高二数学人教a必修5练习：3-4基本不等式（一）word版含解析 5页

§3.4 基本不等式： ab≤a＋b 2 (一) 课时目标 1．理解基本不等式的内容及其证明； 2．能利用基本不等式证明简单不等式． 1．如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥2ab(当且仅当 a＝b 时取“＝”号)． 2．若 a，b 都为正数，那么a＋b 2 ≥ ab(当且仅当 a＝b 时，等号成立)，称上述不等式为 基本不等式，其中a＋b 2 称为 a，b 的算术平均数， ab称为 a，b 的几何平均数． 3．基本不等式的常用推论 (1)ab≤ a＋b 2 2≤a2＋b2 2 (a，b∈R)； (2)当 x>0 时，x＋1 x ≥2；当 x<0 时，x＋1 x ≤－2. (3)当 ab>0 时，b a ＋a b ≥2；当 ab<0 时，b a ＋a b ≤－2. (4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，(a，b，c∈R)． 一、选择题 1．已知 a>0，b>0，则a＋b 2 ，ab， a2＋b2 2 ， 2ab a＋b 中最小的是( ) A.a＋b 2 B. ab C. a2＋b2 2 D. 2ab a＋b 答案 D 解析 方法一 特殊值法． 令 a＝4，b＝2，则a＋b 2 ＝3， ab＝ 8， a2＋b2 2 ＝ 10， 2ab a＋b ＝8 3.∴ 2ab a＋b 最小． 方法二 2ab a＋b ＝ 2 1 a ＋1 b ，由 2 1 a ＋1 b ≤ ab≤a＋b 2 ≤ a2＋b2 2 ，可知 2ab a＋b 最小． 2．已知 m＝a＋ 1 a－2 (a>2)，n＝ 1 2 x2－2 (x<0)，则 m、n 之间的大小关系是( ) A．m>n B．mn. 3．设 a，b∈R，且 a≠b，a＋b＝2，则必有( ) A．1≤ab≤a2＋b2 2 B．ab<1a＋b 2 >0， ∴a2＋b2 2 >1，∴ab<12 ab，a2＋b2>2ab，所以，最大的只能是 a2＋b2 与 a＋b 之一．而 a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，又 0a＋b 2 >0，∴ a2＋b2 2 >1 2 ， ∴a2＋b2>1 2. ∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2 ＝ab－a2＝a(b－a)>0，∴b>a2＋b2，∴b 最大． 6．若不等式 x2＋ax＋1≥0 对一切 x∈(0，1]恒成立，则 a 的最小值为( ) A．0 B．－2 C．－5 2 D．－3 答案 B 解析 x2＋ax＋1≥0 在 x∈(0，1]上恒成立 ⇔ax≥－x2－1⇔a≥ － x＋1 x max. ∵x＋1 x ≥2，∴－ x＋1 x ≤－2，∴a≥－2. 二、填空题 7．若 a<1，则 a＋ 1 a－1 有最______值，为________． 答案 大 －1 解析 ∵a<1，∴a－1<0， ∴－ a－1＋ 1 a－1 ＝(1－a)＋ 1 1－a ≥2(a＝0 时取等号)， ∴a－1＋ 1 a－1 ≤－2，∴a＋ 1 a－1 ≤－1. 8．若 lg x＋lg y＝1，则2 x ＋5 y 的最小值为________． 答案 2 解析 ∵lg x＋lg y＝1，∴xy＝10，x>0，y>0， ∴2 x ＋5 y ＝2 x ＋x 2 ≥2(x＝2 时取等号)． 9．已知 x，y∈R＋，且满足x 3 ＋y 4 ＝1，则 xy 的最大值为________． 答案 3 解析 ∵x>0，y>0 且 1＝x 3 ＋y 4 ≥2 xy 12 ， ∴xy≤3.当且仅当x 3 ＝y 4 时取等号． 10．若对任意 x>0， x x2＋3x＋1 ≤a 恒成立，则 a 的取值范围为________． 答案 1 5 ，＋∞ 解析 ∵x>0，∴ x x2＋3x＋1 >0，易知 a>0. ∴x2＋3x＋1 x ≥1 a ， ∴1 a ≤x＋1 x ＋3. ∵x>0，x＋1 x ＋3≥2 x·1 x ＋3＝5(x＝1 时取等号)， ∴1 a ≤5.∴a≥1 5. 三、解答题 11．设 a、b、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a＋b＋c. 证明 ∵a、b、c 都是正数，∴bc a 、ca b 、ab c 也都是正数． ∴bc a ＋ca b ≥2c，ca b ＋ab c ≥2a，bc a ＋ab c ≥2b， 三式相加得 2 bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a＋b＋c)， 即bc a ＋ca b ＋ab c ≥a＋b＋c. 12．a>b>c，n∈N 且 1 a－b ＋ 1 b－c ≥ n a－c ，求 n 的最大值． 解 ∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0. ∵ 1 a－b ＋ 1 b－c ≥ n a－c ， ∴n≤a－c a－b ＋a－c b－c . ∵a－c＝(a－b)＋(b－c)， ∴n≤a－b＋b－c a－b ＋a－b＋b－c b－c ， ∴n≤b－c a－b ＋a－b b－c ＋2. ∵b－c a－b ＋a－b b－c ≥2 b－c a－b ·a－b b－c  ＝2(2b＝a＋c 时取等号)． ∴n≤4.∴n 的最大值是 4. 能力提升 13．已知不等式(x＋y) 1 x ＋a y ≥9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为 ( ) A．8 B．6 C．4 D．2 答案 C 解析 只需求(x＋y) 1 x ＋a y 的最小值大于等于 9 即可， 又(x＋y) 1 x ＋a y ＝1＋a·x y ＋y x ＋a≥a＋1＋2 a·x y·y x ＝a＋2 a＋1，等号成立仅当 a·x y ＝y x 即可，所以( a)2＋2 a＋1≥9， 即( a)2＋2 a－8≥0 求得 a≥2 或 a≤－4(舍去)，所以 a≥4，即 a 的最小值为 4. 14．已知 a，b，c 为不等正实数，且 abc＝1. 求证： a＋ b＋ c<1 a ＋1 b ＋1 c. 证明 ∵1 a ＋1 b ≥2 1 ab ＝2 c， 1 b ＋1 c ≥2 1 bc ＝2 a， 1 c ＋1 a ≥2 1 ac ＝2 b， ∴2 1 a ＋1 b ＋1 c ≥2( a＋ b＋ c)， 即1 a ＋1 b ＋1 c ≥ a＋ b＋ c. ∵a，b，c 为不等正实数， ∴ a＋ b＋ c<1 a ＋1 b ＋1 c. 1．设 a，b 是两个正实数，用 min(a，b)表示 a，b 中的较小的数，用 max(a，b)表示 a， b 中的较大的数，则有 min(a，b)≤ 2 1 a ＋1 b ≤ ab≤a＋b 2 ≤ a2＋b2 2 ≤max(a，b)．当且仅当 a ＝b 时，取到等号． 2．两个不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋b 2 ≥ ab都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时， 取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解． 一方面：当 a＝b 时，a＋b 2 ＝ ab； 另一方面：当a＋b 2 ＝ ab时，也有 a＝b.