高中数学第一章解三角形1-2应用举例第1课时距离问题达标检测含解析新人教A版必修5 7页

距离问题 A级　基础巩固 一、选择题 ‎1．学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4米，A＝30°，则其跨度AB的长为(　　)‎ A．12米 B．8米 C．3米 D．4米 解析：△ABC为等腰三角形，A＝30°，‎ 所以B＝30°，C＝120°，‎ 所以由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝42＋42－2×4×4×＝48，‎ 所以AB＝4.‎ 答案：D ‎2.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5 m，起吊的货物与岸的距离AD为(　　)‎ A．30 m B． m C．15 m D．45 m 解析：在△ABC中，‎ cos ∠ABC＝＝，‎ ‎∠ABC∈(0°，180°)，‎ 所以sin∠ABC＝ ＝，‎ 所以在Rt△ABD中，‎ AD＝AB·sin∠ABC＝5×＝(m)．‎ - 7 -‎ 答案：B ‎3．甲骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是(　　)‎ A．6 km B．3 km C．3 km D．3 km 解析：由题意知，AB＝24×＝6 (km)，‎ ‎∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°.‎ 由正弦定理得BS＝＝＝3 (km)．‎ 答案：C ‎4．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)‎ A．10 海里 B．10 海里 C．20 海里 D．20 海里 解析：如图，由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，从而∠ACB＝45°.在△ABC中，由正弦定理，得BC＝×sin 30°＝10.‎ 答案：A ‎5.如图，海中有一小岛C，一小船从A地出发由西向东航行，望见小岛C在北偏东60°，航行8海里到达B处，望见小岛C在北偏东15°，若此小船不改变航行的方向继续前行2(－1)海里，则离小岛C的距离为(　　)‎ A．8(＋2)海里 B．2(－1)海里 C．2(＋1)海里 D．4(＋1)海里 解析：BC＝＝＝4，‎ - 7 -‎ 所以离小岛C的距离为 ＝‎ ‎＝2(＋1)，选C.‎ 答案：C 二、填空题 ‎6．一艘海轮以20 n mile/h的速度向正东方向航行，它在A点测得灯塔P在船的北偏东60°方向上，2 h后船到达B点时，测得灯塔P在船的北偏东45°方向上，则B点到灯塔P的距离为________n mile.‎ 解析：由题可知，在△ABP中，AB＝40，∠PAB＝30°，∠ABP＝135°，所以∠BPA＝15°，‎ 由正弦定理得＝，‎ 所以BP＝＝＝20(＋)．‎ 答案：20(＋)‎ ‎7．已知A，B，C三地，其中A，C两地被一个湖隔开，测得AB＝3 km，B＝45°，C＝30°，则A、C两地的距离为______km.‎ 解析：根据题意，由正弦定理可得＝，代入数值得＝，解得AC＝3.‎ 答案：3 ‎8.《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题，2018年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象(如图所示)，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后(没有完全断开)，树干与地面成75°角，折断部分与地面成45°角，树干底部与树尖着地处相距10米，则大树原来的高度是________米(结果保留根号)．‎ - 7 -‎ 解析：如图所示，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠AOB＝75°，∠ABO＝45°，所以∠OAB＝60°.‎ 由正弦定理知，＝＝，‎ 所以OA＝，AB＝，‎ 所以OA＋AB＝5＋5.‎ 答案：5＋5 三、解答题 ‎9．要测量对岸两点A、B之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．‎ 解：如图所示，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，‎ 所以AC＝CD＝ (km)．‎ 在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，‎ 所以BC＝＝( km)．‎ 在△ABC中，由余弦定理得 AB2＝()2＋－2××cos 75°＝3＋2＋－＝5，‎ 所以AB＝(km)．‎ 所以A、B之间的距离为 km.‎ ‎10.如图所示，某观测站C在城A的南偏西20°的方向，从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路，在C处观测到距离C处31 km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了20 km后到达D处，测得C，D两处的距离为21 km，这时此车距离A城多少千米？‎ 解：在△BCD中，BC＝31 km，BD＝20 km，CD＝21 km，‎ - 7 -‎ 由余弦定理得 cos∠BDC＝＝＝－.‎ 所以cos∠ADC＝，‎ 所以sin∠ADC＝＝.‎ 在△ACD中，由条件知CD＝21 km，‎ ‎∠BAC＝20°＋40°＝60°，‎ 所以sin∠ACD＝sin(60°＋∠ADC)＝×＋×＝.‎ 由正弦定理得＝，‎ 所以AD＝×＝15(km)．‎ 故这时此车距离A城15 km.‎ B级　能力提升 ‎1．如图所示，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A—C—B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC＝10 km，∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走(结果精确到0.1 km；参考数据：≈1.41，≈1.73)(　　)‎ A．3.4 km B．2.3 km C．5 km D．3.2 km 解析：过点C作CD⊥AB，垂足为D.‎ 在Rt△CAD中，∠A＝30°，AC＝10(km)，‎ CD＝AC＝5(km)，‎ AD＝AC·cos 30°＝5(km)．‎ 在Rt△BCD中，∠B＝45°，BD＝CD＝5(km)，‎ BC＝＝5(km)．‎ AB＝AD＋BD＝(5＋5)(km)，‎ AC＋BC－AB＝10＋5－(5＋5)＝5＋5－5≈5＋5×1.41－5×1.73≈3.4(km)．‎ - 7 -‎ 答案：A ‎2．我舰在岛A南偏西50°相距12海里的B处发现敌舰正从岛A沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度为________海里/时．‎ 解析：由题可得下图．‎ 不妨设我舰追上敌舰时在C点．‎ 则AC＝20，∠BAC＝120°，AB＝12，‎ 所以BC2＝122＋202－2·12·20·cos 120°＝282，所以BC＝28，‎ 所以速度v＝＝14(海里/时)．‎ 答案：14‎ ‎3．如图所示，港口B在港口O正东方向120海里处，小岛C在港口O北偏东60°方向，且在港口B北偏西30°方向上．一艘科学家考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OA方向以20海里/时的速度行驶，一艘快艇从港口B出发，以60海里/时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去．现两船同时出发，补给物资的装船时间为1小时，则快艇驶离港口B后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？‎ 解：设快艇驶离港口B后，经过x小时，在OA上的点D处与考察船相遇．‎ 如图所示，连接CD，则快艇沿线段BC，CD航行．‎ 在△OBC中，由题意易得∠BOC＝30°，∠CBO＝60°，‎ 因为BO＝120，‎ 所以BC＝60，OC＝60.‎ 故快艇从港口B到小岛C需要1小时，所以x>1.‎ 在△OCD中，由题意易得∠COD＝30°，OD＝20x，‎ - 7 -‎ CD＝60(x－2)．‎ 由余弦定理，得CD2＝OD2＋OC2－2OD·OCcos∠COD，‎ 所以602(x－2)2＝(20x)2＋(60)2－2×20x×60×cos 30°.解得x＝3或x＝，因为x>1，所以x＝3.‎ 所以快艇驶离港口B后，至少要经过3小时才能和考察船相遇．‎ - 7 -‎