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  • 2021-06-16 发布

人教版高中数学选修2-3练习:第三章3-2独立性检验的基本思想及其初步应用word版含解析

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第三章 统计案例 3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用 A 级 基础巩固 一、选择题 1.若用独立性检验的方法,我们得到能有 99%的把握认为变量 X 与 Y 有关系,则( ) A.K2≥2.706 B.K2≥6.635 C.K2<2.706 D.K2<6.635 解析:根据临界值表可知,选项 B 正确. 答案:B 2.假设有两个分类变量 X 与 Y,它们的可能取值分别为{x1,x2} 和{y1,y2},其 2×2 列联表为: 分类 y1 y2 总计 x1 a b a+b x2 c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 以下各组数据中,对于同一样本能说明 X 与 Y 有关系的可能性最 大的一组为( ) A.a=5,b=4,c=3,d=2 B.a=5,b=3,c=4,d=2 C.a=2,b=3,c=4,d=5 D.a=2,b=3,c=5,d=4 解析:比较| a a+b - c c+d|.选项 A 中,|5 9 -3 5|= 2 45 ;选项 B 中, |5 8 -4 6|= 1 24 ;选项 C 中 ,|2 5 -4 9|= 2 45 ;选项 D 中,|2 5 -5 9|= 7 45. 所以选项 D 正确. 答案:D 3.下面是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图,阴影部 分表示喜欢理科的百分比,从图可以看出( ) A.性别与喜欢理科无关 B.女生中喜欢理科的比为 80% C.男生比女生喜欢理科的可能性大些 D.男生不喜欢理科的比为 60% 解析:从等高条形图可以看出,男生比女生喜欢理科的可能性大 些. 答案:C 4.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是 ( ) ①若 K2 的观测值满足 K2≥6.635,我们有 99%的把握认为吸烟与 患肺病有关系,那么在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病;②从独 立性检验可知有 99%的把握认为吸烟与患病有关系时,我们说某人吸 烟,那么他有 99%的可能患有肺病;③从统计量中得知有 95%的把握 认为吸烟与患肺病有关系,是指有 5%的可能性使得推断出现错误. A.① B.①③ C.③ D.② 解析:①推断在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病,说法错误, 排除 A、B,③正确.排除 D,所以选项 C 正确. 答案:C 5.某校为了研究初一学生吃零食是否与性别有关,从初一年级抽 取了 100 名学生调查购买零食的费用,规定每月在零食上花费不低于 30 元的为吃零食较多,每月在零食上花费不满 30 元的为吃零食较少.根 据收集的数据得到了一个 2×2 列联表,并计算得出 K2 的观测值为 k =4.365,则下列结论正确的是( ) A.有 97.5%的把握认为“初一学生吃零食与性别有关” B. 有 95%的把握认为“初一学生吃零食与性别有关” C. 该校初一学生中有 95%的学生吃零食较多 D. 该校初一学生中有 95%的女生吃零食较多 解析:因为 k=4.365>3.841,所以有 95%的把握认为“初一学生 吃零食与性别有关”. 答案:B 二、填空题 6.下列关于 K2 的说法中,正确的有________. ①K2 的值越大,两个分类变量的相关性越大; ②若求出 K2=4>3.841,则有 95%的把握认为两个分类变量有关 系,即有 5%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误; ③独立性检验就是选取一个假设 H0 条件下的小概率事件,若在一 次试验中该事件发生了,这是与实际推断相抵触的“不合理”现象, 则做出拒绝 H0 的推断. 解析:对于①,K2 的值越大,只能说明我们有更大的把握认为二 者有关系,却不能判断相关性大小,故①错误;根据独立性检验的概 念和临界值表知②③正确. 答案: ②③ 7.某小学对 232 名小学生调查发现:180 名男生中有 98 名有多动 症,另外 82 名没有多动症,52 名女生中有 2 名有多动症,另外 50 名 没有多动症,用独立性检验的方法判断多动症与性别________(填“有 关”或“无关”). 解析:由题目数据列出如下列联表: 性别 多动症 无多动症 总计 男生 98 82 180 女生 2 50 52 总计 100 132 232 由表中数据可看到 k=232×(98×50-82×2)2 180×52×100×132 ≈42.117>10.828. 所以,在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下,认为多动症与性别 有关系. 答案:有关 8. 某卫生机构对 366 人进行健康体检,其中某项检测指标阳性家 族史者糖尿病发病的有 16 人,不发病的有 93 人;阴性家族史者糖尿 病发病的有 17 人,不发病的有 240 人,有________的把握认为糖尿病 患者与遗传有关系. 解析:先作出如下糖尿病患者与遗传列联表(单位:人): 家族 糖尿病发病 糖尿病不发病 总计 阳性家族史 16 93 109 阴性家族史 17 240 257 总计 33 333 366 根 据 列 联 表 中 的 数 据 , 得 到 K2 的 观 测 值 为 k = 366×(16×240-17×93)2 109×257×33×333 ≈6.067>5.024.故我们有 97.5%的把握认 为糖尿病患者与遗传有关系. 答案:97.5% 三、解答题 9.为考察某种药物预防疾病的效果进行动物试验,得到如下列联 表: 分类 患病 未患病 总计 服用药 10 45 55 未服用药 20 30 50 总计 30 75 105 试用等高条形图分析服用药和患病之间是否有关系. 解:根据列联表所给的数据可得出服用药患病的频率为10 55 ≈0.18, 未服用药患病的频率为20 50 =0.4, 两者的差距是|0.18-0.4|=0.22,两者相差很大, 作出等高条形图如图所示, 因此服用药与患病之间有关系的程度很大. 10.为了比较注射 A,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选 200 只家兔做试验,将这 200 只家兔随机地分成两组,每组 100 只,其 中一组注射药物 A,另一组注射药物 B.表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和药物 B 后的试验结果(疱疹面积单位:mm2). 表 1 注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 60,65) 65,70) 70,75) 75,80) 频数 30 40 20 10 表 2 注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 60,65) 65,70) 70,75) 75,80) 80,85) 频数 10 25 20 30 15 完成表 3 中的 2×2 列联表,并回答能否有 99.9%的把握认为“注 射药物 A 后的疱疹面积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异”. 表 3 药物 疱疹面积小于 70 mm2 疱疹面积不小于 70 mm2 总计 注射药物 A a= b= 注射药物 B c= d= 总计 n= 解:表 3 完成如下: 药物 疱疹面积小于 70 mm2 疱疹面积不小于 70 mm2 总计 注射药物 A a=70 b=30 100 注射药物 B c=35 d=65 100 总计 105 95 n=200 由 列 联 表 中 的 数 据 , 得 K2 的 观 测 值 为 k = 200×(70×65-35×30)2 100×100×105×95 ≈24.561>10.828. 因此,有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积与注射药 物 B 后的疱疹面积有差异”. B 级 能力提升 1.有两个分类变量 x,y,其 2×2 列联表如下表.其中 a,15-a 均为大于 5 的整数,若在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为“x 与 y 之间有关系”,则 a 的取值应为( ) 变量 y1 y2 x1 a 20-a x2 15-a 30+a A.5 或 6 B. 6 或 7 C.7 或 8 D.8 或 9 解析:查表可知,要使在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下,认为 K2 之 间 有 关 系 , 则 K2 > 2.706 , 而 K2 = 65[a(30+a)-(20-a)(15-a)]2 20×45×15×50 = 13(65a-300)2 60×45×50 = 13(13a-60)2 60 ,要使 K2>2.706 得 a>7.19 或 a<2.04.又因为 a>5 且 15-a>5,a∈Z,所以 a=8 或 9,故当 a 取 8 或 9 时在犯错误的概率 不超过 0.1 的前提下,认为“x 与 y 之间有关系”. 答案:D 2.对 196 个接受心脏搭桥手术的病人和 196 个接受血管清障手术 的病人进行了 3 年的跟踪研究,调查他们是否又发作过心脏病,调查 结果如下表所示: 分类 又发作过心脏病 未发作过心脏病 总计 心脏搭桥手术 39 157 196 血管清障手术 29 167 196 总计 68 324 392 试根据上述数据计算 K2=________,比较这两种手术对病人又发 作心脏病的影响有没有差别_________. 解析:提出假设 H0:两种手术对病人又发作心脏病的影响没有差 别 . 根 据 列 联 表 中 的 数 据 , 可 以 求 得 K2 的 观 测 值 . k = 392×(39×167-29×157)2 68×324×196×196 ≈1.78. 当 H0 成立时,K2=1.78,又 K2<2.072 的概率为 0.85.所以,不能 否定假设 H0.也就是不能做出这两种手术对病人又发作心脏病的影响 有差别的结论. 答案:1.78 不能做出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差 别的结论 3.某教育科研机构研发了一款新的学习软件,为了测试该软件的 受欢迎程度,该公司在某市的两所初中和两所小学按分层抽样法抽取 部分学生进行了调研.已知这四所 学校在校学生有 9 000 人,其中小学生 5 400 人,参加调研的初中 生有 180 人. (1)参加调研的小学生有多少人? (2)该科研机构将调研的情况统计后得到下表: 学生 喜爱使用 该学习软件 不太喜爱使用 该学习软件 总计 初中生 60 120 180 小学生 90 总计 请将上表填写完整,并据此说明是否有 99.9%的把握认为“喜爱 使用该学习软件”与“学生年龄”有关. 解:(1)这四所学校共 9 000 人,其中小学生 5 400 人, 所以初中生有 3 600 人, 因为参加调研的初中生有 180 人, 所以抽取比例为 180 3 600 = 1 20. 所以参加调研的小学生有 5 400× 1 20 =270(人). (2)由(1)知参加调研的总人数为 180+270=450, 所以表格中的数据如下表所示: 学生 喜爱使用 该学习软件 不太喜爱使用 该学习软件 总计 初中生 60 120 180 小学生 180 90 270 总计 240 210 450 因为,K2=450(60×90-180×120)2 240×210×180×270 ≈16.071>10.828, 所以有 99.9%的把握认为“喜爱玩该游戏”与“学生年龄”有 关.