辽宁省葫芦岛市2020届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题 Word版含解析 26页

www.ks5u.com ‎2020年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试 数学（供文科考生使用）‎ 注意事项：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共6页.满分150分；考试时间：120分钟.‎ ‎2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上.‎ ‎3．用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上.‎ ‎4．考试结来，将答题卡和答题纸一并交回.‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：，∴对应的点为，位于第一象限．‎ 考点：复数的乘除和乘方．‎ ‎2. ，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据一元二次不等式的运算求出集合，再根据并集运算即可求出结果.‎ ‎【详解】因为，所以，所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题.‎ ‎3. 已知向量，且，则（ ）‎ - 26 -‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量平行的坐标公式，即可求得.‎ ‎【详解】，，，‎ ‎，解得，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查向量平行的坐标公式，属于基础题.一般地，如果，，若，则.‎ ‎4. 某地区甲､乙､丙､丁四所高中分别有120，150，180，150名高三学生参加某次数学调研考试，为了解学生能力水平，现制定以下两种卷面分析方案:方案①；从这600名学生的试卷中抽取一个容量为200的样本进行分析:方案②:丙校参加调研考试的学生中有30名数学培优生，从这些培优生的试卷中抽取10份试看进行分析．完成这两种方案宜采用的抽样方法依次是（ ）‎ A. 分层抽样法､系统抽样法 B. 分层抽样法､简单随机抽样法 C. 系统抽样法､分层抽样法 D. 简单随机抽样法､分层抽样法 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分层抽样和简单随机抽样的定义进行判断即可.‎ ‎【详解】①四所学校，学生有差异，故①使用分层抽样；‎ ‎②在同一所学校，且人数较少，所以可使用简单随机抽样.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查的是抽样方法的选取问题，属于基础题.‎ ‎（1）系统抽样适用于总体容量较大的情况.将总体平均分成若干部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，在起始部分抽样时采用简单随机抽样；‎ - 26 -‎ ‎（2）分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的.将总体分成互不交叉的层，然后分层进行抽取，各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样；‎ ‎（3）简单随机抽样适用于样本容量较小的情况，从总体中逐个抽取.‎ ‎5. 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的恰有一名女同学的概率为（ ）‎ A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设2名男生为，3名女生为，则任选2人的种数共10种，其中恰有一名女同学共6种，根据古典概型概率计算公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】设2名男生为，3名女生为， 则任选2人的种数为共10种，其中全是女生为共6种， 故恰有一名女同学的概率 .‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎6. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D - 26 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题知，该程序是利用循环结构计算，输出变量的值，可发现周期为，即可得到，，，此时输出.‎ 详解】，.，.，.‎ ‎，.，.‎ 可发现周期，，，.‎ 此时输出.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构和条件结构，周期是是解决本题的关键，属于简单题.‎ ‎7. 我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长度为5尺，头部的1尺，重4斤；尾部的1尺，重2斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列.”则下列说法正确的是（ ）‎ A. 该金锤中间一尺重3.5斤 B. 中间三尺的重量和是头尾两尺重量和的3倍 C. 该金锤的重量为15斤 D. 该金锤相邻两尺的重量之差为1.5斤 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知等差数列的首项与第5项，再由通项公式求得公差，求得第三项，再求出中间三项的和，逐一核对四个选项得答案．‎ ‎【详解】由题意可知等差数列中， 则，‎ ‎∴，． ‎ ‎∴． ∴A错误，B错误，C正确，D错误． ‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前项和，是基础的计算题．‎ - 26 -‎ ‎8. 已知命题，；命题若，则.下列命题为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用配方法以及不等式性质，分别判断两个命题的真假，再判断复合命题的真假即可.‎ ‎【详解】因为，所以命题为真命题；若，则，所以命题是假命题，所以为真命题.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了特称命题的否定的格式，以及复合命题真假的判断，属于基础题.‎ ‎9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据三视图可知该几何体是棱长为2的正方体中的一个三棱锥，在正方体中画出草图三棱锥，结合其外接球和正方体外接球相同，由此即可求出结果.‎ ‎【详解】由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体中的一个三棱锥，如图所示，‎ - 26 -‎ 三棱锥 ，该三棱锥的外接球即为正方体的外接球，‎ 所以外接球的半径为，‎ 所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了由三视图还原空间几何体，根据空间几何体求其外接球的表面积，属于基础题.‎ ‎10. 函数图象的大致形状是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据函数为偶函数，故排除B，D.再根据，排除A，即可得到答案.‎ - 26 -‎ ‎【详解】的定义域为，‎ ‎.‎ 所以为偶函数，故排除B，D.‎ ‎，故排除A.‎ 故答案为：C ‎【点睛】本题主要考查根据函数解析式找函数图象，利用函数奇偶性和特值为解题的关键，属于中档题.‎ ‎11. 已知双曲线：的两个焦点为，，过且与轴垂直的直线交的渐近线于，两点.若为直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的对称性，，利用边角关系，即可求出结论.‎ ‎【详解】设双曲线的焦距为代入，‎ 得，为直角三角形，‎ 根据双曲线的对称性，可得，‎ ‎.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查圆锥曲线的简单几何性质，属于基础题.‎ - 26 -‎ ‎12. 关于的方程有四个不同的实数根，且，则的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先对原式化简，可得，即或，又，， ，且，令，再根据函数的单调性即可求出结果.‎ ‎【详解】因为，所以 或，即或 又，‎ - 26 -‎ 设方程的根为，方程的根为，‎ 所以；；‎ 所以， ，且；‎ 所以，；‎ 令，‎ 所以，‎ 当时，，当时，；‎ 所以在区间上单调递增，在区间单调递减；‎ 所以，；‎ 所以的取值范围.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数在函数单调性和函数最值中的应用，属于中档题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 函数的单调递增区间是__________.‎ - 26 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，求得函数的定义域，再根据复合函数的单调性，即可求出结果.‎ ‎【详解】令，可得，或，故函数的定义域为．‎ 又在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，所以函数的单调递增区间是. ‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，属于基础题．‎ ‎14. 设变量，满足约束条件，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线，即可求出的最小值.‎ ‎【详解】画出满足条件的平面区域，如图所示，‎ - 26 -‎ 因为，所以， ‎ 显然直线过与的交点时，最小，‎ ‎，解得，此时，‎ 故答案为：1.‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划求目标函数最值，考查数形结合的数学思想方法，属基础题.求目标图数最值的一般步骤：一画、二移、三求.（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎15. 已知，且，则的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本不等式可知 ，再由已知条件即可求出结果.‎ ‎【详解】由基本不等式可知，（当且仅当时，即时取等号）.‎ - 26 -‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题.‎ ‎16. 已知，函数，若对任意，，恒成立，则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数的表达式，可得，结合不等式恒成立分别进行求解即可．‎ ‎【详解】，所以；‎ 当时，函数的对称轴为，抛物线开口向上， ‎ 要使时，对任意恒成立，即对任意 恒成立；‎ 令， ‎ 则只需要， ‎ 即，得， ‎ 当时，要使恒成立，即，‎ 在射线的下方或在上， ‎ 由，即，‎ 由判别式， 得， 综上.‎ 故答案为：．‎ - 26 -‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，利用分段函数的不等式分别进行转化求解即可．注意数形结合．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 已知函数．‎ ‎（1）求的值和的最小正周期；‎ ‎（2）设锐角的三边，，所对的角分别为，，，且，，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将的解析式化简为，进而求得的值和最小正周期；‎ ‎（2）由可求出的值，再借助余弦定理和基本不等式，即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）由题 ‎.‎ ‎，.‎ 所以，，的最小正周期为.‎ - 26 -‎ ‎（2），，所以，‎ 在中，由余弦定理可得：‎ ‎，‎ 解得，‎ 又因为在中，，‎ 所以，的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查的是三角函数与解三角形的综合性问题，涉及的知识点包括三角恒等变换、余弦定理以及基本不等式等，熟记公式并准确计算是解题关键，属于基础题.‎ ‎18. 如图，在三棱柱中，平面，分别是线段，的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）当三棱柱的各棱长均为2时，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接与相交于点，连接，易得，从而得证；‎ ‎【详解】（1）证明：连接与相交于点，连接，‎ 由侧面为平行四边形可得是线段的中点，‎ - 26 -‎ 又因为是线段的中点，∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）∵平面，平面，∴‎ ‎∵，是线段的中点，∴‎ ‎∵，平面，∴平面，‎ ‎∴线段为三棱锥的高，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵平面，平面，∴，‎ ‎∵三棱柱的各棱长均为2，∴四边形为正方形，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查线面平行证明，三棱锥体积的计算，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.‎ ‎19.‎ - 26 -‎ ‎ 2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标；2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年.（总书记二〇二〇年新年贺词）截至2018年底，中国农村贫困人口从2012年的9899万人减少至1660万人，贫困发生率由2012年的10.2%下降至2018年的1.7%；连续7年每年减贫规模都在1000万人以上；确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤.某贫困地区截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康.现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2018年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图.‎ ‎（1）补全频率分布直方图，并求出这50户家庭人均年纯收入的中位数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）（精确到元）；‎ ‎（2）2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入如下表：‎ 月份/2019（时间代码）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 人均月纯收入（元）‎ ‎275‎ ‎365‎ ‎415‎ ‎450‎ ‎470‎ ‎485‎ 由散点图及相关性分析发现：家庭人均月纯收入与时间代码之间具有较强的线性相关关系，请求出回归直线方程；由于2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度（1，2，3月份）每月的人均月纯收人均为预估值的，从4月份开始，每月的人均月纯收人均为预估值的，由此估计该家庭2020年能否达到小康标准，并说明理由；‎ ‎①可能用到的数据：； ‎ ‎②参考公式：线性回归方程中，，.‎ ‎【答案】（1）频率分布直方图见解析，中位数5.133千元，平均数5.16千元（2）‎ - 26 -‎ ‎，该家庭2020年能达到小康标准.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频率之和为1可得：家庭人均年纯收入在[6,7)的频率为0.18，即可补全频率分布直方图，在根据频率分布直方图，即可求出中位数和平均数；‎ ‎（2）根据线性回归方程公式即可求出回归方程，再取，根据题意以及等差数列的相关性质，即可求出2020年该家庭人均年纯收入估计值，与8000判断即可．‎ ‎【详解】（1）由频率之和为1可得：家庭人均年纯收入在[6,7)的频率为0.18，所以频率分布直方图如下：‎ 中位数为：（千元）‎ ‎（或：设中位数为，则，解得：）‎ 平均数（千元）‎ ‎（2）解：由题意得：，‎ ‎ ‎ - 26 -‎ 所以：‎ 所以回归直线方程为：‎ 设为2020年该家庭人均月纯收入，则时，，即2020年前三月总收入为：元；‎ 当时，，‎ 即2020年从4月份起的家庭人均月纯收入依次为：728，760,…,984，‎ 构成以32为公差的等差数列，‎ 所以4月份至12月份的总收入为 所以2020年该家庭总收入为：，‎ 所以该家庭2020年能达到小康标准.‎ ‎【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，求中位数和平均数，线性回归方程和线性回归方程的应用，考查运算能力和处理问题的能力，属于中档题．‎ ‎20. 已知，是椭圆：的左右两个焦点，过的直线与交于，两点（在第一象限），的周长为8，的离心率为.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）设，为的左右顶点，直线的斜率为，的斜率为，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ - 26 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆定义可知，周长为，结合已知求出，即可求解；‎ ‎（2）若直线斜率不存在时，求出坐标，以及值，并有 ；当直线斜率存在时，设出方程与椭圆方程联立，根据韦达定理，得出两点坐标关系，求出，，再求出取值范围，将表示为的二次函数，转化求二次函数的取值范围，即可求得结论.‎ ‎【详解】解：（1）由条件得解得，‎ 所以的方程为.‎ ‎（2）由（1）得，，，‎ 当直线的斜率不存在时，，，‎ ‎，.‎ 当直线的斜率存在时，此时直线的斜率不为0，设直线的方程为，‎ 设，，由得 ‎，‎ 则，，‎ ‎∴‎ - 26 -‎ ‎.∴.‎ 因为点在第一象限，所以，（为椭圆的上顶点）‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆与直线的位置关系，考查参数取值问题，解题的关键要从特殊位置关系，得出一般位置关系，然后等价转化为熟悉函数的值取值范围，属于较难题.‎ ‎21. 已知函数，.‎ ‎（1）若在处的切线的方程为，求，的值并求此时的最值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，不等式在时恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），，，无最大值；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数的几何意义和点斜式，即可求出切线方程，进而求出，即可，再利用导数求出函数的单调性，进而求出函数的最值．‎ ‎（2）由，方法一：对和两种情况进行讨论，其中当时，令，利用导数在函数最值中的应用，求解即可；方法二：采用分离参数法，利用极限思想解题即可；方法三：，对进行分类讨论，利用导数在函数单调性和最值中的应用解题即可.‎ ‎【详解】解：（1），令得：，由题意：，‎ ‎∴，‎ - 26 -‎ ‎∴，‎ ‎ 由得：, 由得：‎ ‎∴在上单调递减；在上单调递增 ‎∴，无最大值；‎ ‎（2）‎ 法一：①当时，，‎ ‎②当时：‎ 令，则 ‎∵∴‎ ‎（i）若，则 在上单调递增， 合题意；‎ ‎（ii）若，令得：，由得：，所以在上单调递减 ‎∴，这与恒成立矛盾，所以不合题意；‎ 综上的取值范围是 法二：①当时，‎ ‎②当时：‎ 令，则，令，则 所以在单调递增，∴，即，∴在上单调递增 又 ‎∴，若使恒成立，只需 - 26 -‎ ‎∴的取值范围是 ‎（说明：①无论法一还是法二，若考生不对进行讨论而得到，均需扣1分；②若考生若采用法二求解，由于高考不提倡用罗比塔法则，可根据答题情况酌情扣1-2分）‎ 法三：‎ 令，则，令，则 显然在上单调递增，∴‎ ‎（i）当即时，恒成立 ‎∴在上单调递增 ‎∴即 ‎∴在上单调递增 ‎∴恒成立，即合题意；‎ ‎（ii）当即时，，‎ ‎∴存在唯一使，当时，，∴在上单调递减，‎ ‎∴，即 所以在上单调递减，所以，这与在时恒成立矛盾，所以不合题意；‎ 综上：的取值范围是 ‎【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，导数在函数单调性中的应用以及导数在求函数最值中的应用，属于中档题.‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.‎ - 26 -‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求和的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知与相切，求的值.‎ ‎【答案】（1）的直角坐标方程为,直线的直角坐标方程为（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将化为，两式平方相减，消去参数，求得的普通方程；代入极坐标方程，即可求出直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）直线与曲线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，与相切，，即可求解.‎ ‎【详解】解：（1）因为，，两式相减，有，‎ 所以的直角坐标方程为.‎ 直线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）联立与的方程，有，消，‎ - 26 -‎ 得，因为与相切，所以有，‎ 解得：.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，考查直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题,‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23. 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若，且，证明：.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分类讨论去绝对值，作出函数的图像，根据图像得到函数的单调性，利用单调性结合图像可得不等式的解集；‎ ‎（2）利用绝对值的三角不等式以及基本不等式可证明结果．‎ ‎【详解】（1）法一：‎ ‎，‎ 作出的图象，如图所示：‎ - 26 -‎ 结合图象，‎ 函数在上单调递增，‎ 在上单调递减，‎ 又，，‎ 所以不等式的解集是.‎ 法二：，‎ 等价于：或或，‎ 解得：或或，‎ 所以不等式的解集是.‎ ‎（2）由（1）知函数的最大值是，所以恒成立.‎ 因，‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 所以 ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及绝对值的三角不等式的应用，是中档题．‎ - 26 -‎ - 26 -‎