高中人教a版数学必修4：第9课时 诱导公式的组合运用 word版含解析 4页

第 9 课时 诱导公式的组合运用 课时目标 综合应用诱导公式求任意角的三角函数值，化简三角函数式、证明三角恒等式． 识记强化 1．α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个 把α看成锐角时原函数值的符号；π 2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的异名函数值，前面 加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． 2．诱导公式的记忆，可归纳为“奇变偶不变，符号看象限”． 课时作业 一、选择题 1．sin －19 6 π 的值等于( ) A.1 2 B．－1 2 C. 3 2 D．－ 3 2 答案：A 解析：sin －19 6 π ＝sin －19 6 π＋4π ＝sin5π 6 ＝ sin π－π 6 ＝sinπ 6 ＝1 2. 2．若 sin(π－α)＝log8 1 4 ，且α∈ －π 2 ，0 ，则 cos(π＋α)的值为( ) A. 5 3 B．－ 5 3 C．± 5 3 D．－2 3 答案：B 解析：∵sin(π－α)＝sinα＝log22－2 3 ＝－2 3 ，又α∈ －π 2 ，0 ，∴cos(π＋α)＝－cosα＝－ 1－sin2α＝－ 1－4 9 ＝－ 5 3 . 3. 1＋2sin1250°·cos1250°＝( ) A．sin10°－cos10° B．cos10°－sin10° C．sin10°＋cos10° D．－sin10°－cos10° 答案：B 解析：∵1250°＝1080°＋170°， ∴1＋2sin1250°·cos1250°＝1＋2sin170°·cos170° ＝1－2sin10°·cos10°＝(sin10°－cos10°)2. ∴原式＝|sin10°－cos10°|＝cos10°－sin10°. 4．设 f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中 a，b，α，β∈R，若 f(2 009)＝5，则 f(2 016) 等于( ) A．4 B．3 C．－5 D．5 答案：C 解析：∵f(2 009)＝asin(2 009π＋α)＋bcos(2 009π＋β)＝－asinα－bcosβ＝5，∴f(2 016) ＝asin(2 016π＋α)＋bcos(2 016π＋β)＝asinα＋bcosβ＝－5. 5．已知 f(sinx)＝cos3x，则 f(cos10°)的值为( ) A．－1 2 B.1 2 C．－ 3 2 D. 3 2 答案：A 解析：f(cos10°)＝f(sin80°)＝cos240°＝cos(180°＋60°)＝－cos60°＝－1 2. 6．已知 cos(75°＋α)＝1 3 ，则 sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( ) A.1 3 B.2 3 C．－1 3 D．－2 3 答案：D 解析：sin(α－15°)＋cos(105°－α) ＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)] ＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α) ＝－2 3. 二、填空题 7. sin20°＋cos200° sin340°－cos160° ＋ tan19°＋cos341° tan161°＋cos161° ＝________. 答案：－2 解析：原式＝ sin20°－cos20° －sin20°＋cos20° ＋ tan19°＋cos19° －tan19°－cos19° ＝－2. 8．已知 tan α＋8π 7 ＝a， 则 sin 15π 7 ＋α ＋3cos α－13π 7 sin 6π 7 －α －cos α＋22π 7 ＝________. 答案：a＋3 a＋1 解析：∵tan α＋8π 7 ＝a，∴tan π 7 ＋α ＝a. ∴原式＝ sin π 7 ＋α ＋3cos π 7 ＋α sin π－ π 7 ＋α －cos π＋ π 7 ＋α ＝ sin π 7 ＋α ＋3cos π 7 ＋α sin π 7 ＋α ＋cos π 7 ＋α ＝ tan π 7 ＋α ＋3 tan π 7 ＋α ＋1 ＝a＋3 a＋1 . 9．已知 a＝tan －7π 6 ，b＝cos23π 4 ，c＝sin －25 4 π ，则 a、b、c 的大小关系是________． 答案：b＞a＞c 解析：a＝－tan(π＋π 6)＝－tanπ 6 ＝－ 3 3 ，b＝cos(6π－π 4)＝cosπ 4 ＝ 2 2 ，c＝－sin(8π＋π 3)＝－ 3 2 ，而 2 2 ＞－ 3 3 ＞－ 3 2 ，∴b＞a＞c. 三、解答题 10．已知 sin(3π＋θ)＝1 4 ，求： cosπ＋θ cosθ[cosπ＋θ－1] ＋ cosθ－2π cosθ＋2πcosθ＋π＋cos－θ 的值． 解：sin(3π＋θ)＝sin(π＋θ)＝－sinθ＝1 4 ∴sinθ＝－1 4 ∴原式＝ －cosθ cosθ－cosθ－1 ＋ cosθ cosθ－cosθ＋cosθ ＝ 1 1＋cosθ ＋ 1 1－cosθ ＝ 2 sin2θ ＝ 2 1 16 ＝32. 11．设 f(a)＝ 2sinαcosα＋cosα 1＋sin2α＋cos 3π 2 ＋α －sin2 π 2 ＋α (1＋2sinα≠0)． (1)化简 f(α)； (2)求 f(1°)·f(2°)·f(3°)……f(89°)的值． 解：(1)∵cos 3π 2 ＋α ＝sinα，sin2 π 2 ＋α ＝cos2α， ∴f(α)＝ cosα2sinα＋1 1＋sin2α＋sinα－cos2α ＝cosα2sinα＋1 2sin2α＋sinα ＝ cos2sinα＋1 sinα2sinα＋1 ＝cosα sinα. (2)f(1°)·f(2°)·f(3°)·…·f(89°)＝cos1° sin1°·cos2° sin2°·…·cos45° sin45°·…·cos88° sin88°·cos89° sin89° ＝ cos1° sin1°·cos89° sin89° ·cos2° sin2°·cos88° sin88° ·…·cos45° sin45° ＝ cos1° sin1°·sin1° cos1° · cos2° sin2°·sin2° cos2° ·…·cos45° sin45° ＝1. 能力提升 12．已知 sin π 4 ＋α ＝ 3 2 ，则 sin 3 4π－α 的值为________． 答案： 3 2 解析：sin 3 4π－α ＝sin π－ π 4 ＋α ＝sin π 4 ＋α ＝ 3 2 . 13．化简：sin 4k－1 4 π－α ＋cos 4k＋1 4 π－α (k∈Z)． 解：当 k 为奇数时， 原式＝sin π－π 4 －α ＋cos π＋π 4 －α ＝sin π 4 ＋α －cos π 4 －α ＝sin π 2 － π 4 －α －cos π 4 －α ＝cos π 4 －α －cos π 4 －α ＝0. 当 k 为偶数时， 原式＝sin 2π－π 4 －α ＋cos 2π＋π 4 －α ＝－sin π 4 ＋α ＋cos π 4 －α ＝－sin π 2 － π 4 －α ＋cos π 4 －α ＝－cos π 4 －α ＋cos π 4 －α ＝0. 综上，原式＝0.