      ，所以T  ，即 2 2    ，所以 1  所以 ( ) 2sin 2 3f x x a      因为图象过点 2( , 1)3   ，所以 42sin 13 3 a        所以 1a   所以 ( ) 2sin 2 13f x x       由 32 2 2 ,2 3 2k x k k Z         得 5 11 12 12k x k      所以函数 ( )f x 的单调区间递减区间为 5 11, ( )12 12k k k Z        故答案为： 5 11, ( )12 12k k k Z        【点睛】本题考查的是三角函数的图象及其性质，较为综合. 三､解答题：共 70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个 - 13 - 试题考生都必须作答.第 22､23 题为选考题，考生根据要求作答. 17.已知数列 na 满足 2 n na S n  ， nS 为数列 na 的前 n 项和 （1）求证： 1na  是等比数列，并求数列 na 的通项公式； （2）设 1 2n n n n b a a    ，求数列 nb 的前 n 项和 nS 【答案】（1）证明见解析， 2 1n na   .（2） 1 11 2 1n nS    【解析】 【分析】 （1）由 2 n na S n  得 1 12 1n na S n    ，两式相减得 1 2 1n na a   ，然后即可证明 1na  是等比数列，并求出 na 的通项公式, （2）    11 1 2 2 1 1 2 1 2 12 1 2 1 n n n n nn n n nb a a         ，然后即可算出 nS . 【详解】（1）当 1n  时， 1 1 12 1 1a S a    ，所以 1 1a  因为 2 n na S n  ①， 1 12 1n na S n    ②， ②-①得 1 2 1n na a   得  1 1 2 1n na a    所以 1 1 21 n n a a    所以数列 1na  是以 1 1 2a   为首项， 2 为公比的等比数列 所以 11 2 2 2n n na     所以 2 1n na   （2）    11 1 2 2 1 1 2 1 2 12 1 2 1 n n n n nn n n nb a a         所以 1 2 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 112 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n n n nS b b b                                   - 14 - 【点睛】常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相 减法. 18.在某公司的一次招聘初试笔试中，随机抽取了 50 名应聘者的成绩(单位：分)，并把所得数 据列成了如下表所示的频数分布表： 组别  40,50  50,60  60,70  70,80  80,90  90,100 频数 3 9 14 13 8 3 （1）求抽取的样本平均数 x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； （2）已知样本中成绩在 80,90 中的8 名考生中，有 5 名男生，3 名女生，现从中选 4 人进行 谈话，记选出的男生人数为 ，求 的分布列与期望 ( )E  . 【答案】（1） 69.6 .（2）分布列答案见解析， ( ) 2.5E   【解析】 【分析】 （1）由频数分布表直接算出答案即可； （2） 的可能取值为1,2,3,4 ，然后求出对应的概率即可. 【详解】（1）由频数分布表，得样本平均数为 45 0.06 55 0.18 65 0.28 75 0.26 85 0.16 95 0.06 69.6x              （2）由已知得 的可能取值为1,2,3,4   1 3 5 3 4 8 11 14 C CP C     ，   2 2 5 3 4 8 32 7 C CP C       3 1 5 3 4 8 33 7 C CP C     ，   4 0 5 3 4 8 14 14 C CP C     所以 的分布列为 - 15 -  1 2 3 4 p 1 14 3 7 3 7 1 14   1 2 3 11 2 3 4 2.514 7 7 14E           【点睛】本题考查的是离散型随机变量的分布列及期望，把每个概率算正确是解题的关键. 19.在 ABC 中，角 、 、A B C 的对边分别为 a b c、 、 ，且 cos cos 2 cosa C c A b B  （1）求角 B ； （2）若 1b  ，求 ABC 周长的取值范围. 【答案】（1） 3  .（2） (2,3] 【解析】 【分析】 （1）由 cos cos 2 cosa C c A b B  得 sin cos cos sin 2sin cosA C A C B B  ，然后变形推出 1cos 2B  即可 （2）由正弦定理， 1 2 sin sin sin 3 3 2 a b c A B C     ，然后利用  2 2 2sin sin 1 sin sin 1 2sin 13 63 3 a b c A C A A A                         求出范 围即可. 【详解】（1）由 cos cos 2 cosa C c A b B  ，由正弦定理得， sin cos cos sin 2sin cosA C A C B B  所以  sin 2sin cosA C B B  因为 A C B   所以sin 2sin cosB B B 因为 0 B   所以sin 0B  所以 1cos 2B  - 16 - 所以 3B  （2）由正弦定理， 1 2 sin sin sin 3 3 2 a b c A B C     所以 2 sin 3 a A ， 2 sin 3 c C 所  2 2 2sin sin 1 sin sin 1 2sin 13 63 3 a b c A C A A A                         因为 20 3A   所以 5 6 6 6A     所以 1sin ,16 2A            所以  2sin 1,26A      所以  2,3a b c   【点睛】本题考查的是利用正弦定理进行边角互化和利用三角函数求三角形周长的范围，属 于典型题. 20.已知函数 3 2( ) 3 1 x x a af x bx      是定义在 R 上的奇函数， a ，b R （1）判断函数 ( )f x 的单调性； （2）若对任意的 k R ，不等式 2 2( 2 ) ( 1) 0f k t f kt t     恒成立，求实t 数的取值范围. 【答案】（1） ( )f x 是 R 上的增函数.（2） 2, [2, )3       【解析】 【分析】 （1）由  f x 是上 R 的奇函数求出 1a  ， 0b  ，然后   3 1 3 1 2 213 1 3 1 3 1 x x x x xf x         ， 即可判断出其单调性 - 17 - （2）由    2 22 1 0f k t f kt t     得      2 2 22 1 1f k t f kt t f kt t         ，然 后得出 2 22 1k t kt t     即可 【详解】（1）因为  f x 是上 R 的奇函数 所以  0 0f  所以 2 03 1 a a   ，所以 1a  所以   3 1 3 1 x xf x bx    又    1 1f f   所以 1 1 1 1 3 1 3 1 3 1 3 1b b        所以 0b  所以   3 1 3 1   x xf x 因为   3 1 3 1 2 213 1 3 1 3 1 x x x x xf x         所以  f x 是 R 上的增函数 （2）因为  f x 是 R 上的增函数且是奇函数，由    2 22 1 0f k t f kt t     所以      2 2 22 1 1f k t f kt t f kt t         所以 2 22 1k t kt t     即 2 2 2 1 0k kt t t     对任意 k R 恒成立 只需  2 24 2 1 0t t t      ，所以 23 8 4 0t t   解之得 2t  ，或 2 3t  所以实数t 的取值范围是  2, 2,3       【点睛】解抽象函数的不等式时，怎么利用函数的单调性和奇偶性将 f 去掉是解题的关键. 21.已知动点 P 到直线 : 2l y   的距离比到点 (0,1)F 的距离大1 - 18 - （1）求动点 P 的轨迹 M 的方程； （2） A B、 为 M 上两点，O 为坐标原点， 1 2OA OBk k   ，过 A B、 分别作 M 的两条切线，相 交于点C ，求 ABC 面积的最小值. 【答案】（1）轨迹 M 为抛物线，其方程为 2 4x y .（2）8 2 【解析】 【分析】 （1）设点 P 的坐标为 ,x y ，根据条件列出方程  22 1 2 1x y y     ，然后化简即可； （2）设直线 AB 的方程为 y kx b  ，    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，联立直线与抛物线的方程得出 1 2 1 24 , 4x x k x x b    ，然后用 k 表示出 AB 和点C 到直线 AB 的距离 d ，然后可得到 3 2 24 2ABCS k   ，即可求出其最小值. 【详解】（1）设点 P 的坐标为  ,x y 因为动点 P 到定直线 : 2l y   的距离比到点  0,1F 的距离大1 所以 2y   ，且  22 1 2 1x y y     ，化简得 2 4x y 所以轨迹 M 为抛物线，其方程为 2 4x y （2）依题意，设直线 AB 的方程为 y kx b  由 2 4 y kx b x y     ，得 2 4 4 0x kx b   因为直线 AB 与抛物线 M 交于两点 所以 216 16 0k b    设    1 1 2 2 1 2 1 2, , , , 4 , 4A x y B x y x x k x x b    ， 又因为 1 2OA OBk k   所以 1 2 1 2 1 2 x x y y    所以 1 2 1 4 4 2 x x   - 19 - 所以 1 2 8x x   所以 4 8b   所以 2b   22 2 2 2 2 1 2 1 21 4 1 16 32 4 1 2AB k x x x x k k k k          由 2 2 4 , ,4 2 x xx y y y   过点 A 的切线方程为  1 1 12 xy y x x   ，即 2 1 1 2 4 x x xy   ① 过点 B 的切线方程为  2 2 22 xy y x x   ，即 2 2 2 2 4 x x xy   ② 由①②得 1 2 22 x xx k  ， 1 2 21 1 1 22 22 4 4 x xx x x xy       ， 所以过 A B、 的两条抛物线的切线相交于点  2 , 2C k  所以点C 到直线 AB 的距离 2 2 2 4 1 k d k    2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 41 1 4 1 2 4 2 2 4 22 2 1ABC k S AB d k k k k k k                当 0k  时， ABC 的面积最小，最小值为 3 724 2 2 8 2   【点睛】涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设 而不求”“整体带入”等解法. 22.已知函数 2( ) 2 ( 1)xf x xe a x   （1）若 ( )f x 在 1x  时取得极小值，求 ( )f x 的解析式； （2）当 10 a e   时，判断函数 ( )f x 在上 ( ,1) 的零点个数. 【答案】（1） 2( ) 2 ( 1)xf x xe e x   .（2）一个零点 【解析】 【分析】 （1）由  1 0f   解出 a e ，然后验证即可 - 20 - （2）分 0a  和 10 a e   两种情况讨论，每种情况下求出 ( )f x 的单调性，结合函数值的符号 即可判断出零点个数. 【详解】（1）定义域为 R ，     2 1 xf x x e a    因为  f x 在 1x  时取得极小值 所以  1 0f   ，解得 a e 经检验当 a e 时，     2 1 xf x x e e    易得  f x 在 1,1 上单调递减，在 , 1  ，  1, 上单调递增 所以  f x 在 1x  时取得极小值 综上    22 1xf x xe e x   （2）当 0a  时，   2 xf x xe 令   0f x  得 0x  又知当 0x  时，   0f x  ，当 0x  时，   0f x  此时  f x 在 ,1 上有且只有一个零点 当 10 a e   时，由     2 1 0xf x x e a     ，解得 1x   或 lnx a 其中 ln 1a   由 ( ) 0f x¢ > 得 lnx a 或 1x   ，由 ( ) 0f x¢ < 得 ln 1a x   所以  f x 在 ,lna ， 1,1 上单调递增  f x 在 ln , 1a  上单调递减 因为         2 1 0, 1 2 4 0, ln ln 0f f e a f a a a a         所以  f x 在 ,1 上有且只有一个零点 综上所述，当 10 a e   时，  f x 在  ,1 上有且只有一个零点. 【点睛】利用考查的是利用函数的极值点求参数及利用导数研究函数的零点个数，较简单. - 21 - - 22 -