2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册教案：第11章 11 11页

www.ks5u.com ‎11.3.2　‎直线与平面平行 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题．(重点)‎ ‎2．利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题．(难点)‎ ‎1.通过空间直线与平面位置关系的学习，培养直观想象的数学核心素养．‎ ‎2．借助直线与平面平行的判定与性质的学习，提升数学抽象、逻辑推理的数学核心素养.‎ ‎　‎ 前面我们已经通过一些常见几何体直观认识了直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交，其中后两种位置关系又统称为直线在平面外，根据平面的基本事实2，如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，它是我们判断一条直线是否在平面内的重要依据．如果一条直线与平面的公共点个数不是两个，若有且只有一个，则直线与平面相交，若没有公共点，则直线与平面平行．‎ 思考：(1)直接判定一条直线与一个平面有没有公共点，是否很容易做到？为什么？‎ ‎(2)假设直线m在平面α内，将直线m平移出平面α，平移后的直线记为l，试判断直线l与平面α的位置关系，并说明理由．‎ ‎1．直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 ‎2.直线与平面平行的判定定理及性质定理 定理 条件 结论 图形语言 符号语言 判定定理 平面外的一条直线与平面内的一条直线平行 这条直线与这个平面平行 ‎________l ‎⇒l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交 这条直线与两平面的交线平行 ‎⇒l∥m ‎[拓展]‎ 直线与平面平行的性质定理与判定定理的关系 线面平行的判定定理与性质定理常常交替使用：先通过线线平行找出线面平行，再通过线面平行推出线线平行．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)若直线与平面不相交，则直线与平面平行． (　　)‎ ‎(2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行． (　　)‎ ‎(3)直线l上有无数多个点在平面α外，则l∥α. (　　)‎ ‎(4)过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行． (　　)‎ ‎[提示]　(1)错误．若直线与平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行．‎ ‎(2)错误．当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行．‎ ‎(3)错误．直线l也可能与平面α相交．‎ ‎(4)错误．在棱柱的上底面内，过一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故(4)错．‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．下列说法正确的是(　　)‎ A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a∥直线b B．若直线a∥平面α，直线a与直线b相交，则直线b与平面α相交 C．若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α D．若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点 D　[A中直线a与直线b也可能异面、相交，所以不正确；B中，直线b也可能与平面α平行，所以不正确；C中，直线b也可能在平面α内，所以不正确；根据直线与平面平行的定义知D正确．]‎ ‎3．若a，b是异面直线，a∥α，则b与α的关系是(　　)‎ A．b∥α或b⊂α　　 B．b与α相交或b⊂α或b∥α C．b与α相交或b∥α D．b与α相交或b⊂α B　[如图，长方体ABCDA′B′C′D′中，‎ ‎①A′D′与AB异面，A′D′∥平面BC′，而AB与平面BC′相交；‎ ‎②A′D′与BB′异面，A′D′∥平面BC′，而BB′在平面BC′内；‎ ‎③分别取AB，A′B′中点E，F，EF与A′D′异面，A′D′∥平面BC′，而EF与平面BC′平行．]‎ ‎4．如图所示，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若＝，则MN与平面BDC的位置关系是________．‎ 平行　[因为在△ABD中＝，所以MN∥BD，又因为MN⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，所以MN∥平面BCD．]‎ 证明直线与平面平行 ‎【例1】　如图，在三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.‎ ‎[思路探究]　要证明BD∥平面FGH，需在平面FGH内找到一条直线平行于BD，进而转化为线线平行的证明．‎ ‎[证明]　在三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，连接CD、FG.设CD∩FG＝O，则O为CD的中点．又H为BC的中点，所以OH∥BD．又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.‎ 应用判定定理证明线面平行的步骤 上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：‎ ‎(1)空间直线平行关系的传递性法．‎ ‎(2)三角形中位线法．‎ ‎(3)平行四边形法．‎ ‎(4)成比例线段法．‎ 提醒：线面平行判定定理应用的误区 ‎(1)条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”．‎ ‎(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．‎ ‎1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)‎ A　[A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB．‎ 因为QD∩平面MNQ＝Q，所以QD与平面MNQ相交，‎ 所以直线AB与平面MNQ相交．‎ B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，‎ ‎∴AB∥MQ.‎ 又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.‎ C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，所以AB∥MQ.‎ 又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.‎ D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，所以AB∥NQ.‎ 又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.‎ 故选A．]‎ 线面平行性质定理的应用 ‎【例2】　如图，AB，CD为异面直线，且AB∥α，CD∥α，AC，BD分别交α于M，N两点．求证：AM∶MC＝BN∶ND．‎ ‎[证明]　连接AD交平面α于点E，连接ME和NE.‎ 如图所示，‎ 因为平面ACD∩α＝ME，CD∥α，‎ 所以CD∥ME，所以＝.同理可得EN∥AB，‎ 所以＝，所以＝，‎ 即AM∶MC＝BN∶ND．‎ 利用线面平行的性质定理证明线线平行的四个步骤 ‎(1)在已知图形中确定(或寻找)一条直线平行于一个平面．‎ ‎(2)作出(或寻找)过这条直线且与这个平面相交的平面．‎ ‎(3)得出交线．‎ ‎(4)根据线面平行的性质定理得出结论．‎ ‎2．求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．‎ ‎[解]　已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β，求证：a∥l.‎ 证明：如图，过a作平面γ交α于b.‎ ‎∵a∥α，∴a∥b.‎ 过a作平面ε交平面β于c.‎ ‎∵a∥β，∴a∥c，∴b∥c.‎ 又b⊄β且c⊂β，∴b∥β.‎ 又平面α过b交β于l，∴b∥l.‎ ‎∵a∥b，∴a∥l.‎ 线面平行判定定理与性质定理的综合运用 ‎[探究问题]‎ ‎1．如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)是否都和平面α平行？‎ ‎[提示]　平行．‎ ‎2．若直线l∥平面α，则l平行于平面α内的所有直线吗？‎ ‎[提示]　不是．‎ ‎3．若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？这些平面与α的交线与直线a有什么关系？‎ ‎[提示]　若a∥α，则过a且与α相交的平面有无数个．这些平面与α的交线与直线a之间相互平行．‎ ‎【例3】　如图，在长方体ABCDA1B‎1C1D1中，点P∈BB1(P不与B，B1重合)，PA∩A1B＝M，PC∩BC1＝N.求证：MN∥平面ABCD．‎ ‎[证明]　连接AC，A‎1C1.在长方体ABCDA1B‎1C1D1中，AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形ACC‎1A1是平行四边形，所以AC∥A‎1C1，因为AC⊄平面A1BC1，A‎1C1⊂平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1.因为AC⊂平面PAC，平面A1BC1∩平面 PAC＝MN，所以AC∥MN.因为MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以MN∥平面ABCD．‎ 利用线面平行的判定定理和性质定理的关键及思考方向 关键：是过直线作平面与已知平面相交．‎ 思考方向：若条件中含有线线平行，可考虑线面平行的判定定理的条件；若条件中含有线面平行，可考虑线面平行的性质定理得线线平行．‎ ‎3．如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是________．‎ 平行四边形　[因为平面ADC∩α＝EF，且CD∥α，所以EF∥CD；同理可证GH∥CD，EG∥AB，FH∥AB．所以GH∥EF，EG∥FH.‎ 所以四边形EFHG是平行四边形．]‎ 知识：‎ ‎1．直线与平面平行的判定定理的理解 判定直线l和平面α平行时，必须具备三个条件 ‎①直线l在平面α外，即l⊄α；‎ ‎②直线m在平面α内，即m⊂α；‎ ‎③两直线l，m平行，即l∥m.‎ 这三个条件缺一不可．‎ ‎2．直线与平面平行的性质定理的理解 应用性质定理时，必须具备的三个条件 ‎①直线l平行于平面α，即l∥α，‎ ‎②直线l在平面β内，即l⊂β，‎ ‎③两平面α与β相交，即α∩β＝m.‎ 这三个条件缺一不可．‎ 方法：‎ ‎1．证明线面平行的一般方法 使用直线与平面平行的判定定理时，关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线，一般遵循“先找后作”的原则，即现有的平面中没有出现与已知直线平行的直线时，我们再考虑添加辅助线．具体操作中，我们可以利用几何体的特征，合理利用中位线定理，或者构造平行四边形等证明两直线平行．‎ ‎2．应用线面平行的性质定理的方法 用线面平行的性质证明线线平行的关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行．还可以利用交线判断已知平面内任意一条直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内所有与交线平行的直线都与已知直线平行，所有与交线相交的直线都与已知直线异面．‎ ‎1．下列条件中能确定直线a与平面α平行的是(　　)‎ A．a⊄α，b⊂α，a∥b B．b⊂α，a∥b C．b⊂α，c⊂α，a∥b，a∥c D．b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BD A　[由直线与平面平行的判定定理知选A．]‎ ‎2．M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有(　　)‎ A．l∥α B．l⊂α C．l与α相交 D．以上都有可能 C　[由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．]‎ ‎3．正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，E三点的平面的位置关系是________．‎ 平行　[如图所示，连接BD交AC于点O.在正方体中容易得到点O为BD的中点．又因为E为DD1的中点，所以OE∥BD1.又因为OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.]‎ ‎4．直三棱柱ABCA1B‎1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD．‎ ‎[证明]　如图，连接AC1交A‎1C于点F，则F为AC1的中点．‎ 又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.‎ 因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，‎ 所以BC1∥平面A1CD．‎