高考数学纠错笔记系列专题01集合与常用逻辑用语理 20页

专题 01 集合与常用逻辑用语 易错点 1 忽略集合中元素的互异性 设集合 2{ }, , , 1,{ , }A x x xy B x y  ，若 A B ，则实数 ,x y 的值为 A． 1x y    R B． 1 0 x y     C． 1 1 x y    D． 1x y    R 或 1 0 x y     或 1 1 x y    【错解】由 A B 得 2 1x xy y     或 2 1 x y xy     ，解得 1x y    R 或 1 0 x y     或 1 1 x y    ，所以选 D. 【参考答案】B 集合中元素的特性： （1）确定性. 一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该 集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能 构成集合； （2）互异性. 集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不 同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素 （3）无序性. 集合与其中元素的排列顺序无关，如 a，b，c 组成的集合与 b，c，a 组成的集 合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系 1．已知集合 2{ 2,2 }A m m m= + + ，若3 AÎ ，则 m 的值为________． 【解析】由题意得 2 3m+ = 或 22 3m m+ = ，则 1m = 或 3 2m = - . 当 1m = 时， 2 3m+ = 且 22 3m m+ = ，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当 3 2m = - 时， 12 2m + = ，而 22 3m m+ = ，故 3 2m = - . 【答案】 3 2 - 易错点 2 误解集合间的关系致错 已知集合   { |0,1 }A B x x A  ， ，则下列关于集合 A 与 B 的关系正确的是 A． A B B． A  B C． B  A D． A B 【错解】因为 x A ，所以      0 1{ 0,1 }B  ， ， ， ，所以 A  B ，故选 B. 【参考答案】D （1）元素与集合之间有且仅有“属于（）”和“不属于（）”两种关系，且两者必居其 一.判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征. （2）包含、真包含关系是集合与集合之间的关系，对于两个集合 A，B，如果集合 A 中任意一 个元素都是集合 B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子 集，记作 A B （或 B A ）；如果集合 A B ，但存在元素 x B ，且 x A ，我们 称集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B （或 B A ）. 2．已知集合   { |0,1 }A B x x A  ， ，则下列关于集合 A 与 B 的关系正确的是 A． A B B． A  B C． B  A D． A B 【答案】A 易错点 3 忽视空集易漏解 已知集合 2{ | 3 10 0}A x x x= - - £ ， { | 1 2 1}B x m x m= + ＃ - ，若 A B A= ，则 实数 m 的取值范围是 A．[ 3,3] B．[2,3] C． ( ,3] D．[2, ) 【错解】∵ 2 3 10 0x x- - £ ，∴ 2 5x- ＃ ，∴ { | 2 5}A x x= - ＃ . 由 A B A= 知 B A ，∴ 2 1 2 1 5 m m       ，则 3 3m   . ∴m 的取值范围是 3 3m   . 【错因分析】空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的 集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解.由并集的概念知，对于任何一个集 合 A，都有 A A  ，所以错解中忽略了 B   时的情况. 【参考答案】C （1）对于任意集合 A，有 A    ，A A  ，所以如果 A B   ，就要考虑集合 A B或 可能是；如果 A B A ，就要考虑集合 B 可能是. （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即 A  ， ( )B B   . 3．若 { | }3 4 2 1 1{ | }A x x B x m x m        ， ，若 B A ，则实数 m 的取值范围是 A．[ 1,3] B．[2, ) C．[ 1,2] D．[ 1, )  【解析】当 B   时， 2 1 1m m   ，∴m>2； 当 B   时，由题意，得 2 1 3 1 4 2 1 1 m m m m           ，解得 1 2m   . ∴m≥−1，即所求 m 的取值范围是[ 1, )  . 【答案】D 易错点 4 A 是 B 的充分条件与 A 的充分条件是 B 的区别 设 ,a bR ,则“ 4ba ”是“ 2,2  ba 且 ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【错解】选 A. 【参考答案】B （1）“A 的充分不必要条件是 B”是指 B 能推出 A，且 A 不能推出 B，即 B⇒A 且 A /Þ B； （2）“A 是 B 的充分不必要条件”则是指 A 能推出 B，且 B 不能推出 A，即 A⇒B 且 B /Þ A . 4．已知，bR ，若 2 2 1a b  的一个充分不必要条件是 ab m ( 0)m  ，则实数 m 的取值 范围是 A． 1, 2      B． , 2  C． 1 ,02     D． 2,0 【解析】由基本不等式得， 2 2 12 1 2a b ab ab     ，由 10 2ab ab    ，又因 为 2 2 1a b  的一个充分不必要条件是 ab m ( 0)m  ，则 1 2m   ，故选 A. 【答案】A 易错点 5 命题的否定与否命题的区别 命题“  * *n f n  N N， 且  f n n ”的否定形式是 A．  * * ( )n f n f n n   N N， 且 B． * *( ) ( )n f n f n n   N N， 或 C． * * 0 0 0 0)( ) (n f n f n n   N N， 且 D． * * 0 0 0 0( ) ( )n f n f n n   N N， 或 【错解】错解 1：“ * 0n N ”的否定为“ * 0n N ”，“   *f n N 且  f n n ”的 否定为“   * 0f n N 且 0 0( )f n n ”，故选 C. 【参考答案】D 1．命题的否定与否命题 “否命题”是对原命题“若 p，则 q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定 其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非 p”，只是否定命题 p 的结论． 2．命题的否定 （1）对“若 p，则 q”形式命题的否定； （2）对含有逻辑联结词命题的否定； （3）对全称命题和特称命题的否定． （4）全称（或存在性）命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全称（或存在性）命 题的否定是将其全称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定，而 命题的否定则直接否定结论即可．从命题形式上看，全称命题的否定是存在性命题，存 在性命题的否定是全称命题． 5．已知 2| | 1: 5 2 3, : 04 5p x q x x     ，则¬p 是¬q A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 将命题 2 1: 04 5q x x   的否定形式错误地认为： 2 1: 04 5q x x    ，∴x2＋4x−5<0 导致 错误． 一、集合 1．元素与集合的关系： a A a A    属于，记为 不属于，记为 . 2．集合中元素的特征： （1）确定性：一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是 该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能 构成集合. （2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是 不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素. （3）无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如 a，b，c 组成的集合与 b，c，a 组成的 集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系. 3．常用数集及其记法： 集合 非负整数集 (自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 N N 或 +N Z Q R C 4．集合间的基本关系 表示 关系 自然语言 符号语言 图示 基 本 基本 关系 子集 集合 A 中任意一个元素都是集 合 B 的元素 A B （或 B A ） 真子集 A B （或 B A ） 相等 集合 A，B 中元素相同或集合 A， B 互为子集 A B 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真 子集 学* A  ， ( )B B   （1）若集合 A 中含有 n 个元素，则有 2n 个子集，有 2 1n  个非空子集，有 2 1n  个真子集， 有 2 2n  个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即 ,A B B C A C    . （3）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑 空集的情况，否则会造成漏解. 5．集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn 图 交集 由属于集合 A 且属于 集合 B 的所有元素组 { | }A B x x A x B   且 成的集合 并集 | }{A B x x A x B   或 补集 由全集 U 中不属于集 合 A 的所有元素组成 的集合 { | }U A x x U x A  且ð （1）集合运算的相关结论 交集 A B A A B B A A A A    A B B A  并集 A B A A B B A A A A A  A B B A  补集 ( )U U A A UU  ð U U ð ( )U A A  ð ( )U A A Uð （2） ( .)U U UA B A B A A B B A B A B           二、命题及其关系、充分条件与必要条件 1．四种命题 命题 表述形式 原命题 若 p，则 q 逆命题 若 q，则 p 否命题 若 p ，则 q 逆否命题 若 q ，则 p 2．四种命题间的关系 （1）常见的否定词语 正面词语 = >(<) 是 都是 任意(所 有)的 任两 个 至多有 1(n) 个 至少有 1 个 否定词   (  ) 不 是 不都 是 某个 某两 个 至少有 2(n+1)个 1 个也没有 （2）四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件的概念 (1)若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件； (2)若 p⇒q 且 q / p，则 p 是 q 的充分不必要条件； (3)若 p / q 且 q⇒p，则 p 是 q 的必要不充分条件； (4) 若 p⇔q，则 p 是 q 的充要条件； (5) 若 p / q 且 q / p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件. (1)等价转化法判断充分条件、必要条件 ①p 是 q 的充分不必要条件  q 是 p 的充分不必要条件； ②p 是 q 的必要不充分条件  q 是 p 的必要不充分条件； ③p 是 q 的充要条件  q 是 p 的充要条件； ④p 是 q 的既不充分也不必要条件  q 是 p 的既不充分也不必要条件. ④若 B A ，则 p 是 q 的必要不充分条件； ⑤若 A B ，则 p 是 q 的充要条件； ⑥若 A B 且 B A ，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件. 三、逻辑联结词、全称量词与存在量词 2．复合命题的真假判断 “p 且 q”“p 或 q”“非 p”形式的命题的真假性可以用下面的表（真值表）来确定： p q p q p q p q 真 真 假 假 真 真 真 假 假 真 真 假 假 真 真 假 真 假 假 假 真 真 假 假 3．全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等  存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等  4．含有一个量词的命题的否定 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所示： 命题 命题的否定 , ( )x M p x  0 0, ( )x M p x   0 0, ( )x M p x  , ( )x M p x   含有逻辑联结词的命题的真假判断： （1） p q 中一假则假，全真才真． （2） p q 中一真则真，全假才假． （3）p 与 p 真假性相反． 注意：命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是对原命题的条件和结论分别 否定.不能混淆这两者的概念. 1．[2017 新课标Ⅱ卷理]设集合  1,2,4A  ，  2 4 0B x x x m    ．若  1A B  ，则 B  A． 1, 3 B． 1,0 C． 1,3 D． 1,5 【答案】C 2．[2017 新课标Ⅲ卷理]已知集合 A= 2 2( , ) 1x y x y │ ，B= ( , )x y y x│ ，则 A  B 中元 素的个数为 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【解析】集合中的元素为点集，由题意，可知集合 A 表示以 0,0 为圆心，为半径的单位 圆上所有点组成的集合，集合 B 表示直线 y x 上所有的点组成的集合，又圆 2 2 1x y  与 直线 y x 相交于两点 2 2,2 2       ， 2 2,2 2       ，则 A B 中有 2 个元素.故选 B. 【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和 化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解 题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否 满足互异性. 3．[2016 浙江卷理]命题“ *x n   ，R N ，使得 2n x ”的否定形式是 A． *x n   ，R N ，使得 2n x B． *x n   ，R N ，使得 2n x C． *x n   ，R N ，使得 2n x D． *x n   ，R N ，使得 2n x 【答案】D 【解析】  的否定是  ， 的否定是  ， 2n x 的否定是 2n x ．故选 D． 4．[2017 北京卷理]设 m,n 为非零向量，则“存在负数  ，使得 m n ”是“ 0<m n ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【名师点睛】判断充分必要条件的的方法： （1）根据定义，若 ,p q q p  ，那么 p 是 q 的充分不必要条件，同时 q 是 p 的必要不 充分条件；若 p q ，那么 p ，q 互为充要条件；若 ,p q q p  ，那么就是既不充分 也不必要条件. （2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知 : ,p x A :q x B ,若 A B  ， 那么 p 是 q 的充分不必要条件，同时 q 是 p 的必要不充分条件；若 A B ，那么 p ，q 互 为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件. （3）命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将 p 是 q 条件的判断，转化为 q 是 p 条件的判断. 5．[2017 天津卷理]设 R ，则“ π π| |12 12    ”是“ 1sin 2   ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 π π π| | 012 12 6       1sin 2   ，但 0  时 1sin 0 2    ，不满足 π π| |12 12    ，所以“ π π| |12 12    ”是“ 1sin 2   ”的充分而不必要条件，故选 A． 【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若 p q ，则 p 是 q 的充分条件，若 q p ， 则 p 是 q 的必要条件，若 p q ，则 p 是 q 的充要条件；从集合的角度看，若 A B ， 则 A 是 B 的充分条件，若 B A ，则 A 是 B 的必要条件，若 A B ，则 A 是 B 的充要 条件，若 A 是 B 的真子集，则 A 是 B 的充分而不必要条件，若 B 是 A 的真子集，则 A 是 B 的必要而不充分条件． 6．已知集合  | 0 0{ } ,1x x ax   ，则实数 a 的值为 A．−1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】由题意，1+a=0，∴a=−1，本题选择 A 选项. 7．已知集合 { | 1 2}, { | 1 4, }A x x B x x x        Z ，则 A B  A． 0,1,2 B． 0,2 C． 0,2 D． 0,2 8．设命题 p: 1, lnx x x   ,则 p 为 A． 0 0 01, lnx x x   B． 0 0 01, lnx x x   C． 0 0 01, lnx x x   D． 1, lnx x x   【答案】C 【解析】命题 p: 1, lnx x x   ，则 p 为 0 0 01, lnx x x   .故选 C. 9．“若 1 2a  ，则 0x  ，都有   0f x  成立”的逆否命题是 A． 0x  ，有   0f x  成立，则 1 2a  B． 0x  ，有   0f x  成立，则 1 2a  C． 0x  ，有   0f x  成立，则 1 2a  D． 0x  ，有   0f x  成立，则 1 2a  【答案】D 【解析】由原命题与逆否命题的关系可得：“若 1 2a  ，则 0x  ，都有   0f x  成立” 的逆否命题是“ 0x  ，有   0f x  成立，则 1 2a  ”.本题选择 D 选项. 10．已知集合  { , | 1,0 1}A x y y x x     ，集合  { , | 2 ,0 10}B x y y x x    ，则集 合 A B  A． 1,2 B． 1, 2x y  C．   1,2 D． 1, 2x x  【答案】C 11．已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知： ，结合集合 B 和题意可得实数 的取值范围是 . 本题选择 A 选项. 12．“ 1m  ”是“函数   3 3 3x mf x   在区间 1, 无零点”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【 解 析 】 若 函 数   3 3 3x mf x   在 区 间  1, 无 零 点 ， 则 1 3 13 3 3 1 2 2 m m m       ，故选 A. 13．设 a 、 b 都是非零向量，下列四个条件中，使 a b a b 成立的充分条件是 A．  a b B． ∥a b C． 2a b D． ∥a b 且 a b 【答案】C 【解析】因为  a b 时表示两向量的方向相反，所以不是充分条件；当 ∥a b 时，也不能 推出 a b a b ，故也不充分； 当 2a b 时，能够推出 a b a b ，故是充分条件； 而 ∥a b 且 a b 则是 a b a b 成立的既不充分也不必要条件， 应选 C. 14．已知命题 p :对任意 xR ,总有 2 0; : 1x q x  是 2x  的充分不必要条件,则下列命题 为真命题的是 A． p q  B． p q   C． p q  D． p q 【答案】A 15．已知命题 p ：“关于 x 的方程 2 4 0x x a   有实根”，若 p 为真命题的充分不必要条 件为 3 1a m  ，则实数 m 的取值范围是 A． 1, B． 1, C． ,1 D． ,1 【答案】B 【解析】命题 p： 4a  ， p 为 4a  ，又 p 为真命题的充分不必要条件为 3 1a m  ， 故3 1 4 1m m    16．在射击训练中，某战士射击了两次，设命题 p 是“第一次射击击中目标”，命题 q 是“第 二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要 条件是 A．   p q   为真命题 B．  p q  为真命题 C．   p q   为真命题 D． p q 为真命题 【答案】A 【解析】命题 p 是“第一次射击击中目标”，命题 q 是“第二次射击击中目标”，则 命题 p 是“第一次射击没击中目标”，命题 q 是“第二次射击没击中目标”，命题 “两次射击中至少有一次没有击中目标”是   p q   ，故选 A. 17．已知集合  1,2,2 1A m   ，集合  22,B m ，若 B A ，则实数 m =________． 【答案】1 (3)防范空集.在解决有关 ,A B A B   等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定 先考虑是否成立，以防漏解. 18．若命题“ 2 0 0 0, 2 0x x x m    R ”是假命题，则 m 的取值范围是__________． 【答案】 1, 【 解 析 】 因 为 命 题 “ 2 0 0 0, 2 0x x x m    R ” 是 假 命 题 ， 所 以 2, 2 0x x x m    R 为真命题，即 4 4 0, 1m m     ，故答案为 1, . 19．已知条件  2:log 1 0p x  ，条件 :q x a ，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的 取值范围是______． 【答案】 ,0 【解析】条件 p:log2(1−x)<0，∴0<1−x<1，解得 0a， 若 p 是 q 的充分不必要条件，∴ 0a  . 则实数 a 的取值范围是：(−∞,0]. 故答案为：(−∞,0]. 20 ． 设 U  R ， 集 合  2 2{ | 3 2 0} { | 1 0}A x x x B x x m x m        ， ， 若  U A B  ð ，则 m  _________. 【答案】1 或 2 21．设有两个命题， p :关于 x 的不等式 1xa  （ 0a  ,且 1a  ）的解集是{ | 0}x x  ； q : 函数  2lgy ax x a   的定义域为 R .如果 p q 为真命题，p q 为假命题，则实数 a 的取值范围是_________. 【答案】 1(0, ] [1, )2  【解析】易知 p:0