【师说系列】 高考数学一轮练之乐 1.1.9 函数的图象 文 4页

【师说系列】 高考数学一轮练之乐 1.1.9 函数的图象 文 一、选择题 1．设函数 f(x)(x∈R)满足 f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，由 y＝f(x)的图象可能是( ) 解析：代数表达式“f(x)＝f(－x)”，说明函数是偶函数，代数表达式“f(x＋2)＝f(x)”， 说明函数的周期是 2，再结合选项图象不难看出正确选项为 B. 答案：B 2．对任意的函数 y＝f(x)在同一个直角坐标系中，函数 y＝f(x＋1)与函数 y＝f(－x－1)的 图象恒( ) A．关于 x 轴对称 B．关于直线 x＝1 对称 C．关于直线 x＝－1 对称 D．关于 y 轴对称 解析：由函数图象变换，f(x＋1)的图象是由 f(x)的图象向左平移 1 个单位得到的，f(－x －1)的图象是由 f(x＋1)的图象先关于 y 轴对称，再向左平移 2 个单位得到的，故选 C. 答案：C 3．已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x＜2 时，f(x)＝x3－x，则函数 y ＝f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为( ) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：由 f(x)＝0，x∈[0,2)可得 x＝0 或 x＝1，即在一个周期内，函数的图象与 x 轴有两 个交点，在区间[0,6)上共有 6 个交点，当 x＝6 时，也是符合要求的交点，故共有 7 个不同 的交点． 答案：B 4．(2013·潍坊质检)在函数 y＝|x|(x∈[－1,1])的图象上有一点 P(t，|t|)，此函数与 x 轴，直线 x＝－1 及 x＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为 S，则 S 与 t 的函数关系图象可 表示为( ) 解析：当 t∈[－1,0]时，S 增速越来越平缓，当 t∈[0,1]时，S 增速越来越快，故选 B. 答案：B 5．已知函数 y＝f(x)的周期为 2，当 x∈[－1,1]时 f(x)＝x2，那么函数 y＝f(x)的图象与函 数 y＝|lgx|的图象的交点共有( ) A．10 个 B．9 个 C．8 个 D．1 个 解析：画出两个函数图象可看出交点有 10 个． 答案：A 6．(2013·吉林模拟)若函数 y＝f(10＋x)与函数 y＝f(10－x)的图象关于直线 l 对称，则直 线 l 的方程是( ) A．y＝0 B．x＝0 C．y＝10 D．x＝10 解析：y＝f(10＋x)可以看做是由 y＝f(x)的图象向左平移 10 个单位得到的，y＝f(10－x) ＝f[－(x－10)]可以看做是由 y＝f(－x)的图象向右平移 10 个单位得到的．而 y＝f(x)的图 象与 y＝f(－x)的图象关于 y 轴(即直线 x＝0)对称，故函数 y＝f(10＋x)与 y＝f(10－x)的 图象的对称轴 l 的方程是 x＝0. 答案：B 二、填空题 7．(2013 ·冀州月考)已知 f(x)＝ 1 3 x，若 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称的图象对应的函 数为 g(x)，则 g(x)的表达式为__________． 答案：g(x)＝3x－2 8．(2013·长沙模拟)若函数 y＝ 1 2 |1－x|＋m 的图象与 x 轴有公共点，则 m 的取值范围是 __________． 答案：－1≤m＜0 9．(2013·广东深圳)已知定义在区间[0,1]上的函数 y＝f(x)的图象如图所示，对于满足 0 ＜x1＜x2＜1 的任意 x1、x2，给出下列结论： ①f(x2)－f(x1)＞x2－x1； ②x2f(x1)＞x1f(x2)； ③f x1 ＋f x2 2 ＜f x1＋x2 2 . 其中正确结论的序号是__________．(把所有正确结论的序号都填上) 答案：②③ 三、解答题 10．(2013·盐城月考)已知函数 f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋e2 x (x＞0)． (1)若 g(x)＝m 有实根，求 m 的取值范围； (2)确定 m 的取值范围，使得 g(x)－f(x)＝0 有两个相异实根． 解析：方法一：∵g(x)＝x＋e2 x ≥2 e2＝2e， 等号成立的条件是 x＝e. 故 g(x)的值域是[2e，＋∞)， 因而只需 m≥2e，则 g(x)＝m 就有实根． 方法二：作出 g(x)＝x＋e2 x 的图象如图： 可知若使 g(x)＝m 有实根，则只需 m≥2e. 方法三：解方程由 g(x)＝m，得 x2－mx＋e2＝0. 此方程有大于零的根，故 m 2 ＞0 Δ＝m2－4e2≥0 等价于 m＞0， m≥2e 或 m≤－2e， 故 m≥2e. (2)即方程 g(x)＝f(x)有两个相异实根 作出 y＝f(x)，y＝g(x)的图象(如图)： 当 x＝e 时，[f(x)]max＝e2＋m－1，[g(x)]min＝2e， 依题意 y＝f(x)与 y＝g(x)的图象有两个不同的交点，∴e2＋m－1＞2e， 解之得 m 的取值范围为(－e2＋2e＋1，＋∞)． 11．(2013·泰州月考)(1)已知函数 y＝f(x)的定义域为 R，且当 x∈R 时，f(m＋x)＝f(m－x) 恒成立，求证 y＝f(x)的图象关于直线 x＝m 对称； (2)若函数 y＝log2|ax－1|的图象的对称轴是 x＝2，求非零实数 a 的值． 解析：(1)证明：设 P(x0，y0)是 y＝f(x)图象上任意一点， 则y0＝f(x0)． 又 P 点关于x＝m 的对称点为 P′，则 P′的坐标为(2m－x0，y0)．由已知 f(x＋m)＝f(m－x)， 得 f(2m－x0)＝f[m＋(m－x0)] ＝f[m－(m－x0)] ＝f(x0)＝y0. 即 P′(2m－x0，y0)在 y＝f(x)的图象上． ∴y＝f(x)的图象关于直线 x＝m 对称． (2)对定义域内的任意 x，有 f(2－x)＝f(2＋x)恒成立． ∴|a(2－x)－1|＝|a(2＋x)－1|恒成立， 即|－ax＋(2a－1)|＝|ax＋(2a－1)|恒成立． 又∵a≠0，∴2a－1＝0，得 a＝1 2 . 12．(2013·南昌模拟)已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)＝x＋1 x ＋2 的图象关于 A(0,1)对称． (1)求 f(x)的解析式； (2)若 g(x)＝f(x)＋a x ，且 g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数 a 的取值范围． 解析：(1)设 f(x)图象上任一点 P(x，y)，则点 P 关于(0,1)点的对称点 P′(－x,2－y)在 h(x) 的图象上， 即 2－y＝－x－1 x ＋2，∴y＝f(x)＝x＋1 x (x≠0)． (2)g(x)＝f(x)＋a x ＝x＋a＋1 x ，g′(x)＝1－a＋1 x2 . ∵g(x)在(0,2]上为减函数，∴1－a＋1 x2 ≤0 在(0,2]上恒成立，即 a＋1≥x2 在(0,2]上恒成立， ∴a＋1≥4， 即 a≥3，故 a 的取值范围是[3，＋∞)．