- 65.79 KB
- 2021-06-16 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
课时训练 11 等比数列
一、等比数列中基本量的运算
1.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=
1
4
,则公比 q 等于 ( )
A.-
1
2
B.-2 C.2 D.
1
2答案:D
解析:
5
2
1 4
1
=q3=1
4
2
1
8
,∴q=
1
2
.
2.已知等比数列{an}中,a1=32,公比 q=-
1
2
,则 a6 等于( )
A.1 B.-1 C.2 D.
1
2答案:B
解析:由题知 a6=a1q5=32× -
1
2
5
=-1,故选 B.
3.(2015 福建宁德五校联考,7)已知等比数列{an}中,
2+ 3
1+ 2
=2,a4=8,则 a6=( )
A.31 B.32 C.63 D.64
答案:B
解析:设等比数列{an}的公比为 q,
由
2+ 3
1+ 2
=2,a4=8,得
(
1+ 2
)
1+ 2 2
,
1
3
8
,
解得
1 1
,
2
. 所以 a6=a1q5=25=32.故选 B.
4.(2015 山东潍坊四县联考,3)已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2 等于( )
A.-4 B.-6 C.-8 D.-10
答案:B
解析:∵等差数列{an}的公差为 2,a1,a3,a4 成等比数列,
∴(a1+4)2=a1(a1+6),
∴a1=-8,
∴a2=-6.故选 B.
5.(2015 江西吉安联考,2)已知等比数列{an}的公比 q=-
1
3
,则
1+ 3+ 5+ 7
2+ 4+ 6+ 8
等于( )
A.-3 B.-
1
3
C.3 D.
1
3答案:A
解析:∵等比数列{an}的公比 q=-
1
3
,
∴
1+ 3+ 5+ 7
2+ 4+ 6+ 8
1+ 3+ 5+ 7(
1+ 3+ 5+ 7
)
1
=-3.故选 A.
二、等比中项及应用
6.2+
3
和 2-
3
的等比中项是 .
答案:±1
解析:设 A 为等比中项,则 A2=(2+
3
)(2-
3
)=1,
∴A=±1.
7.已知等比数列{an}的各项均为正数,它的前三项依次为 1,a+1,2a+5,则数列{an}的通项公式
an= .
答案:3n-1
解析:由题意,知(a+1)2=2a+5,∴a2=4.
∵{an}的各项均为正数,∴a+1>0 且 2a+5>0.
∴a=2.∴a+1=3.∴q=
+1
1
=3.∴an=3n-1.
三、等比数列的判定
8.给出下列数列:
①2,2,4,8,16,32,…;
②在数列{an}中,
2
1
=2,
4
3
=2;
③常数列 c,c,c,c,….
其中等比数列的个数为 .
答案:0
解析:①不是等比数列,因为
2
1 ≠
3
2
;
②不一定是等比数列,因为不知道
3
2
的值,即使
3
2
=2,数列{an}也未必是等比数列;
③不一定是等比数列,当 c=0 时,数列不是等比数列.故填 0.
9.设{an}是公比为 q 的等比数列,设 q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.
证明:假设{an+1}是等比数列,则对任意的 k∈N*,
(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),
+1
2
+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,
1
2
q2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,
因为 a1≠0,所以 2qk=qk-1+qk+1.
因为 q≠0,所以 q2-2q+1=0,解得 q=1,这与已知矛盾.
所以假设不成立,故{an+1}不是等比数列.
(建议用时:30 分钟)
1.已知在等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=
5
4
,则该等比数列的公比为( )
A.
1
4
B.
1
2
C.2 D.8
答案:B
解析:因为(a1+a3)q3=a4+a6,
所以 q3=
4+ 6
1+ 3
5
4
10
1
8
,即 q=
1
2
,选 B.
2.若等比数列的首项为
9
8
,末项为
1
3
,公比为
2
3
,则这个数列的项数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案:B
解析:∵a1=
9
8
,an=
1
3
,q=
2
3
,∴
9
8
2
3
-
1
1
3
,则 n=4.
3.已知等比数列{an}中,a1=3,8
2
=an+1·an+2,则 a3= ( )
A.48 B.12 C.6 D.2
答案:B
解析:设数列{an}的公比为 q,
则由 8
2
=an+1an+2,得 8
1
2
=a2a3,即 8
1
2
1
2
q3,
∴q=2.∴a3=a1q2=3×4=12.
4.如果-1,a,b,c,-9 成等比数列,那么( )
A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9
C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9
答案:B
解析:∵-1,a,b,c,-9 成等比数列,
∴b2=(-1)×(-9)=9.
又∵a2=-1×b=-b,∴b=-3.
又 b2=ac,∴a 与 c 同号.∴ac=9.
5.已知 1 既是 a2 与 b2 的等比中项,又是
1
与
1
的等差中项,则
+
2+ 2
的值是( )
A.1 或
1
2
B.1 或-
1
2
C.1 或
1
3
D.1 或-
1
3答案:D
解析:由题意得,a2b2=(ab)2=1,
1
+
1
=2,
∴
1
,
+ 2
或
-
1
,
+
-
2
.
又
+
2+ 2
+ (
+
)
2
-
2
,∴其值为 1 或-
1
3
.
6.设 a1=2,数列{1+2an}是公比为 2 的等比数列,则 a6 等于 .
答案:79.5
解析:∵1+2an=(1+2a1)×2n-1,
∴1+2a6=5×25,∴a6=
5 32
-
1
2
=79.5.
7.已知等差数列{an}的公差 d≠0,它的第 1,5,17 项顺次成等比数列,则这个等比数列的公比
是 .
答案:3
解析:由已知
5
2
=a1·a17,
∴(a1+4d)2=a1(a1+16d).∴a1=2d.
∴公比 q=
5
1
1+4
1
6
2
=3.
8.某林场的树木每年以 25%的增长率增长,则第 10 年末的树木总量是今年的 倍.
答案:1.259
解析:设这个林场今年的树木总量是 m,第 n 年末的树木总量为 an,则 an+1=an+an×25%=1.25an.
则
+1
=1.25.
则数列{an}是公比 q=1.25 的等比数列.
则 a10=a1q9=1.259m.所以
10
1
=1.259.
9.等比数列的前三项和为 168,a2-a5=42,求 a5,a7 的等比中项.
解:由题意知
1 + 1 + 1
2
168
, ①
1
·(
1
-
)(
1 + +
2
)
42
,②
②÷①得 q(1-q)=
42
168
,
∴q=
1
2
.
∴a1=
168 4
7
=96.
又∵a6=a1q5,
∴a6=96×
1
25
=3,
∴a5,a7 的等比中项 a6=3.
10.已知数列{an}满足 a1=
7
8
,且 an+1=
1
2
an+
1
3
,n∈N*.
(1)求证:
-
2
3
是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明:∵an+1=
1
2
an+
1
3
,
∴an+1-
2
3
1
2
an+
1
3
2
3
1
2
-
2
3
.
∴
+1
-
2
3
-
2
3
1
2
.
∴
-
2
3
是首项为
5
24
,公比为
1
2
的等比数列.
(2)解:∵an-
2
3
5
24
1
2
-
1
,
∴an=
5
24
1
2
-
1
+
2
3
.
相关文档
- 高中数学人教a版必修二 第三章 直2021-06-165页
- 高中数学人教a版选修1-1第三章导数2021-06-166页
- 高中数学人教a版选修2-2(课时训练): 12021-06-1612页
- 高中数学人教a版必修四课时训练:1.1.2021-06-165页
- 高中数学第2章统计2_2总体分布的估2021-06-1619页
- 高中数学(人教版必修5)配套练习:2-3等2021-06-167页
- 高中数学经典测试题及详细答案2021-06-1674页
- 高中数学必修2空间几何体考点2021-06-1621页
- 北师大版高中数学选修1-1同步练习2021-06-164页
- 高中数学必修1集合专项练习、题型2021-06-1615页