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  • 2021-06-16 发布

2019版一轮复习理数通用版第四单元 导数及其应用

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第四单元 导数及其应用 教材复习课 “导数”相关基础知识一课过 导数的基本运算 [过双基] 1.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f′(x)=0 f(x)=xn(n∈Q*) f′(x)=nxn-1 f(x)=sin x f′(x)=cos_x f(x)=cos x f′(x)=-sin_x f(x)=ax f′(x)=axln_a f(x)=ex f′(x)=ex f(x)=logax(a>0,且 a≠1) f′(x)= 1 xln a f(x)=ln x f′(x)= 1 x 2.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3) fx gx ′ = f′xgx-fxg′x [gx]2 (g(x)≠0). 3.复合函数的导数 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx′=yu′·ux′, 即 y对 x的导数等于 y对 u的导数与 u对 x的导数的乘积. 1.下列求导运算正确的是( ) A. x+1 x ′=1+ 1 x2 B.(log2x)′= 1 xln 2 C.(3x)′=3xlog3e D.(x2cos x)′=-2sin x 解析:选 B x+1 x ′=1- 1 x2 ;(log2x)′= 1 xln 2 ;(3x)′=3xln 3;(x2cos x)′=2xcos x -x2sin x,故选 B. 2.函数 f(x)=(x+2a)(x-a)2的导数为( ) A.2(x2-a2) B.2(x2+a2) C.3(x2-a2) D.3(x2+a2) 解析:选 C ∵f(x)=(x+2a)(x-a)2=x3-3a2x+2a3, ∴f′(x)=3(x2-a2). 3.函数 f(x)=ax3+3x2+2,若 f′(-1)=4,则 a的值是( ) A.19 3 B.16 3 C.13 3 D.10 3 解析:选 D 因为 f′(x)=3ax2+6x, 所以 f′(-1)=3a-6=4, 所以 a=10 3 . 4.(2016·天津高考)已知函数 f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为 f(x)的导函数,则 f′(0)的值为 ________. 解析:因为 f(x)=(2x+1)ex, 所以 f′(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex, 所以 f′(0)=3e0=3. 答案:3 5.函数 y=ln2x+1 x 的导数为________. 解析:y′= ln2x+1 x ′ = [ln2x+1]′x-x′ln2x+1 x2 = 2x+1′ 2x+1 ·x-ln2x+1 x2 = 2x 2x+1 -ln2x+1 x2 = 2x-2x+1ln2x+1 2x+1x2 . 答案:y′= 2x-2x+1ln2x+1 2x+1x2 [清易错] 1.利用公式求导时,一定要注意公式的适用范围及符号,如(xn)′=nxn-1中 n≠0 且 n ∈Q*,(cos x)′=-sin x. 2.注意公式不要用混,如(ax)′=axln a,而不是(ax)′=xax-1. 1.已知函数 f(x)=sin x-cos x,若 f′(x)=1 2 f(x),则 tan x的值为( ) A.1 B.-3 C.-1 D.2 解析:选 B ∵f′(x)=(sin x-cos x)′=cos x+sin x, 又 f′(x)=1 2 f(x), ∴cos x+sin x=1 2 sin x-1 2 cos x, ∴tan x=-3. 2.若函数 f(x)=2x+ln x且 f′(a)=0,则 2aln 2a=( ) A.-1 B.1 C.-ln 2 D.ln 2 解析:选 A f′(x)=2xln 2+1 x ,由 f′(a)=2aln 2+1 a =0,得 2aln 2=- 1 a ,则 a·2a·ln 2 =-1,即 2aln 2a=-1. 导数的几何意义 [过双基] 函数 f(x)在点 x0处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点 P(x0,y0)处的切线的 斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t的导数).相应地,切线方程为 y-y0=f′(x0)·(x- x0). 1.(2018·郑州质检)已知 y=f(x)是可导函数,如图,直线 y=kx+2是曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线,令 g(x)=xf(x),g′(x)是 g(x)的导函数,则 g′(3)=( ) A.-1 B.0 C.2 D.4 解析:选 B 由题图可知曲线 y=f(x)在 x=3 处切线的斜率等于- 1 3 ,∴f′(3)=- 1 3 , ∵g(x)=xf(x),∴g′(x)=f(x)+xf′(x),∴g′(3)=f(3)+3f′(3),又由题图可知 f(3)=1, 所以 g′(3)=1+3× - 1 3 =0. 2.设函数 f(x)=xln x,则点(1,0)处的切线方程是________. 解析:因为 f′(x)=ln x+1,所以 f′(1)=1,所以切线方程为 x-y-1=0. 答案:x-y-1=0 3.已知曲线 y=2x2的一条切线的斜率为 2,则切点的坐标为________. 解析:因为 y′=4x,设切点为(m,n),则 4m=2,所以 m= 1 2 ,则 n=2× 1 2 2= 1 2 ,则 切点的坐标为 1 2 , 1 2 . 答案: 1 2 , 1 2 4.函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程是 y=3x-2,则 f(1)+f′(1)= ________. 解析:因为函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程是 y=3x-2,所以 f′(1) =3,且 f(1)=3×1-2=1,所以 f(1)+f′(1)=1+3=4. 答案:4 [清易错] 1.求曲线切线时,要分清在点 P处的切线与过 P点的切线的区别,前者只有一条,而 后者包括了前者. 2.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有 差别. 1.若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x3和 y=ax2+15 4 x-9都相切,则 a等于( ) A.-1或- 25 64 B.-1或21 4 C.- 7 4 或- 25 64 D.- 7 4 或 7 解析:选 A 因为 y=x3,所以 y′=3x2, 设过点(1,0)的直线与 y=x3相切于点(x0,x30), 则在该点处的切线斜率为 k=3x20, 所以切线方程为 y-x30=3x20(x-x0),即 y=3x20x-2x30,又(1,0)在切线上,则 x0=0或 x0 = 3 2 ,当 x0=0时,由 y=0与 y=ax2+15 4 x-9相切,可得 a=- 25 64 , 当 x0= 3 2 时,由 y=27 4 x-27 4 与 y=ax2+15 4 x-9相切,可得 a=-1,所以选 A. 2.(2017·兰州一模)已知直线 y=2x+1与曲线 y=x3+ax+b相切于点(1,3),则实数 b的 值为________. 解析:因为函数 y=x3+ax+b 的导函数为 y′=3x2+a,所以此函数的图象在点(1,3) 处的切线斜率为 3+a, 所以 3+a=2, 3=1+a+b, 解得 a=-1, b=3. 答案:3 利用导数研究函数的单调性 [过双基] 1.函数 f(x)在某个区间(a,b)内的单调性与 f′(x)的关系 (1)若 f′(x)>0,则 f(x)在这个区间上是增加的. (2)若 f′(x)<0,则 f(x)在这个区间上是减少的. (3)若 f′(x)=0,则 f(x)在这个区间内是常数. 2.利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求 f′(x). (2)在定义域内解不等式 f′(x)>0或 f′(x)<0. (3)根据结果确定 f(x)的单调性及单调区间. 1.函数 f(x)=2x3-9x2+12x+1的单调减区间是( ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,1)和(2,+∞) 解析:选 A 解 f′(x)=6x2-18x+12<0可得 10 时,由导函数 f′(x)=ax2+bx+c 的图象可知,导函数在区间(0,x1) 内的值是大于 0的,则在此区间内函数 f(x)单调递增.只有 D选项符合题意. 3.已知 f(x)=x2+ax+3ln x在(1,+∞)上是增函数,则实数 a的取值范围为( ) A.(-∞,-2 6] B. -∞, 6 2 C.[-2 6,+∞) D.[-5,+∞) 解析:选 C 由题意得 f′(x)=2x+a+3 x = 2x2+ax+3 x ≥0 在(1,+∞)上恒成立⇔g(x) =2x2+ax+3≥0 在 (1,+∞)上恒成立⇔Δ=a2-24≤0 或 Δ=a2-24>0, - a 4 ≤1, g1=5+a≥0 ⇔- 2 6≤a≤2 6或 a>2 6⇔a≥-2 6,故选 C. [清易错] 若函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,则 f′(x)≥0,且在(a,b)的任意子区间,等号 不恒成立;若函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调递减,则 f′(x)≤0,且在(a,b)的任意子区间, 等号不恒成立. 若函数 f(x)=x3+x2+mx+1是 R上的单调增函数,则 m的取值范围是________. 解析:∵f(x)=x3+x2+mx+1, ∴f′(x)=3x2+2x+m. 又∵f(x)在 R上是单调增函数,∴f′(x)≥0恒成立, ∴Δ=4-12m≤0,即 m≥ 1 3 . 答案: 1 3 ,+∞ 利用导数研究函数的极值与最值 [过双基] 1.函数的极大值 在包含 x0的一个区间(a,b)内,函数 y=f(x)在任何一点的函数值都小于 x0点的函数值, 称点 x0为函数 y=f(x)的极大值点,其函数值 f(x0)为函数的极大值. 2.函数的极小值 在包含 x0的一个区间(a,b)内,函数 y=f(x)在任何一点的函数值都大于 x0点的函数值, 称点 x0为函数 y=f(x)的极小值点,其函数值 f(x0)为函数的极小值.极大值与极小值统称为 极值,极大值点与极小值点统称为极值点. 3.函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. (2)若函数 f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若 函数 f(x)在[a,b]上单调递减,则 f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. 1.如图是 f(x)的导函数 f′(x)的图象,则 f(x)的极小值点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 A 由图象及极值点的定义知,f(x)只有一个极小值点. 2.若函数 f(x)=x3+ax2+3x-9在 x=-3时取得极值,则 a的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选 D f′(x)=3x2+2ax+3,由题意知 f′(-3)=0,即 3×(-3)2+2a×(-3)+3 =0,解得 a=5. 3.(2017·济宁一模)函数 f(x)=1 2 x2-ln x的最小值为( ) A.1 2 B.1 C.0 D.不存在 解析:选 A f′(x)=x-1 x = x2-1 x ,且 x>0.令 f′(x)>0,得 x>1;令 f′(x)<0,得 00), 因为函数 f(x)=1 2 x2-ax+ln x有极值, 令 g(x)=x2-ax+1,且 g(0)=1>0, 所以 a 2 >0, g a 2 =- a2 4 +1<0, 解得 a>2. 答案:(2,+∞) 5.设 x1,x2是函数 f(x)=x3-2ax2+a2x 的两个极值点,若 x1<22, a 3 <2, ∴20可得 x>1或 x<-1, 由 f′(x)<0可得-10且 a≠1),若 f′(1)=-1,则 a=( ) A.e B.1 e C.1 e2 D.1 2 解析:选 B 因为 f′(x)= 1 xln a ,所以 f′(1)= 1 ln a =-1,所以 ln a=-1,所以 a=1 e . 2.直线 y=kx+1与曲线 y=x2+ax+b相切于点 A(1,3),则 2a+b的值为( ) A.-1 B.1 C.2 D.-2 解析:选 C 由曲线 y=x2+ax+b,得 y′=2x+a, 由题意可得 k+1=3, k=2+a, 1+a+b=3, 解得 k=2, a=0, b=2, 所以 2a+b=2. 3.函数 y=2x3-3x2的极值情况为( ) A.在 x=0处取得极大值 0,但无极小值 B.在 x=1处取得极小值-1,但无极大值 C.在 x=0处取得极大值 0,在 x=1处取得极小值-1 D.以上都不对 解析:选 C y′=6x2-6x, 由 y′=6x2-6x>0,可得 x>1或 x<0, 即单调增区间是(-∞,0),(1,+∞). 由 y′=6x2-6x<0,可得 01,所以 m≤1. 5.函数 f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( ) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 解析:选 D 依题意得 f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,令 f′(x)>0,解得 x>2,∴f(x)的单调递增区间是(2,+∞).故选 D. 6.已知函数 f(x)=x(x-m)2在 x=1处取得极小值,则实数 m=( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选 B f(x)=x(x2-2mx+m2)=x3-2mx2+m2x,所以 f′(x)=3x2-4mx+m2=(x -m)(3x-m).由 f′(1)=0可得 m=1或 m=3.当 m=3时,f′(x)=3(x-1)(x-3),当 13时,f′(x)>0,此时在 x=1处取得极大值,不合题意,∴m= 1,此时 f′(x)=(x-1)(3x-1),当 1 3 1时,f′(x)>0,此时 在 x=1处取得极小值.选 B. 7.由曲线 y=x2-1,直线 x=0,x=2和 x轴所围成的封闭图形的面积是( ) A.错误!(x2-1)dx B.错误!|x2-1|dx C.错误!(x2-1)dx D.错误!(x2-1)dx+错误!(1-x2)dx 解析:选 B 作出封闭图形的示意图如图所示, 易得所围成的封闭图形的面积是 S=错误!(1-x2)dx+错误!(x2-1)dx=错误!|x2-1|dx. 8.若函数 f(x)= 1-2x,x≤0, x3-3x+a,x>0 的值域为[0,+∞),则实数 a的取值范围是( ) A.[2,3] B.(2,3] C.(-∞,2] D.(-∞,2) 解析:选 A 当 x≤0时,0≤f(x)=1-2x<1; 当 x>0时,f(x)=x3-3x+a,f′(x)=3x2-3, 当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 所以当 x=1 时,函数 f(x)取得最小值 f(1)=1-3+a=a-2.由题意得 0≤a-2≤1,解 得 2≤a≤3,选 A. 二、填空题 9.若函数 f(x)=x+aln x不是单调函数,则实数 a的取值范围是________. 解析:由题意知 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1+a x ,要使函数 f(x)=x+aln x 不 是单调函数,则需方程 1+a x =0在(0,+∞)上有解,即 x=-a,∴a<0. 答案:(-∞,0) 10.已知函数 f(x)=ln x-f′(-1)x2+3x-4,则 f′(1)=________. 解析:∵f′(x)=1 x -2f′(-1)x+3, ∴f′(-1)=-1+2f′(-1)+3, ∴f′(-1)=-2,∴f′(1)=1+4+3=8. 答案:8 11.已知函数 f(x)的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程是 y=1 2 x+3,则 f(1)+f′(1)= ________. 解析:由题意知 f′(1)=1 2 ,f(1)=1 2 ×1+3=7 2 , ∴f(1)+f′(1)=7 2 + 1 2 =4. 答案:4 12.已知函数 g(x)满足 g(x)=g′(1)ex-1-g(0)x+1 2 x2,且存在实数 x0,使得不等式 2m -1≥g(x0)成立,则实数 m的取值范围为________. 解析:g′(x)=g′(1)ex-1-g(0)+x, 令 x=1时,得 g′(1)=g′(1)-g(0)+1, ∴g(0)=1,g(0)=g′(1)e0-1=1, ∴g′(1)=e, ∴g(x)=ex-x+1 2 x2,g′(x)=ex-1+x, 当 x<0时,g′(x)<0,当 x>0时,g′(x)>0, ∴当 x=0时,函数 g(x)取得最小值 g(0)=1. 根据题意得 2m-1≥g(x)min=1,∴m≥1. 答案:[1,+∞) 三、解答题 13.已知函数 f(x)=x+a x +b(x≠0),其中 a,b∈R. (1)若曲线 y=f(x)在点 P(2,f(2))处的切线方程为 y=3x+1,求函数 f(x)的解析式; (2)讨论函数 f(x)的单调性; (3)若对于任意的 a∈ 1 2 ,2 ,不等式 f(x)≤10在 1 4 ,1 上恒成立,求实数 b的取值范围. 解:(1)f′(x)=1- a x2 (x≠0), 由已知及导数的几何意义得 f′(2)=3,则 a=-8. 由切点 P(2,f(2))在直线 y=3x+1上可得-2+b=7,解得 b=9,所以函数 f(x)的解析 式为 f(x)=x-8 x +9. (2)由(1)知 f′(x)=1- a x2 (x≠0). 当 a≤0时,显然 f′(x)>0,这时 f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上是增函数. 当 a>0时,令 f′(x)=0,解得 x=± a, 当 x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,- a) - a (- a,0) (0, a) ( a,+∞) f′(x) + 0 - - 0 + f(x) 极大值 极小值 所以当 a>0 时,f(x)在(-∞,- a),( a,+∞)上是增函数,在(- a,0),(0, a) 上是减函数. (3)由 (2)知,对于任意的 a∈ 1 2 ,2 ,不等式 f(x)≤10 在 1 4 ,1 上恒成立等价于 f 1 4 ≤10, f1≤10, 即 b≤39 4 -4a, b≤9-a 对于任意的 a∈ 1 2 ,2 成立,从而得 b≤7 4 , 所以实数 b的取值范围是 -∞, 7 4 . 14.已知函数 f(x)=x 4 + a x -ln x-3 2 ,其中 a∈R,且曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线 垂直于直线 y=1 2 x. (1)求 a的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 解:(1)对 f(x)求导,得 f′(x)=1 4 - a x2 - 1 x (x>0),由 f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直 线 y=1 2 x, 知 f′(1)=- 3 4 -a=-2,解得 a=5 4 . (2)由(1)知 f(x)=x 4 + 5 4x -ln x-3 2 , 则 f′(x)=x2-4x-5 4x2 , 令 f′(x)=0,解得 x=-1或 x=5. 因为 x=-1不在 f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去. 当 x∈(0,5)时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,5)内为减函数; 当 x∈(5,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(5,+∞)内为增函数. 由此知函数 f(x)在 x=5时取得极小值 f(5)=-ln 5,无极大值. 高考研究课(一) 导数运算是基点、几何意义是重点、定积分应用是潜考点 [全国卷 5年命题分析] 考点 考查频度 考查角度 导数的几何意义 5年 7考 求切线、已知切线求参数、求切点坐标 定积分 未考查 导数的运算 [典例] (1)(2018·惠州模拟)已知函数 f(x)=1 x cos x,则 f(π)+f′ π 2 =( ) A.- 3 π2 B.- 1 π2 C.- 3 π D.- 1 π (2)已知 f1(x)=sin x+cos x,fn+1(x)是 fn(x)的导函数,即 f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…, fn+1(x)=fn′(x),n∈N*,则 f2 018(x)等于( ) A.-sin x-cos x B.sin x-cos x C.sin x+cos x D.cos x-sin x (3)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(1)+ln x,则 f′(1)=( ) A.-e B.-1 C.1 D.e [解析] (1)∵f′(x)=- 1 x2 cos x+1 x (-sin x), ∴f(π)+f′ π 2 =- 1 π + 2 π ·(-1)=- 3 π . (2)∵f1(x)=sin x+cos x, ∴f2(x)=f1′(x)=cos x-sin x, ∴f3(x)=f2′(x)=-sin x-cos x, ∴f4(x)=f3′(x)=-cos x+sin x, ∴f5(x)=f4′(x)=sin x+cos x, ∴fn(x)是以 4为周期的函数, ∴f2 018(x)=f2(x)=cos x-sin x,故选 D. (3)由 f(x)=2xf′(1)+ln x,得 f′(x)=2f′(1)+1 x . ∴f′(1)=2f′(1)+1,则 f′(1)=-1. [答案] (1)C (2)D (3)B [方法技巧] 1.可导函数的求导步骤 (1)分析函数 y=f(x)的结构特点,进行化简; (2)选择恰当的求导法则与导数公式求导; (3)化简整理答案. 2.求导运算应遵循的原则 求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减 少运算量,提高运算速度,减少差错. [即时演练] 1.(2018·江西九校联考)已知 y=(x+1)(x+2)(x+3),则 y′=( ) A.3x2-12x+6 B.x2+12x-11 C.x2+12x+6 D.3x2+12x+11 解析:选 D 法一:y′=(x+2)(x+3)+(x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11. 法二:∵y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6, ∴y′=3x2+12x+11. 2.已知函数 f(x)=xln x,若 f′(x0)=2,则 x0=________. 解析:f′(x)=ln x+1,由 f′(x0)=2, 即 ln x0+1=2,解得 x0=e. 答案:e 导数的几何意义 导数的几何意义为高考热点内容,考查题型多为选择、填空题,也常出现在解答题的 第1问中,难度较低,属中、低档题. 常见的命题角度有: 1求切线方程; 2确定切点坐标; 3已知切线求参数值或范围; 4切线的综合应用. 角度一:求切线方程 1.已知函数 f(x)= ln(1+x)-x+x2,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是 ________. 解析:∵f′(x)= 1 1+x -1+2x,∴f′(1)=3 2 ,f(1)=ln 2,∴曲线 y=f(x)在点(1,f(1)) 处的切线方程为 y-ln 2=3 2 (x-1),即 3x-2y+2ln 2-3=0. 答案:3x-2y+2ln 2-3=0 角度二:确定切点坐标 2.已知函数 f(x)=ex x (x>0),直线 l:x-ty-2=0.若直线 l与曲线 y=f(x)相切,则切点 横坐标的值为________. 解析:由 f(x)=ex x (x>0),得 f′(x)=ex·x-ex x2 = exx-1 x2 (x>0). 当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 根据直线 l的方程 x=ty+2,可得 l恒过点(2,0). ①当 t=0时,直线 l:x=2垂直于 x轴,不与曲线 y=f(x)相切,舍去; ②当 t≠0时,设切点 A(x0,y0),直线 l可化为 y=1 t x-2 t ,斜率 k=1 t =f′(x0)= ex0x0-1 x20 , 又直线 l和曲线 y=f(x)均过点 A(x0,y0),则满足 y0= 1 t x0- 2 t = ex0 x0 , 所以 ex0x0-1 x20 = ex0x0-1 x0·x0 = 1 t x0-2 t ·x0-1 x0 = x0-2 t ·x0-1 x0 = 1 t ,两边约去 t后,可得(x0 -2)·x0-1 x0 =1,化简得 x20-4x0+2=0, 解得 x0=2± 2. 综上所述,切点的横坐标为 2± 2. 答案:2± 2 角度三:已知切线求参数值或范围 3.(2017·武汉一模)已知 a为常数,若曲线 y=ax2+3x-ln x上存在与直线 x+y-1=0 垂直的切线,则实数 a的取值范围是________. 解析:由题意知曲线上存在某点的导数值为 1, 所以 y′=2ax+3-1 x =1有正根, 即 2ax2+2x-1=0有正根. 当 a≥0时,显然满足题意; 当 a<0时,需满足Δ≥0,解得- 1 2 ≤a<0. 综上,a≥- 1 2 . 答案: - 1 2 ,+∞ 4.若两曲线 y=x2-1与 y=aln x-1存在公切线,则正实数 a的取值范围是________. 解析:设 y=aln x-1的切点为(x0,y0),求导 y′= a x , 则切线的斜率为 a x0 , 所以公切线方程为 y-(aln x0-1)= a x0 (x-x0), 联立方程 y=x2-1可得 x2- a x0 x+a-aln x0=0, 由题意,可得Δ= - a x0 2-4(a-aln x0)=0, 则 a=4x20(1-ln x0). 令 f(x)=4x2(1-ln x)(x>0),则 f′(x)=4x(1-2ln x), 易知,函数 f(x)=4x2(1-ln x)在(0, e)上是增函数,在( e,+∞)上是减函数, 所以函数 f(x)=4x2(1-ln x)的最大值是 f( e)=2e, 则正实数 a的取值范围是(0,2e]. 答案:(0,2e] 角度四:切线的综合应用 5.已知函数 f(x)=mln(x+1),g(x)= x x+1 (x>-1). (1)讨论函数 F(x)=f(x)-g(x)在(-1,+∞)上的单调性; (2)若 y=f(x)与 y=g(x)的图象有且仅有一条公切线,试求实数 m的值. 解:(1)F′(x)=f′(x)-g′(x)= m x+1 - 1 x+12 = mx+1-1 x+12 (x>-1), 当 m≤0时,F′(x)<0,函数 F(x)在(-1,+∞)上单调递减. 当 m>0时,由 F′(x)<0,得-10,得 x>-1+1 m ,所以函数 F(x)在 -1+1 m ,+∞ 上单调递增. 综上所述,当 m≤0时,函数 F(x)在(-1,+∞)上单调递减, 当 m>0时,函数 F(x)在 -1,-1+1 m 上单调递减,在 -1+1 m ,+∞ 上单调递增. (2)函数 f(x)=mln(x+1)在点(a,mln(a+1))处的切线方程为 y-mln(a+1)= m a+1 (x-a), 即 y= m a+1 x+mln(a+1)- ma a+1 . 函数 g(x)= x x+1 在点 b, b b+1 处的切线方程为 y- b b+1 = 1 b+12 (x-b), 即 y= 1 b+12 x+ b2 b+12 . 因 为 y = f(x) 与 y = g(x) 的 图 象 有 且 仅 有 一 条 公 切 线 , 即 m a+1 = 1 b+12 , ① mlna+1- ma a+1 = b2 b+12 , ② 所以有唯一数对(a,b),满足这个方程组, 由①得 a+1=m(b+1)2,代入②消去 a整理得:2mln(b+1)+ 2 b+1 +mln m-m-1=0, 关于 b(b>-1)的方程有唯一的解, 令 h(b)=2mln(b+1)+ 2 b+1 +mln m-m-1, 则 h′(b)= 2m b+1 - 2 b+12 = 2[mb+1-1] b+12 , 方程组有解时,m>0,所以 h(b)在 -1,-1+1 m 上单调递减,在 -1+1 m ,+∞ 上单 调递增, 所以 h(b)min=h -1+1 m =m-mln m-1, 因为 b→+∞,h(b)→+∞,b→-1,h(b)→+∞, 所以只需 m-mln m-1=0. 令 p(m)=m-mln m-1,则 p′(m)=-ln m在 m>0时为单调递减函数,且 m=1时, p′(m)=0. 所以 p(m)max=p(1)=0, 所以 m=1时,关于 b(b>-1)的方程 2mln(b+1)+ 2 b+1 +mln m-m-1=0有唯一解, 此时 a=b=0,公切线为 y=x. [方法技巧] 利用导数解决切线问题的方法 (1)已知切点 A(x0,f(x0))求斜率 k,即求该点处的导数值:k=f′(x0). (2)已知斜率 k,求切点 A(x1,f(x1)),即解方程 f′(x1)=k. (3)已知过某点M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为 k时,常需设出切点 A(x0,f(x0)), 利用 k=fx1-fx0 x1-x0 求解. 定积分及应用 [典例] (1)(2018·东营模拟)设 f(x)= x2,x∈[0,1], 2-x,x∈1,2], 则 错误!f(x)dx等于( ) A.3 4 B.4 5 C.5 6 D.不存在 (2)设 f(x)= 1-x2,x∈[-1,1, x2-1,x∈[1,2], 则 错误!f(x)dx的值为( ) A.π 2 + 4 3 B.π 2 +3 C.π 4 + 4 3 D.π 4 +3 (3)设 a>0,若曲线 y= x与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积为 a2,则 a= ________. [解析] (1)如图,错误!f(x)dx=错误!x2dx+错误!(2-x)dx=1 3 x3|1 0 + 2x-1 2 x2 |2 1 = 1 3 + 4-2-2+1 2 = 5 6 . (2) 错误!f(x)dx=错误! 1-x2dx+错误!(x2-1)dx, 因为错误! 表示圆心在原点,半径为 1的上半圆的面积,则 错误! 1-x2dx=π 2 ; 错误! (x2-1)dx= 1 3 x3-x 21= 4 3 , 所以 错误!f(x)dx=π 2 + 4 3 . (3)封闭图形如图所示, 则 错误! xdx=2 3 x 3 2 |a 0 = 2 3 a 3 2 -0=a2,解得 a=4 9 . [答案] (1)C (2)A (3)4 9 [方法技巧] 求定积分的 2种方法及注意事项 (1)定理法 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点: ①对被积函数要先化简,再求积分; ②求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求 和; ③对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值符号再求积分; ④注意用“F′(x)=f(x)”检验积分的对错. (2)面积法 根据定积分的几何意义可利用面积求定积分. [即时演练] 1.(2018·西安调研)定积分错误!(2x+ex)dx的值为( ) A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1 解析:选 C 错误!(2x+ex)dx=(x2+ex)10=1+e1-1=e.故选 C. 2.直线 y=2x+3与抛物线 y=x2所围成封闭图形的面积为________. 解析: 如图,由方程组 y=2x+3, y=x2, 可得 x1=-1,x2=3,故所求图形面积为 S=错误! [(2x +3)-x2]dx=错误!-1(2x+3)dx-错误!x2dx=(x2+3x) | 3 -1 - 1 3 x3| 3 -1 = 32 3 . 答案: 32 3 3.如图,在长方形 OABC内任取一点 P,则点 P落在阴影部分的概率为________. 解析:由图知长方形 OABC的面积为 e; 函数 y=ax过点(1,e),则 a=e,所以曲线的方程为 y=ex,A,D在直线 y=1-x上, 所以阴影部分的面积 S=错误!(ex+x-1)dx= ex+1 2 x2-x 10=e-3 2 , 所以在长方形 OABC内任取一点 P,则点 P落在阴影部分的概率 P= e-3 2 e =1- 3 2e . 答案:1- 3 2e 1.(2014·全国卷Ⅱ)设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选 D y′=a- 1 x+1 ,由题意得 y′x=0=2,即 a-1=2,所以 a=3. 2.(2017·全国卷Ⅰ)曲线 y=x2+1 x 在点(1,2)处的切线方程为________. 解析:因为 y′=2x- 1 x2 ,所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为 y′|x=1=2×1- 1 12 =1, 所以切线方程为 y-2=x-1,即 x-y+1=0. 答案:x-y+1=0 3.(2016·全国卷Ⅱ)若直线 y=kx+b是曲线 y=ln x+2 的切线,也是曲线 y=ln(x+1) 的切线,则 b=________. 解析:y=ln x+2的切线方程为: y= 1 x1 ·x+ln x1+1(设切点横坐标为 x1), y=ln(x+1)的切线方程为: y= 1 x2+1 x+ln(x2+1)- x2 x2+1 (设切点的横坐标为 x2), ∴ 1 x1 = 1 x2+1 , ln x1+1=lnx2+1- x2 x2+1 , 解得 x1= 1 2 ,x2=- 1 2 , ∴b=ln x1+1=1-ln 2. 答案:1-ln 2 4.(2015·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7), 则 a=________. 解析:∵f′(x)=3ax2+1, ∴f′(1)=3a+1.又 f(1)=a+2, ∴切线方程为 y-(a+2)=(3a+1)(x-1). ∵切线过点(2,7), ∴7-(a+2)=3a+1,解得 a=1. 答案:1 5.(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,则 a=________. 解析:∵y=x+ln x, ∴y′=1+1 x ,y′x=1=2. ∴曲线 y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1. ∵y=2x-1与曲线 y=ax2+(a+2)x+1相切, ∴a≠0(当 a=0时曲线变为 y=2x+1与已知直线平行). 由 y=2x-1, y=ax2+a+2x+1, 消去 y, 得 ax2+ax+2=0. 由Δ=a2-8a=0,解得 a=8. 答案:8 一、选择题 1.若 a=错误!xdx,则二项式 x-a+1 x 6展开式中的常数项是( ) A.20 B.-20 C.-540 D.540 解析:选 C a=错误!xdx=1 2 x| 2 0 =2,则 x-3 x 6展开式的通项 Tr+1=(-3)rCr6x6-2r,令 6-2r=0可得 r=3,则常数项是 T4=(-3)3C36=-540. 2.(2018·衡水调研)曲线 y=1- 2 x+2 在点(-1,-1)处的切线方程为( ) A.y=2x+1 B.y=2x-1 C.y=-2x-3 D.y=-2x-2 解析:选 A ∵y=1- 2 x+2 = x x+2 , ∴y′= x+2-x x+22 = 2 x+22 ,y′|x=-1=2, ∴曲线在点(-1,-1)处的切线斜率为 2, ∴所求切线方程为 y+1=2(x+1), 即 y=2x+1. 3.(2018·济南一模)已知曲线 f(x)=ln x的切线经过原点,则此切线的斜率为( ) A.e B.-e C.1 e D.- 1 e 解析:选 C 法一:∵f(x)=ln x,x∈(0,+∞), ∴f′(x)=1 x . 设切点 P(x0,ln x0), 则切线的斜率为 k=f′(x0)= 1 x0 =kOP=ln x0 x0 . ∴ln x0=1,∴x0=e,∴k= 1 x0 = 1 e . 法二:(数形结合法):在同一坐标系下作出 y=ln x及曲线 y=ln x 经过原点的切线,由 图可知,切线的斜率为正,且小于 1,故选 C. 4.已知 f(x)=ln x,g(x)=1 2 x2+mx+7 2 (m<0),直线 l与函数 f(x),g(x)的图象都相切, 且与 f(x)图象的切点为(1,f(1)),则 m的值为( ) A.-1 B.-3 C.-4 D.-2 解析:选 D ∵f′(x)=1 x , ∴直线 l的斜率为 k=f′(1)=1. 又 f(1)=0, ∴直线 l的方程为 y=x-1. g′(x)=x+m,设直线 l与 g(x)的图象的切点为(x0,y0), 则有 x0+m=1,y0=x0-1, 又因为 y0= 1 2 x20+mx0+ 7 2 (m<0), 解得 m=-2,故选 D. 5.(2018·南昌二中模拟)设点 P是曲线 y=x3- 3x+2 3 上的任意一点,P点处切线倾斜 角α的取值范围为( ) A. 0,π 2 ∪ 5π 6 ,π B. 2π 3 ,π C. 0,π 2 ∪ 2π 3 ,π D. π 2 , 5π 6 解析:选 C 因为 y′=3x2- 3≥- 3,故切线斜率 k≥- 3,所以切线倾斜角α的取 值范围是 0,π 2 ∪ 2π 3 ,π . 6.已知曲线 y= 1 ex+1 ,则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( ) A.x+4y-2=0 B.x-4y+2=0 C.4x+2y-1=0 D.4x-2y-1=0 解析:选 A y′= -ex ex+12 = -1 ex+1 ex +2 ,因为 ex>0,所以 ex+1 ex ≥2 ex×1 ex =2(当且 仅当 ex=1 ex ,即 x=0时取等号),则 ex+1 ex +2≥4,故 y′= -1 ex+1 ex +2 ≥- 1 4 (当 x=0时取等 号).当 x=0时,曲线的切线斜率取得最大值,此时切点的坐标为 0,1 2 ,切线的方程为 y - 1 2 =- 1 4 (x-0),即 x+4y-2=0.故选 A. 二、填空题 7.若 a 和 b是计算机在区间(0,2)上产生的随机数,那么函数 f(x)=lg(ax2+4x+4b)的 值域为 R的概率为________. 解析:由题意知 00, Δ=16-16ab≥0, 化简可得 a>0, ab≤1, 如图所示, 不等式 a>0, b>0, ab≤1 所表示的图形的面积 S=2×1 2 +错误!1 2 1 a da=1+ln a21 2 =1+2ln 2, 所以所求事件的概率为 1+2ln 2 4 . 答案: 1+2ln 2 4 8.已知函数 f(x)=eax+bx(a<0)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=5x+1,且 f(1)+f′(1) =12.则 a,b的值分别为________. 解析:f(x)=eax+bx,那么 f′(x)=aeax+b, 由 f′0=5, f1+f′1=12, 得 a+b=5, aea+b+b+ea=12, 化简得(ea-2)(a+1)=0, 由 a<0,得 a=-1,b=6. 答案:-1,6 9.(2017·东营一模)函数 f(x)=xln x在点 P(x0,f(x0))处的切线与直线 x+y=0垂直,则 切点 P(x0,f(x0))的坐标为________. 解析:∵f(x)=xln x, ∴f′(x)=ln x+1, 由题意得 f′(x0)·(-1)=-1, 即 f′(x0)=1⇔ln x0+1=1⇔ln x0=0⇔x0=1, ∴f(x0)=1·ln 1=0, ∴P(1,0). 答案:(1,0) 10.设过曲线 f(x)=-ex-x(e 为自然对数的底数)上的任意一点的切线为 l1,总存在过 曲线 g(x)=mx-3sin x上的一点处的切线 l2,使 l1⊥l2,则 m的取值范围是________. 解析:设曲线 f(x)上任意一点 A(x1,y1),曲线 g(x)上存在一点 B(x2,y2),f′(x)=-ex -1,g′(x)=m-3cos x. 由题意可得 f′(x1)g′(x2)=-1,且 f′(x1)=-ex1-1∈(-∞,-1),g′(x2)=m-3cos x2∈[m-3,m+3]. 因为过曲线 f(x)=-ex-x(e 为自然对数的底数)上的任意一点的切线为 l1,总存在过曲 线 g(x)=mx-3sin x上的一点处的切线 l2,使 l1⊥l2, 所以(0,1)⊆[m-3,m+3],所以 m-3≤0,且 m+3≥1,解得-2≤m≤3. 答案:[-2,3] 三、解答题 11.已知函数 f(x)=1 3 x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线 C. (1)求过曲线 C上任意一点切线斜率的取值范围; (2)若在曲线 C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线 C的切点的横坐标 的取值范围. 解:(1)由题意得 f′(x)=x2-4x+3, 则 f′(x)=(x-2)2-1≥-1, 即过曲线 C上任意一点切线斜率的取值范围是[-1,+∞). (2)设曲线 C的其中一条切线的斜率为 k, 则由题意,及(1)可知, k≥-1, - 1 k ≥-1, 解得-1≤k<0或 k≥1, 故由-1≤x2-4x+3<0或 x2-4x+3≥1, 得 x∈(-∞,2- 2]∪(1,3)∪[2+ 2,+∞). 12.已知函数 f(x)=1 2 x2-ax+(3-a)ln x,a∈R. (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线 2x-y+1=0垂直,求 a的值; (2)设 f(x)有两个极值点 x1,x2,且 x1-5. 解:(1)∵f′(x)=x-a+3-a x = x2-ax+3-a x , ∴f′(1)=4-2a, 由题意知 4-2a=- 1 2 ,解得 a=9 4 . (2)证明:由题意知,x1,x2为 f′(x)=0的两根, ∴ Δ=a2-43-a>0, a>0, 3-a>0, ∴20,故 h′(a)在(2,3)上递增. 又 h′(2)=-2<0,a→3时,h′(a)→+∞, ∴∃a0∈(2,3),当 a∈(2,a0)时,h(a)递减,当 a∈(a0,3)时,h(a)递增, ∴h(a)min=h(a0)=- 1 2 a20+a0-3+(3-a0)·(-a0)= 1 2 a20-2a0-3=1 2 (a0-2)2-5>-5, ∴∀a∈(2,3),h(a)>-5, 综上,f(x1)+f(x2)>-5. 1.(2018·广东七校联考)已知函数 y=x2的图象在点(x0,x20)处的切线为 l,若 l也与函数 y=ln x,x∈(0,1)的图象相切,则 x0必满足( ) A.01, 设切点为(t,ln t), 则切线 l的方程为 y=1 t x+ln t-1, 因为函数 y=x2的图象在点(x0,x20)处的切线 l的斜率为 2x0, 则切线方程为 y=2x0x-x20, 因为 l也与函数 y=ln x,x∈(0,1)的图象相切, 则有 2x0=1 t , x20=1-ln t, 则 1+ln 2x0=x20,x0∈(1,+∞). 令 g(x)=x2-ln 2x-1,x∈(1,+∞), 所以该函数的零点就是 x0,则排除 A、B; 又因为 g′(x)=2x-1 x = 2x2-1 x >0, 所以函数 g(x)在(1,+∞)上单调递增. 又 g(1)=-ln 2<0,g( 2)=1-ln 2 2<0,g( 3)=2-ln 2 3>0, 从而 22), 则φ(M,N)= |3x21-3x22| x1-x22+x31+2-x32-22 = |3x21-3x22| x1-x22[1+x21+x1x2+x222] = 3|x1-x2|·|x1+x2| |x1-x2| 1+[x1+x22-x1x2]2 = 3|x1+x2| 1+[x1+x22-1]2 = 3|t| 1+t2-12 = 3 t2+2 t2 -2 . 设 g(x)=x+2 x ,x>4,则 g′(x)=1- 2 x2 >0,所以 g(x)在(4,+∞)上单调递增,所以 g(x)>g(4) = 9 2 . 所以 t2+2 t2 -2>5 2 , 所以 0<φ(M,N)<3 10 5 . 答案: 0,3 10 5 高考研究课二函数单调性必考,导数工具离不了 [全国卷 5年命题分析] 考点 考查频度 考查角度 函数单调性 5年 6考 讨论单调性及证明单调性问题 函数单调性的判断 [典例] (2016·山东高考节选)已知 f(x)=a(x-ln x)+2x-1 x2 ,a∈R,讨论 f(x)的单调性. [解] f(x)的定义域为(0,+∞), f′(x)=a-a x - 2 x2 + 2 x3 = ax2-2x-1 x3 . 当 a≤0,x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增; x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减. 当 a>0时,f′(x)=ax-1 x3 x- 2 a x+ 2 a . ①若 0<a<2,则 2 a >1, 当 x∈(0,1)或 x∈ 2 a,+∞ 时, f′(x)>0,f(x)单调递增; 当 x∈ 1, 2 a 时,f′(x)<0,f(x)单调递减. ②若 a=2,则 2 a =1,在 x∈(0,+∞)内,f′(x)≥0,f(x)单调递增. ③若 a>2,则 0< 2 a <1, 当 x∈ 0, 2 a 或 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当 x∈ 2 a,1 时,f′(x)<0,f(x)单调递减. 综上所述,当 a≤0时,f(x)在(0,1)内单调递增, 在(1,+∞)内单调递减; 当 0<a<2时,f(x)在(0,1)内单调递增,在 1, 2 a 内单调递减,在 2 a,+∞ 内 单调递增; 当 a=2时,f(x)在(0,+∞)内单调递增; 当 a>2时,f(x)在 0, 2 a 内单调递增,在 2 a,1 内单调递减,在(1,+∞)内单 调递增. [方法技巧] 导数法判断函数 f(x)在(a,b)内单调性的步骤 (1)求 f′(x); (2)确定 f′(x)在(a,b)内的符号; (3)作出结论:f′(x)>0时为增函数;f′(x)<0时为减函数. [提醒] 研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行 分类讨论. [即时演练] 1.(2017·芜湖一模)函数 f(x)=ex-ex,x∈R的单调递增区间是( ) A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(-∞,1) D.(1,+∞) 解析:选 D 由题意知,f′(x)=ex-e,令 f′(x)>0,解得 x>1,故选 D. 2.(2016·全国卷Ⅱ节选)讨论函数 f(x)=x-2 x+2 ex的单调性,并证明当 x>0 时,(x-2)ex +x+2>0. 解:f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞). f′(x)=x-1x+2ex-x-2ex x+22 = x2ex x+22 ≥0, 当且仅当 x=0时,f′(x)=0,所以 f(x)在(-∞,-2),(-2,+∞)上单调递增. 因此当 x∈(0,+∞)时,f(x)>f(0)=-1. 所以(x-2)ex>-(x+2),即(x-2)ex+x+2>0. 利用导数研究函数单调性的应用 函数的单调性是高考命题的重点,其应用是考查热点.,常见的命题角度有: 1y=fx与 y=f′x的图象辨识; 2比较大小; 3已知函数单调性求参数的取值范围; 4构造函数解不等式. 角度一:y=f(x)与 y=f′(x)的图象辨识 1.已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d,若函数 f(x)的图象如图所示, 则一定有( ) A.b>0,c>0 B.b<0,c>0 C.b>0,c<0 D.b<0,c<0 解析:选 B 由函数的图象与 y 轴的交点在原点的上方可知,d>0,f′(x)=3ax2+2bx +c,由函数的图象可知,函数 f(x)有两个极值点,且先增,再减,最后增,所以方程 f′(x) =0有两个大于 0不同的实根,且 a>0,由根与系数的关系可得- 2b 3a >0,c 3a >0,则 b<0,c>0. 2.已知函数 y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数 y=f′(x) 的图象如图所示,则该函数的图象是( ) 解析:选 B 由函数 f(x)的导函数 y=f′(x)的图象自左至右是先增后减,可知函数 y= f(x)图象的切线的斜率自左至右先增大后减小. 角度二:比较大小 3.设定义在 R上的函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(2-x)=f(x),f′x x-1 <0,若 x1 +x2>2,x1f(x2) D.f(x1)与 f(x2)的大小不能确定 解析:选 C 由 f(2-x)=f(x),可得函数 f(x)的图象关于直线 x=1对称, 当 x>1时,x-1>0,因为 f′x x-1 <0,所以 f′(x)<0, 所以函数 f(x)在(1,+∞)上是减函数,在(-∞,1)上是增函数. 因为 x1+x2>2,x1f(x2). 角度三:已知函数单调性求参数的取值范围 4.(2018·宝鸡一检)已知函数 f(x)=x2+4x+aln x,若函数 f(x)在(1,2)上是单调函数,则 实数 a的取值范围是( ) A.(-6,+∞) B.(-∞,-16) C.(-∞,-16]∪[-6,+∞) D.(-∞,-16)∪(-6,+∞) 解析:选 C ∵f(x)的定义域为(0,+∞), f′(x)=2x+4+a x = 2x2+4x+a x , f(x)在(1,2)上是单调函数, ∴f′(x)≥0或 f′(x)≤0在(1,2)上恒成立, 即 2x2+4x+a≥0或 2x2+4x+a≤0在(1,2)上恒成立, 即 a≥-(2x2+4x)或 a≤-(2x2+4x)在(1,2)上恒成立. 记 g(x)=-(2x2+4x),1<x<2, 则-16<g(x)<-6, ∴a≥-6或 a≤-16,故选 C. 5.(2018·成都模拟)已知函数 f(x)=- 1 2 x2+4x-3ln x 在区间[t,t+1]上不单调,则 t 的取值范围是________. 解析:由题意知 f′(x)=-x+4-3 x =- x-1x-3 x ,由 f′(x)=0 得函数 f(x)的两个极 值点为 1和 3,则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数 f(x)在区间[t,t+1]上 就不单调, ∴1∈(t,t+1)或 3∈(t,t+1)⇔ t<1, t+1>1 或 t<3, t+1>3 ⇔0<t<1或 2<t<3. 答案:(0,1)∪(2,3) [方法技巧] 由函数的单调性求参数的范围的方法 (1)可导函数 f(x)在 D 上单调递增(或递减)求参数范围问题,可转化为 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)对 x∈D恒成立问题,再参变分离,转化为求最值问题,要注意“=”是否取到. (2)可导函数在某一区间上存在单调区间,实际上就是 f′(x)>0(或 f′(x)<0)在该区间 上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题. (3)若已知 f(x)在区间 I上的单调性,区间 I中含有参数时,可先求出 f(x)的单调区间, 令 I是其单调区间的子集,从而可求出参数的取值范围. (4)若已知 f(x)在 D上不单调,则 f(x)在 D上有极值点,且极值点不是 D的端点. 角度四:构造函数解不等式 6.设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f′(x)g(x)+ f(x)g′(x)>0,且 g(3)=0.则不等式 f(x)g(x)<0的解集是( ) A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) 解析:选 D 令 h(x)=f(x)g(x),h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0(x<0),所以函数 h(x) =f(x)g(x)在(-∞,0)上是增函数,又因为 f(x),g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数, 所以 h(x)=f(x)g(x)是 R上的奇函数,所以函数 h(x)=f(x)g(x)在(0,+∞)上是增函数,又因 为 g(3)=0,所以 h(3)=h(-3)=0,所以不等式 f(x)g(x)<0的解集是(-∞,-3)∪(0,3). 7.设函数 f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数,其导函数为 f′(x),且有 2f(x)+ xf′(x)>x2,则不等式(x+2 018)2f(x+2 018)-f(-1)<0的解集为________. 解析:令 g(x)=x2f(x),由 2f(x)+xf′(x)>x2(x<0),得 g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)=x[2f(x) +xf′(x)]1 时,f′(x)=k-1 x ≥0 恒成立,即 k≥1 x 在区间(1,+∞)上恒成立.因为 x>1,所以 0<1 x <1,所以 k≥1.故选 D. 3.(2017·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=ex(ex-a)-a2x. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)≥0,求 a的取值范围. 解:(1)函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞), f′(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a). ①若 a=0,则 f(x)=e2x在(-∞,+∞)上单调递增. ②若 a>0,则由 f′(x)=0,得 x=ln a. 当 x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0; 当 x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0. 故 f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增. ③若 a<0,则由 f′(x)=0,得 x=ln - a 2 . 当 x∈ -∞,ln - a 2 时,f′(x)<0; 当 x∈ ln - a 2 ,+∞ 时,f′(x)>0. 故 f(x)在 -∞,ln - a 2 上单调递减, 在 ln - a 2 ,+∞ 上单调递增. (2)①若 a=0,则 f(x)=e2x,所以 f(x)≥0. ②若 a>0,则由(1)得,当 x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为 f(ln a)=-a2ln a. 从而当且仅当-a2ln a≥0,即 0<a≤1时,f(x)≥0. ③若 a<0,则由(1)得,当 x=ln - a 2 时,f(x)取得最小值,最小值为 f ln - a 2 = a2 3 4 -ln - a 2 .从而当且仅当 a2 3 4 -ln - a 2 ≥0, 即-2e3 4 ≤a<0时,f(x)≥0. 综上,a的取值范围是 -2e3 4 ,1 . 一、选择题 1.已知函数 f(x)=ln x+x2-3x(a∈R),则函数 f(x)的单调递增区间为( ) A. -∞, 1 2 B.(1,+∞) C. -∞, 1 2 和(1,+∞) D. 0,1 2 和(1,+∞) 解析:选 D f′(x)=2x2-3x+1 x (x>0),令 f′(x)=0,得 x=1 2 或 x=1,当 01 时,f′(x)>0,所以 f(x)的单调递增区间为 0,1 2 和(1,+∞). 2.(2017·浙江高考)函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)的 图象可能是( ) 解析:选 D 由 f′(x)的图象知,f′(x)的图象有三个零点,故 f(x)在这三个零点处取 得极值,排除 A、B;记导函数 f′(x)的零点从左到右分别为 x1,x2,x3,因为在(-∞,x1) 上 f′(x)<0,在(x1,x2)上 f′(x)>0,所以函数 f(x)在(-∞,x1)上单调递减,排除 C,故选 D. 3.对于 R上可导的任意函数 f(x),若满足 1-x f′x ≤0,则必有( ) A.f(0)+f(2)>2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1) C.f(0)+f(2)<2f(1) D.f(0)+f(2)≥2f(1) 解析:选 A 当 x<1 时,f′(x)<0,此时函数 f(x)单调递减,当 x>1时,f′(x)>0, 此时函数 f(x)单调递增, ∴当 x=1时,函数 f(x)取得极小值同时也取得最小值, 所以 f(0)>f(1),f(2)>f(1),则 f(0)+f(2)>2f(1). 4.已知函数 f(x)=xsin x,x1,x2∈ - π 2 , π 2 ,且 f(x1)<f(x2),那么( ) A.x1-x2>0 B.x1+x2>0 C.x21-x22>0 D.x21-x22<0 解析:选 D 由 f(x)=xsin x得 f′(x)=sin x+xcos x=cos x(tan x+x),当 x∈ 0,π 2 时, f′(x)>0,即 f(x)在 0,π 2 上为增函数,又 f(-x)=-xsin(-x)=xsin x,因而 f(x)为偶函数, ∴当 f(x1)<f(x2)时,有 f(|x1|)<f(|x2|),∴|x1|<|x2|,x21-x22<0,故选 D. 5.(2017·吉林长春三模)定义在 R上的函数 f(x)满足:f′(x)>f(x)恒成立,若 x1<x2, 则 ex1f(x2)与 ex2f(x1)的大小关系为( ) A.ex1f(x2)>ex2f(x1) B.ex1f(x2)<ex2f(x1) C.ex1f(x2)=ex2f(x1) D.ex1f(x2)与 ex2f(x1)的大小关系不确定 解析:选 A 设 g(x)=fx ex ,则 g′(x)=f′xex-fxex ex2 = f′x-fx ex ,由题意知 g′(x) >0,所以 g(x)单调递增,当 x1<x2时,g(x1)<g(x2),即 fx1 ex1 < fx2 ex2 ,所以 ex1f(x2)>ex2f(x1). 6.已知定义在 R上的函数 y=f(x)满足条件 f(x+4)=-f(x),且函数 y=f(x+2)是偶函 数,当 x∈(0,2]时,f(x)=ln x-ax a>1 2 ,当 x∈[-2,0)时,f(x)的最小值为 3,则 a 的值为 ( ) A.e2 B.e C.2 D.1 解析:选 A 因为函数 y=f(x+2)是偶函数,即对称轴为 x=0, 所以函数 y=f(x)的对称轴为 x=2, 当 x∈[2,4)时,4-x∈(0,2], 所以 f(x)=f(4-x)=ln(4-x)-a(4-x). 因为 f(x+4)=-f(x), 所以 x∈[-2,0)时,x+4∈[2,4), f(x)=-f(x+4)=-ln[4-(x+4)]+a[4-(x+4)] =-ln(-x)-ax, 所以 f′(x)=- 1 x -a,令 f′(x)=0,得 x=- 1 a , 因为 a>1 2 ,所以- 1 a ∈(-2,0), 当-2≤x<-1 a 时,f′(x)<0,当- 1 a 0, 所以 f(x)在 -2,- 1 a 上是减函数,在 - 1 a ,0 上是增函数, 所以当 x=- 1 a 时,f(x)取得最小值 f - 1 a =-ln 1 a +1, 因为 f(x)在[-2,0)上的最小值为 3, 所以-ln 1 a +1=3,解得 a=e2. 二、填空题 7.设函数 f(x)=x(ex-1)-1 2 x2,则函数 f(x)的单调增区间为________. 解析:因为 f(x)=x(ex-1)-1 2 x2,所以 f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).令 f′(x)>0, 即(ex-1)·(x+1)>0,解得 x∈(-∞,-1)或 x∈(0,+∞).所以函数 f(x)的单调增区间为(- ∞,-1)和(0,+∞). 答案:(-∞,-1)和(0,+∞) 8.已知函数 f(x)=xln x-ax2-x.若函数 f(x)在定义域上为减函数,则实数 a的取值范 围是________. 解析:由题意可知函数 f(x)的定义域为(0,+∞). f′(x)=ln x-2ax,因为函数 f(x)在定义域上为减函数, 所以 ln x-2ax≤0,即 a≥ln x 2x 在(0,+∞)上恒成立, 令 g(x)=ln x 2x ,则 g′(x)=1-ln x 2x2 , 当 00;当 x>e时,g′(x)<0, 所以 g(x)max=g(e)= 1 2e , 所以 a≥ 1 2e . 答案: 1 2e ,+∞ 9.(2018·兰州诊断)若函数 f(x)=x2-ex-ax在 R上存在单调递增区间,则实数 a的取 值范围是________. 解析:∵f(x)=x2-ex-ax,∴f′(x)=2x-ex-a, ∵函数 f(x)=x2-ex-ax在 R上存在单调递增区间, ∴f′(x)=2x-ex-a≥0有解,即 a≤2x-ex有解, 设 g(x)=2x-ex,则 g′(x)=2-ex, 令 g′(x)=0,解得 x=ln 2, 则当 x<ln 2时,g′(x)>0,g(x)单调递增, 当 x>ln 2时,g′(x)<0,g(x)单调递减, ∴当 x=ln 2时,g(x)取得最大值,且 g(x)max=g(ln 2)=2ln 2-2,∴a≤2ln 2-2. 答案:(-∞,2ln 2-2] 三、解答题 10.已知函数 f(x)=x-2 x +1-aln x,a>0.讨论 f(x)的单调性. 解:由题意知,f(x)的定义域是(0,+∞),导函数 f′(x)=1+ 2 x2 - a x = x2-ax+2 x2 . 设 g(x)=x2-ax+2,二次方程 g(x)=0的判别式Δ=a2-8. ①当Δ≤0,即 0<a≤2 2时,对一切 x>0都有 f′(x)≥0. 此时 f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数. ②当Δ>0,即 a>2 2时,方程 g(x)=0 有两个不同的实根 x1= a- a2-8 2 ,x2= a+ a2-8 2 ,0<x1<x2. 由 f′(x)>0,得 0x2. 由 f′(x)<0,得 x10, 所以 g(x)在[a,+∞)上为增函数. 令 h(x)=1 3 x3-x+a,则 h′(x)=x2-1. 令 h′(x)=0,得 x=±1,所以 h(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,在(-1,1)上 为减函数. (1)因为 f(x)在 R上是增函数,所以 h(x)在(-∞,a)上为增函数,所以 a≤-1. 故 a的取值范围为(-∞,-1]. (2)因为函数 f(x)在 R上不单调,所以 a>-1. 当-10)图象的两条不同切线,求实数 a 的取值 范围. 解:(1)f′(x)=-ax2+x+a-1 x = -[ax+a-1]x-1 x . ①当 a=1 2 时,f′(x)≤0,此时,f(x)在(0,+∞)上是减函数. ②当 a≤0时,由 f′(x)>0,得 x>1; 由 f′(x)<0,得 00,得 11 a -1. 此时,f(x)在(0,1)和 1 a -1,+∞ 上是减函数,在 1,1 a -1 上是增函数. (2)y=- 1 3 x3+a 2 x2-2x,y′=-x2+ax-2,设点 P t,- 1 3 t3+a 2 t2-2t (t>0)是函数 y=g(x) -f(x)图象上的切点,则过点 P的切线的斜率为 k=-t2+at-2, 所以过点 P的切线方程为 y+1 3 t3-a 2 t2+2t=(-t2+at-2)(x-t). 因为点 0,- 1 3 在切线上, 所以- 1 3 + 1 3 t3-a 2 t2+2t=(-t2+at-2)(0-t), 即 2 3 t3-1 2 at2+1 3 =0. 若过点 0,- 1 3 可作函数 y=g(x)-f(x)图象的两条不同切线, 则方程 2 3 t3-1 2 at2+1 3 =0有两个不同的正数解. 令 h(x)=2 3 x3-1 2 ax2+1 3 ,则函数 y=h(x)与 x轴正半轴有两个不同的交点. 令 h′(x)=2x2-ax=0,解得 x=0或 x=a 2 . 因为 h(0)=1 3 ,h a 2 =- 1 24 a3+1 3 , 所以必须 a>0,且 h a 2 =- 1 24 a3+1 3 <0,解得 a>2. 所以实数 a的取值范围为(2,+∞). 高考研究课(三) 极值、最值两考点,利用导数巧推演 [全国卷 5年命题分析] 考点 考查频度 考查角度 极值 5年 6考 求极值、由极值求参数 最值 5年 5考 求最值、证明最值的存在性 运用导数解决函数的极值问题 函数的极值是每年高考的必考内容,题型既有选择题、填空题,也有解答题,难度适 中,为中高档题. 常见的命题角度有: 1知图判断函数极值; 2已知函数求极值; 3已知极值求参数值或范围. 角度一:知图判断函数极值 1.(2018·赤峰模拟 )设函数 f(x)在定义域 R 上可导,其导函数为 f′(x),若函数 y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成 立的是( ) A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1) C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) D.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2) 解析:选 D 由题图可知,当 x<-2时,f′(x)>0;当 x=-2时,f′(x)=0;当-2 <x<1时,f′(x)<0;当 1<x<2时,f′(x)<0;当 x=2时,f′(x)=0;当 x>2时,f′(x) >0.由此可得函数 f(x)在 x=-2处取得极大值,在 x=2处取得极小值.故选 D. 角度二:已知函数求极值 2.已知函数 f(x)=x-1+a ex (a∈R,e为自然对数的底数). (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x轴,求 a的值; (2)求函数 f(x)的极值. 解:(1)由 f(x)=x-1+a ex ,得 f′(x)=1-a ex . 又曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x轴, 得 f′(1)=0,即 1-a e =0,解得 a=e. (2)f′(x)=1-a ex , ①当 a≤0时,f′(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数 f(x)无极值. ②当 a>0时,令 f′(x)=0,得 ex=a,即 x=ln a.当 x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0; 当 x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0,所以 f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单 调递增,故 f(x)在 x=ln a处取得极小值,且极小值为 f(ln a)=ln a,无极大值. 综上,当 a≤0时,函数 f(x)无极值;当 a>0时,f(x)在 x=ln a处取得极小值 ln a,无 极大值. 角度三:已知极值求参数值或范围 3.设函数 f(x)=ln x-1 2 ax2-bx,若 x=1是 f(x)的极大值点,则 a的取值范围是( ) A.(-1,0) B.(-1,+∞) C.(0,1) D.(1,+∞) 解析:选 B f′(x)=1 x -ax-b(x>0), 因为 x=1是 f(x)的极大值点, 所以 f′(1)=1-a-b=0,即 b=1-a, 则 f′(x)=1 x -ax-1+a=1-xax+1 x (x>0), 当 a<0时,因为 x=1是 f(x)的极大值点, 所以 f(x)在(0,1), - 1 a ,+∞ 上是增函数,在 1,- 1 a 上是减函数, 则- 1 a >1,即-10时,f(x)在 (0,1)是增函数,在(1,+∞)上是减函数, 所以 x=1是 f(x)的极大值点. 综上,a的取值范围是(-1,+∞). 4.已知函数 f(x)=ax-x2-ln x,若函数 f(x)存在极值,且所有极值之和小于 5+ln 2, 则实数 a的取值范围是________. 解析:因为 f′(x)=a-2x-1 x = -2x2+ax-1 x (x>0), 设 g(x)=-2x2+ax-1, 当Δ=a2-8≤0时,g(x)≤0恒成立, 所以 f(x)单调递减,故不存在极值. 所以Δ=a2-8>0,设 g(x)=-2x2+ax-1=0的两根为 x1,x2(不妨设 x10,因此 x1,x2同号, 所以问题等价于 g(x)=-2x2+ax-1=0在(0,+∞)上有两个不相等的实数根 x1,x2, 因此 Δ=a2-8>0, x1+x2=a 2 >0, x1x2=1 2 >0, 从而 a>2 2. 所以 f(x)的所有极值之和为 f(x1)+f(x2)=ax1-x21-ln x1+ax2-x22-ln x2=a(x1+x2)- (x1+x2)2+2x1x2-ln x1x2= a2 2 - a2 4 +1-ln 1 2 <5+ln 2, 因此 a2<16,解得-42 2,所以实数 a的取值范围是(2 2,4). 答案:(2 2,4) [方法技巧] 利用导数研究函数极值的一般流程 运用导数解决函数的最值问题 [典例] (2018·日照模拟)设函数 f(x)=(x-1)ex-kx2(k∈R). (1)当 k=1时,求函数 f(x)的单调区间; (2)当 k∈ 1 2 ,1 时,求函数 f(x)在[0,k]上的最大值M. [解] (1)当 k=1时,f(x)=(x-1)ex-x2, ∴f′(x)=ex+(x-1)ex-2x=x(ex-2). 令 f′(x)=0,得 x1=0,x2=ln 2. 当 x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,0) 0 (0,ln 2) ln 2 (ln 2,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 由表可知, 函数 f(x)的递减区间为(0,ln 2),递增区间为(-∞,0),(ln 2,+∞). (2)f′(x)=ex+(x-1)ex-2kx=x(ex-2k), ∵ 1 2 <k≤1,∴1<2k≤2, 由(1)可知 f(x)在(0,ln 2k)上单调递减,在(ln 2k,+∞)上单调递增. 设 g(x)=x-ln 2x 1 2 <x≤1 , 则 g′(x)=1-1 x , ∵ 1 2 <x≤1,∴1≤1 x <2,∴-1<1-1 x ≤0, ∴g(x)=x-ln 2x在 1 2 ,1 上单调递减, ∵ 1 2 <x≤1, ∴g(x)>g(1)=1-ln 2>0, ∴k-ln 2k>0,即 k>ln 2k, ∴f(x)在(0,ln 2k)上单调递减,在(ln 2k,k)上单调递增, ∴f(x)在[0,k]上的最大值应在端点处取得. 而 f(0)=-1,f(k)=(k-1)ek-k3, 下面比较 f(0)与 f(k)的大小. 令 h(k)=f(k)-f(0)=(k-1)ek-k3+1, 则 h′(k)=k(ek-3k), 再令φ(k)=ek-3k,则φ′(k)=ek-3<e-3<0, ∴φ(k)在 1 2 ,1 上递减, 而φ 1 2 ·φ(1)= e-3 2 (e-3)<0, ∴存在 x0∈ 1 2 ,1 使得φ(x0)=0,且当 k∈ 1 2 ,x0 时,φ(k)>0,当 k∈(x0,1)时,φ(k)<0, ∴h(k)在 1 2 ,x0 上单调递增,在(x0,1)上单调递减. 又 h 1 2 =- 1 2 e+7 8 >0,h(1)=0. ∴h(k)≥0 在 1 2 ,1 上恒成立,当且仅当 k=1 时取“=”.综上,函数 f(x)在[0,k] 上的最大值M=(k-1)ek-k3. [方法技巧] 求函数 f(x)在[a,b]上的最值的步骤 (1)求函数在(a,b)内的极值; (2)求函数在区间端点的函数值 f(a),f(b); (3)将函数 f(x)的极值与 f(a),f(b)比较,其中最 大的一个为最大值,最小的一个为最小值. [即时演练] 1.若函数 f(x)=1 3 x3+x2-2 3 在区间(a,a+5)上存在最小值,则实数 a的取值范围是( ) A.[-5,0) B.(-5,0) C.[-3,0) D.(-3,0) 解析:选 C 由题意,f′(x)=x2+2x=x(x+2),故 f(x) 在(-∞,-2),(0,+∞)上是增函数,在(-2,0)上是减函数, 作出其图象如图所示,令 1 3 x3+x2-2 3 =- 2 3 得,x=0或 x=-3, 则结合图象可知 -3≤a<0, a+5>0, 解得 a∈[-3,0),故选 C. 2.(2018·南昌模拟)已知函数 f(x)=(2x-4)ex+a(x+2)2(x>0,a∈R,e是自然对数的底 数). (1)若 f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数,求实数 a的取值范围; (2)当 a∈ 0,1 2 时,证明:函数 f(x)有最小值,并求函数 f(x)的最小值的取值范围. 解:(1)f′(x)=2ex+(2x-4)ex+2a(x+2)=(2x-2)ex+2a(x+2),依题意,当 x>0时, 函数 f′(x)≥0恒成立,即 a≥- x-1ex x+2 恒成立,记 g(x)=- x-1ex x+2 , 则 g′(x)=- xexx+2-x-1ex x+22 =- x2+x+1ex x+22 <0, 所以 g(x)在(0,+∞)上单调递减, 所以 g(x)0, 所以 y=f′(x)是(0,+∞)上的增函数. 又 f′(0)=4a-2<0,f′(1)=6a>0, 所以存在 t∈(0,1),使得 f′(t)=0, 当 x∈(0,t)时,f′(x)<0,当 x∈(t,+∞)时,f′(x)>0, 所以 f(x)min=f(t)=(2t-4)et+a(t+2)2. 由 f′(t)=0⇒a=- t-1et t+2 , 则 f(x)min=f(t)=(2t-4)et-(t-1)(t+2)et=et(-t2+t-2). 记 h(t)=et(-t2+t-2), 则 h′(t)=et(-t2-t-1)<0,t∈(0,1), 所以当 t∈(0,1)时,h(1)0,解得 x<-2或 x>1, 令 f′(x)<0,解得-23,其中 k∈Z.由题意,存在整数 k使得不等式 m21- k+1 2 2>3成立.当 k≠-1且 k≠0时,必有 k+1 2 2>1,此时不等式显然不能成立,故 k=-1或 k=0,此时, 不等式即为 3 4 m2>3,解得 m<-2或 m>2. 3.(2013·全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( ) A.∃x0∈R,f(x0)=0 B.函数 y=f(x)的图象是中心对称图形 C.若 x0是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞,x0)单调递减 D.若 x0是 f(x)的极值点,则 f′(x0)=0 解析:选 C 因为函数 f(x)的值域为 R,所以一定存在 x0∈R,使 f(x0)=0,故 A正确, 函数 f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(x+m)3+n(x+m)+h的形式,通过平移函 数图象,函数的解析式可以化为 y=x3+nx 的形式,这是一个奇函数,其图象关于坐标原点 对称,故函数 f(x)的图象是中心对称图形,选项 B中的结论正确;由于 f′(x)=3x2+2ax+ b是二次函数,若 f(x)有极小值点 x0,必定有一个极大值点 x1,且 x10,所以 f(x)在(0,+∞)上单调递增. 若 a>0,则当 x∈ 0,1 a 时,f′(x)>0; 当 x∈ 1 a ,+∞ 时,f′(x)<0. 所以 f(x)在 0,1 a 上单调递增,在 1 a ,+∞ 上单调递减. (2)由(1)知,当 a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值; 当 a>0时,f(x)在 x=1 a 处取得最大值,最大值为 f 1 a =ln 1 a +a 1-1 a =-ln a+a-1. 因此 f 1 a >2a-2等价于 ln a+a-1<0. 令 g(a)=ln a+a-1,则 g(a)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0. 于是,当 01时,g(a)>0. 因此,a的取值范围是(0,1). 5.(2013·全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)=x2e-x. (1)求 f(x)的极小值和极大值; (2)当曲线 y=f(x)的切线 l的斜率为负数时,求 l在 x轴上截距的取值范围. 解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f′(x)=-e-xx(x-2).① 当 x∈(-∞,0)或 x∈(2,+∞)时,f′(x)<0;当 x∈(0,2)时,f′(x)>0. 所以 f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递减,在(0,2)上单调递增. 故当 x=0 时,f(x)取得极小值,极小值为 f(0)=0;当 x=2时,f(x)取得极大值,极大 值为 f(2)=4e-2. (2)设切点为(t,f(t)),则 l的方程为 y=f′(t)(x-t)+f(t). 所以 l在 x轴上的截距为 m(t)=t- ft f′t =t+ t t-2 =t-2+ 2 t-2 +3. 由已知和①得 t∈(-∞,0)∪(2,+∞). 令 h(x)=x+2 x (x≠0),则当 x∈(0,+∞)时,h(x)的取值范围为[2 2,+∞);当 x∈(- ∞,-2)时,h(x)的取值范围是(-∞,-3). 所以当 t∈(-∞,0)∪(2,+∞)时, m(t)的取值范围是(-∞,0)∪[2 2+3,+∞). 综上,l在 x轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪[2 2+3,+∞). 6.(2017·江苏高考)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数 f′(x) 的极值点是 f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求 b关于 a的函数关系式,并写出定义域; (2)证明:b2>3a; (3)若 f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于- 7 2 ,求 a的取值范围. 解:(1)由 f(x)=x3+ax2+bx+1, 得 f′(x)=3x2+2ax+b=3 x+a 3 2+b-a2 3 . 当 x=- a 3 时,f′(x)有极小值 b-a2 3 . 因为 f′(x)的极值点是 f(x)的零点, 所以 f - a 3 =- a3 27 + a3 9 - ab 3 +1=0, 又 a>0,故 b=2a2 9 + 3 a . 因为 f(x)有极值,故 f′(x)=0有实根, 从而 b-a2 3 = 1 9a (27-a3)≤0,即 a≥3. 当 a=3时,f′(x)>0(x≠-1), 故 f(x)在 R上是增函数,f(x)没有极值; 当 a>3时,f′(x)=0有两个相异的实根 x1= -a- a2-3b 3 ,x2= -a+ a2-3b 3 . 当 x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 故 f(x)的极值点是 x1,x2. 从而 a>3. 因此 b=2a2 9 + 3 a ,定义域为(3,+∞). (2)证明:由(1)知, b a = 2a a 9 + 3 a a . 设 g(t)=2t 9 + 3 t ,则 g′(t)=2 9 - 3 t2 = 2t2-27 9t2 . 当 t∈ 3 6 2 ,+∞ 时,g′(t)>0, 从而 g(t)在 3 6 2 ,+∞ 上单调递增. 因为 a>3,所以 a a>3 3, 故 g(a a)>g(3 3)= 3,即 b a > 3. 因此 b2>3a. (3)由(1)知,f(x)的极值点是 x1,x2,且 x1+x2=- 2 3 a,x21+x22= 4a2-6b 9 . 从而 f(x1)+f(x2)=x31+ax21+bx1+1+x32+ax22+bx2+1=x1 3 (3x21+2ax1+b)+x2 3 (3x22+2ax2 +b)+1 3 a(x21+x22)+2 3 b(x1+x2)+2 = 4a3-6ab 27 - 4ab 9 +2=0. 记 f(x),f′(x)所有极值之和为 h(a), 因为 f′(x)的极值为 b-a2 3 =- 1 9 a2+3 a , 所以 h(a)=- 1 9 a2+3 a ,a>3. 因为 h′(a)=- 2 9 a- 3 a2 <0, 于是 h(a)在(3,+∞)上单调递减. 因为 h(6)=- 7 2 ,于是 h(a)≥h(6),故 a≤6. 因此 a的取值范围为(3,6]. 7.(2017·山东高考)已知函数 f(x)=x2+2cos x,g(x)=ex(cos x-sin x+2x-2),其中 e =2.718 28…是自然对数的底数. (1)求曲线 y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程; (2)令 h(x)=g(x)-af(x)(a∈R),讨论 h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 解:(1)由题意知 f(π)=π2-2. 又 f′(x)=2x-2sin x,所以 f′(π)=2π, 因此曲线 y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为 y-(π2-2)=2π(x-π), 即 2πx-y-π2-2=0. (2)由题意得 h(x)=ex(cos x-sin x+2x-2)-a(x2+2cos x), 因为 h′(x)=ex(cos x-sin x+2x-2)+ex(-sin x-cos x+2)-a(2x-2sin x) =2ex(x-sin x)-2a(x-sin x) =2(ex-a)(x-sin x), 令 m(x)=x-sin x, 则 m′(x)=1-cos x≥0, 所以 m(x)在 R上单调递增. 因为 m(0)=0, 所以当 x>0时,m(x)>0; 当 x<0时,m(x)<0. ①当 a≤0时,ex-a>0, 当 x<0时,h′(x)<0,h(x)单调递减, 当 x>0时,h′(x)>0,h(x)单调递增, 所以当 x=0时,h(x)取到极小值, 极小值是 h(0)=-2a-1,无极大值. ②当 a>0时,h′(x)=2(ex-eln a)(x-sin x), 由 h′(x)=0,得 x1=ln a,x2=0. 当 00,h(x)单调递增; 当 x∈(ln a,0)时,ex-eln a>0,h′(x)<0,h(x)单调递减; 当 x∈(0,+∞)时,ex-eln a>0,h′(x)>0,h(x)单调递增. 所以当 x=ln a时,h(x)取到极大值, 极大值为 h(ln a)=-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2], 当 x=0时,h(x)取到极小值,极小值是 h(0)=-2a-1; 当 a=1时,ln a=0, 所以当 x∈(-∞,+∞)时,h′(x)≥0,函数 h(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值; 当 a>1时,ln a>0, 所以当 x∈(-∞,0)时,ex-eln a<0,h′(x)>0,h(x)单调递增; 当 x∈(0,ln a)时,ex-eln a<0,h′(x)<0,h(x)单调递减; 当 x∈(ln a,+∞)时,ex-eln a>0,h′(x)>0,h(x)单调递增. 所以当 x=0时 h(x)取到极大值, 极大值是 h(0)=-2a-1; 当 x=ln a时 h(x)取到极小值, 极小值是 h(ln a)=-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2]. 综上所述: 当 a≤0时,h(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增, 函数 h(x)有极小值,无极大值,极小值是 h(0)=-2a-1; 当 01 时,函数 h(x)在(-∞,0)和(ln a,+∞)上单调递增,在(0,ln a)上单调递减, 函数 h(x)有极大值,也有极小值, 极大值是 h(0)=-2a-1, 极小值是 h(ln a)=-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2]. 一、选择题 1.函数 f(x)=(x2-1)2+2的极值点是( ) A.x=1 B.x=-1 C.x=1或-1或 0 D.x=0 解析:选 C ∵f(x)=x4-2x2+3, ∴由 f′(x)=4x3-4x=4x(x+1)(x-1)=0, 得 x=0或 x=1或 x=-1, 又当 x<-1时,f′(x)<0,当-10, 当 01时,f′(x)>0, ∴x=0,1,-1都是 f(x)的极值点. 2.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在 x=1处取得极大值 10,则 a b 的值为( ) A.- 2 3 B.-2 C.-2或- 2 3 D.2或- 2 3 解 析 : 选 A 由 题 意 知 , f′(x)= 3x2 + 2ax+ b, f′(1)= 0, f(1)= 10, 即 3+2a+b=0, 1+a+b-a2-7a=10, 解得 a=-2, b=1 或 a=-6, b=9, 经检验 a=-6, b=9 满足题意, 故 a b =- 2 3 . 3.(2018·浙江瑞安中学月考)已知函数 f(x)=x3+bx2+cx的图象如 图所示,则 x21+x 22等于( ) A.2 3 B.4 3 C.8 3 D.16 3 解析:选 C 由图象可知 f(x)过点(1,0)与(2,0),x1,x2是函数 f(x)的极值点,因此 1+b +c=0,8+4b+2c=0,解得 b=-3,c=2,所以 f(x)=x3-3x2+2x,所以 f′(x)=3x2-6x +2.x1,x2是方程 f′(x)=3x2-6x+2=0的两根,因此 x1+x2=2,x1x2=2 3 ,所以 x21+x22=(x1 +x2)2-2x1x2=4-4 3 = 8 3 . 4.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在 x=±1 处的 切线斜率均为-1,有以下命题: ①f(x)的解析式为:f(x)=x3-4x,x∈[-2,2]; ②f(x)的极值点有且仅有一个; ③f(x)的最大值与最小值之和等于零. 其中正确的命题个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选 C f′(x)=3x2+2ax+b, 因为函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在 x=±1处的切线 斜率均为-1, 所以 f′1=3+2a+b=-1, f′-1=3-2a+b=-1, c=0, 解得 a=0, b=4, c=0, 则 f(x)=x3-4x,x∈[-2,2],故①正确; f′(x)=3x2-4,令 f′(x)=0,解得 x=±2 3 3 ∈[-2,2], 易知,x=±2 3 3 均为函数的极值点,故②错误; 易知函数 f(x)=x3-4x,x∈[-2,2]是奇函数,所以最大值与最小值之和为 0,故③正 确. 因此,正确命题的个数为 2,故选 C. 5.(2017·长沙二模)已知函数 f(x)= x x2+a (a>0)在[1,+∞)上的最大值为 3 3 ,则 a的值 为( ) A. 3-1 B.3 4 C.4 3 D. 3+1 解析:选 A 由 f(x)= x x2+a ,得 f′(x)= a-x2 x2+a2 ,当 a>1时,若 x> a,则 f′(x)<0, f(x)单调递减,若 1<x< a,则 f′(x)>0,f(x)单调递增,故当 x= a时,函数 f(x)有最大值 1 2 a = 3 3 ,得 a=3 4 <1,不合题意;当 a=1 时,函数 f(x)在[1,+∞)上单调递减,最大值 为 f(1)=1 2 ,不合题意;当 0<a<1时,函数 f(x)在 [1,+∞)上单调递减,此时最大值为 f(1) = 1 a+1 = 3 3 ,得 a= 3-1,符合题意.故 a的值为 3-1,选 A. 6.已知直线 l1:y=x+a 分别与直线 l2:y=2(x+1)及曲线 C:y=x+ln x 交于 A,B 两点,则 A,B两点间距离的最小值为( ) A.3 5 5 B.3 C.6 5 5 D.3 2 解析:选 D 由 y=x+a, y=2x+1, 得 A(a-2,2a-2), 由 y=x+a, y=x+ln x, 得 B(ea,a+ea), |AB|= ea-a+22+[ea+a-2a-2]2= 2(ea-a+2), 令 g(a)=ea-a+2, 则 g′(a)=ea-1,g(a)在(-∞,0)上递减,在(0,+∞)上递增, 所以 g(a)在 a=0处取得最小值 g(0)=3, 所以 A,B两点间距离的最小值为 3 2. 二、填空题 7.若函数 f(x)=2x2-ln x 在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内存在最小值,则实 数 k的取值范围是________. 解析:因为 f(x)的定义域为(0,+∞), 又 f′(x)=4x-1 x , 由 f′(x)=0,得 x=1 2 . 据题意 k-1<1 2 0). 设 g(x)=ex x (x>0),则 g′(x)=x-1ex x2 , ∴g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. ∴g(x)在(0,+∞)上有最小值,为 g(1)=e,结合 g(x)=ex x 与 y=k的图象可知,要满足 题意,只需 k≤e. 答案:(-∞,e] 9.(2018·湘中名校联考)已知函数 g(x)=a-x21 e ≤x≤e,e为自然对数的底数与 h(x)=2ln x的图象上存在关于 x轴对称的点,则实数 a的取值范围是________. 解析:由题意,知方程 x2-a=2ln x,即-a=2ln x-x2在 1 e ,e 上有解.设 f(x)=2ln x -x2,则 f′(x)=2 x -2x=- 2x+1x-1 x .易知 x∈ 1 e ,1 时,f′(x)>0,x∈[1,e]时 f′(x)<0, 所以函数 f(x)在 1 e ,1 上单调递增,在[1,e]上单调递减,所以 f(x)极大值=f(1)=-1,又 f(e) =2-e2,f 1 e =-2-1 e2 ,f(e)0时,f(x)在[1,e]上单调递增, 则 f(x)在[1,e]上的最大值为 f(e)=a. 故当 a≥2时,f(x)在[-1,e]上的最大值为 a; 当 a<2时,f(x)在[-1,e]上的最大值为 2. 11.设函数 f(x)=1 2 x2-(a+1)x+aln x,a>0. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)讨论函数 f(x)的零点个数. 解:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞), 因为 f′(x)=x-(a+1)+a x = x2-a+1x+a x = x-ax-1 x (x>0), ①当 00,得 01, 所以函数 f(x)的单调增区间为(0,a)和(1,+∞),单调减区间为(a,1). ②当 a=1 时,f′(x)=x-12 x ≥0恒成立,所以函数 f(x)的单调增区间为(0,+∞),无 减区间. ③当 a>1时,令 f′(x)<0,得 10,得 0a, 所以函数 f(x)的单调增区间为 (0,1)和(a,+∞),单调减区间为(1,a). (2)由(1)可知, ①当 00, 所以函数 f(x)有唯一零点. ②当 a=1 时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,又注意到 f(1)=- 3 2 <0,f(4)=ln 4>0, 所以函数 f(x)有唯一零点. ③当 a>1时,函数 f(x)的单调增区间为(0,1)和(a,+∞),单调减区间为(1,a), 所以 f(x)极大值=f(1)=- 1 2 -a<0,f(x)极小值=f(a)=- 1 2 a2-a+aln a<0, 注意到 f(2a+2)=aln(2a+2)>0, 所以函数 f(x)有唯一零点, 综上,函数 f(x)有唯一零点. 12.已知函数 f(x)=ln x+x2-ax(a∈R). (1)当 a=3时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)有两个极值点 x1,x2,且 x1∈(0,1],证明 f(x1)-f(x2)≥- 3 4 +ln 2. 解:f′(x)=1 x +2x-a=2x2-ax+1 x (x>0). (1)当 a=3时,f′(x)=2x2-3x+1 x . 令 f′(x)=0,得 x=1 2 或 x=1. 所以当 01时,f′(x)>0;当 1 2 0时, -a- a2 4 3 =- a 2 =c,不符合题意; 当 a<0时, -a- a2 4 3 =- a 6 0, 只需 m-1 2 >0, Δ=1-m2-4>0, 解得 m>1, m>3或 m<-1, 即 m>3. 所以实数 m的取值范围为(3,+∞). (2)f′(x)=x2+1-mx+1 x , 令 f′(x)=0,即 x2+(1-m)x+1=0, 由题知,两根分别为 x1,x2,则 x1+x2=m-1, x1x2=1, 又因为 f(x1)-f(x2)=1 2 x21+(1-m)x1+ln x1-1 2 x22-(1-m)x2-ln x2=1 2 (x21-x22)+(1- m)(x1-x2)+ln x1 x2 = 1 2 (x21-x22)-(x21-x22)+ln x1 x2 =ln x1 x2 - 1 2 (x21-x22)=ln x1 x2 - 1 2 x21-x22 x1x2 =ln x1 x2 - 1 2 x1 x2 - x2 x1 . 令 x1 x2 =t,由于 x10), f′(x)=1- 2 x2 - 1 x = x+1x-2 x2 , 当 1<x<2时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当 2<x<e时,f′(x)>0,f(x)单调递增. ∴当 x=2时,f(x)取得极小值 f(2)=3-ln 2. 又∵f(1)=3,f(e)=e-1+2 e ,即有 f(1)>f(e), ∴方程 f(x)=b在区间[1,e]上有两个不同的实数根,则有 f(2)<b≤f(e), 即 3-ln 2<b≤e-1+2 e . 故实数 b的取值范围为 3-ln 2,e-1+2 e . 利用导数研究与不等式有关的问题 导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容,且以解答题的形式考查,难度较 大,属中高档题. 常见的命题角度有: 1证明不等式; 2不等式恒成立问题. 角度一:证明不等式 1.已知函数 f(x)=ln x-ax2+(2-a)x(a>0). (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)证明:当 0f 1 a -x ; (3)设函数 y=f(x)的图象与 x轴交于 A,B两点,线段 AB的中点的横坐标为 x0,证明: f′(x0)<0. [思路点拨] (1)f′(x)=-ax+12x+1 x ,再解不等式 f′(x)>0与 f′(x)<0,即可得出 结论; (2)设 g(x)=f 1 a +x -f 1 a -x ,求导并判断函数的单调性,且 g(0)=0,则结论易得; (3)由(1)知:函数 f(x)的最大值为 f 1 a >0,不妨设 A(x1,0),B(x2,0),则 0f(x1)=f(x2)=0,则有 x2> 2 a -x1,即 x0= x1+x2 2 >1 a ,再由(1),则可得结论. 解:(1)f′(x)=1 x -2ax+(2-a)=-ax+12x+1 x (x>0). 当 00,所以函数 f(x)在 0,1 a 上是增函数;当 x>1 a 时,f′(x)<0,所以 函数 f(x)在 1 a ,+∞ 上是减函数, 综上所述,函数 f(x)的增区间是 0,1 a ,函数 f(x)的减区间是 1 a ,+∞ . (2)证明:设 g(x)=f 1 a +x -f 1 a -x , 则 g(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax, 所以 g′(x)= a 1+ax + a 1-ax -2a= 2a3x2 1-a2x2 . 当 00, 所以 g(x)在 0,1 a 上单调递增. 又 g(0)=0,所以 g(x)>0, 故当 0f 1 a -x . (3)证明:由(1)知,函数 f(x)的最大值为 f 1 a ,且 f 1 a >0, 不妨设 A(x1,0),B(x2,0),0f(x1)=f(x2)=0,又 f(x)在 1 a ,+∞ 上单调递减,从而, x2> 2 a -x1,所以 x0= x1+x2 2 >1 a . 结合(1)知,f′(x0)<0. [方法技巧] 利用导数证明不等式的方法 可以从所证不等式的结构和特点出发,结合已有的知识利用转化与化归思想,构造一 个新的函数,再借助导数确定函数的单调性,利用单调性实现问题的转化,从而使不等式 得到证明,其一般步骤是:构造可导函数→研究单调性或最值→得出不等关系→整理得出 结论. 如:证明:f(x)>g(x)(x∈D),令 F(x)=f(x)-g(x),x∈D,只需证明 F(x)min>0(x∈D) 即可,从而把证明不等式问题转化求 F(x)min问题. 角度二:不等式恒成立问题 2.(2016·四川高考)设函数 f(x)=ax2-a-ln x,其中 a∈R. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)确定 a的所有可能取值,使得 f(x)>1 x -e1-x在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为 自然对数的底数). 解:(1)f′(x)=2ax-1 x = 2ax2-1 x (x>0). 当 a≤0时,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)内单调递减. 当 a>0时,由 f′(x)=0,有 x= 1 2a . 此时,当 x∈ 0, 1 2a 时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈ 1 2a ,+∞ 时,f′(x)>0,f(x)单调递增. (2)令 g(x)=1 x - 1 ex-1 = ex-1-x xex-1 ,s(x)=ex-1-x, 则 s′(x)=ex-1-1. 而当 x>1时,s′(x)>0, 所以 s(x)在区间(1,+∞)内单调递增. 又由 s(1)=0,则 s(x)>0, 从而当 x>1时,g(x)>0. 当 a≤0,x>1时,f(x)=a(x2-1)-ln x<0. 故当 f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立时,必有 a>0. 当 0<a<1 2 时, 1 2a >1. 由(1)有 f 1 2a <f(1)=0,而 g 1 2a >0, 所以此时 f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内不恒成立. 当 a≥1 2 时,令 h(x)=f(x)-g(x)(x≥1). 当 x>1时,h′(x)=2ax-1 x + 1 x2 -e1-x>x-1 x + 1 x2 - 1 x = x3-2x+1 x2 > x2-2x+1 x2 >0. 因此,h(x)在区间(1,+∞)内单调递增. 又因为 h(1)=0,所以当 x>1时,h(x)=f(x)-g(x)>0, 即 f(x)>g(x)恒成立. 综上,a∈ 1 2 ,+∞ . [方法技巧] 1.利用导数研究不等式恒成立问题的思路 首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等 式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值 问题. 2.不等式成立(恒成立)问题常见转化方法 (1)f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a,f(x)≥a成立⇒f(x)max≥a. (2)f(x)≤b恒成立⇔f(x)max≤b,f(x)≤b成立⇔f(x)min≤b. (3)f(x)>g(x)恒成立 Fx=fx-gx F(x)min>0. (4)①∀x1∈M,∀x2∈N, f(x1)>g(x2)⇔f(x1)min>g(x2)max. ②∀x1∈M,∃x2∈N, f(x1)>g(x2)⇔f(x1)min>g(x2)min. ③∃x1∈M,∃x2∈N, f(x1)>g(x2)⇔f(x1)max>g(x)min. ④∃x1∈M,∀x2∈N, f(x1)>g(x2)⇔f(x1)max>g(x2)max. 1.(2017·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=ae2x+(a-2)ex-x. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)有两个零点,求 a的取值范围. 解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1). (ⅰ)若 a≤0,则 f′(x)<0, 所以 f(x)在(-∞,+∞)上单调递减. (ⅱ)若 a>0,则由 f′(x)=0,得 x=-ln a. 当 x∈(-∞,-ln a)时,f′(x)<0; 当 x∈(-ln a,+∞)时,f′(x)>0. 所以 f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增. (2)(ⅰ)若 a≤0,由(1)知,f(x)至多有一个零点. (ⅱ)若 a>0,由(1)知,当 x=-ln a时,f(x)取得最小值,最小值为 f(-ln a)=1-1 a +ln a. ①当 a=1时,由于 f(-ln a)=0, 故 f(x)只有一个零点; ②当 a∈(1,+∞)时,由于 1-1 a +ln a>0, 即 f(-ln a)>0,故 f(x)没有零点; ③当 a∈(0,1)时,1-1 a +ln a<0,即 f(-ln a)<0. 又 f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0, 故 f(x)在(-∞,-ln a)有一个零点. 设正整数 n0满足 n0>ln 3 a -1 , 则 f(n0)=en0(aen0+a-2)-n0>en0-n0>2n0-n0>0. 由于 ln 3 a -1 >-ln a, 因此 f(x)在(-ln a,+∞)有一个零点. 综上,a的取值范围为(0,1). 2.(2017·全国卷Ⅲ)已知函数 f(x)=x-1-aln x. (1)若 f(x)≥0,求 a的值; (2)设 m为整数,且对于任意正整数 n, 1+1 2 · 1+ 1 22 ·…· 1+ 1 2n 0,由 f′(x)=1-a x = x-a x 知,当 x∈(0,a)时,f′(x)<0;当 x∈(a,+∞)时, f′(x)>0. 所以 f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增. 故 x=a是 f(x)在(0,+∞)的唯一最小值点. 由于 f(1)=0,所以当且仅当 a=1时,f(x)≥0. 故 a=1. (2)由(1)知当 x∈(1,+∞)时,x-1-ln x>0. 令 x=1+ 1 2n ,得 ln 1+ 1 2n < 1 2n . 从而 ln 1+1 2 +ln 1+ 1 22 +…+ln 1+ 1 2n <1 2 + 1 22 +…+ 1 2n =1- 1 2n <1. 故 1+1 2 1+ 1 22 ·…· 1+ 1 2n 2, 所以 m的最小值为 3. 3.(2016·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点. (1)求 a的取值范围; (2)设 x1,x2是 f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2. 解:(1)f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a). ①设 a=0,则 f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一个零点. ②设 a>0,则当 x∈(-∞,1)时,f′(x)<0; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0, 所以 f(x)在(-∞,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增. 又 f(1)=-e,f(2)=a,取 b满足 b<0且 ba 2 (b-2)+a(b-1)2=a b2-3 2 b >0, 故 f(x)存在两个零点. ③设 a<0,由 f′(x)=0得 x=1或 x=ln(-2a). 若 a≥- e 2 ,则 ln(-2a)≤1, 故当 x∈(1,+∞)时, f′(x)>0,因此 f(x)在(1,+∞)内单调递增. 又当 x≤1时,f(x)<0,所以 f(x)不存在两个零点. 若 a<-e 2 ,则 ln(-2a)>1, 故当 x∈(1,ln(-2a))时,f′(x)<0; 当 x∈(ln(-2a),+∞)时,f′(x)>0. 因此 f(x)在(1,ln(-2a))内单调递减,在(ln(-2a),+∞)内单调递增. 又当 x≤1时,f(x)<0,所以 f(x)不存在两个零点. 综上,a的取值范围为(0,+∞). (2)证明:不妨设 x1f(2-x2),即 f(2-x2)<0. 由于 f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2, 而 f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0, 所以 f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2. 设 g(x)=-xe2-x-(x-2)ex, 则 g′(x)=(x-1)(e2-x-ex). 所以当 x>1时,g′(x)<0,而 g(1)=0, 故当 x>1时,g(x)<0. 从而 g(x2)=f(2-x2)<0,故 x1+x2<2. 4.(2015·全国卷Ⅱ)设函数 f(x)=emx+x2-mx. (1)证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增; (2)若对于任意 x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求 m的取值范围. 解:(1)证明:f′(x)=m(emx-1)+2x. 若 m≥0,则当 x∈(-∞,0)时,emx-1≤0,f′(x)<0; 当 x∈(0,+∞)时,emx-1≥0,f′(x)>0. 若 m<0,则当 x∈(-∞,0)时,emx-1>0,f′(x)<0; 当 x∈(0,+∞)时,emx-1<0,f′(x)>0. 所以,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. (2)由(1)知,对任意的 m,f(x)在[-1,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增,故 f(x)在 x =0 处取得最小值.所以对于任意 x1,x2∈[-1,1], |f(x1)-f(x2)|≤e-1 的充要条件是 f1-f0≤e-1, f-1-f0≤e-1, 即 em-m≤e-1, e-m+m≤e-1. ① 设函数 g(t)=et-t-e+1,则 g′(t)=et-1. 当 t<0时,g′(t)<0;当 t>0时,g′(t)>0. 故 g(t)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. 又 g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e<0, 故当 t∈[-1,1]时,g(t)≤0. 当 m∈[-1,1]时,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立; 当 m>1时,由 g(t)的单调性,g(m)>0, 即 em-m>e-1; 当 m<-1时,g(-m)>0,即 e-m+m>e-1. 综上,m的取值范围是[-1,1]. 1.(2014·全国卷Ⅰ)设函数 f(x)=aln x+1-a 2 x2-bx(a≠1),曲线 y=f(x)在点(1,f(1)) 处的切线斜率为 0. (1)求 b; (2)若存在 x0≥1,使得 f(x0)< a a-1 ,求 a的取值范围. 解:(1)f′(x)=a x +(1-a)x-b. 由题设知 f′(1)=0,解得 b=1. (2)f(x)的定义域为(0,+∞), 由(1)知,f(x)=aln x+1-a 2 x2-x, f′(x)=a x +(1-a)x-1=1-a x x- a 1-a (x-1). ①若 a≤1 2 ,则 a 1-a ≤1,故当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上单调递增. 所以,存在 x0≥1,使得 f(x0)< a a-1 的充要条件为 f(1)< a a-1 ,即 1-a 2 -1< a a-1 ,解得- 2-11,故当 x∈ 1, a 1-a 时,f′(x)<0;当 x∈ a 1-a ,+∞ 时,f′(x)>0, f(x)在 1, a 1-a 上单调递减,在 a 1-a ,+∞ 上单调递增. 所以,存在 x0≥1,使得 f(x0)< a a-1 的充要条件为 f a 1-a < a a-1 . 而 f a 1-a =aln a 1-a + a2 21-a + a a-1 > a a-1 ,所以不符合题意. ③若 a>1,则 f(1)=1-a 2 -1=-a-1 2 < a a-1 . 综上,a的取值范围是(- 2-1, 2-1)∪(1,+∞). 2.已知函数 f(x)=ln x-a x + a x2 (a∈R). (1)若 a=1,求函数 f(x)的极值; (2)若 f(x)在[1,+∞)内为单调增函数,求实数 a的取值范围; (3)对于 n∈N*,求证: 1 1+12 + 2 2+12 + 3 3+12 +…+ n n+12 0). (1)若 a=1,则 f′(x)=x2+x-2 x3 ,令 f′(x)=0,得 x=1或 x=-2(舍去), 由 f′(x)>0,得 x>1,由 f′(x)<0,得 01时,即 a<-2时,g - a 2 ≥0⇒-8≤a≤0,所以-8≤a<-2, 综上,实数 a的取值范围为[-8,1]. (3)证明:当 a=1时,由(1)知,f(x)在[1,+∞)上单调递增, 即 x>1时,f(x)>f(1)=0,即 ln x>1 x - 1 x2 , 令 x=n+1 n (n∈N*),因为 n+1 n >1, 所以 ln n+1 n > n n+1 - n2 n+12 = n n+12 , 所以错误! i i+12 h(0)=0,∴g′(x)>0, ∴g(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴g(x)>g(0)=0(不合题意). ②当 3a≥1,即 a≥1 3 时,h′(x)≤0, ∴h(x)在(0,+∞)上单调递减, ∴h(x)0,h′(π)=-1-3a<0,∴在(0,π) 上,∃x0使 h′(x0)=0, 且 x∈(0,x0)时,h′(x)>0⇒g′(x)>0,∴g(x)在(0,x0)上单调递增, ∴存在 g(x)>g(0)=0(不符合题意), 综上,a的取值范围为 1 3 ,+∞ . (3)证明:m=∫ π 2 0f(x)dx=(-xsin x-2cos x)π 2 0=2-π 2 , ∴g(x)= 3 x2 f(x). 由(2)知,当 a=1 3 时,f(x)<1 3 x3, ∴g(x)0,则 u′(x)= -x x+1 <0, ∴u(x)在(0,+∞)上单调递减,∴u(x)0, 故当 x∈[1,x0)时,H1′(x)<0,H1(x)单调递减; 当 x∈(x0,2]时,H1′(x)>0,H1(x)单调递增. 因此,当 x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H1(x)>H1(x0)=-f(x0)=0,可得 H1(m)>0,即 h(m)>0. 令函数 H2(x)=g(x0)(x-x0)-f(x), 则 H2′(x)=g(x0)-g(x). 由(1)知 g(x)在[1,2]上单调递增, 故当 x∈[1,x0)时,H2′(x)>0,H2(x)单调递增; 当 x∈(x0,2]时,H2′(x)<0,H2(x)单调递减. 因此,当 x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H2(x)0,故 f(x)在[1,2]上单调递增,所以 f(x)在区间[1,2]上除 x0 外没有其他的零点,而 p q ≠x0,故 f p q ≠0. 又因为 p,q,a均为整数, 所以|2p4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4|是正整数, 从而|2p4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4|≥1. 所以|pq-x0|≥ 1 g2q4 . 所以只要取 A=g(2),就有|pq-x0|≥ 1 Aq4 . 已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=x2+2x+a x+2 (a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间及最值; (2)若对∀x>0,f(x)+g(x)>1恒成立,求 a的取值范围; (3)求证: 1 3 + 1 5 + 1 7 +…+ 1 2n+1 0,得-10, 所以函数 f(x)的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为(0,+∞),f(x)max=f(0)=0, 无最小值. (2)f(x)+g(x)>1⇔ln(1+x)-x+x2+2x+a x+2 >1⇔ ln(1+x)+ a x+2 >1⇔a>(x+2)[1-ln(1+x)]. 令 h(x)=(x+2)[1-ln(1+x)], 则 h′(x)=1-ln(1+x)-x+2 x+1 =-ln(1+x)- 1 x+1 . 当 x>0时,显然 h′(x)=-ln(1+x)- 1 x+1 <0, 所以 h(x)在(0,+∞)上是减函数. 所以当 x>0时,h(x)0时,ln(1+x)+ 2 x+2 >1, 即 ln(1+x)> x x+2 . 令 x=1 k (k∈N*),得 lnk+1 k > 1 k 2+1 k , 即 lnk+1 k > 1 2k+1 . 所以 ln 2 1 +ln 3 2 +ln 4 3 +…+ln n+1 n >1 3 + 1 5 + 1 7 +…+ 1 2n+1 , 即 1 3 + 1 5 + 1 7 +…+ 1 2n+1 2}与 N={x|13} D.{x|x≤1} 解析:选 D 由 Venn 图可知,阴影部分表示(∁UM)∩(∁UN),因为 M={x|x>2},N= {x|10, 解得 0≤x<2. 3.已知集合M= m|14≤ 1 2 m≤4,m∈Z ,N= x| 2 x-1 ≥1 ,则M∩N=( ) A.∅ B.{2} C.{x|14”成立的一个充分不必要条件是( ) A.m>0 B.m>1 C.m>2 D.m≥2 解析:选 C 当 m>0时,m+ 4 m ≥4,当且仅当 m=2时,等号成立,所以 m>0且 m≠2 是“不等式 m+ 4 m >4”成立的充要条件,因此,“不等式 m+ 4 m >4”成立的一个充分不必要 条件是 m>2,故选 C. 6.已知函数 f(x)= 1-2-x,x≥0, 2x-1,x<0, 则函数 f(x)是( ) A.偶函数,在[0,+∞)上单调递增 B.偶函数,在[0,+∞)上单调递减 C.奇函数,且单调递增 D.奇函数,且单调递减 解析:选 C 易知 f(0)=0,当 x>0时,f(x)=1-2-x,-f(x)=2-x-1,而-x<0,则 f(- x)=2-x-1=-f(x);当 x<0时,f(x)=2x-1,-f(x)=1-2x,而-x>0,则 f(-x)=1-2-(- x)=1-2x=-f(x).即函数 f(x)是奇函数,且单调递增,故选 C. 7.若 m=错误!exdx,n=错误!1 x dx,则 m与 n的大小关系是( ) A.m>n B.mn. 8.函数 y= x 3 x2-1 的图象大致是( ) 解析:选 A 由 x2-1≠0,得 x≠±1,当 x>1时,y= x 3 x2-1 >0,排除 D;当 x<-1时, y= x 3 x2-1 <0,排除 C;当 01-f′(x),f(0)=0,f′(x)是 f(x)的导函数,则不 等式 exf(x)>ex-1(其中 e为自然对数的底数)的解集为( ) A.(-∞,-1)∪(0,+∞) B.(0,+∞) C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-1,+∞) 解析:选 B 设 g(x)=exf(x)-ex+1,因为 f(x)>1-f′(x),所以 g′(x)=ex(f(x)+f′(x) -1)>0,所以函数 g(x)是 R上的增函数,又因为 f(0)=0,g(0)=e0f(0)-e0+1=0,所以不 等式 exf(x)>ex-1的解集为(0,+∞). 10.已知函数 f(x)= x2+4a-3x+3a,x<0, logax+1+1,x≥0 (a>0,且 a≠1)在 R上单调递减,且 关于 x的方程|f(x)|=2-x恰有两个不相等的实数解,则 a的取值范围是( ) A. 0,2 3 B. 2 3 , 3 4 C. 1 3 , 2 3 ∪ 3 4 D. 1 3 , 2 3 ∪ 3 4 解析:选 C 由 y=loga(x+1)+1在[0,+∞)上递减,得 0<a<1. 又由 f(x)在 R上单调递减,则 02+4a-3·0+3a≥1, 3-4a 2 ≥0 ⇒ 1 3 ≤a≤3 4 .如图所示,在同一坐标系中作出函数 y=|f(x)|和 y=2-x的图象. 由图象可知,在[0,+∞)上|f(x)|=2-x有且仅有一个解,故在(-∞,0)上|f(x)|=2-x 同样有且仅有一个解. 当 3a>2,即 a>2 3 时,由 x2+(4a-3)x+3a=2-x(其中 x<0),得 x2+(4a-2)x+3a-2 =0(其中 x<0),则Δ=(4a-2)2-4(3a-2)=0,解得 a=3 4 或 a=1(舍去); 当 1≤3a≤2,即 1 3 ≤a≤2 3 时,由图象可知,符合条件. 综上所述,a∈ 1 3 , 2 3 ∪ 3 4 .故选 C. 11.已知奇函数 f(x)是定义在 R上的连续函数,满足 f(2)=5 3 ,且 f(x)在(0,+∞)上的 导函数 f′(x)x 3-3 3 的解集为( ) A.(-2,2) B.(-∞,2) C. -∞, 1 2 D. - 1 2 , 1 2 解析:选 B 令 g(x)=f(x)-x3-3 3 ,因为奇函数 f(x)是定义在 R上的连续函数,所以函 数 g(x)是定义在 R上的连续函数,则 g′(x)=f′(x)-x2<0,所以函数 g(x)=f(x)-x3-3 3 在 R上是减函数,又 g(2)=f(2)-23-3 3 =0,所以不等式 f(x)>x 3-3 3 的解集为(-∞,2). 12.已知函数 f(x)= x+1,x≤0, log2x,x>0, 则函数 g(x)=f(f(x))-1 2 的零点个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 解析:选 B 因为函数 f(x)= x+1,x≤0, log2x,x>0, 所以 g(x)=f(f(x))-1 2 =0 等价于 f(x)+1 = 1 2 或 log2f(x)= 1 2 ,则 f(x)=- 1 2 或 f(x)= 2,当 f(x)=- 1 2 时,x=- 3 2 或 x= 2 2 ;当 f(x)= 2 时,x=2 2,故函数 g(x)=f(f(x))-1 2 的零点个数是 3. 二、填空题(本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分.请把正确答案填在题中的横线上) 13.已知 a=log2.10.6,b=2.10.6,c=log0.50.6,则 a,b,c的大小关系是________. 解析:由指数函数与对数函数的性质可知,a=,b=,c=,1),所以 b>c>a. 答案:b>c>a 14.函数 y=log 1 2 (-x2+4x-3)的单调增区间为________. 解析:设 t=-x2+4x-3,则函数可化为 y=log 1 2 t是减函数.由-x2+4x-3>0,得 10, 解得 x>2或 x<-1,即 A={x|x>2或 x<-1}. 要使函数 g(x)有意义,则 3-|x|≥0, 解得-3≤x≤3,即 B={x|-3≤x≤3}. 故 A∩B={x|-3≤x<-1或 2-2,要使 C⊆B成立, 则 m>-2, m-1≥-3, 2m+1≤3, 解得-20,得 1 2 0,得- 1 a 0). (1)当 a=1时,求函数 f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)若 f(x)≥2ln x在[1,+∞)上恒成立,求实数 a的取值范围. 解:(1)当 a=1时,f(x)=x-1 x ,f′(x)=1+ 1 x2 , 则 f(2)=3 2 ,f′(2)=5 4 , 所以函数 f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y-3 2 = 5 4 (x-2),即 5x-4y-4=0. (2)函数 f(x)的定义域为{x|x≠0}, 则 f′(x)=a-a-2 x2 = ax2+2-a x2 (a>0), 当 02时,令 f′(x)=0,即 ax2+2-a=0,解得 x1=- a-2 a ,x2= a-2 a , 由 f′(x)>0,得 x>x2或 x0)在[1,+ ∞)上恒成立. 令 g(x)=ax+a-2 x +2-2a-2ln x, 则 g′(x)=a-a-2 x2 - 2 x = ax2-2x-a+2 x2 = x-1[ax+a-2] x2 . 令 g′(x)=0,得 x=1或 x=- a-2 a , 若- a-2 a =1,即 a=1时,g′(x)≥0,函数 g(x)在[1,+∞)上单调递增,又 g(1)=0, 所以 f(x)≥2ln x在[1,+∞)上恒成立; 若- a-2 a >1,即 00,g(x)单调递增; 当 x∈ 1,- a-2 a 时,g′(x)<0,g(x)单调递减, 所以 g(x)在[1,+∞)上的最小值为 g - a-2 a . 因为 g(1)=0,所以 g - a-2 a <0,不合题意. 若- a-2 a <1,即 a>1,当(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增, 所以 g(x)在[1,+∞)上的最小值为 g(1), 又因为 g(1)=0,所以 f(x)≥2ln x恒成立, 综上,实数 a的取值范围是[1,+∞). 21.(本小题满分 12分)(2018·合肥质检)已知函数 f(x)=1 3 x3-1 2 (a+2)x2+x(a∈R). (1)当 a=0时,记 f(x)图象上动点 P处的切线斜率为 k,求 k的最小值; (2)设函数 g(x)=e-ex x (e为自然对数的底数),若对于∀x>0,f′(x)≥g(x)恒成立,求实 数 a的取值范围. 解:(1)f′(x)=x2-(a+2)x+1. 设 P(x,y),由于 a=0,∴k=x2-2x+1≥0,即 kmin=0. (2)由 g(x)=e-ex x ,得 g′(x)=ex1-x x2 ,易知 g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单 调递减,∴g(x)≤g(1)=0,由条件知 f′(1)≥g(1),可得 a≤0. 当 a≤0时,f′(x)=x2-(a+2)x+1=(x-1)2-ax≥(x-1)2≥0. ∴f′(x)≥g(x)对∀x∈(0,+∞)成立. 综上,实数 a的取值范围为(-∞,0]. 22.(本小题满分 12分)已知函数 f(x)=xln x+a. (1)若对定义域内任意 x,f(x)>0恒成立,求实数 a的取值范围; (2)若 00), 令 f′(x)=0,得 x=1 e . 当 x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) - 0 + f(x) 极小值 所以 f(x)min=f 1 e =- 1 e +a. 因为对定义域内任意 x,f(x)>0恒成立,所以- 1 e +a>0,所以 a>1 e , 故实数 a的取值范围为 1 e ,+∞ . (2)证明:易知 f′(x)=ln x+1在(0,+∞)上为增函数. 欲证 fx-fx1 x-x1 0, 所以 G(x)=f(x)-f(x2)-(x-x2)(ln x+1)在(x1,x2)内为增函数, 所以 G(x)