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  • 2021-06-16 发布

高中数学第一章解三角形1-2应用举例第1课时距离问题达标检测含解析新人教A版必修5

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距离问题 A级 基础巩固 一、选择题 ‎1.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形,如图所示,测得AC的长度为4米,A=30°,则其跨度AB的长为(  )‎ A.12米 B.8米 C.3米 D.4米 解析:△ABC为等腰三角形,A=30°,‎ 所以B=30°,C=120°,‎ 所以由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos C=42+42-2×4×4×=48,‎ 所以AB=4.‎ 答案:D ‎2.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10 m,吊杆AC=15 m,吊索AB=5 m,起吊的货物与岸的距离AD为(  )‎ A.30 m B. m C.15 m D.45 m 解析:在△ABC中,‎ cos ∠ABC==,‎ ‎∠ABC∈(0°,180°),‎ 所以sin∠ABC= =,‎ 所以在Rt△ABD中,‎ AD=AB·sin∠ABC=5×=(m).‎ - 7 -‎ 答案:B ‎3.甲骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶,在点A处望见电视塔在电动车的北偏东30°方向上,15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上,则电动车在点B时与电视塔S的距离是(  )‎ A.6 km B.3 km C.3 km D.3 km 解析:由题意知,AB=24×=6 (km),‎ ‎∠BAS=30°,∠ASB=75°-30°=45°.‎ 由正弦定理得BS===3 (km).‎ 答案:C ‎4.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行,30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是东偏南20°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是(  )‎ A.10 海里 B.10 海里 C.20 海里 D.20 海里 解析:如图,由已知可得,∠BAC=30°,∠ABC=105°,AB=20,从而∠ACB=45°.在△ABC中,由正弦定理,得BC=×sin 30°=10.‎ 答案:A ‎5.如图,海中有一小岛C,一小船从A地出发由西向东航行,望见小岛C在北偏东60°,航行8海里到达B处,望见小岛C在北偏东15°,若此小船不改变航行的方向继续前行2(-1)海里,则离小岛C的距离为(  )‎ A.8(+2)海里 B.2(-1)海里 C.2(+1)海里 D.4(+1)海里 解析:BC===4,‎ - 7 -‎ 所以离小岛C的距离为 =‎ ‎=2(+1),选C.‎ 答案:C 二、填空题 ‎6.一艘海轮以20 n mile/h的速度向正东方向航行,它在A点测得灯塔P在船的北偏东60°方向上,2 h后船到达B点时,测得灯塔P在船的北偏东45°方向上,则B点到灯塔P的距离为________n mile.‎ 解析:由题可知,在△ABP中,AB=40,∠PAB=30°,∠ABP=135°,所以∠BPA=15°,‎ 由正弦定理得=,‎ 所以BP===20(+).‎ 答案:20(+)‎ ‎7.已知A,B,C三地,其中A,C两地被一个湖隔开,测得AB=3 km,B=45°,C=30°,则A、C两地的距离为______km.‎ 解析:根据题意,由正弦定理可得=,代入数值得=,解得AC=3.‎ 答案:3 ‎8.《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题,2018年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象(如图所示),不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后(没有完全断开),树干与地面成75°角,折断部分与地面成45°角,树干底部与树尖着地处相距10米,则大树原来的高度是________米(结果保留根号).‎ - 7 -‎ 解析:如图所示,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则∠AOB=75°,∠ABO=45°,所以∠OAB=60°.‎ 由正弦定理知,==,‎ 所以OA=,AB=,‎ 所以OA+AB=5+5.‎ 答案:5+5 三、解答题 ‎9.要测量对岸两点A、B之间的距离,选取相距 km的C、D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求A、B之间的距离.‎ 解:如图所示,在△ACD中,∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°,‎ 所以AC=CD= (km).‎ 在△BCD中,∠BCD=45°,∠BDC=75°,∠CBD=60°,‎ 所以BC==( km).‎ 在△ABC中,由余弦定理得 AB2=()2+-2××cos 75°=3+2+-=5,‎ 所以AB=(km).‎ 所以A、B之间的距离为 km.‎ ‎10.如图所示,某观测站C在城A的南偏西20°的方向,从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路,在C处观测到距离C处31 km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去,行驶了20 km后到达D处,测得C,D两处的距离为21 km,这时此车距离A城多少千米?‎ 解:在△BCD中,BC=31 km,BD=20 km,CD=21 km,‎ - 7 -‎ 由余弦定理得 cos∠BDC===-.‎ 所以cos∠ADC=,‎ 所以sin∠ADC==.‎ 在△ACD中,由条件知CD=21 km,‎ ‎∠BAC=20°+40°=60°,‎ 所以sin∠ACD=sin(60°+∠ADC)=×+×=.‎ 由正弦定理得=,‎ 所以AD=×=15(km).‎ 故这时此车距离A城15 km.‎ B级 能力提升 ‎1.如图所示,A,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A—C—B行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB行驶.已知AC=10 km,∠A=30°,∠B=45°,则隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走(结果精确到0.1 km;参考数据:≈1.41,≈1.73)(  )‎ A.3.4 km B.2.3 km C.5 km D.3.2 km 解析:过点C作CD⊥AB,垂足为D.‎ 在Rt△CAD中,∠A=30°,AC=10(km),‎ CD=AC=5(km),‎ AD=AC·cos 30°=5(km).‎ 在Rt△BCD中,∠B=45°,BD=CD=5(km),‎ BC==5(km).‎ AB=AD+BD=(5+5)(km),‎ AC+BC-AB=10+5-(5+5)=5+5-5≈5+5×1.41-5×1.73≈3.4(km).‎ - 7 -‎ 答案:A ‎2.我舰在岛A南偏西50°相距12海里的B处发现敌舰正从岛A沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行,若我舰要用2小时追上敌舰,则速度为________海里/时.‎ 解析:由题可得下图.‎ 不妨设我舰追上敌舰时在C点.‎ 则AC=20,∠BAC=120°,AB=12,‎ 所以BC2=122+202-2·12·20·cos 120°=282,所以BC=28,‎ 所以速度v==14(海里/时).‎ 答案:14‎ ‎3.如图所示,港口B在港口O正东方向120海里处,小岛C在港口O北偏东60°方向,且在港口B北偏西30°方向上.一艘科学家考察船从港口O出发,沿北偏东30°的OA方向以20海里/时的速度行驶,一艘快艇从港口B出发,以60海里/时的速度驶向小岛C,在C岛装运补给物资后给考察船送去.现两船同时出发,补给物资的装船时间为1小时,则快艇驶离港口B后,最少要经过多少小时才能和考察船相遇?‎ 解:设快艇驶离港口B后,经过x小时,在OA上的点D处与考察船相遇.‎ 如图所示,连接CD,则快艇沿线段BC,CD航行.‎ 在△OBC中,由题意易得∠BOC=30°,∠CBO=60°,‎ 因为BO=120,‎ 所以BC=60,OC=60.‎ 故快艇从港口B到小岛C需要1小时,所以x>1.‎ 在△OCD中,由题意易得∠COD=30°,OD=20x,‎ - 7 -‎ CD=60(x-2).‎ 由余弦定理,得CD2=OD2+OC2-2OD·OCcos∠COD,‎ 所以602(x-2)2=(20x)2+(60)2-2×20x×60×cos 30°.解得x=3或x=,因为x>1,所以x=3.‎ 所以快艇驶离港口B后,至少要经过3小时才能和考察船相遇.‎ - 7 -‎