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第四单元 导数及其应用
教材复习课 “导数”相关基础知识一课过
导数的基本运算
[过双基]
1.基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)=c(c为常数) f′(x)=0
f(x)=xn(n∈Q*) f′(x)=nxn-1
f(x)=sin x f′(x)=cos_x
f(x)=cos x f′(x)=-sin_x
f(x)=ax f′(x)=axln_a
f(x)=ex f′(x)=ex
f(x)=logax(a>0,且 a≠1) f′(x)= 1
xln a
f(x)=ln x f′(x)=
1
x
2.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);
(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
(3)
fx
gx ′
=
f′xgx-fxg′x
[gx]2
(g(x)≠0).
3.复合函数的导数
复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx′=yu′·ux′,
即 y对 x的导数等于 y对 u的导数与 u对 x的导数的乘积.
1.下列求导运算正确的是( )
A.
x+1
x ′=1+ 1
x2
B.(log2x)′=
1
xln 2
C.(3x)′=3xlog3e D.(x2cos x)′=-2sin x
解析:选 B
x+1
x ′=1- 1
x2
;(log2x)′=
1
xln 2
;(3x)′=3xln 3;(x2cos x)′=2xcos x
-x2sin x,故选 B.
2.函数 f(x)=(x+2a)(x-a)2的导数为( )
A.2(x2-a2) B.2(x2+a2)
C.3(x2-a2) D.3(x2+a2)
解析:选 C ∵f(x)=(x+2a)(x-a)2=x3-3a2x+2a3,
∴f′(x)=3(x2-a2).
3.函数 f(x)=ax3+3x2+2,若 f′(-1)=4,则 a的值是( )
A.19
3
B.16
3
C.13
3
D.10
3
解析:选 D 因为 f′(x)=3ax2+6x,
所以 f′(-1)=3a-6=4,
所以 a=10
3
.
4.(2016·天津高考)已知函数 f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为 f(x)的导函数,则 f′(0)的值为
________.
解析:因为 f(x)=(2x+1)ex,
所以 f′(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,
所以 f′(0)=3e0=3.
答案:3
5.函数 y=ln2x+1
x
的导数为________.
解析:y′=
ln2x+1
x
′
=
[ln2x+1]′x-x′ln2x+1
x2
=
2x+1′
2x+1
·x-ln2x+1
x2
=
2x
2x+1
-ln2x+1
x2
=
2x-2x+1ln2x+1
2x+1x2
.
答案:y′=
2x-2x+1ln2x+1
2x+1x2
[清易错]
1.利用公式求导时,一定要注意公式的适用范围及符号,如(xn)′=nxn-1中 n≠0 且 n
∈Q*,(cos x)′=-sin x.
2.注意公式不要用混,如(ax)′=axln a,而不是(ax)′=xax-1.
1.已知函数 f(x)=sin x-cos x,若 f′(x)=1
2
f(x),则 tan x的值为( )
A.1 B.-3
C.-1 D.2
解析:选 B ∵f′(x)=(sin x-cos x)′=cos x+sin x,
又 f′(x)=1
2
f(x),
∴cos x+sin x=1
2
sin x-1
2
cos x,
∴tan x=-3.
2.若函数 f(x)=2x+ln x且 f′(a)=0,则 2aln 2a=( )
A.-1 B.1
C.-ln 2 D.ln 2
解析:选 A f′(x)=2xln 2+1
x
,由 f′(a)=2aln 2+1
a
=0,得 2aln 2=-
1
a
,则 a·2a·ln 2
=-1,即 2aln 2a=-1.
导数的几何意义
[过双基]
函数 f(x)在点 x0处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点 P(x0,y0)处的切线的
斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t的导数).相应地,切线方程为 y-y0=f′(x0)·(x-
x0).
1.(2018·郑州质检)已知 y=f(x)是可导函数,如图,直线 y=kx+2是曲线 y=f(x)在 x=3
处的切线,令 g(x)=xf(x),g′(x)是 g(x)的导函数,则 g′(3)=( )
A.-1 B.0
C.2 D.4
解析:选 B 由题图可知曲线 y=f(x)在 x=3 处切线的斜率等于-
1
3
,∴f′(3)=-
1
3
,
∵g(x)=xf(x),∴g′(x)=f(x)+xf′(x),∴g′(3)=f(3)+3f′(3),又由题图可知 f(3)=1,
所以 g′(3)=1+3×
-
1
3 =0.
2.设函数 f(x)=xln x,则点(1,0)处的切线方程是________.
解析:因为 f′(x)=ln x+1,所以 f′(1)=1,所以切线方程为 x-y-1=0.
答案:x-y-1=0
3.已知曲线 y=2x2的一条切线的斜率为 2,则切点的坐标为________.
解析:因为 y′=4x,设切点为(m,n),则 4m=2,所以 m=
1
2
,则 n=2×
1
2 2=
1
2
,则
切点的坐标为
1
2
,
1
2 .
答案:
1
2
,
1
2
4.函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程是 y=3x-2,则 f(1)+f′(1)=
________.
解析:因为函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程是 y=3x-2,所以 f′(1)
=3,且 f(1)=3×1-2=1,所以 f(1)+f′(1)=1+3=4.
答案:4
[清易错]
1.求曲线切线时,要分清在点 P处的切线与过 P点的切线的区别,前者只有一条,而
后者包括了前者.
2.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有
差别.
1.若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x3和 y=ax2+15
4
x-9都相切,则 a等于( )
A.-1或-
25
64
B.-1或21
4
C.-
7
4
或-
25
64
D.-
7
4
或 7
解析:选 A 因为 y=x3,所以 y′=3x2,
设过点(1,0)的直线与 y=x3相切于点(x0,x30),
则在该点处的切线斜率为 k=3x20,
所以切线方程为 y-x30=3x20(x-x0),即 y=3x20x-2x30,又(1,0)在切线上,则 x0=0或 x0
=
3
2
,当 x0=0时,由 y=0与 y=ax2+15
4
x-9相切,可得 a=-
25
64
,
当 x0=
3
2
时,由 y=27
4
x-27
4
与 y=ax2+15
4
x-9相切,可得 a=-1,所以选 A.
2.(2017·兰州一模)已知直线 y=2x+1与曲线 y=x3+ax+b相切于点(1,3),则实数 b的
值为________.
解析:因为函数 y=x3+ax+b 的导函数为 y′=3x2+a,所以此函数的图象在点(1,3)
处的切线斜率为 3+a,
所以
3+a=2,
3=1+a+b,
解得
a=-1,
b=3.
答案:3
利用导数研究函数的单调性
[过双基]
1.函数 f(x)在某个区间(a,b)内的单调性与 f′(x)的关系
(1)若 f′(x)>0,则 f(x)在这个区间上是增加的.
(2)若 f′(x)<0,则 f(x)在这个区间上是减少的.
(3)若 f′(x)=0,则 f(x)在这个区间内是常数.
2.利用导数判断函数单调性的一般步骤
(1)求 f′(x).
(2)在定义域内解不等式 f′(x)>0或 f′(x)<0.
(3)根据结果确定 f(x)的单调性及单调区间.
1.函数 f(x)=2x3-9x2+12x+1的单调减区间是( )
A.(1,2) B.(2,+∞)
C.(-∞,1) D.(-∞,1)和(2,+∞)
解析:选 A 解 f′(x)=6x2-18x+12<0可得 10 时,由导函数 f′(x)=ax2+bx+c 的图象可知,导函数在区间(0,x1)
内的值是大于 0的,则在此区间内函数 f(x)单调递增.只有 D选项符合题意.
3.已知 f(x)=x2+ax+3ln x在(1,+∞)上是增函数,则实数 a的取值范围为( )
A.(-∞,-2 6] B.
-∞,
6
2
C.[-2 6,+∞) D.[-5,+∞)
解析:选 C 由题意得 f′(x)=2x+a+3
x
=
2x2+ax+3
x
≥0 在(1,+∞)上恒成立⇔g(x)
=2x2+ax+3≥0 在 (1,+∞)上恒成立⇔Δ=a2-24≤0 或
Δ=a2-24>0,
-
a
4
≤1,
g1=5+a≥0
⇔-
2 6≤a≤2 6或 a>2 6⇔a≥-2 6,故选 C.
[清易错]
若函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,则 f′(x)≥0,且在(a,b)的任意子区间,等号
不恒成立;若函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调递减,则 f′(x)≤0,且在(a,b)的任意子区间,
等号不恒成立.
若函数 f(x)=x3+x2+mx+1是 R上的单调增函数,则 m的取值范围是________.
解析:∵f(x)=x3+x2+mx+1,
∴f′(x)=3x2+2x+m.
又∵f(x)在 R上是单调增函数,∴f′(x)≥0恒成立,
∴Δ=4-12m≤0,即 m≥
1
3
.
答案:
1
3
,+∞
利用导数研究函数的极值与最值
[过双基]
1.函数的极大值
在包含 x0的一个区间(a,b)内,函数 y=f(x)在任何一点的函数值都小于 x0点的函数值,
称点 x0为函数 y=f(x)的极大值点,其函数值 f(x0)为函数的极大值.
2.函数的极小值
在包含 x0的一个区间(a,b)内,函数 y=f(x)在任何一点的函数值都大于 x0点的函数值,
称点 x0为函数 y=f(x)的极小值点,其函数值 f(x0)为函数的极小值.极大值与极小值统称为
极值,极大值点与极小值点统称为极值点.
3.函数的最值
(1)在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数 f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若
函数 f(x)在[a,b]上单调递减,则 f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.
1.如图是 f(x)的导函数 f′(x)的图象,则 f(x)的极小值点的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选 A 由图象及极值点的定义知,f(x)只有一个极小值点.
2.若函数 f(x)=x3+ax2+3x-9在 x=-3时取得极值,则 a的值为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:选 D f′(x)=3x2+2ax+3,由题意知 f′(-3)=0,即 3×(-3)2+2a×(-3)+3
=0,解得 a=5.
3.(2017·济宁一模)函数 f(x)=1
2
x2-ln x的最小值为( )
A.1
2
B.1
C.0 D.不存在
解析:选 A f′(x)=x-1
x
=
x2-1
x
,且 x>0.令 f′(x)>0,得 x>1;令 f′(x)<0,得 00),
因为函数 f(x)=1
2
x2-ax+ln x有极值,
令 g(x)=x2-ax+1,且 g(0)=1>0,
所以
a
2
>0,
g
a
2 =-
a2
4
+1<0,
解得 a>2.
答案:(2,+∞)
5.设 x1,x2是函数 f(x)=x3-2ax2+a2x 的两个极值点,若 x1<22,
a
3
<2, ∴20可得 x>1或 x<-1,
由 f′(x)<0可得-10且 a≠1),若 f′(1)=-1,则 a=( )
A.e B.1
e
C.1
e2
D.1
2
解析:选 B 因为 f′(x)= 1
xln a
,所以 f′(1)= 1
ln a
=-1,所以 ln a=-1,所以 a=1
e
.
2.直线 y=kx+1与曲线 y=x2+ax+b相切于点 A(1,3),则 2a+b的值为( )
A.-1 B.1
C.2 D.-2
解析:选 C 由曲线 y=x2+ax+b,得 y′=2x+a,
由题意可得
k+1=3,
k=2+a,
1+a+b=3,
解得
k=2,
a=0,
b=2,
所以 2a+b=2.
3.函数 y=2x3-3x2的极值情况为( )
A.在 x=0处取得极大值 0,但无极小值
B.在 x=1处取得极小值-1,但无极大值
C.在 x=0处取得极大值 0,在 x=1处取得极小值-1
D.以上都不对
解析:选 C y′=6x2-6x,
由 y′=6x2-6x>0,可得 x>1或 x<0,
即单调增区间是(-∞,0),(1,+∞).
由 y′=6x2-6x<0,可得 01,所以 m≤1.
5.函数 f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( )
A.(-∞,2) B.(0,3)
C.(1,4) D.(2,+∞)
解析:选 D 依题意得 f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,令 f′(x)>0,解得
x>2,∴f(x)的单调递增区间是(2,+∞).故选 D.
6.已知函数 f(x)=x(x-m)2在 x=1处取得极小值,则实数 m=( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:选 B f(x)=x(x2-2mx+m2)=x3-2mx2+m2x,所以 f′(x)=3x2-4mx+m2=(x
-m)(3x-m).由 f′(1)=0可得 m=1或 m=3.当 m=3时,f′(x)=3(x-1)(x-3),当 13时,f′(x)>0,此时在 x=1处取得极大值,不合题意,∴m=
1,此时 f′(x)=(x-1)(3x-1),当
1
3
1时,f′(x)>0,此时
在 x=1处取得极小值.选 B.
7.由曲线 y=x2-1,直线 x=0,x=2和 x轴所围成的封闭图形的面积是( )
A.错误!(x2-1)dx
B.错误!|x2-1|dx
C.错误!(x2-1)dx
D.错误!(x2-1)dx+错误!(1-x2)dx
解析:选 B 作出封闭图形的示意图如图所示,
易得所围成的封闭图形的面积是
S=错误!(1-x2)dx+错误!(x2-1)dx=错误!|x2-1|dx.
8.若函数 f(x)=
1-2x,x≤0,
x3-3x+a,x>0
的值域为[0,+∞),则实数 a的取值范围是( )
A.[2,3] B.(2,3]
C.(-∞,2] D.(-∞,2)
解析:选 A 当 x≤0时,0≤f(x)=1-2x<1;
当 x>0时,f(x)=x3-3x+a,f′(x)=3x2-3,
当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
所以当 x=1 时,函数 f(x)取得最小值 f(1)=1-3+a=a-2.由题意得 0≤a-2≤1,解
得 2≤a≤3,选 A.
二、填空题
9.若函数 f(x)=x+aln x不是单调函数,则实数 a的取值范围是________.
解析:由题意知 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1+a
x
,要使函数 f(x)=x+aln x 不
是单调函数,则需方程 1+a
x
=0在(0,+∞)上有解,即 x=-a,∴a<0.
答案:(-∞,0)
10.已知函数 f(x)=ln x-f′(-1)x2+3x-4,则 f′(1)=________.
解析:∵f′(x)=1
x
-2f′(-1)x+3,
∴f′(-1)=-1+2f′(-1)+3,
∴f′(-1)=-2,∴f′(1)=1+4+3=8.
答案:8
11.已知函数 f(x)的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程是 y=1
2
x+3,则 f(1)+f′(1)=
________.
解析:由题意知 f′(1)=1
2
,f(1)=1
2
×1+3=7
2
,
∴f(1)+f′(1)=7
2
+
1
2
=4.
答案:4
12.已知函数 g(x)满足 g(x)=g′(1)ex-1-g(0)x+1
2
x2,且存在实数 x0,使得不等式 2m
-1≥g(x0)成立,则实数 m的取值范围为________.
解析:g′(x)=g′(1)ex-1-g(0)+x,
令 x=1时,得 g′(1)=g′(1)-g(0)+1,
∴g(0)=1,g(0)=g′(1)e0-1=1,
∴g′(1)=e,
∴g(x)=ex-x+1
2
x2,g′(x)=ex-1+x,
当 x<0时,g′(x)<0,当 x>0时,g′(x)>0,
∴当 x=0时,函数 g(x)取得最小值 g(0)=1.
根据题意得 2m-1≥g(x)min=1,∴m≥1.
答案:[1,+∞)
三、解答题
13.已知函数 f(x)=x+a
x
+b(x≠0),其中 a,b∈R.
(1)若曲线 y=f(x)在点 P(2,f(2))处的切线方程为 y=3x+1,求函数 f(x)的解析式;
(2)讨论函数 f(x)的单调性;
(3)若对于任意的 a∈
1
2
,2
,不等式 f(x)≤10在
1
4
,1
上恒成立,求实数 b的取值范围.
解:(1)f′(x)=1- a
x2
(x≠0),
由已知及导数的几何意义得 f′(2)=3,则 a=-8.
由切点 P(2,f(2))在直线 y=3x+1上可得-2+b=7,解得 b=9,所以函数 f(x)的解析
式为 f(x)=x-8
x
+9.
(2)由(1)知 f′(x)=1- a
x2
(x≠0).
当 a≤0时,显然 f′(x)>0,这时 f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上是增函数.
当 a>0时,令 f′(x)=0,解得 x=± a,
当 x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,- a) - a (- a,0) (0, a) ( a,+∞)
f′(x) + 0 - - 0 +
f(x) 极大值 极小值
所以当 a>0 时,f(x)在(-∞,- a),( a,+∞)上是增函数,在(- a,0),(0, a)
上是减函数.
(3)由 (2)知,对于任意的 a∈
1
2
,2
,不等式 f(x)≤10 在
1
4
,1
上恒成立等价于
f
1
4 ≤10,
f1≤10,
即
b≤39
4
-4a,
b≤9-a
对于任意的 a∈
1
2
,2
成立,从而得 b≤7
4
,
所以实数 b的取值范围是
-∞,
7
4 .
14.已知函数 f(x)=x
4
+
a
x
-ln x-3
2
,其中 a∈R,且曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线
垂直于直线 y=1
2
x.
(1)求 a的值;
(2)求函数 f(x)的单调区间与极值.
解:(1)对 f(x)求导,得 f′(x)=1
4
-
a
x2
-
1
x
(x>0),由 f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直
线 y=1
2
x,
知 f′(1)=-
3
4
-a=-2,解得 a=5
4
.
(2)由(1)知 f(x)=x
4
+
5
4x
-ln x-3
2
,
则 f′(x)=x2-4x-5
4x2
,
令 f′(x)=0,解得 x=-1或 x=5.
因为 x=-1不在 f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去.
当 x∈(0,5)时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,5)内为减函数;
当 x∈(5,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(5,+∞)内为增函数.
由此知函数 f(x)在 x=5时取得极小值 f(5)=-ln 5,无极大值.
高考研究课(一)
导数运算是基点、几何意义是重点、定积分应用是潜考点
[全国卷 5年命题分析]
考点 考查频度 考查角度
导数的几何意义 5年 7考 求切线、已知切线求参数、求切点坐标
定积分 未考查
导数的运算
[典例] (1)(2018·惠州模拟)已知函数 f(x)=1
x
cos x,则 f(π)+f′
π
2 =( )
A.-
3
π2
B.-
1
π2
C.-
3
π
D.-
1
π
(2)已知 f1(x)=sin x+cos x,fn+1(x)是 fn(x)的导函数,即 f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,
fn+1(x)=fn′(x),n∈N*,则 f2 018(x)等于( )
A.-sin x-cos x B.sin x-cos x
C.sin x+cos x D.cos x-sin x
(3)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(1)+ln x,则 f′(1)=( )
A.-e B.-1
C.1 D.e
[解析] (1)∵f′(x)=-
1
x2
cos x+1
x
(-sin x),
∴f(π)+f′
π
2 =-
1
π
+
2
π
·(-1)=-
3
π
.
(2)∵f1(x)=sin x+cos x,
∴f2(x)=f1′(x)=cos x-sin x,
∴f3(x)=f2′(x)=-sin x-cos x,
∴f4(x)=f3′(x)=-cos x+sin x,
∴f5(x)=f4′(x)=sin x+cos x,
∴fn(x)是以 4为周期的函数,
∴f2 018(x)=f2(x)=cos x-sin x,故选 D.
(3)由 f(x)=2xf′(1)+ln x,得 f′(x)=2f′(1)+1
x
.
∴f′(1)=2f′(1)+1,则 f′(1)=-1.
[答案] (1)C (2)D (3)B
[方法技巧]
1.可导函数的求导步骤
(1)分析函数 y=f(x)的结构特点,进行化简;
(2)选择恰当的求导法则与导数公式求导;
(3)化简整理答案.
2.求导运算应遵循的原则
求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减
少运算量,提高运算速度,减少差错.
[即时演练]
1.(2018·江西九校联考)已知 y=(x+1)(x+2)(x+3),则 y′=( )
A.3x2-12x+6 B.x2+12x-11
C.x2+12x+6 D.3x2+12x+11
解析:选 D 法一:y′=(x+2)(x+3)+(x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.
法二:∵y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,
∴y′=3x2+12x+11.
2.已知函数 f(x)=xln x,若 f′(x0)=2,则 x0=________.
解析:f′(x)=ln x+1,由 f′(x0)=2,
即 ln x0+1=2,解得 x0=e.
答案:e
导数的几何意义
导数的几何意义为高考热点内容,考查题型多为选择、填空题,也常出现在解答题的
第1问中,难度较低,属中、低档题.
常见的命题角度有:
1求切线方程;
2确定切点坐标;
3已知切线求参数值或范围;
4切线的综合应用.
角度一:求切线方程
1.已知函数 f(x)= ln(1+x)-x+x2,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是
________.
解析:∵f′(x)= 1
1+x
-1+2x,∴f′(1)=3
2
,f(1)=ln 2,∴曲线 y=f(x)在点(1,f(1))
处的切线方程为 y-ln 2=3
2
(x-1),即 3x-2y+2ln 2-3=0.
答案:3x-2y+2ln 2-3=0
角度二:确定切点坐标
2.已知函数 f(x)=ex
x
(x>0),直线 l:x-ty-2=0.若直线 l与曲线 y=f(x)相切,则切点
横坐标的值为________.
解析:由 f(x)=ex
x
(x>0),得 f′(x)=ex·x-ex
x2
=
exx-1
x2
(x>0).
当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
根据直线 l的方程 x=ty+2,可得 l恒过点(2,0).
①当 t=0时,直线 l:x=2垂直于 x轴,不与曲线 y=f(x)相切,舍去;
②当 t≠0时,设切点 A(x0,y0),直线 l可化为 y=1
t
x-2
t
,斜率 k=1
t
=f′(x0)=
ex0x0-1
x20
,
又直线 l和曲线 y=f(x)均过点 A(x0,y0),则满足 y0=
1
t
x0-
2
t
=
ex0
x0
,
所以
ex0x0-1
x20
=
ex0x0-1
x0·x0
=
1
t
x0-2
t ·x0-1
x0
=
x0-2
t
·x0-1
x0
=
1
t
,两边约去 t后,可得(x0
-2)·x0-1
x0
=1,化简得 x20-4x0+2=0,
解得 x0=2± 2.
综上所述,切点的横坐标为 2± 2.
答案:2± 2
角度三:已知切线求参数值或范围
3.(2017·武汉一模)已知 a为常数,若曲线 y=ax2+3x-ln x上存在与直线 x+y-1=0
垂直的切线,则实数 a的取值范围是________.
解析:由题意知曲线上存在某点的导数值为 1,
所以 y′=2ax+3-1
x
=1有正根,
即 2ax2+2x-1=0有正根.
当 a≥0时,显然满足题意;
当 a<0时,需满足Δ≥0,解得-
1
2
≤a<0.
综上,a≥-
1
2
.
答案:
-
1
2
,+∞
4.若两曲线 y=x2-1与 y=aln x-1存在公切线,则正实数 a的取值范围是________.
解析:设 y=aln x-1的切点为(x0,y0),求导 y′=
a
x
,
则切线的斜率为
a
x0
,
所以公切线方程为 y-(aln x0-1)= a
x0
(x-x0),
联立方程 y=x2-1可得 x2- a
x0
x+a-aln x0=0,
由题意,可得Δ=
-
a
x0 2-4(a-aln x0)=0,
则 a=4x20(1-ln x0).
令 f(x)=4x2(1-ln x)(x>0),则 f′(x)=4x(1-2ln x),
易知,函数 f(x)=4x2(1-ln x)在(0, e)上是增函数,在( e,+∞)上是减函数,
所以函数 f(x)=4x2(1-ln x)的最大值是 f( e)=2e,
则正实数 a的取值范围是(0,2e].
答案:(0,2e]
角度四:切线的综合应用
5.已知函数 f(x)=mln(x+1),g(x)= x
x+1
(x>-1).
(1)讨论函数 F(x)=f(x)-g(x)在(-1,+∞)上的单调性;
(2)若 y=f(x)与 y=g(x)的图象有且仅有一条公切线,试求实数 m的值.
解:(1)F′(x)=f′(x)-g′(x)= m
x+1
-
1
x+12
=
mx+1-1
x+12
(x>-1),
当 m≤0时,F′(x)<0,函数 F(x)在(-1,+∞)上单调递减.
当 m>0时,由 F′(x)<0,得-10,得 x>-1+1
m
,所以函数 F(x)在
-1+1
m
,+∞
上单调递增.
综上所述,当 m≤0时,函数 F(x)在(-1,+∞)上单调递减,
当 m>0时,函数 F(x)在
-1,-1+1
m 上单调递减,在
-1+1
m
,+∞
上单调递增.
(2)函数 f(x)=mln(x+1)在点(a,mln(a+1))处的切线方程为 y-mln(a+1)= m
a+1
(x-a),
即 y= m
a+1
x+mln(a+1)- ma
a+1
.
函数 g(x)= x
x+1
在点
b, b
b+1 处的切线方程为 y- b
b+1
=
1
b+12
(x-b),
即 y= 1
b+12
x+ b2
b+12
.
因 为 y = f(x) 与 y = g(x) 的 图 象 有 且 仅 有 一 条 公 切 线 , 即
m
a+1
=
1
b+12
, ①
mlna+1- ma
a+1
=
b2
b+12
, ②
所以有唯一数对(a,b),满足这个方程组,
由①得 a+1=m(b+1)2,代入②消去 a整理得:2mln(b+1)+ 2
b+1
+mln m-m-1=0,
关于 b(b>-1)的方程有唯一的解,
令 h(b)=2mln(b+1)+ 2
b+1
+mln m-m-1,
则 h′(b)= 2m
b+1
-
2
b+12
=
2[mb+1-1]
b+12
,
方程组有解时,m>0,所以 h(b)在
-1,-1+1
m 上单调递减,在
-1+1
m
,+∞
上单
调递增,
所以 h(b)min=h
-1+1
m =m-mln m-1,
因为 b→+∞,h(b)→+∞,b→-1,h(b)→+∞,
所以只需 m-mln m-1=0.
令 p(m)=m-mln m-1,则 p′(m)=-ln m在 m>0时为单调递减函数,且 m=1时,
p′(m)=0.
所以 p(m)max=p(1)=0,
所以 m=1时,关于 b(b>-1)的方程 2mln(b+1)+ 2
b+1
+mln m-m-1=0有唯一解,
此时 a=b=0,公切线为 y=x.
[方法技巧]
利用导数解决切线问题的方法
(1)已知切点 A(x0,f(x0))求斜率 k,即求该点处的导数值:k=f′(x0).
(2)已知斜率 k,求切点 A(x1,f(x1)),即解方程 f′(x1)=k.
(3)已知过某点M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为 k时,常需设出切点 A(x0,f(x0)),
利用 k=fx1-fx0
x1-x0
求解.
定积分及应用
[典例] (1)(2018·东营模拟)设 f(x)=
x2,x∈[0,1],
2-x,x∈1,2],
则 错误!f(x)dx等于( )
A.3
4
B.4
5
C.5
6
D.不存在
(2)设 f(x)=
1-x2,x∈[-1,1,
x2-1,x∈[1,2],
则 错误!f(x)dx的值为( )
A.π
2
+
4
3
B.π
2
+3
C.π
4
+
4
3
D.π
4
+3
(3)设 a>0,若曲线 y= x与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积为 a2,则 a=
________.
[解析] (1)如图,错误!f(x)dx=错误!x2dx+错误!(2-x)dx=1
3
x3|1
0
+
2x-1
2
x2 |2
1
=
1
3
+
4-2-2+1
2 =
5
6
.
(2) 错误!f(x)dx=错误! 1-x2dx+错误!(x2-1)dx,
因为错误! 表示圆心在原点,半径为 1的上半圆的面积,则 错误! 1-x2dx=π
2
;
错误! (x2-1)dx=
1
3
x3-x 21=
4
3
,
所以 错误!f(x)dx=π
2
+
4
3
.
(3)封闭图形如图所示,
则 错误! xdx=2
3
x
3
2 |a
0
=
2
3
a
3
2 -0=a2,解得 a=4
9
.
[答案] (1)C (2)A (3)4
9
[方法技巧]
求定积分的 2种方法及注意事项
(1)定理法
运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点:
①对被积函数要先化简,再求积分;
②求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求
和;
③对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值符号再求积分;
④注意用“F′(x)=f(x)”检验积分的对错.
(2)面积法
根据定积分的几何意义可利用面积求定积分.
[即时演练]
1.(2018·西安调研)定积分错误!(2x+ex)dx的值为( )
A.e+2 B.e+1
C.e D.e-1
解析:选 C 错误!(2x+ex)dx=(x2+ex)10=1+e1-1=e.故选 C.
2.直线 y=2x+3与抛物线 y=x2所围成封闭图形的面积为________.
解析:
如图,由方程组
y=2x+3,
y=x2,
可得 x1=-1,x2=3,故所求图形面积为 S=错误! [(2x
+3)-x2]dx=错误!-1(2x+3)dx-错误!x2dx=(x2+3x) |
3
-1
-
1
3
x3|
3
-1
=
32
3
.
答案:
32
3
3.如图,在长方形 OABC内任取一点 P,则点 P落在阴影部分的概率为________.
解析:由图知长方形 OABC的面积为 e;
函数 y=ax过点(1,e),则 a=e,所以曲线的方程为 y=ex,A,D在直线 y=1-x上,
所以阴影部分的面积 S=错误!(ex+x-1)dx=
ex+1
2
x2-x 10=e-3
2
,
所以在长方形 OABC内任取一点 P,则点 P落在阴影部分的概率 P=
e-3
2
e
=1- 3
2e
.
答案:1- 3
2e
1.(2014·全国卷Ⅱ)设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:选 D y′=a- 1
x+1
,由题意得 y′x=0=2,即 a-1=2,所以 a=3.
2.(2017·全国卷Ⅰ)曲线 y=x2+1
x
在点(1,2)处的切线方程为________.
解析:因为 y′=2x- 1
x2
,所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为 y′|x=1=2×1- 1
12
=1,
所以切线方程为 y-2=x-1,即 x-y+1=0.
答案:x-y+1=0
3.(2016·全国卷Ⅱ)若直线 y=kx+b是曲线 y=ln x+2 的切线,也是曲线 y=ln(x+1)
的切线,则 b=________.
解析:y=ln x+2的切线方程为:
y= 1
x1
·x+ln x1+1(设切点横坐标为 x1),
y=ln(x+1)的切线方程为:
y= 1
x2+1
x+ln(x2+1)- x2
x2+1
(设切点的横坐标为 x2),
∴
1
x1
=
1
x2+1
,
ln x1+1=lnx2+1- x2
x2+1
,
解得 x1=
1
2
,x2=-
1
2
,
∴b=ln x1+1=1-ln 2.
答案:1-ln 2
4.(2015·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),
则 a=________.
解析:∵f′(x)=3ax2+1,
∴f′(1)=3a+1.又 f(1)=a+2,
∴切线方程为 y-(a+2)=(3a+1)(x-1).
∵切线过点(2,7),
∴7-(a+2)=3a+1,解得 a=1.
答案:1
5.(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1
相切,则 a=________.
解析:∵y=x+ln x,
∴y′=1+1
x
,y′x=1=2.
∴曲线 y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为
y-1=2(x-1),即 y=2x-1.
∵y=2x-1与曲线 y=ax2+(a+2)x+1相切,
∴a≠0(当 a=0时曲线变为 y=2x+1与已知直线平行).
由
y=2x-1,
y=ax2+a+2x+1,
消去 y,
得 ax2+ax+2=0.
由Δ=a2-8a=0,解得 a=8.
答案:8
一、选择题
1.若 a=错误!xdx,则二项式
x-a+1
x 6展开式中的常数项是( )
A.20 B.-20
C.-540 D.540
解析:选 C a=错误!xdx=1
2
x|
2
0
=2,则
x-3
x 6展开式的通项 Tr+1=(-3)rCr6x6-2r,令
6-2r=0可得 r=3,则常数项是 T4=(-3)3C36=-540.
2.(2018·衡水调研)曲线 y=1- 2
x+2
在点(-1,-1)处的切线方程为( )
A.y=2x+1 B.y=2x-1
C.y=-2x-3 D.y=-2x-2
解析:选 A ∵y=1- 2
x+2
=
x
x+2
,
∴y′=
x+2-x
x+22
=
2
x+22
,y′|x=-1=2,
∴曲线在点(-1,-1)处的切线斜率为 2,
∴所求切线方程为 y+1=2(x+1),
即 y=2x+1.
3.(2018·济南一模)已知曲线 f(x)=ln x的切线经过原点,则此切线的斜率为( )
A.e B.-e
C.1
e
D.-
1
e
解析:选 C 法一:∵f(x)=ln x,x∈(0,+∞),
∴f′(x)=1
x
.
设切点 P(x0,ln x0),
则切线的斜率为 k=f′(x0)= 1
x0
=kOP=ln x0
x0
.
∴ln x0=1,∴x0=e,∴k= 1
x0
=
1
e
.
法二:(数形结合法):在同一坐标系下作出 y=ln x及曲线 y=ln x 经过原点的切线,由
图可知,切线的斜率为正,且小于 1,故选 C.
4.已知 f(x)=ln x,g(x)=1
2
x2+mx+7
2
(m<0),直线 l与函数 f(x),g(x)的图象都相切,
且与 f(x)图象的切点为(1,f(1)),则 m的值为( )
A.-1 B.-3
C.-4 D.-2
解析:选 D ∵f′(x)=1
x
,
∴直线 l的斜率为 k=f′(1)=1.
又 f(1)=0,
∴直线 l的方程为 y=x-1.
g′(x)=x+m,设直线 l与 g(x)的图象的切点为(x0,y0),
则有 x0+m=1,y0=x0-1,
又因为 y0=
1
2
x20+mx0+
7
2
(m<0),
解得 m=-2,故选 D.
5.(2018·南昌二中模拟)设点 P是曲线 y=x3- 3x+2
3
上的任意一点,P点处切线倾斜
角α的取值范围为( )
A.
0,π
2 ∪
5π
6
,π
B.
2π
3
,π
C.
0,π
2 ∪
2π
3
,π
D.
π
2
,
5π
6
解析:选 C 因为 y′=3x2- 3≥- 3,故切线斜率 k≥- 3,所以切线倾斜角α的取
值范围是
0,π
2 ∪
2π
3
,π
.
6.已知曲线 y= 1
ex+1
,则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( )
A.x+4y-2=0 B.x-4y+2=0
C.4x+2y-1=0 D.4x-2y-1=0
解析:选 A y′=
-ex
ex+12
=
-1
ex+1
ex
+2
,因为 ex>0,所以 ex+1
ex
≥2 ex×1
ex
=2(当且
仅当 ex=1
ex
,即 x=0时取等号),则 ex+1
ex
+2≥4,故 y′=
-1
ex+1
ex
+2
≥-
1
4
(当 x=0时取等
号).当 x=0时,曲线的切线斜率取得最大值,此时切点的坐标为
0,1
2 ,切线的方程为 y
-
1
2
=-
1
4
(x-0),即 x+4y-2=0.故选 A.
二、填空题
7.若 a 和 b是计算机在区间(0,2)上产生的随机数,那么函数 f(x)=lg(ax2+4x+4b)的
值域为 R的概率为________.
解析:由题意知
00,
Δ=16-16ab≥0,
化简可得
a>0,
ab≤1,
如图所示,
不等式
a>0,
b>0,
ab≤1
所表示的图形的面积
S=2×1
2
+错误!1
2
1
a
da=1+ln a21
2
=1+2ln 2,
所以所求事件的概率为
1+2ln 2
4
.
答案:
1+2ln 2
4
8.已知函数 f(x)=eax+bx(a<0)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=5x+1,且 f(1)+f′(1)
=12.则 a,b的值分别为________.
解析:f(x)=eax+bx,那么 f′(x)=aeax+b,
由
f′0=5,
f1+f′1=12,
得
a+b=5,
aea+b+b+ea=12,
化简得(ea-2)(a+1)=0,
由 a<0,得 a=-1,b=6.
答案:-1,6
9.(2017·东营一模)函数 f(x)=xln x在点 P(x0,f(x0))处的切线与直线 x+y=0垂直,则
切点 P(x0,f(x0))的坐标为________.
解析:∵f(x)=xln x,
∴f′(x)=ln x+1,
由题意得 f′(x0)·(-1)=-1,
即 f′(x0)=1⇔ln x0+1=1⇔ln x0=0⇔x0=1,
∴f(x0)=1·ln 1=0,
∴P(1,0).
答案:(1,0)
10.设过曲线 f(x)=-ex-x(e 为自然对数的底数)上的任意一点的切线为 l1,总存在过
曲线 g(x)=mx-3sin x上的一点处的切线 l2,使 l1⊥l2,则 m的取值范围是________.
解析:设曲线 f(x)上任意一点 A(x1,y1),曲线 g(x)上存在一点 B(x2,y2),f′(x)=-ex
-1,g′(x)=m-3cos x.
由题意可得 f′(x1)g′(x2)=-1,且 f′(x1)=-ex1-1∈(-∞,-1),g′(x2)=m-3cos
x2∈[m-3,m+3].
因为过曲线 f(x)=-ex-x(e 为自然对数的底数)上的任意一点的切线为 l1,总存在过曲
线 g(x)=mx-3sin x上的一点处的切线 l2,使 l1⊥l2,
所以(0,1)⊆[m-3,m+3],所以 m-3≤0,且 m+3≥1,解得-2≤m≤3.
答案:[-2,3]
三、解答题
11.已知函数 f(x)=1
3
x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线 C.
(1)求过曲线 C上任意一点切线斜率的取值范围;
(2)若在曲线 C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线 C的切点的横坐标
的取值范围.
解:(1)由题意得 f′(x)=x2-4x+3,
则 f′(x)=(x-2)2-1≥-1,
即过曲线 C上任意一点切线斜率的取值范围是[-1,+∞).
(2)设曲线 C的其中一条切线的斜率为 k,
则由题意,及(1)可知,
k≥-1,
-
1
k
≥-1,
解得-1≤k<0或 k≥1,
故由-1≤x2-4x+3<0或 x2-4x+3≥1,
得 x∈(-∞,2- 2]∪(1,3)∪[2+ 2,+∞).
12.已知函数 f(x)=1
2
x2-ax+(3-a)ln x,a∈R.
(1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线 2x-y+1=0垂直,求 a的值;
(2)设 f(x)有两个极值点 x1,x2,且 x1-5.
解:(1)∵f′(x)=x-a+3-a
x
=
x2-ax+3-a
x
,
∴f′(1)=4-2a,
由题意知 4-2a=-
1
2
,解得 a=9
4
.
(2)证明:由题意知,x1,x2为 f′(x)=0的两根,
∴
Δ=a2-43-a>0,
a>0,
3-a>0,
∴20,故 h′(a)在(2,3)上递增.
又 h′(2)=-2<0,a→3时,h′(a)→+∞,
∴∃a0∈(2,3),当 a∈(2,a0)时,h(a)递减,当 a∈(a0,3)时,h(a)递增,
∴h(a)min=h(a0)=-
1
2
a20+a0-3+(3-a0)·(-a0)=
1
2
a20-2a0-3=1
2
(a0-2)2-5>-5,
∴∀a∈(2,3),h(a)>-5,
综上,f(x1)+f(x2)>-5.
1.(2018·广东七校联考)已知函数 y=x2的图象在点(x0,x20)处的切线为 l,若 l也与函数
y=ln x,x∈(0,1)的图象相切,则 x0必满足( )
A.01,
设切点为(t,ln t),
则切线 l的方程为 y=1
t
x+ln t-1,
因为函数 y=x2的图象在点(x0,x20)处的切线 l的斜率为 2x0,
则切线方程为 y=2x0x-x20,
因为 l也与函数 y=ln x,x∈(0,1)的图象相切,
则有
2x0=1
t
,
x20=1-ln t,
则 1+ln 2x0=x20,x0∈(1,+∞).
令 g(x)=x2-ln 2x-1,x∈(1,+∞),
所以该函数的零点就是 x0,则排除 A、B;
又因为 g′(x)=2x-1
x
=
2x2-1
x
>0,
所以函数 g(x)在(1,+∞)上单调递增.
又 g(1)=-ln 2<0,g( 2)=1-ln 2 2<0,g( 3)=2-ln 2 3>0,
从而 22),
则φ(M,N)=
|3x21-3x22|
x1-x22+x31+2-x32-22
=
|3x21-3x22|
x1-x22[1+x21+x1x2+x222]
=
3|x1-x2|·|x1+x2|
|x1-x2| 1+[x1+x22-x1x2]2
=
3|x1+x2|
1+[x1+x22-1]2
=
3|t|
1+t2-12
=
3
t2+2
t2
-2
.
设 g(x)=x+2
x
,x>4,则 g′(x)=1- 2
x2
>0,所以 g(x)在(4,+∞)上单调递增,所以 g(x)>g(4)
=
9
2
.
所以 t2+2
t2
-2>5
2
,
所以 0<φ(M,N)<3 10
5
.
答案:
0,3 10
5
高考研究课二函数单调性必考,导数工具离不了
[全国卷 5年命题分析]
考点 考查频度 考查角度
函数单调性 5年 6考 讨论单调性及证明单调性问题
函数单调性的判断
[典例] (2016·山东高考节选)已知 f(x)=a(x-ln x)+2x-1
x2
,a∈R,讨论 f(x)的单调性.
[解] f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=a-a
x
-
2
x2
+
2
x3
=
ax2-2x-1
x3
.
当 a≤0,x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
当 a>0时,f′(x)=ax-1
x3
x- 2
a
x+ 2
a .
①若 0<a<2,则
2
a
>1,
当 x∈(0,1)或 x∈
2
a,+∞ 时,
f′(x)>0,f(x)单调递增;
当 x∈
1, 2
a 时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
②若 a=2,则
2
a
=1,在 x∈(0,+∞)内,f′(x)≥0,f(x)单调递增.
③若 a>2,则 0< 2
a
<1,
当 x∈
0, 2
a 或 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
当 x∈
2
a,1 时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
综上所述,当 a≤0时,f(x)在(0,1)内单调递增,
在(1,+∞)内单调递减;
当 0<a<2时,f(x)在(0,1)内单调递增,在
1, 2
a 内单调递减,在
2
a,+∞ 内
单调递增;
当 a=2时,f(x)在(0,+∞)内单调递增;
当 a>2时,f(x)在
0, 2
a 内单调递增,在
2
a,1 内单调递减,在(1,+∞)内单
调递增.
[方法技巧]
导数法判断函数 f(x)在(a,b)内单调性的步骤
(1)求 f′(x);
(2)确定 f′(x)在(a,b)内的符号;
(3)作出结论:f′(x)>0时为增函数;f′(x)<0时为减函数.
[提醒] 研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行
分类讨论.
[即时演练]
1.(2017·芜湖一模)函数 f(x)=ex-ex,x∈R的单调递增区间是( )
A.(0,+∞) B.(-∞,0)
C.(-∞,1) D.(1,+∞)
解析:选 D 由题意知,f′(x)=ex-e,令 f′(x)>0,解得 x>1,故选 D.
2.(2016·全国卷Ⅱ节选)讨论函数 f(x)=x-2
x+2
ex的单调性,并证明当 x>0 时,(x-2)ex
+x+2>0.
解:f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞).
f′(x)=x-1x+2ex-x-2ex
x+22
=
x2ex
x+22
≥0,
当且仅当 x=0时,f′(x)=0,所以 f(x)在(-∞,-2),(-2,+∞)上单调递增.
因此当 x∈(0,+∞)时,f(x)>f(0)=-1.
所以(x-2)ex>-(x+2),即(x-2)ex+x+2>0.
利用导数研究函数单调性的应用
函数的单调性是高考命题的重点,其应用是考查热点.,常见的命题角度有:
1y=fx与 y=f′x的图象辨识;
2比较大小;
3已知函数单调性求参数的取值范围;
4构造函数解不等式.
角度一:y=f(x)与 y=f′(x)的图象辨识
1.已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d,若函数 f(x)的图象如图所示,
则一定有( )
A.b>0,c>0 B.b<0,c>0
C.b>0,c<0 D.b<0,c<0
解析:选 B 由函数的图象与 y 轴的交点在原点的上方可知,d>0,f′(x)=3ax2+2bx
+c,由函数的图象可知,函数 f(x)有两个极值点,且先增,再减,最后增,所以方程 f′(x)
=0有两个大于 0不同的实根,且 a>0,由根与系数的关系可得-
2b
3a
>0,c
3a
>0,则 b<0,c>0.
2.已知函数 y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数 y=f′(x)
的图象如图所示,则该函数的图象是( )
解析:选 B 由函数 f(x)的导函数 y=f′(x)的图象自左至右是先增后减,可知函数 y=
f(x)图象的切线的斜率自左至右先增大后减小.
角度二:比较大小
3.设定义在 R上的函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(2-x)=f(x),f′x
x-1
<0,若 x1
+x2>2,x1f(x2)
D.f(x1)与 f(x2)的大小不能确定
解析:选 C 由 f(2-x)=f(x),可得函数 f(x)的图象关于直线 x=1对称,
当 x>1时,x-1>0,因为
f′x
x-1
<0,所以 f′(x)<0,
所以函数 f(x)在(1,+∞)上是减函数,在(-∞,1)上是增函数.
因为 x1+x2>2,x1f(x2).
角度三:已知函数单调性求参数的取值范围
4.(2018·宝鸡一检)已知函数 f(x)=x2+4x+aln x,若函数 f(x)在(1,2)上是单调函数,则
实数 a的取值范围是( )
A.(-6,+∞)
B.(-∞,-16)
C.(-∞,-16]∪[-6,+∞)
D.(-∞,-16)∪(-6,+∞)
解析:选 C ∵f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=2x+4+a
x
=
2x2+4x+a
x
,
f(x)在(1,2)上是单调函数,
∴f′(x)≥0或 f′(x)≤0在(1,2)上恒成立,
即 2x2+4x+a≥0或 2x2+4x+a≤0在(1,2)上恒成立,
即 a≥-(2x2+4x)或 a≤-(2x2+4x)在(1,2)上恒成立.
记 g(x)=-(2x2+4x),1<x<2,
则-16<g(x)<-6,
∴a≥-6或 a≤-16,故选 C.
5.(2018·成都模拟)已知函数 f(x)=-
1
2
x2+4x-3ln x 在区间[t,t+1]上不单调,则 t
的取值范围是________.
解析:由题意知 f′(x)=-x+4-3
x
=-
x-1x-3
x
,由 f′(x)=0 得函数 f(x)的两个极
值点为 1和 3,则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数 f(x)在区间[t,t+1]上
就不单调,
∴1∈(t,t+1)或 3∈(t,t+1)⇔
t<1,
t+1>1
或
t<3,
t+1>3
⇔0<t<1或 2<t<3.
答案:(0,1)∪(2,3)
[方法技巧]
由函数的单调性求参数的范围的方法
(1)可导函数 f(x)在 D 上单调递增(或递减)求参数范围问题,可转化为 f′(x)≥0(或
f′(x)≤0)对 x∈D恒成立问题,再参变分离,转化为求最值问题,要注意“=”是否取到.
(2)可导函数在某一区间上存在单调区间,实际上就是 f′(x)>0(或 f′(x)<0)在该区间
上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题.
(3)若已知 f(x)在区间 I上的单调性,区间 I中含有参数时,可先求出 f(x)的单调区间,
令 I是其单调区间的子集,从而可求出参数的取值范围.
(4)若已知 f(x)在 D上不单调,则 f(x)在 D上有极值点,且极值点不是 D的端点.
角度四:构造函数解不等式
6.设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f′(x)g(x)+
f(x)g′(x)>0,且 g(3)=0.则不等式 f(x)g(x)<0的解集是( )
A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)
解析:选 D 令 h(x)=f(x)g(x),h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0(x<0),所以函数 h(x)
=f(x)g(x)在(-∞,0)上是增函数,又因为 f(x),g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数,
所以 h(x)=f(x)g(x)是 R上的奇函数,所以函数 h(x)=f(x)g(x)在(0,+∞)上是增函数,又因
为 g(3)=0,所以 h(3)=h(-3)=0,所以不等式 f(x)g(x)<0的解集是(-∞,-3)∪(0,3).
7.设函数 f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数,其导函数为 f′(x),且有 2f(x)+
xf′(x)>x2,则不等式(x+2 018)2f(x+2 018)-f(-1)<0的解集为________.
解析:令 g(x)=x2f(x),由 2f(x)+xf′(x)>x2(x<0),得 g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)=x[2f(x)
+xf′(x)]1 时,f′(x)=k-1
x
≥0 恒成立,即 k≥1
x
在区间(1,+∞)上恒成立.因为
x>1,所以 0<1
x
<1,所以 k≥1.故选 D.
3.(2017·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=ex(ex-a)-a2x.
(1)讨论 f(x)的单调性;
(2)若 f(x)≥0,求 a的取值范围.
解:(1)函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞),
f′(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).
①若 a=0,则 f(x)=e2x在(-∞,+∞)上单调递增.
②若 a>0,则由 f′(x)=0,得 x=ln a.
当 x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0;
当 x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0.
故 f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.
③若 a<0,则由 f′(x)=0,得 x=ln
-
a
2 .
当 x∈ -∞,ln
-
a
2 时,f′(x)<0;
当 x∈ ln
-
a
2 ,+∞ 时,f′(x)>0.
故 f(x)在 -∞,ln
-
a
2 上单调递减,
在 ln
-
a
2 ,+∞ 上单调递增.
(2)①若 a=0,则 f(x)=e2x,所以 f(x)≥0.
②若 a>0,则由(1)得,当 x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为 f(ln a)=-a2ln a.
从而当且仅当-a2ln a≥0,即 0<a≤1时,f(x)≥0.
③若 a<0,则由(1)得,当 x=ln
-
a
2 时,f(x)取得最小值,最小值为 f ln
-
a
2 =
a2
3
4
-ln
-
a
2 .从而当且仅当 a2
3
4
-ln
-
a
2
≥0,
即-2e3
4
≤a<0时,f(x)≥0.
综上,a的取值范围是
-2e3
4
,1
.
一、选择题
1.已知函数 f(x)=ln x+x2-3x(a∈R),则函数 f(x)的单调递增区间为( )
A.
-∞,
1
2 B.(1,+∞)
C.
-∞,
1
2 和(1,+∞) D.
0,1
2 和(1,+∞)
解析:选 D f′(x)=2x2-3x+1
x
(x>0),令 f′(x)=0,得 x=1
2
或 x=1,当 01
时,f′(x)>0,所以 f(x)的单调递增区间为
0,1
2 和(1,+∞).
2.(2017·浙江高考)函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)的
图象可能是( )
解析:选 D 由 f′(x)的图象知,f′(x)的图象有三个零点,故 f(x)在这三个零点处取
得极值,排除 A、B;记导函数 f′(x)的零点从左到右分别为 x1,x2,x3,因为在(-∞,x1)
上 f′(x)<0,在(x1,x2)上 f′(x)>0,所以函数 f(x)在(-∞,x1)上单调递减,排除 C,故选
D.
3.对于 R上可导的任意函数 f(x),若满足
1-x
f′x
≤0,则必有( )
A.f(0)+f(2)>2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1)
C.f(0)+f(2)<2f(1) D.f(0)+f(2)≥2f(1)
解析:选 A 当 x<1 时,f′(x)<0,此时函数 f(x)单调递减,当 x>1时,f′(x)>0,
此时函数 f(x)单调递增,
∴当 x=1时,函数 f(x)取得极小值同时也取得最小值,
所以 f(0)>f(1),f(2)>f(1),则 f(0)+f(2)>2f(1).
4.已知函数 f(x)=xsin x,x1,x2∈
-
π
2
,
π
2 ,且 f(x1)<f(x2),那么( )
A.x1-x2>0 B.x1+x2>0
C.x21-x22>0 D.x21-x22<0
解析:选 D 由 f(x)=xsin x得 f′(x)=sin x+xcos x=cos x(tan x+x),当 x∈
0,π
2 时,
f′(x)>0,即 f(x)在
0,π
2 上为增函数,又 f(-x)=-xsin(-x)=xsin x,因而 f(x)为偶函数,
∴当 f(x1)<f(x2)时,有 f(|x1|)<f(|x2|),∴|x1|<|x2|,x21-x22<0,故选 D.
5.(2017·吉林长春三模)定义在 R上的函数 f(x)满足:f′(x)>f(x)恒成立,若 x1<x2,
则 ex1f(x2)与 ex2f(x1)的大小关系为( )
A.ex1f(x2)>ex2f(x1)
B.ex1f(x2)<ex2f(x1)
C.ex1f(x2)=ex2f(x1)
D.ex1f(x2)与 ex2f(x1)的大小关系不确定
解析:选 A 设 g(x)=fx
ex
,则 g′(x)=f′xex-fxex
ex2
=
f′x-fx
ex
,由题意知 g′(x)
>0,所以 g(x)单调递增,当 x1<x2时,g(x1)<g(x2),即
fx1
ex1
<
fx2
ex2
,所以 ex1f(x2)>ex2f(x1).
6.已知定义在 R上的函数 y=f(x)满足条件 f(x+4)=-f(x),且函数 y=f(x+2)是偶函
数,当 x∈(0,2]时,f(x)=ln x-ax
a>1
2 ,当 x∈[-2,0)时,f(x)的最小值为 3,则 a 的值为
( )
A.e2 B.e
C.2 D.1
解析:选 A 因为函数 y=f(x+2)是偶函数,即对称轴为 x=0,
所以函数 y=f(x)的对称轴为 x=2,
当 x∈[2,4)时,4-x∈(0,2],
所以 f(x)=f(4-x)=ln(4-x)-a(4-x).
因为 f(x+4)=-f(x),
所以 x∈[-2,0)时,x+4∈[2,4),
f(x)=-f(x+4)=-ln[4-(x+4)]+a[4-(x+4)]
=-ln(-x)-ax,
所以 f′(x)=-
1
x
-a,令 f′(x)=0,得 x=-
1
a
,
因为 a>1
2
,所以-
1
a
∈(-2,0),
当-2≤x<-1
a
时,f′(x)<0,当-
1
a
0,
所以 f(x)在
-2,-
1
a 上是减函数,在
-
1
a
,0
上是增函数,
所以当 x=-
1
a
时,f(x)取得最小值 f
-
1
a =-ln
1
a +1,
因为 f(x)在[-2,0)上的最小值为 3,
所以-ln
1
a +1=3,解得 a=e2.
二、填空题
7.设函数 f(x)=x(ex-1)-1
2
x2,则函数 f(x)的单调增区间为________.
解析:因为 f(x)=x(ex-1)-1
2
x2,所以 f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).令 f′(x)>0,
即(ex-1)·(x+1)>0,解得 x∈(-∞,-1)或 x∈(0,+∞).所以函数 f(x)的单调增区间为(-
∞,-1)和(0,+∞).
答案:(-∞,-1)和(0,+∞)
8.已知函数 f(x)=xln x-ax2-x.若函数 f(x)在定义域上为减函数,则实数 a的取值范
围是________.
解析:由题意可知函数 f(x)的定义域为(0,+∞).
f′(x)=ln x-2ax,因为函数 f(x)在定义域上为减函数,
所以 ln x-2ax≤0,即 a≥ln x
2x
在(0,+∞)上恒成立,
令 g(x)=ln x
2x
,则 g′(x)=1-ln x
2x2
,
当 00;当 x>e时,g′(x)<0,
所以 g(x)max=g(e)= 1
2e
,
所以 a≥ 1
2e
.
答案:
1
2e
,+∞
9.(2018·兰州诊断)若函数 f(x)=x2-ex-ax在 R上存在单调递增区间,则实数 a的取
值范围是________.
解析:∵f(x)=x2-ex-ax,∴f′(x)=2x-ex-a,
∵函数 f(x)=x2-ex-ax在 R上存在单调递增区间,
∴f′(x)=2x-ex-a≥0有解,即 a≤2x-ex有解,
设 g(x)=2x-ex,则 g′(x)=2-ex,
令 g′(x)=0,解得 x=ln 2,
则当 x<ln 2时,g′(x)>0,g(x)单调递增,
当 x>ln 2时,g′(x)<0,g(x)单调递减,
∴当 x=ln 2时,g(x)取得最大值,且 g(x)max=g(ln 2)=2ln 2-2,∴a≤2ln 2-2.
答案:(-∞,2ln 2-2]
三、解答题
10.已知函数 f(x)=x-2
x
+1-aln x,a>0.讨论 f(x)的单调性.
解:由题意知,f(x)的定义域是(0,+∞),导函数 f′(x)=1+ 2
x2
-
a
x
=
x2-ax+2
x2
.
设 g(x)=x2-ax+2,二次方程 g(x)=0的判别式Δ=a2-8.
①当Δ≤0,即 0<a≤2 2时,对一切 x>0都有 f′(x)≥0.
此时 f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数.
②当Δ>0,即 a>2 2时,方程 g(x)=0 有两个不同的实根 x1=
a- a2-8
2
,x2=
a+ a2-8
2
,0<x1<x2.
由 f′(x)>0,得 0x2.
由 f′(x)<0,得 x10,
所以 g(x)在[a,+∞)上为增函数.
令 h(x)=1
3
x3-x+a,则 h′(x)=x2-1.
令 h′(x)=0,得 x=±1,所以 h(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,在(-1,1)上
为减函数.
(1)因为 f(x)在 R上是增函数,所以 h(x)在(-∞,a)上为增函数,所以 a≤-1.
故 a的取值范围为(-∞,-1].
(2)因为函数 f(x)在 R上不单调,所以 a>-1.
当-10)图象的两条不同切线,求实数 a 的取值
范围.
解:(1)f′(x)=-ax2+x+a-1
x
=
-[ax+a-1]x-1
x
.
①当 a=1
2
时,f′(x)≤0,此时,f(x)在(0,+∞)上是减函数.
②当 a≤0时,由 f′(x)>0,得 x>1;
由 f′(x)<0,得 00,得 11
a
-1.
此时,f(x)在(0,1)和
1
a
-1,+∞
上是减函数,在
1,1
a
-1
上是增函数.
(2)y=-
1
3
x3+a
2
x2-2x,y′=-x2+ax-2,设点 P
t,-
1
3
t3+a
2
t2-2t
(t>0)是函数 y=g(x)
-f(x)图象上的切点,则过点 P的切线的斜率为 k=-t2+at-2,
所以过点 P的切线方程为 y+1
3
t3-a
2
t2+2t=(-t2+at-2)(x-t).
因为点
0,-
1
3 在切线上,
所以-
1
3
+
1
3
t3-a
2
t2+2t=(-t2+at-2)(0-t),
即
2
3
t3-1
2
at2+1
3
=0.
若过点
0,-
1
3 可作函数 y=g(x)-f(x)图象的两条不同切线,
则方程
2
3
t3-1
2
at2+1
3
=0有两个不同的正数解.
令 h(x)=2
3
x3-1
2
ax2+1
3
,则函数 y=h(x)与 x轴正半轴有两个不同的交点.
令 h′(x)=2x2-ax=0,解得 x=0或 x=a
2
.
因为 h(0)=1
3
,h
a
2 =-
1
24
a3+1
3
,
所以必须 a>0,且 h
a
2 =-
1
24
a3+1
3
<0,解得 a>2.
所以实数 a的取值范围为(2,+∞).
高考研究课(三)
极值、最值两考点,利用导数巧推演
[全国卷 5年命题分析]
考点 考查频度 考查角度
极值 5年 6考 求极值、由极值求参数
最值 5年 5考 求最值、证明最值的存在性
运用导数解决函数的极值问题
函数的极值是每年高考的必考内容,题型既有选择题、填空题,也有解答题,难度适
中,为中高档题.
常见的命题角度有:
1知图判断函数极值;
2已知函数求极值;
3已知极值求参数值或范围.
角度一:知图判断函数极值
1.(2018·赤峰模拟 )设函数 f(x)在定义域 R 上可导,其导函数为
f′(x),若函数 y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成
立的是( )
A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)
B.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1)
C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2)
D.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2)
解析:选 D 由题图可知,当 x<-2时,f′(x)>0;当 x=-2时,f′(x)=0;当-2
<x<1时,f′(x)<0;当 1<x<2时,f′(x)<0;当 x=2时,f′(x)=0;当 x>2时,f′(x)
>0.由此可得函数 f(x)在 x=-2处取得极大值,在 x=2处取得极小值.故选 D.
角度二:已知函数求极值
2.已知函数 f(x)=x-1+a
ex
(a∈R,e为自然对数的底数).
(1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x轴,求 a的值;
(2)求函数 f(x)的极值.
解:(1)由 f(x)=x-1+a
ex
,得 f′(x)=1-a
ex
.
又曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x轴,
得 f′(1)=0,即 1-a
e
=0,解得 a=e.
(2)f′(x)=1-a
ex
,
①当 a≤0时,f′(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数 f(x)无极值.
②当 a>0时,令 f′(x)=0,得 ex=a,即 x=ln a.当 x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0;
当 x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0,所以 f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单
调递增,故 f(x)在 x=ln a处取得极小值,且极小值为 f(ln a)=ln a,无极大值.
综上,当 a≤0时,函数 f(x)无极值;当 a>0时,f(x)在 x=ln a处取得极小值 ln a,无
极大值.
角度三:已知极值求参数值或范围
3.设函数 f(x)=ln x-1
2
ax2-bx,若 x=1是 f(x)的极大值点,则 a的取值范围是( )
A.(-1,0) B.(-1,+∞)
C.(0,1) D.(1,+∞)
解析:选 B f′(x)=1
x
-ax-b(x>0),
因为 x=1是 f(x)的极大值点,
所以 f′(1)=1-a-b=0,即 b=1-a,
则 f′(x)=1
x
-ax-1+a=1-xax+1
x
(x>0),
当 a<0时,因为 x=1是 f(x)的极大值点,
所以 f(x)在(0,1),
-
1
a
,+∞
上是增函数,在
1,-
1
a 上是减函数,
则-
1
a
>1,即-10时,f(x)在 (0,1)是增函数,在(1,+∞)上是减函数,
所以 x=1是 f(x)的极大值点.
综上,a的取值范围是(-1,+∞).
4.已知函数 f(x)=ax-x2-ln x,若函数 f(x)存在极值,且所有极值之和小于 5+ln 2,
则实数 a的取值范围是________.
解析:因为 f′(x)=a-2x-1
x
=
-2x2+ax-1
x
(x>0),
设 g(x)=-2x2+ax-1,
当Δ=a2-8≤0时,g(x)≤0恒成立,
所以 f(x)单调递减,故不存在极值.
所以Δ=a2-8>0,设 g(x)=-2x2+ax-1=0的两根为 x1,x2(不妨设 x10,因此 x1,x2同号,
所以问题等价于 g(x)=-2x2+ax-1=0在(0,+∞)上有两个不相等的实数根 x1,x2,
因此
Δ=a2-8>0,
x1+x2=a
2
>0,
x1x2=1
2
>0,
从而 a>2 2.
所以 f(x)的所有极值之和为 f(x1)+f(x2)=ax1-x21-ln x1+ax2-x22-ln x2=a(x1+x2)-
(x1+x2)2+2x1x2-ln x1x2=
a2
2
-
a2
4
+1-ln 1
2
<5+ln 2,
因此 a2<16,解得-42 2,所以实数 a的取值范围是(2 2,4).
答案:(2 2,4)
[方法技巧]
利用导数研究函数极值的一般流程
运用导数解决函数的最值问题
[典例] (2018·日照模拟)设函数 f(x)=(x-1)ex-kx2(k∈R).
(1)当 k=1时,求函数 f(x)的单调区间;
(2)当 k∈
1
2
,1
时,求函数 f(x)在[0,k]上的最大值M.
[解] (1)当 k=1时,f(x)=(x-1)ex-x2,
∴f′(x)=ex+(x-1)ex-2x=x(ex-2).
令 f′(x)=0,得 x1=0,x2=ln 2.
当 x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,0) 0 (0,ln 2) ln 2 (ln 2,+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 极大值 极小值
由表可知, 函数 f(x)的递减区间为(0,ln 2),递增区间为(-∞,0),(ln 2,+∞).
(2)f′(x)=ex+(x-1)ex-2kx=x(ex-2k),
∵
1
2
<k≤1,∴1<2k≤2,
由(1)可知 f(x)在(0,ln 2k)上单调递减,在(ln 2k,+∞)上单调递增.
设 g(x)=x-ln 2x
1
2
<x≤1
,
则 g′(x)=1-1
x
,
∵
1
2
<x≤1,∴1≤1
x
<2,∴-1<1-1
x
≤0,
∴g(x)=x-ln 2x在
1
2
,1
上单调递减,
∵
1
2
<x≤1,
∴g(x)>g(1)=1-ln 2>0,
∴k-ln 2k>0,即 k>ln 2k,
∴f(x)在(0,ln 2k)上单调递减,在(ln 2k,k)上单调递增,
∴f(x)在[0,k]上的最大值应在端点处取得.
而 f(0)=-1,f(k)=(k-1)ek-k3,
下面比较 f(0)与 f(k)的大小.
令 h(k)=f(k)-f(0)=(k-1)ek-k3+1,
则 h′(k)=k(ek-3k),
再令φ(k)=ek-3k,则φ′(k)=ek-3<e-3<0,
∴φ(k)在
1
2
,1
上递减,
而φ
1
2 ·φ(1)=
e-3
2 (e-3)<0,
∴存在 x0∈
1
2
,1
使得φ(x0)=0,且当 k∈
1
2
,x0
时,φ(k)>0,当 k∈(x0,1)时,φ(k)<0,
∴h(k)在
1
2
,x0
上单调递增,在(x0,1)上单调递减.
又 h
1
2 =-
1
2
e+7
8
>0,h(1)=0.
∴h(k)≥0 在
1
2
,1
上恒成立,当且仅当 k=1 时取“=”.综上,函数 f(x)在[0,k]
上的最大值M=(k-1)ek-k3.
[方法技巧]
求函数 f(x)在[a,b]上的最值的步骤
(1)求函数在(a,b)内的极值;
(2)求函数在区间端点的函数值 f(a),f(b);
(3)将函数 f(x)的极值与 f(a),f(b)比较,其中最
大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
[即时演练]
1.若函数 f(x)=1
3
x3+x2-2
3
在区间(a,a+5)上存在最小值,则实数 a的取值范围是( )
A.[-5,0) B.(-5,0)
C.[-3,0) D.(-3,0)
解析:选 C 由题意,f′(x)=x2+2x=x(x+2),故 f(x)
在(-∞,-2),(0,+∞)上是增函数,在(-2,0)上是减函数,
作出其图象如图所示,令
1
3
x3+x2-2
3
=-
2
3
得,x=0或 x=-3,
则结合图象可知
-3≤a<0,
a+5>0,
解得 a∈[-3,0),故选 C.
2.(2018·南昌模拟)已知函数 f(x)=(2x-4)ex+a(x+2)2(x>0,a∈R,e是自然对数的底
数).
(1)若 f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数,求实数 a的取值范围;
(2)当 a∈
0,1
2 时,证明:函数 f(x)有最小值,并求函数 f(x)的最小值的取值范围.
解:(1)f′(x)=2ex+(2x-4)ex+2a(x+2)=(2x-2)ex+2a(x+2),依题意,当 x>0时,
函数 f′(x)≥0恒成立,即 a≥-
x-1ex
x+2
恒成立,记 g(x)=-
x-1ex
x+2
,
则 g′(x)=-
xexx+2-x-1ex
x+22
=-
x2+x+1ex
x+22
<0,
所以 g(x)在(0,+∞)上单调递减,
所以 g(x)0,
所以 y=f′(x)是(0,+∞)上的增函数.
又 f′(0)=4a-2<0,f′(1)=6a>0,
所以存在 t∈(0,1),使得 f′(t)=0,
当 x∈(0,t)时,f′(x)<0,当 x∈(t,+∞)时,f′(x)>0,
所以 f(x)min=f(t)=(2t-4)et+a(t+2)2.
由 f′(t)=0⇒a=-
t-1et
t+2
,
则 f(x)min=f(t)=(2t-4)et-(t-1)(t+2)et=et(-t2+t-2).
记 h(t)=et(-t2+t-2),
则 h′(t)=et(-t2-t-1)<0,t∈(0,1),
所以当 t∈(0,1)时,h(1)0,解得 x<-2或 x>1,
令 f′(x)<0,解得-23,其中 k∈Z.由题意,存在整数 k使得不等式 m21-
k+1
2 2>3成立.当
k≠-1且 k≠0时,必有
k+1
2 2>1,此时不等式显然不能成立,故 k=-1或 k=0,此时,
不等式即为
3
4
m2>3,解得 m<-2或 m>2.
3.(2013·全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( )
A.∃x0∈R,f(x0)=0
B.函数 y=f(x)的图象是中心对称图形
C.若 x0是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞,x0)单调递减
D.若 x0是 f(x)的极值点,则 f′(x0)=0
解析:选 C 因为函数 f(x)的值域为 R,所以一定存在 x0∈R,使 f(x0)=0,故 A正确,
函数 f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(x+m)3+n(x+m)+h的形式,通过平移函
数图象,函数的解析式可以化为 y=x3+nx 的形式,这是一个奇函数,其图象关于坐标原点
对称,故函数 f(x)的图象是中心对称图形,选项 B中的结论正确;由于 f′(x)=3x2+2ax+
b是二次函数,若 f(x)有极小值点 x0,必定有一个极大值点 x1,且 x10,所以 f(x)在(0,+∞)上单调递增.
若 a>0,则当 x∈
0,1
a 时,f′(x)>0;
当 x∈
1
a
,+∞
时,f′(x)<0.
所以 f(x)在
0,1
a 上单调递增,在
1
a
,+∞
上单调递减.
(2)由(1)知,当 a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;
当 a>0时,f(x)在 x=1
a
处取得最大值,最大值为
f
1
a =ln
1
a +a
1-1
a =-ln a+a-1.
因此 f
1
a >2a-2等价于 ln a+a-1<0.
令 g(a)=ln a+a-1,则 g(a)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0.
于是,当 01时,g(a)>0.
因此,a的取值范围是(0,1).
5.(2013·全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)=x2e-x.
(1)求 f(x)的极小值和极大值;
(2)当曲线 y=f(x)的切线 l的斜率为负数时,求 l在 x轴上截距的取值范围.
解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),
f′(x)=-e-xx(x-2).①
当 x∈(-∞,0)或 x∈(2,+∞)时,f′(x)<0;当 x∈(0,2)时,f′(x)>0.
所以 f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递减,在(0,2)上单调递增.
故当 x=0 时,f(x)取得极小值,极小值为 f(0)=0;当 x=2时,f(x)取得极大值,极大
值为 f(2)=4e-2.
(2)设切点为(t,f(t)),则 l的方程为
y=f′(t)(x-t)+f(t).
所以 l在 x轴上的截距为
m(t)=t- ft
f′t
=t+ t
t-2
=t-2+ 2
t-2
+3.
由已知和①得 t∈(-∞,0)∪(2,+∞).
令 h(x)=x+2
x
(x≠0),则当 x∈(0,+∞)时,h(x)的取值范围为[2 2,+∞);当 x∈(-
∞,-2)时,h(x)的取值范围是(-∞,-3).
所以当 t∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,
m(t)的取值范围是(-∞,0)∪[2 2+3,+∞).
综上,l在 x轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪[2 2+3,+∞).
6.(2017·江苏高考)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数 f′(x)
的极值点是 f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
(1)求 b关于 a的函数关系式,并写出定义域;
(2)证明:b2>3a;
(3)若 f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于-
7
2
,求 a的取值范围.
解:(1)由 f(x)=x3+ax2+bx+1,
得 f′(x)=3x2+2ax+b=3
x+a
3 2+b-a2
3
.
当 x=-
a
3
时,f′(x)有极小值 b-a2
3
.
因为 f′(x)的极值点是 f(x)的零点,
所以 f
-
a
3 =-
a3
27
+
a3
9
-
ab
3
+1=0,
又 a>0,故 b=2a2
9
+
3
a
.
因为 f(x)有极值,故 f′(x)=0有实根,
从而 b-a2
3
=
1
9a
(27-a3)≤0,即 a≥3.
当 a=3时,f′(x)>0(x≠-1),
故 f(x)在 R上是增函数,f(x)没有极值;
当 a>3时,f′(x)=0有两个相异的实根
x1=
-a- a2-3b
3
,x2=
-a+ a2-3b
3
.
当 x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 极大值 极小值
故 f(x)的极值点是 x1,x2.
从而 a>3.
因此 b=2a2
9
+
3
a
,定义域为(3,+∞).
(2)证明:由(1)知,
b
a
=
2a a
9
+
3
a a
.
设 g(t)=2t
9
+
3
t
,则 g′(t)=2
9
-
3
t2
=
2t2-27
9t2
.
当 t∈
3 6
2
,+∞
时,g′(t)>0,
从而 g(t)在
3 6
2
,+∞
上单调递增.
因为 a>3,所以 a a>3 3,
故 g(a a)>g(3 3)= 3,即
b
a
> 3.
因此 b2>3a.
(3)由(1)知,f(x)的极值点是 x1,x2,且 x1+x2=-
2
3
a,x21+x22=
4a2-6b
9
.
从而 f(x1)+f(x2)=x31+ax21+bx1+1+x32+ax22+bx2+1=x1
3
(3x21+2ax1+b)+x2
3
(3x22+2ax2
+b)+1
3
a(x21+x22)+2
3
b(x1+x2)+2
=
4a3-6ab
27
-
4ab
9
+2=0.
记 f(x),f′(x)所有极值之和为 h(a),
因为 f′(x)的极值为 b-a2
3
=-
1
9
a2+3
a
,
所以 h(a)=-
1
9
a2+3
a
,a>3.
因为 h′(a)=-
2
9
a- 3
a2
<0,
于是 h(a)在(3,+∞)上单调递减.
因为 h(6)=-
7
2
,于是 h(a)≥h(6),故 a≤6.
因此 a的取值范围为(3,6].
7.(2017·山东高考)已知函数 f(x)=x2+2cos x,g(x)=ex(cos x-sin x+2x-2),其中 e
=2.718 28…是自然对数的底数.
(1)求曲线 y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程;
(2)令 h(x)=g(x)-af(x)(a∈R),讨论 h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
解:(1)由题意知 f(π)=π2-2.
又 f′(x)=2x-2sin x,所以 f′(π)=2π,
因此曲线 y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为
y-(π2-2)=2π(x-π),
即 2πx-y-π2-2=0.
(2)由题意得 h(x)=ex(cos x-sin x+2x-2)-a(x2+2cos x),
因为 h′(x)=ex(cos x-sin x+2x-2)+ex(-sin x-cos x+2)-a(2x-2sin x)
=2ex(x-sin x)-2a(x-sin x)
=2(ex-a)(x-sin x),
令 m(x)=x-sin x,
则 m′(x)=1-cos x≥0,
所以 m(x)在 R上单调递增.
因为 m(0)=0,
所以当 x>0时,m(x)>0;
当 x<0时,m(x)<0.
①当 a≤0时,ex-a>0,
当 x<0时,h′(x)<0,h(x)单调递减,
当 x>0时,h′(x)>0,h(x)单调递增,
所以当 x=0时,h(x)取到极小值,
极小值是 h(0)=-2a-1,无极大值.
②当 a>0时,h′(x)=2(ex-eln a)(x-sin x),
由 h′(x)=0,得 x1=ln a,x2=0.
当 00,h(x)单调递增;
当 x∈(ln a,0)时,ex-eln a>0,h′(x)<0,h(x)单调递减;
当 x∈(0,+∞)时,ex-eln a>0,h′(x)>0,h(x)单调递增.
所以当 x=ln a时,h(x)取到极大值,
极大值为 h(ln a)=-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2],
当 x=0时,h(x)取到极小值,极小值是 h(0)=-2a-1;
当 a=1时,ln a=0,
所以当 x∈(-∞,+∞)时,h′(x)≥0,函数 h(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值;
当 a>1时,ln a>0,
所以当 x∈(-∞,0)时,ex-eln a<0,h′(x)>0,h(x)单调递增;
当 x∈(0,ln a)时,ex-eln a<0,h′(x)<0,h(x)单调递减;
当 x∈(ln a,+∞)时,ex-eln a>0,h′(x)>0,h(x)单调递增.
所以当 x=0时 h(x)取到极大值,
极大值是 h(0)=-2a-1;
当 x=ln a时 h(x)取到极小值,
极小值是 h(ln a)=-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2].
综上所述:
当 a≤0时,h(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
函数 h(x)有极小值,无极大值,极小值是 h(0)=-2a-1;
当 01 时,函数 h(x)在(-∞,0)和(ln a,+∞)上单调递增,在(0,ln a)上单调递减,
函数 h(x)有极大值,也有极小值,
极大值是 h(0)=-2a-1,
极小值是 h(ln a)=-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2].
一、选择题
1.函数 f(x)=(x2-1)2+2的极值点是( )
A.x=1 B.x=-1
C.x=1或-1或 0 D.x=0
解析:选 C ∵f(x)=x4-2x2+3,
∴由 f′(x)=4x3-4x=4x(x+1)(x-1)=0,
得 x=0或 x=1或 x=-1,
又当 x<-1时,f′(x)<0,当-10,
当 01时,f′(x)>0,
∴x=0,1,-1都是 f(x)的极值点.
2.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在 x=1处取得极大值 10,则
a
b
的值为( )
A.-
2
3
B.-2
C.-2或-
2
3
D.2或-
2
3
解 析 : 选 A 由 题 意 知 , f′(x)= 3x2 + 2ax+ b, f′(1)= 0, f(1)= 10, 即
3+2a+b=0,
1+a+b-a2-7a=10,
解得
a=-2,
b=1
或
a=-6,
b=9,
经检验
a=-6,
b=9
满足题意,
故
a
b
=-
2
3
.
3.(2018·浙江瑞安中学月考)已知函数 f(x)=x3+bx2+cx的图象如
图所示,则 x21+x 22等于( )
A.2
3
B.4
3
C.8
3
D.16
3
解析:选 C 由图象可知 f(x)过点(1,0)与(2,0),x1,x2是函数 f(x)的极值点,因此 1+b
+c=0,8+4b+2c=0,解得 b=-3,c=2,所以 f(x)=x3-3x2+2x,所以 f′(x)=3x2-6x
+2.x1,x2是方程 f′(x)=3x2-6x+2=0的两根,因此 x1+x2=2,x1x2=2
3
,所以 x21+x22=(x1
+x2)2-2x1x2=4-4
3
=
8
3
.
4.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在 x=±1 处的
切线斜率均为-1,有以下命题:
①f(x)的解析式为:f(x)=x3-4x,x∈[-2,2];
②f(x)的极值点有且仅有一个;
③f(x)的最大值与最小值之和等于零.
其中正确的命题个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:选 C f′(x)=3x2+2ax+b,
因为函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在 x=±1处的切线
斜率均为-1,
所以
f′1=3+2a+b=-1,
f′-1=3-2a+b=-1,
c=0,
解得
a=0,
b=4,
c=0,
则 f(x)=x3-4x,x∈[-2,2],故①正确;
f′(x)=3x2-4,令 f′(x)=0,解得 x=±2 3
3
∈[-2,2],
易知,x=±2 3
3
均为函数的极值点,故②错误;
易知函数 f(x)=x3-4x,x∈[-2,2]是奇函数,所以最大值与最小值之和为 0,故③正
确.
因此,正确命题的个数为 2,故选 C.
5.(2017·长沙二模)已知函数 f(x)= x
x2+a
(a>0)在[1,+∞)上的最大值为
3
3
,则 a的值
为( )
A. 3-1 B.3
4
C.4
3
D. 3+1
解析:选 A 由 f(x)= x
x2+a
,得 f′(x)= a-x2
x2+a2
,当 a>1时,若 x> a,则 f′(x)<0,
f(x)单调递减,若 1<x< a,则 f′(x)>0,f(x)单调递增,故当 x= a时,函数 f(x)有最大值
1
2 a
=
3
3
,得 a=3
4
<1,不合题意;当 a=1 时,函数 f(x)在[1,+∞)上单调递减,最大值
为 f(1)=1
2
,不合题意;当 0<a<1时,函数 f(x)在 [1,+∞)上单调递减,此时最大值为 f(1)
=
1
a+1
=
3
3
,得 a= 3-1,符合题意.故 a的值为 3-1,选 A.
6.已知直线 l1:y=x+a 分别与直线 l2:y=2(x+1)及曲线 C:y=x+ln x 交于 A,B
两点,则 A,B两点间距离的最小值为( )
A.3 5
5
B.3
C.6 5
5
D.3 2
解析:选 D 由
y=x+a,
y=2x+1,
得 A(a-2,2a-2),
由
y=x+a,
y=x+ln x,
得 B(ea,a+ea),
|AB|= ea-a+22+[ea+a-2a-2]2= 2(ea-a+2),
令 g(a)=ea-a+2,
则 g′(a)=ea-1,g(a)在(-∞,0)上递减,在(0,+∞)上递增,
所以 g(a)在 a=0处取得最小值 g(0)=3,
所以 A,B两点间距离的最小值为 3 2.
二、填空题
7.若函数 f(x)=2x2-ln x 在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内存在最小值,则实
数 k的取值范围是________.
解析:因为 f(x)的定义域为(0,+∞),
又 f′(x)=4x-1
x
,
由 f′(x)=0,得 x=1
2
.
据题意
k-1<1
2
0).
设 g(x)=ex
x
(x>0),则 g′(x)=x-1ex
x2
,
∴g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
∴g(x)在(0,+∞)上有最小值,为 g(1)=e,结合 g(x)=ex
x
与 y=k的图象可知,要满足
题意,只需 k≤e.
答案:(-∞,e]
9.(2018·湘中名校联考)已知函数 g(x)=a-x21
e
≤x≤e,e为自然对数的底数与 h(x)=2ln
x的图象上存在关于 x轴对称的点,则实数 a的取值范围是________.
解析:由题意,知方程 x2-a=2ln x,即-a=2ln x-x2在
1
e
,e
上有解.设 f(x)=2ln x
-x2,则 f′(x)=2
x
-2x=-
2x+1x-1
x
.易知 x∈
1
e
,1
时,f′(x)>0,x∈[1,e]时 f′(x)<0,
所以函数 f(x)在
1
e
,1
上单调递增,在[1,e]上单调递减,所以 f(x)极大值=f(1)=-1,又 f(e)
=2-e2,f
1
e =-2-1
e2
,f(e)0时,f(x)在[1,e]上单调递增,
则 f(x)在[1,e]上的最大值为 f(e)=a.
故当 a≥2时,f(x)在[-1,e]上的最大值为 a;
当 a<2时,f(x)在[-1,e]上的最大值为 2.
11.设函数 f(x)=1
2
x2-(a+1)x+aln x,a>0.
(1)求函数 f(x)的单调区间;
(2)讨论函数 f(x)的零点个数.
解:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),
因为 f′(x)=x-(a+1)+a
x
=
x2-a+1x+a
x
=
x-ax-1
x
(x>0),
①当 00,得 01,
所以函数 f(x)的单调增区间为(0,a)和(1,+∞),单调减区间为(a,1).
②当 a=1 时,f′(x)=x-12
x
≥0恒成立,所以函数 f(x)的单调增区间为(0,+∞),无
减区间.
③当 a>1时,令 f′(x)<0,得 10,得 0a,
所以函数 f(x)的单调增区间为 (0,1)和(a,+∞),单调减区间为(1,a).
(2)由(1)可知,
①当 00,
所以函数 f(x)有唯一零点.
②当 a=1 时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,又注意到 f(1)=-
3
2
<0,f(4)=ln 4>0,
所以函数 f(x)有唯一零点.
③当 a>1时,函数 f(x)的单调增区间为(0,1)和(a,+∞),单调减区间为(1,a),
所以 f(x)极大值=f(1)=-
1
2
-a<0,f(x)极小值=f(a)=-
1
2
a2-a+aln a<0,
注意到 f(2a+2)=aln(2a+2)>0,
所以函数 f(x)有唯一零点,
综上,函数 f(x)有唯一零点.
12.已知函数 f(x)=ln x+x2-ax(a∈R).
(1)当 a=3时,求函数 f(x)的单调区间;
(2)若函数 f(x)有两个极值点 x1,x2,且 x1∈(0,1],证明 f(x1)-f(x2)≥-
3
4
+ln 2.
解:f′(x)=1
x
+2x-a=2x2-ax+1
x
(x>0).
(1)当 a=3时,f′(x)=2x2-3x+1
x
.
令 f′(x)=0,得 x=1
2
或 x=1.
所以当 01时,f′(x)>0;当
1
2
0时,
-a- a2
4
3
=-
a
2
=c,不符合题意;
当 a<0时,
-a- a2
4
3
=-
a
6
0,
只需
m-1
2
>0,
Δ=1-m2-4>0,
解得
m>1,
m>3或 m<-1,
即 m>3.
所以实数 m的取值范围为(3,+∞).
(2)f′(x)=x2+1-mx+1
x
,
令 f′(x)=0,即 x2+(1-m)x+1=0,
由题知,两根分别为 x1,x2,则
x1+x2=m-1,
x1x2=1,
又因为 f(x1)-f(x2)=1
2
x21+(1-m)x1+ln x1-1
2
x22-(1-m)x2-ln x2=1
2
(x21-x22)+(1-
m)(x1-x2)+ln x1
x2
=
1
2
(x21-x22)-(x21-x22)+ln x1
x2
=ln x1
x2
-
1
2
(x21-x22)=ln x1
x2
-
1
2
x21-x22
x1x2 =ln x1
x2
-
1
2
x1
x2
-
x2
x1 .
令
x1
x2
=t,由于 x10),
f′(x)=1- 2
x2
-
1
x
=
x+1x-2
x2
,
当 1<x<2时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当 2<x<e时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
∴当 x=2时,f(x)取得极小值 f(2)=3-ln 2.
又∵f(1)=3,f(e)=e-1+2
e
,即有 f(1)>f(e),
∴方程 f(x)=b在区间[1,e]上有两个不同的实数根,则有 f(2)<b≤f(e),
即 3-ln 2<b≤e-1+2
e
.
故实数 b的取值范围为
3-ln 2,e-1+2
e .
利用导数研究与不等式有关的问题
导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容,且以解答题的形式考查,难度较
大,属中高档题.
常见的命题角度有:
1证明不等式;
2不等式恒成立问题.
角度一:证明不等式
1.已知函数 f(x)=ln x-ax2+(2-a)x(a>0).
(1)讨论函数 f(x)的单调性;
(2)证明:当 0f
1
a
-x
;
(3)设函数 y=f(x)的图象与 x轴交于 A,B两点,线段 AB的中点的横坐标为 x0,证明:
f′(x0)<0.
[思路点拨] (1)f′(x)=-ax+12x+1
x
,再解不等式 f′(x)>0与 f′(x)<0,即可得出
结论;
(2)设 g(x)=f
1
a
+x
-f
1
a
-x
,求导并判断函数的单调性,且 g(0)=0,则结论易得;
(3)由(1)知:函数 f(x)的最大值为 f
1
a >0,不妨设 A(x1,0),B(x2,0),则 0f(x1)=f(x2)=0,则有 x2>
2
a
-x1,即 x0=
x1+x2
2
>1
a
,再由(1),则可得结论.
解:(1)f′(x)=1
x
-2ax+(2-a)=-ax+12x+1
x
(x>0).
当 00,所以函数 f(x)在
0,1
a 上是增函数;当 x>1
a
时,f′(x)<0,所以
函数 f(x)在
1
a
,+∞
上是减函数,
综上所述,函数 f(x)的增区间是
0,1
a ,函数 f(x)的减区间是
1
a
,+∞
.
(2)证明:设 g(x)=f
1
a
+x
-f
1
a
-x
,
则 g(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax,
所以 g′(x)= a
1+ax
+
a
1-ax
-2a= 2a3x2
1-a2x2
.
当 00,
所以 g(x)在
0,1
a 上单调递增.
又 g(0)=0,所以 g(x)>0,
故当 0f
1
a
-x
.
(3)证明:由(1)知,函数 f(x)的最大值为 f
1
a ,且 f
1
a >0,
不妨设 A(x1,0),B(x2,0),0f(x1)=f(x2)=0,又 f(x)在
1
a
,+∞
上单调递减,从而,
x2>
2
a
-x1,所以 x0=
x1+x2
2
>1
a
.
结合(1)知,f′(x0)<0.
[方法技巧]
利用导数证明不等式的方法
可以从所证不等式的结构和特点出发,结合已有的知识利用转化与化归思想,构造一
个新的函数,再借助导数确定函数的单调性,利用单调性实现问题的转化,从而使不等式
得到证明,其一般步骤是:构造可导函数→研究单调性或最值→得出不等关系→整理得出
结论.
如:证明:f(x)>g(x)(x∈D),令 F(x)=f(x)-g(x),x∈D,只需证明 F(x)min>0(x∈D)
即可,从而把证明不等式问题转化求 F(x)min问题.
角度二:不等式恒成立问题
2.(2016·四川高考)设函数 f(x)=ax2-a-ln x,其中 a∈R.
(1)讨论 f(x)的单调性;
(2)确定 a的所有可能取值,使得 f(x)>1
x
-e1-x在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为
自然对数的底数).
解:(1)f′(x)=2ax-1
x
=
2ax2-1
x
(x>0).
当 a≤0时,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)内单调递减.
当 a>0时,由 f′(x)=0,有 x= 1
2a
.
此时,当 x∈
0, 1
2a 时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当 x∈
1
2a
,+∞
时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
(2)令 g(x)=1
x
-
1
ex-1
=
ex-1-x
xex-1
,s(x)=ex-1-x,
则 s′(x)=ex-1-1.
而当 x>1时,s′(x)>0,
所以 s(x)在区间(1,+∞)内单调递增.
又由 s(1)=0,则 s(x)>0,
从而当 x>1时,g(x)>0.
当 a≤0,x>1时,f(x)=a(x2-1)-ln x<0.
故当 f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立时,必有 a>0.
当 0<a<1
2
时,
1
2a
>1.
由(1)有 f
1
2a <f(1)=0,而 g
1
2a >0,
所以此时 f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内不恒成立.
当 a≥1
2
时,令 h(x)=f(x)-g(x)(x≥1).
当 x>1时,h′(x)=2ax-1
x
+
1
x2
-e1-x>x-1
x
+
1
x2
-
1
x
=
x3-2x+1
x2
>
x2-2x+1
x2
>0.
因此,h(x)在区间(1,+∞)内单调递增.
又因为 h(1)=0,所以当 x>1时,h(x)=f(x)-g(x)>0,
即 f(x)>g(x)恒成立.
综上,a∈
1
2
,+∞
.
[方法技巧]
1.利用导数研究不等式恒成立问题的思路
首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等
式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值
问题.
2.不等式成立(恒成立)问题常见转化方法
(1)f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a,f(x)≥a成立⇒f(x)max≥a.
(2)f(x)≤b恒成立⇔f(x)max≤b,f(x)≤b成立⇔f(x)min≤b.
(3)f(x)>g(x)恒成立
Fx=fx-gx
F(x)min>0.
(4)①∀x1∈M,∀x2∈N,
f(x1)>g(x2)⇔f(x1)min>g(x2)max.
②∀x1∈M,∃x2∈N,
f(x1)>g(x2)⇔f(x1)min>g(x2)min.
③∃x1∈M,∃x2∈N,
f(x1)>g(x2)⇔f(x1)max>g(x)min.
④∃x1∈M,∀x2∈N,
f(x1)>g(x2)⇔f(x1)max>g(x2)max.
1.(2017·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.
(1)讨论 f(x)的单调性;
(2)若 f(x)有两个零点,求 a的取值范围.
解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),
f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).
(ⅰ)若 a≤0,则 f′(x)<0,
所以 f(x)在(-∞,+∞)上单调递减.
(ⅱ)若 a>0,则由 f′(x)=0,得 x=-ln a.
当 x∈(-∞,-ln a)时,f′(x)<0;
当 x∈(-ln a,+∞)时,f′(x)>0.
所以 f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增.
(2)(ⅰ)若 a≤0,由(1)知,f(x)至多有一个零点.
(ⅱ)若 a>0,由(1)知,当 x=-ln a时,f(x)取得最小值,最小值为 f(-ln a)=1-1
a
+ln a.
①当 a=1时,由于 f(-ln a)=0,
故 f(x)只有一个零点;
②当 a∈(1,+∞)时,由于 1-1
a
+ln a>0,
即 f(-ln a)>0,故 f(x)没有零点;
③当 a∈(0,1)时,1-1
a
+ln a<0,即 f(-ln a)<0.
又 f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0,
故 f(x)在(-∞,-ln a)有一个零点.
设正整数 n0满足 n0>ln
3
a
-1
,
则 f(n0)=en0(aen0+a-2)-n0>en0-n0>2n0-n0>0.
由于 ln
3
a
-1
>-ln a,
因此 f(x)在(-ln a,+∞)有一个零点.
综上,a的取值范围为(0,1).
2.(2017·全国卷Ⅲ)已知函数 f(x)=x-1-aln x.
(1)若 f(x)≥0,求 a的值;
(2)设 m为整数,且对于任意正整数 n,
1+1
2 ·
1+ 1
22 ·…·
1+ 1
2n 0,由 f′(x)=1-a
x
=
x-a
x
知,当 x∈(0,a)时,f′(x)<0;当 x∈(a,+∞)时,
f′(x)>0.
所以 f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.
故 x=a是 f(x)在(0,+∞)的唯一最小值点.
由于 f(1)=0,所以当且仅当 a=1时,f(x)≥0.
故 a=1.
(2)由(1)知当 x∈(1,+∞)时,x-1-ln x>0.
令 x=1+ 1
2n
,得 ln
1+ 1
2n < 1
2n
.
从而 ln
1+1
2 +ln
1+ 1
22 +…+ln
1+ 1
2n <1
2
+
1
22
+…+
1
2n
=1- 1
2n
<1.
故
1+1
2
1+ 1
22 ·…·
1+ 1
2n 2,
所以 m的最小值为 3.
3.(2016·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.
(1)求 a的取值范围;
(2)设 x1,x2是 f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.
解:(1)f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).
①设 a=0,则 f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一个零点.
②设 a>0,则当 x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;
当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,
所以 f(x)在(-∞,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
又 f(1)=-e,f(2)=a,取 b满足 b<0且 ba
2
(b-2)+a(b-1)2=a
b2-3
2
b
>0,
故 f(x)存在两个零点.
③设 a<0,由 f′(x)=0得 x=1或 x=ln(-2a).
若 a≥-
e
2
,则 ln(-2a)≤1,
故当 x∈(1,+∞)时,
f′(x)>0,因此 f(x)在(1,+∞)内单调递增.
又当 x≤1时,f(x)<0,所以 f(x)不存在两个零点.
若 a<-e
2
,则 ln(-2a)>1,
故当 x∈(1,ln(-2a))时,f′(x)<0;
当 x∈(ln(-2a),+∞)时,f′(x)>0.
因此 f(x)在(1,ln(-2a))内单调递减,在(ln(-2a),+∞)内单调递增.
又当 x≤1时,f(x)<0,所以 f(x)不存在两个零点.
综上,a的取值范围为(0,+∞).
(2)证明:不妨设 x1f(2-x2),即 f(2-x2)<0.
由于 f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2,
而 f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0,
所以 f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2.
设 g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,
则 g′(x)=(x-1)(e2-x-ex).
所以当 x>1时,g′(x)<0,而 g(1)=0,
故当 x>1时,g(x)<0.
从而 g(x2)=f(2-x2)<0,故 x1+x2<2.
4.(2015·全国卷Ⅱ)设函数 f(x)=emx+x2-mx.
(1)证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;
(2)若对于任意 x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求 m的取值范围.
解:(1)证明:f′(x)=m(emx-1)+2x.
若 m≥0,则当 x∈(-∞,0)时,emx-1≤0,f′(x)<0;
当 x∈(0,+∞)时,emx-1≥0,f′(x)>0.
若 m<0,则当 x∈(-∞,0)时,emx-1>0,f′(x)<0;
当 x∈(0,+∞)时,emx-1<0,f′(x)>0.
所以,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
(2)由(1)知,对任意的 m,f(x)在[-1,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增,故 f(x)在 x
=0 处取得最小值.所以对于任意 x1,x2∈[-1,1], |f(x1)-f(x2)|≤e-1 的充要条件是
f1-f0≤e-1,
f-1-f0≤e-1,
即
em-m≤e-1,
e-m+m≤e-1.
①
设函数 g(t)=et-t-e+1,则 g′(t)=et-1.
当 t<0时,g′(t)<0;当 t>0时,g′(t)>0.
故 g(t)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
又 g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e<0,
故当 t∈[-1,1]时,g(t)≤0.
当 m∈[-1,1]时,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立;
当 m>1时,由 g(t)的单调性,g(m)>0,
即 em-m>e-1;
当 m<-1时,g(-m)>0,即 e-m+m>e-1.
综上,m的取值范围是[-1,1].
1.(2014·全国卷Ⅰ)设函数 f(x)=aln x+1-a
2
x2-bx(a≠1),曲线 y=f(x)在点(1,f(1))
处的切线斜率为 0.
(1)求 b;
(2)若存在 x0≥1,使得 f(x0)<
a
a-1
,求 a的取值范围.
解:(1)f′(x)=a
x
+(1-a)x-b.
由题设知 f′(1)=0,解得 b=1.
(2)f(x)的定义域为(0,+∞),
由(1)知,f(x)=aln x+1-a
2
x2-x,
f′(x)=a
x
+(1-a)x-1=1-a
x
x- a
1-a (x-1).
①若 a≤1
2
,则
a
1-a
≤1,故当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上单调递增.
所以,存在 x0≥1,使得 f(x0)<
a
a-1
的充要条件为 f(1)< a
a-1
,即
1-a
2
-1< a
a-1
,解得-
2-11,故当 x∈
1, a
1-a 时,f′(x)<0;当 x∈
a
1-a
,+∞
时,f′(x)>0,
f(x)在
1, a
1-a 上单调递减,在
a
1-a
,+∞
上单调递增.
所以,存在 x0≥1,使得 f(x0)<
a
a-1
的充要条件为 f
a
1-a < a
a-1
.
而 f
a
1-a =aln a
1-a
+
a2
21-a
+
a
a-1
> a
a-1
,所以不符合题意.
③若 a>1,则 f(1)=1-a
2
-1=-a-1
2
< a
a-1
.
综上,a的取值范围是(- 2-1, 2-1)∪(1,+∞).
2.已知函数 f(x)=ln x-a
x
+
a
x2
(a∈R).
(1)若 a=1,求函数 f(x)的极值;
(2)若 f(x)在[1,+∞)内为单调增函数,求实数 a的取值范围;
(3)对于 n∈N*,求证:
1
1+12
+
2
2+12
+
3
3+12
+…+
n
n+12
0).
(1)若 a=1,则 f′(x)=x2+x-2
x3
,令 f′(x)=0,得 x=1或 x=-2(舍去),
由 f′(x)>0,得 x>1,由 f′(x)<0,得 01时,即 a<-2时,g
-
a
2 ≥0⇒-8≤a≤0,所以-8≤a<-2,
综上,实数 a的取值范围为[-8,1].
(3)证明:当 a=1时,由(1)知,f(x)在[1,+∞)上单调递增,
即 x>1时,f(x)>f(1)=0,即 ln x>1
x
-
1
x2
,
令 x=n+1
n
(n∈N*),因为
n+1
n
>1,
所以 ln n+1
n
> n
n+1
-
n2
n+12
=
n
n+12
,
所以错误! i
i+12
h(0)=0,∴g′(x)>0,
∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴g(x)>g(0)=0(不合题意).
②当 3a≥1,即 a≥1
3
时,h′(x)≤0,
∴h(x)在(0,+∞)上单调递减,
∴h(x)0,h′(π)=-1-3a<0,∴在(0,π)
上,∃x0使 h′(x0)=0,
且 x∈(0,x0)时,h′(x)>0⇒g′(x)>0,∴g(x)在(0,x0)上单调递增,
∴存在 g(x)>g(0)=0(不符合题意),
综上,a的取值范围为
1
3
,+∞
.
(3)证明:m=∫
π
2
0f(x)dx=(-xsin x-2cos x)π
2
0=2-π
2
,
∴g(x)= 3
x2
f(x).
由(2)知,当 a=1
3
时,f(x)<1
3
x3,
∴g(x)0,则 u′(x)= -x
x+1
<0,
∴u(x)在(0,+∞)上单调递减,∴u(x)0,
故当 x∈[1,x0)时,H1′(x)<0,H1(x)单调递减;
当 x∈(x0,2]时,H1′(x)>0,H1(x)单调递增.
因此,当 x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H1(x)>H1(x0)=-f(x0)=0,可得 H1(m)>0,即 h(m)>0.
令函数 H2(x)=g(x0)(x-x0)-f(x),
则 H2′(x)=g(x0)-g(x).
由(1)知 g(x)在[1,2]上单调递增,
故当 x∈[1,x0)时,H2′(x)>0,H2(x)单调递增;
当 x∈(x0,2]时,H2′(x)<0,H2(x)单调递减.
因此,当 x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H2(x)0,故 f(x)在[1,2]上单调递增,所以 f(x)在区间[1,2]上除 x0
外没有其他的零点,而
p
q
≠x0,故 f
p
q ≠0.
又因为 p,q,a均为整数,
所以|2p4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4|是正整数,
从而|2p4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4|≥1.
所以|pq-x0|≥ 1
g2q4
.
所以只要取 A=g(2),就有|pq-x0|≥ 1
Aq4
.
已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=x2+2x+a
x+2
(a∈R).
(1)求函数 f(x)的单调区间及最值;
(2)若对∀x>0,f(x)+g(x)>1恒成立,求 a的取值范围;
(3)求证:
1
3
+
1
5
+
1
7
+…+
1
2n+1
0,故 f(x)在[1,2]上单调递增,所以 f(x)在区间[1,2]上除 x0
外没有其他的零点,而
p
q
≠x0,故 f
p
q ≠0.
又因为 p,q,a均为整数,
所以|2p4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4|是正整数,
从而|2p4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4|≥1.
所以|pq-x0|≥ 1
g2q4
.
所以只要取 A=g(2),就有|pq-x0|≥ 1
Aq4
.
已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=x2+2x+a
x+2
(a∈R).
(1)求函数 f(x)的单调区间及最值;
(2)若对∀x>0,f(x)+g(x)>1恒成立,求 a的取值范围;
(3)求证:
1
3
+
1
5
+
1
7
+…+
1
2n+1
0,得-10,
所以函数 f(x)的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为(0,+∞),f(x)max=f(0)=0,
无最小值.
(2)f(x)+g(x)>1⇔ln(1+x)-x+x2+2x+a
x+2
>1⇔
ln(1+x)+ a
x+2
>1⇔a>(x+2)[1-ln(1+x)].
令 h(x)=(x+2)[1-ln(1+x)],
则 h′(x)=1-ln(1+x)-x+2
x+1
=-ln(1+x)- 1
x+1
.
当 x>0时,显然 h′(x)=-ln(1+x)- 1
x+1
<0,
所以 h(x)在(0,+∞)上是减函数.
所以当 x>0时,h(x)0时,ln(1+x)+ 2
x+2
>1,
即 ln(1+x)> x
x+2
.
令 x=1
k
(k∈N*),得 lnk+1
k
>
1
k
2+1
k
,
即 lnk+1
k
> 1
2k+1
.
所以 ln 2
1
+ln 3
2
+ln 4
3
+…+ln n+1
n
>1
3
+
1
5
+
1
7
+…+
1
2n+1
,
即
1
3
+
1
5
+
1
7
+…+
1
2n+1
2}与 N={x|13} D.{x|x≤1}
解析:选 D 由 Venn 图可知,阴影部分表示(∁UM)∩(∁UN),因为 M={x|x>2},N=
{x|10,
解得 0≤x<2.
3.已知集合M= m|14≤
1
2 m≤4,m∈Z
,N= x|
2
x-1
≥1
,则M∩N=( )
A.∅ B.{2}
C.{x|14”成立的一个充分不必要条件是( )
A.m>0 B.m>1
C.m>2 D.m≥2
解析:选 C 当 m>0时,m+
4
m
≥4,当且仅当 m=2时,等号成立,所以 m>0且 m≠2
是“不等式 m+
4
m
>4”成立的充要条件,因此,“不等式 m+
4
m
>4”成立的一个充分不必要
条件是 m>2,故选 C.
6.已知函数 f(x)=
1-2-x,x≥0,
2x-1,x<0,
则函数 f(x)是( )
A.偶函数,在[0,+∞)上单调递增
B.偶函数,在[0,+∞)上单调递减
C.奇函数,且单调递增
D.奇函数,且单调递减
解析:选 C 易知 f(0)=0,当 x>0时,f(x)=1-2-x,-f(x)=2-x-1,而-x<0,则 f(-
x)=2-x-1=-f(x);当 x<0时,f(x)=2x-1,-f(x)=1-2x,而-x>0,则 f(-x)=1-2-(-
x)=1-2x=-f(x).即函数 f(x)是奇函数,且单调递增,故选 C.
7.若 m=错误!exdx,n=错误!1
x
dx,则 m与 n的大小关系是( )
A.m>n B.mn.
8.函数 y=
x
3
x2-1
的图象大致是( )
解析:选 A 由 x2-1≠0,得 x≠±1,当 x>1时,y=
x
3
x2-1
>0,排除 D;当 x<-1时,
y=
x
3
x2-1
<0,排除 C;当 01-f′(x),f(0)=0,f′(x)是 f(x)的导函数,则不
等式 exf(x)>ex-1(其中 e为自然对数的底数)的解集为( )
A.(-∞,-1)∪(0,+∞) B.(0,+∞)
C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-1,+∞)
解析:选 B 设 g(x)=exf(x)-ex+1,因为 f(x)>1-f′(x),所以 g′(x)=ex(f(x)+f′(x)
-1)>0,所以函数 g(x)是 R上的增函数,又因为 f(0)=0,g(0)=e0f(0)-e0+1=0,所以不
等式 exf(x)>ex-1的解集为(0,+∞).
10.已知函数 f(x)=
x2+4a-3x+3a,x<0,
logax+1+1,x≥0
(a>0,且 a≠1)在 R上单调递减,且
关于 x的方程|f(x)|=2-x恰有两个不相等的实数解,则 a的取值范围是( )
A.
0,2
3 B.
2
3
,
3
4
C.
1
3
,
2
3 ∪
3
4 D.
1
3
,
2
3 ∪
3
4
解析:选 C 由 y=loga(x+1)+1在[0,+∞)上递减,得 0<a<1.
又由 f(x)在 R上单调递减,则
02+4a-3·0+3a≥1,
3-4a
2
≥0 ⇒
1
3
≤a≤3
4
.如图所示,在同一坐标系中作出函数 y=|f(x)|和 y=2-x的图象.
由图象可知,在[0,+∞)上|f(x)|=2-x有且仅有一个解,故在(-∞,0)上|f(x)|=2-x
同样有且仅有一个解.
当 3a>2,即 a>2
3
时,由 x2+(4a-3)x+3a=2-x(其中 x<0),得 x2+(4a-2)x+3a-2
=0(其中 x<0),则Δ=(4a-2)2-4(3a-2)=0,解得 a=3
4
或 a=1(舍去);
当 1≤3a≤2,即
1
3
≤a≤2
3
时,由图象可知,符合条件.
综上所述,a∈
1
3
,
2
3 ∪
3
4 .故选 C.
11.已知奇函数 f(x)是定义在 R上的连续函数,满足 f(2)=5
3
,且 f(x)在(0,+∞)上的
导函数 f′(x)x
3-3
3
的解集为( )
A.(-2,2) B.(-∞,2)
C.
-∞,
1
2 D.
-
1
2
,
1
2
解析:选 B 令 g(x)=f(x)-x3-3
3
,因为奇函数 f(x)是定义在 R上的连续函数,所以函
数 g(x)是定义在 R上的连续函数,则 g′(x)=f′(x)-x2<0,所以函数 g(x)=f(x)-x3-3
3
在
R上是减函数,又 g(2)=f(2)-23-3
3
=0,所以不等式 f(x)>x
3-3
3
的解集为(-∞,2).
12.已知函数 f(x)=
x+1,x≤0,
log2x,x>0,
则函数 g(x)=f(f(x))-1
2
的零点个数是( )
A.4 B.3
C.2 D.1
解析:选 B 因为函数 f(x)=
x+1,x≤0,
log2x,x>0,
所以 g(x)=f(f(x))-1
2
=0 等价于 f(x)+1
=
1
2
或 log2f(x)=
1
2
,则 f(x)=-
1
2
或 f(x)= 2,当 f(x)=-
1
2
时,x=-
3
2
或 x= 2
2
;当 f(x)= 2
时,x=2 2,故函数 g(x)=f(f(x))-1
2
的零点个数是 3.
二、填空题(本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分.请把正确答案填在题中的横线上)
13.已知 a=log2.10.6,b=2.10.6,c=log0.50.6,则 a,b,c的大小关系是________.
解析:由指数函数与对数函数的性质可知,a=,b=,c=,1),所以 b>c>a.
答案:b>c>a
14.函数 y=log
1
2 (-x2+4x-3)的单调增区间为________.
解析:设 t=-x2+4x-3,则函数可化为 y=log
1
2 t是减函数.由-x2+4x-3>0,得 10,
解得 x>2或 x<-1,即 A={x|x>2或 x<-1}.
要使函数 g(x)有意义,则 3-|x|≥0,
解得-3≤x≤3,即 B={x|-3≤x≤3}.
故 A∩B={x|-3≤x<-1或 2-2,要使 C⊆B成立,
则
m>-2,
m-1≥-3,
2m+1≤3,
解得-20,得
1
2
0,得-
1
a
0).
(1)当 a=1时,求函数 f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)求函数 f(x)的单调区间;
(3)若 f(x)≥2ln x在[1,+∞)上恒成立,求实数 a的取值范围.
解:(1)当 a=1时,f(x)=x-1
x
,f′(x)=1+ 1
x2
,
则 f(2)=3
2
,f′(2)=5
4
,
所以函数 f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y-3
2
=
5
4
(x-2),即 5x-4y-4=0.
(2)函数 f(x)的定义域为{x|x≠0},
则 f′(x)=a-a-2
x2
=
ax2+2-a
x2
(a>0),
当 02时,令 f′(x)=0,即 ax2+2-a=0,解得 x1=-
a-2
a
,x2=
a-2
a
,
由 f′(x)>0,得 x>x2或 x0)在[1,+
∞)上恒成立.
令 g(x)=ax+a-2
x
+2-2a-2ln x,
则 g′(x)=a-a-2
x2
-
2
x
=
ax2-2x-a+2
x2
=
x-1[ax+a-2]
x2
.
令 g′(x)=0,得 x=1或 x=-
a-2
a
,
若-
a-2
a
=1,即 a=1时,g′(x)≥0,函数 g(x)在[1,+∞)上单调递增,又 g(1)=0,
所以 f(x)≥2ln x在[1,+∞)上恒成立;
若-
a-2
a
>1,即 00,g(x)单调递增;
当 x∈
1,-
a-2
a 时,g′(x)<0,g(x)单调递减,
所以 g(x)在[1,+∞)上的最小值为 g
-
a-2
a .
因为 g(1)=0,所以 g
-
a-2
a <0,不合题意.
若-
a-2
a
<1,即 a>1,当(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,
所以 g(x)在[1,+∞)上的最小值为 g(1),
又因为 g(1)=0,所以 f(x)≥2ln x恒成立,
综上,实数 a的取值范围是[1,+∞).
21.(本小题满分 12分)(2018·合肥质检)已知函数 f(x)=1
3
x3-1
2
(a+2)x2+x(a∈R).
(1)当 a=0时,记 f(x)图象上动点 P处的切线斜率为 k,求 k的最小值;
(2)设函数 g(x)=e-ex
x
(e为自然对数的底数),若对于∀x>0,f′(x)≥g(x)恒成立,求实
数 a的取值范围.
解:(1)f′(x)=x2-(a+2)x+1.
设 P(x,y),由于 a=0,∴k=x2-2x+1≥0,即 kmin=0.
(2)由 g(x)=e-ex
x
,得 g′(x)=ex1-x
x2
,易知 g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单
调递减,∴g(x)≤g(1)=0,由条件知 f′(1)≥g(1),可得 a≤0.
当 a≤0时,f′(x)=x2-(a+2)x+1=(x-1)2-ax≥(x-1)2≥0.
∴f′(x)≥g(x)对∀x∈(0,+∞)成立.
综上,实数 a的取值范围为(-∞,0].
22.(本小题满分 12分)已知函数 f(x)=xln x+a.
(1)若对定义域内任意 x,f(x)>0恒成立,求实数 a的取值范围;
(2)若 00),
令 f′(x)=0,得 x=1
e
.
当 x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
f′(x) - 0 +
f(x) 极小值
所以 f(x)min=f
1
e =-
1
e
+a.
因为对定义域内任意 x,f(x)>0恒成立,所以-
1
e
+a>0,所以 a>1
e
,
故实数 a的取值范围为
1
e
,+∞
.
(2)证明:易知 f′(x)=ln x+1在(0,+∞)上为增函数.
欲证
fx-fx1
x-x1
0,
所以 G(x)=f(x)-f(x2)-(x-x2)(ln x+1)在(x1,x2)内为增函数,
所以 G(x)
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