- 2.33 MB
- 2021-06-16 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
- 1 -
太原五中 2019—2020 学年度第二学期 4 月模拟考试(一)
高三数学(理)
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个正确选项.
1. 已知集合 1| 12
x
A x
, 2| 2 8 0B x x x ,则 A B ( )
A. | 2 0x x B. | 2 4x x C. 0 4x x D.
| 2x x
【答案】C
【解析】
因为 { | 0}A x x , { | 2 4}B x x ,所以 { | 0 4}A B x x ,应选答案 C.
2. 若复数 z1,z2 在复平面内对应的点关于 y 轴对称,且 z1=2﹣i,则复数 1
2
z
z
在复平面内对应
的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数对应的点关于 y 轴对称得到 2 2z i ,计算 1
2
z
z
可得对应点所处的象限.
【详解】因为 1 2,z z 对应的点关于 y 轴对称,故 2 2z i ,
2
1
2
22 3 4
2 5 5
iz i i
z i
,故 1
2
z
z
对应点在第二象限,选 B.
【点睛】本题考察复数的几何意义和复数的除法,属于基础题.
3. 下列关于命题的说法错误的是( )
A. 命题“若 2 3 2 0x x ,则 2x ”的逆否命题为“若 2x ,则 2 3 2 0x x ”;
B. “ 2a ”是“函数 logaf x x 在区间 0, 上为增函数”的充分不必要条件;
C. 若命题 : ,2 1000np n N ,则 : ,2 1000np n N ;
- 2 -
D. 命题“ ,0 ,2 3x xx ”是假命题.
【答案】C
【解析】
对于 A ,命题“若 2 3 2 0x x ,则 2x ”的逆否命题为“若 2x ,则 2 3 2 0x x ”
正确;对于 B ,只要 1a 时,函数 logaf x x 在区间( )0,+¥ 上为增函数,故正确;对
于C ,若命题 : ,2 1000np n N ,则 : ,2 1000np n N 故错误;对于 D ,根据幂函
数图象得“ ,0x 时, 2 3x x ”,故正确,故选 C.
4. “欧几里得算法”是有记载的最古老的算法,可追溯至公元前 300 年前,上面的程序框图
的算法思路就是来源于“欧几里得算法”,执行该程序框图(图中“ aMODb ”表示 a 除以b
的余数),若输入的 ,a b 分别为 675,125,则输出的 a ( )
A. 0 B. 25 C. 50 D. 75
【答案】B
【解析】
当 675, 125, 100, 125, 100,a b c aMODb a b 此 时 100,c
否, 125 100 25, 100, 25,c MOD a b 否, 100 25 0, 25, 0, 0c MOD a b c 是,
输出 25a ,选 B.
- 3 -
5. 已知公差不为 0 的等差数列 na 的前 n 项和为 nS ,且满足 2 5 9, ,a a a 成等比数列,则 5
7
7
5
S
S
( )
A. 5
7
B. 7
9
C. 10
11
D. 11
23
【答案】C
【解析】
【分析】
设 na 的公差为 d ,且 0d ,运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质,解方程可得
首项和公差的关系,再由等差数列的求和公式,计算可得所求值.
【详解】解:设 na 的公差为 d ,且 0d ,
因为 2a , 5a , 9a 成等比数列,可得 2
5 2 9a a a ,
即 2
1 1 1( 4 ) ( )( 8 )a d a d a d ,
整理可得 1 8a d ,
故
1 5
5 3
7 4
1 7
7 5( )7 8 2 102
55 8 3 117( )2
a aS a d d
S a d da a
.
故选:C .
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式、等比数列的中项性质,考查方程思想和
运算能力,属于基础题.
6. 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军,若比赛为“三局两胜”制,甲在每局比赛中获胜
的概率均为 2
3
,且各局比赛结果相互独立,则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了三局
的概率为( )
A. 1
3
B. 2
5
C. 2
3
D. 4
5
【答案】B
【解析】
【分析】
求出甲获得冠军的概率、比赛进行了 3 局的概率,即可得出结论.
- 4 -
【详解】由题意,甲获得冠军的概率为 2 2 2 1 2 1 2 2 20
3 3 3 3 3 3 3 3 27
,
其中比赛进行了 3 局的概率为 82 1 2 1 2 2 273 3 3 3 3 3
,
∴所求概率为 8 20 2 27 27 5
,
故选 B.
【点睛】本题考查条件概率,考查相互独立事件概率公式,属于中档题.
7. 已知函数 ( ) sin ( 0)f x x ,满足 3( ) ( )4 4f f ,且在 3[ ]4 4
, 内恰有一个最大值点和
一个最小值点,则 的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
由 3( ) ( )4 4f f ,且在 3[ ]4 4
, 内恰有一个最大值点和一个最小值点,由正弦函数图像性质可得
其最小正周期为
2
,根据正弦函数最小正周期计算公式 2
| |T
,即可求得 的值.
【详解】函数 ( ) sin ( 0)f x x
由 3( ) ( )4 4f f ,且在 3[ ]4 4
, 内恰有一个最大值点和一个最小值点,
正弦函数图像性质可得其最小正周期为
2
,
根据正弦函数最小正周期计算公式 2
| |T
,可得 4
故选:D.
【点睛】本题考查了求正弦函数 ( ) sin ( 0)f x x 的 值,掌握正弦函数图像和最小正周
期公式是解本题的关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
8. 某同学在参加《通用技术》实践课时,制作了一个工艺品,如图所示,该工艺品可以看成
是一个球被一个棱长为 4 3 的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重
合),若其中一个截面圆的周长为 4 ,则该球的半径是( )
- 5 -
A. 2 B. 4 C. 2 6 D. 4 6
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出截面圆的半径,然后根据球的半径,小圆半径,球心距三者之间的关系列方程求解即
可.
【详解】解:设截面圆半径为 r ,球的半径为 R ,则球心到某一截面的距离为正方体棱长的
一半即 2 3 ,
根据截面圆的周长可得 4 2 r ,得 2r = ,
故由题意知 22 2 2 3R r ,即 22 22 2 3 16R ,所以 4R ,
故选:B.
【点睛】本题考查球被面所截的问题,考查学生计算能力以及空间想象能力,是基础题.
9. 已知 AB 是圆 2 2:( 1) 1C x y 的直径,点 P 为直线 1 0x y 上任意一点,则
PA PB 的最小值是( )
A. 2 1 B. 2 C. 0 D. 1
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析:由题意得,设 , , ,又因为
,所以 2 2 2| | | | 2 1PA PB PC CA x ,所以 PA PB 的最小值为 1,故答案
选 D.
考点:1.圆的性质;2.平面向量的数量积的运算.
10. 已知直线 0y kx k 与双曲线
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
交于 ,A B 两点,以 AB 为直
- 6 -
径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F ,若 ABF 的面积为 24a ,则双曲线的离心率为
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】
通过双曲线和圆的对称性,将 ABF 的面积转化为 FBF 的面积;利用焦点三角形面积公式
可以建立 a 与b 的关系,从而推导出离心率.
【详解】由题意可得图像如下图所示: F 为双曲线的左焦点
ABQ 为圆的直径 90AFB
根据双曲线、圆的对称性可知:四边形 AFBF 为矩形
1
2ABF AFBF FBFS S S
又
2
2 24tan 45FBF
bS b a
,可得: 2 25c a
2 5e 5e
本题正确选项: D
【点睛】本题考查双曲线的离心率求解,离心率问题的求解关键在于构造出关于 ,a c 的齐次方
程,从而配凑出离心率的形式.
11. 数列 na 满足 1 1a , 1 ( 1) ( 1)n nna n a n n ,且 2cos 3
n n
nb a ,记 nS 为数列 nb
的前 n 项和,则 24S 等于( )
A. 294 B. 174 C. 470 D. 304
【答案】D
【解析】
- 7 -
【解析】由 1 1 1n nna n a n n 得 1 11
n na a
n n
,所以数列 na
n
为等差数列,因此
2
2 2
2
1 , 3 1,2
11 1 1 , , , 3 2,2
, 3 3,
n
n n
n n k k N
a n n a n b n n k k Nn
n n k k N
, 因 此
3 1 3 2 3 3
13b b b 9 ,2k k k k k N , 24
13 9 0 1 7 8 3042S ,选 D.
点睛:本题采用分组转化法求和,即通过三个一组进行重新组合,将原数列转化为一个等差
数列. 分组转化法求和的常见类型还有分段型(如 ,{
2 ,n n
n na
n
为奇数
为偶数 )及符号型(如
2( 1)n
na n )
12. 已知以 4T 为周期的函数
( ) { 1 2 , ( 1,1] 1 | 2 | , (1,3]f x m x x x x
,其中 0m .若方程 3 ( )f x x 恰有 5 个实数解,则实数
m 的取值范围为( )
A.
( 15 3 , 8 3 )
B.
( 15 3 , 7 )
C.
( 4 3 , 8 3 ) D.
( 4 3 , 7 )
【答案】B
【解析】
【详解】因为当 ( 1,1]x 时,将函数化为方程
2
2
2 1(y 0)yx m
,实质上为一个半椭圆,
- 8 -
其图像如图所示,同时在坐标系中作出当 (1,3]x 得图像,再根据周期性作出函数其它部分
的图像,由图易知直线
3
xy 与第二个椭圆
2
2
2( 4) 1(y 0)yx m
相交,而与第三个半椭圆
2
2
2( 8) 1(y 0)yx m
无 公 共 点 时 , 方 程 恰 有 5 个 实 数 解 , 将
3
xy 代 入
2
2
2( 4) 1(y 0)yx m
得 2 2 2 2(9 1) 72 135 0,m x m x m
令 29 ( 0)t m t ,则有 2( 1) 8 15 0t x tx t
由 2 2 15(8 ) 4 15 ( 1) 0, 15, 9 15, 0 3t t t t m m m 得 由 且 得
同样由
3
xy 与第三个半椭圆
2
2
2( 8) 1(y 0)yx m
无交点,由 可计算得 7m
综上知 15( , 7)3m .
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 已知 f x 为奇函数,当 0x 时, ln 3f x x x ,则 1f 的值为______.
【答案】3
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质计算可得;
【详解】解:因为 f x 为奇函数,当 0x 时, ln 3f x x x
所以 f x f x ,即 1 1f f ,又 1 ln1 3 3f
所以 1 3f
故答案为:3
【点睛】本题考查奇函数的性质的应用,属于基础题.
14. 已知实数满足
{ 2 0 2 5 0 2 0x y x y y
- 9 -
,则 b y x 的取值范围是
【答案】
【解析】
如图画出的可行域如下:
b y x 的几何意义是可行域内的点与原点的
斜率,由图可知过(1,2)有最大值 ,过(3,1)有最小值 .所以
b y x 的取值范围是
15. 二项式 1 ( 0, 0)
n
ax a bbx
的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大,且展开式中
的第 3 项的系数是第 4 项的系数的 3 倍,则 ab 的值为________.
【答案】8
【解析】
【分析】
计算得到 10n ,根据二项式定理得到
10 2 10 3
2 3
10 102 33a aC Cb b
,展开计算得到答案.
【详解】展开式中只有第 6 项的二项式系数最大,故 10n ,
1 ( 0, 0)
n
ax a bbx
的展开式的通项为:
10
10 10 2
1 10 10
1 r r
rr r r
r r
aT C ax C xbx b
.
故
10 2 10 3
2 3
10 102 33a aC Cb b
,化简得到 8ab .
故答案为:8 .
- 10 -
【点睛】本题考查了二项式定理,意在考查学生的计算能力和应用能力.
16. 如图,在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中,点 F 是线段 1BC 上的动点,则下列说法正确的是
______(填序号)
①无论点 F 在 1BC 上怎么移动,都有 1 1A F B D ;
②无论点 F 在 1BC 上怎么移动,异面直线 1A F 与 CD 所成角都不可能是30 ;
③当点 F 移动至 1BC 中点时,直线 1A F 与平面 1BDC 所成角最大;
④当点 F 移动至 1BC 中点时,才有 1A F 与 1B D 相交于一点,记为点 E ,且 1 2A E
EF
.
【答案】①②③④
【解析】
【分析】
推导出 1B D 平面 1 1A BC 可判断命题①的正误;设正方体的棱长为 2 ,求得 1A F 的取值范围,
可求得异面直线 1A F 与 CD 所成角的余弦值的取值范围,进而可判断命题②的正误;利用线
面角的定义可判断命题③的正误;可知三棱锥 1 1 1B A BC 为正三棱锥,可得出点 E 为正
1 1A BCV 的中心,利用重心的性质可判断④的正误.综合可得出结论.
【详解】对于命题①,如下图所示,连接 1A B 、 1 1AC 、 1 1B D ,
- 11 -
四边形 1111 DCBA 为正方形,则 1 1 1 1B D AC ,
1DD Q 平面 1111 DCBA , 1 1AC 平面 1111 DCBA , 1 1 1AC DD ,
1 1 1 1B D DD D , 1 1AC 平面 1 1B D D , 1 1 1B D AC ,
同理可得 1 1B D A B , 1 1 1 1AC A B A , 1B D 平面 1 1A BC ,
1A F 平面 1 1A BC , 1 1A F B D ,命题①正确;
对于命题②,过点 F 作 FE 平面 1 1AA D D ,垂足为点 E ,连接 1A E ,设正方体的棱长为 2 ,
则 //EF CD 且 2EF CD ,所以,异面直线 1A F 与CD 所成角等于 1A FE ,
易知 1 1A BCV 是边长为 2 2 的等边三角形,当点 F 在线段 1BC 上运动时, 16 2 2A F ,
1
1
2 6cos ,2 3
EFA FE A E
且 3 2 6,2 2 3
,
异面直线 1A F 与 CD 所成角都不可能是 30 ,命题②正确;
- 12 -
对于命题③,设点 1A 到平面 1BC D 的距离为 h ,设直线 1A F 与平面 1BC D 所成的角为 ,
当 1 1A F C D 时,即当点 F 为 1BC 的中点时, 1A F 取最小值,此时
1
sin h
A F
取最大值,
即当点 F 移动至 1BC 中点时,直线 1A F 与平面 1BDC 所成角最大,命题③正确;
由①可知, 1B D 平面 1 1AC B , 1 1 1 1 1B B A B B C 且 1 1 1 1A B AC BC ,
则三棱锥 1 1 1B A BC 为正三棱锥,则 1B D 与平面 1 1AC B 的唯一交点 E 为正 1 1A BCV 的中心,
如下图所示:
连接 1A E 并延长 1A E 交 1BC 于点 F ,则 F 为 1BC 的中点,且 E 为正 1 1A BCV 的重心,
由重心的性质可知 1 2A E
EF
,命题④正确.
故答案为:①②③④.
【点睛】本题考查线线垂直的判断、异面直线所成角与线面角的计算,同时也考查了三角形
重心性质的应用,考查推理能力与计算能力,属于中等题.
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17~21 题为必考题,每个
试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共 60 分.
17. △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin A cos A 3 0 , 2 7a ,b=2.
(1)求 c;
(2)设 D 为 BC 边上一点,且 AD AC ,求△ABD 的面积.
【答案】(1)c=4(2) 3
【解析】
【分析】
(1)根据同角三角函数的基本关系式求得 tan A ,由此求得 A 的大小,利用余弦定理列方程,
- 13 -
解方程求得 c .
(2)先求得三角形 ABD 和三角形 ACD 的面积比,再由三角形 ABC 的面积,求得三角形 ABD
的面积.
【详解】(1)由已知可得 tan 3A ,所以 2
3A .
在△ABC 中,由余弦定理得 2 228 4 4 cos 3c c ,
即 2 2 24 0c c ,解得 c=-6(舍去),c=4.
(2)由题设可得
2CAD ,所以
6BAD BAC CAD .
故△ABD 与△ACD 面积的比值为
1 sin2 6 11
2
AB AD
AC AD
.
又△ABC 的面积为 1 4 2sin 2 32 BAC ,
所以△ABD 的面积为 3 .
【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形,考查三角形面积的计算,考查同角三角函数的
基本关系式,属于基础题.
18. 如图,四边形 ABCD 为平行四边形,点 E 在 AB 上,AE=2EB=2,且 DE⊥AB.以 DE 为折痕
把△ADE 折起,使点 A 到达点 F 的位置,且∠FEB=60°.
(1)求证:平面 BFC⊥平面 BCDE;
(2)若直线 DF 与平面 BCDE 所成角的正切值为 15
5
,求二面角 E﹣DF﹣C 的正弦值.
- 14 -
【答案】(1)证明见解析(2) 42
7
【解析】
【分析】
( 1 ) 首 先 通 过 证 明 DE 平 面 BEF 证 得 DE BF . 结 合 余 弦 定 理 和 勾 股 定 理 证 得
FB EB ,由此证得 BF 平面 BCDE ,进而证得平面 BFC 平面 BCDE .
(2)建立空间直角坐标系,由直线 DF 与平面 BCDE 所成角的正切值求得正弦值,结合直线
DF 的方向向量和平面 BCDE 的法向量列方程,解方程求得 DE 的长.由此通过平面 EDF 和
平面 DFC 的法向量,计算出二面角 E DF C 的余弦值,进而求得其正弦值.
【详解】(1)证明:∵DE⊥AB,∴DE⊥EB,DE⊥EF,
∴DE⊥平面 BEF,∴DE⊥BF,
∵AE=2EB=2,∴EF=2,EB=1,
∵∠FEB=60°,∴由余弦定理得 BF 2 2 2 3EF EB EF EB cos FEB ,
∴EF2=EB2+BF2,∴FB⊥EB,
由①②得 BF⊥平面 BCDE,
∴平面 BFC⊥平面 BCDE.
(2)解:以 B 为原点,BA 为 x 轴,在平面 ABCD 中过点 B 作 AB 的垂线为 y 轴,BF 为 z 轴,
建立空间直角坐标系,
设 DE=a,则 D(1,a,0),F(0,0, 3 ), DF (﹣1,﹣a, 3 ),
∵直线 DF 与平面 BCDE 所成角的正切值为 15
5
,
∴直线 DF 与平面 BCDE 所成角的正弦值为 6
4
,
平面 BCDE 的法向量 n (0,0,1),
∴|cos n DF
< , >|
2
3 6
44
n DF
n DF a
,解得 a=2,
∴D(1,2,0),C(﹣2,2,0),∴ ED (0,2,0), DF (﹣1,﹣2, 3 ),
设平面 EDF 的法向量 m (x,y,z),
- 15 -
则 2 0
2 3 0
ED m y
DF m x y z
,取 z=1,得 m ( 3 01,,),
同理得平面 DFC 的一个法向量 p (0, 3 ,2),
∴cos 2 7
72 7
m pm p
m p
< , > ,
∴二面角 E﹣DF﹣C 的正弦值为 sin 1 421 7 7m p < , > .
【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明,考查根据线面角求边长,考查二面角的求法,考
查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.
19. 已知圆 2 2 1: 1 4C x y ,一动圆与直线 1
2x 相切且与圆C 外切.
(1)求动圆圆心 P 的轨迹T 的方程;
(2)若经过定点 6,0Q 的直线l 与曲线T 交于 A B、 两点,M 是线段 AB 的中点,过 M 作 x
轴的平行线与曲线T 相交于点 N ,试问是否存在直线 l ,使得 NA NB ,若存在,求出直线
l 的方程,若不存在,说明理由.
【 答 案 】 (1) 2 4y x ;(2) 存 在 直 线 3 6 18 0x y 或 3 6 18 0x y , 使 得
NA NB .
【解析】
试题分析:
(1)本题用直接法求动点轨迹方程,设支点坐标为 ( , )x y ,当然由已知分析,动点不能在 y 轴
左侧,然后利用直线与圆相切和两圆外切的条件列出方程,化简即可;
(2)假设存在满足题意的直线,设出直线方程,分析发现直线的斜率为 0 时不合题意,从而
设直线方程为 6x my ,设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ,直线方程与曲线方程联立方程组,消去
变量 x 后得 y 的一元二次方程,由韦达定理得 1 2 1 2,y y y y ,设 0 0( , )N x y ,得 0y m ,
2
0x m ,由 0NA NB 求出 m 值,得直线方程,若不能求出实数 m ,则说明假设错误,不
- 16 -
存在相应的直线.
试题解析:
(1)设 ,P x y ,分析可知:动圆的圆心不能在 y 轴的左侧,故 0x ,
∵动圆与直线 1
2x 相切,且与圆 C 外切,
∴ 1 1
2 2PC x
,
∴ 1PC x ,
∴ 2 21 1x y x ,
化简可得 2 4y x ;
(2)设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ,
由题意可知,当直线l 与 y 轴垂直时,显然不符合题意,
故可设直线l 的方程为 6x my ,
联立 6x my 和 2 4y x 并消去 x ,可得 2 4 24 0y my ,
显然 216 96 0m ,由韦达定理可知 1 2
1 2
4{ · 24
y y m
y y
,①
又∵ 1 2 1 26 6x x my my ,
∴ 2
1 2 4 12x x m ,②
∵ 1 2
1 2· ·4 4
y yx x ,∴ 1 2· 36x x ,③
假设存在 0 0,N x y ,使得 · 0NA NB ,
由题意可知 1 2
0 2
y yy ,∴ 0 2y m ,④
由 N 点在抛物线上可知
2
0
0 4
yx ,即 2
0x m ,⑤
又 1 0 2 0 2 0 2 0, , ,NA x x y y NB x x y y ,
若 · 0NA NB ,则 2 2
1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 0x x x x x x y y y y y y ,
- 17 -
由①②③④⑤代入上式化简可得 4 23 16 12 0m m ,
即 2 26 · 3 2 0m m ,
∴ 2 2
3m ,故 6
3m ,
∴存在直线3 6 18 0x y 或3 6 18 0x y ,使得 NA NB .
点睛:解答探索直线与圆锥曲线位置关系中的存在性问题,主要有两个方向:(1)根据圆锥
曲线的方程及性质直接进行解答;(2)通过假设存在,然后由此出发进行推,最后判断其推
导结果是否合理.
20. 已知函数 emxf x x .
(1)若函数 f x 的图象在点 1, 1f 处的切线平行于 x 轴,求函数 f x 在 2 2 , 上的
最小值;
(2)若关于 x 的方程 1f x x
在 0, 上有两个解,求实数 m 的取值范围.
【答案】(1) 1
e
;(2) 2 ,0e
.
【解析】
【分析】
(1)由题意得出 1 0f 可求得 m 的值,利用导数求得函数 y f x 的极值,结合函数
y f x 的单调性可得出该函数在区间 2 2 , 上的最小值;
(2)由参变量分离法可知:直线
2
my 与函数 ln xF x x
的图象有两个交点,利用导数
分析函数 y F x 的单调性与极值,数形结合可得
2
m 的取值范围,进而可求得实数 m 的
取值范围.
【详解】(1) mxf x xeQ , mx mxf x e mxe ,
由题意可得 1 0m mf e me ,解得 1m .
xf x xe ,则 1 xf x x e ,令 0f x ,解得 1x .
令 0f x ,解得 1x ,此时函数 y f x 单调递增;
- 18 -
令 0f x ,解得 1x ,此时函数 y f x 单调递减.
所以,函数 y f x 在区间 2, 1 上单调递减,在区间 1,2 上单调递增,
所以,当 1x 时,函数 y f x 取得极小值即最小值,即 1
min
11f x f e e
;
(2) 1 1mxf x xex x
在 0, 有两解,即 ln lnx mx x 在 0, 有两解,
ln
2
m x
x
.
设 ln xF x x
, 2
1 ln xF x x
,令 0F x ,得 x e .
当 0 x e 时, 0F x ;当 x e 时, 0F x .
所以,函数 y F x 在 0,e 上为增函数,在 ,e 上为减函数.
当 0x , F x ;当 x 时, 0F x , max
1F x F e e
,
如下图所示:
由图象可知,当 10 2
m
e
时,即当 2 0e m 时,直线
2
my 与函数 y F x 的图象有
两个交点.
因此,实数 m 的取值范围是 2 ,0e
.
【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值,同时也考查了利用导数研究函数的零点个数问
题,考查数形结合思想以及参变量分离法的应用,考查分析问题和解决问题的能力,属于中
等题.
21. 冠状病毒是一个大型病毒家族,可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼
吸综合征(SARS)等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒(nCoV)是以前从未
在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳
嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭,甚
- 19 -
至死亡.某医院为筛查冠状病毒,需要检验血液是否为阳性,现有 *n n N 份血液样本,有
以下两种检验方式:
方式一:逐份检验,则需要检验 n 次.
方式二:混合检验,将其中 *, 2k k N k 份血液样本分别取样混合在一起检验,若不是阳
性,检验一次就够了,如果检验结果为阳性,为了明确这 k 份血液究竟哪几份为阳性,就要对
这 k 份再逐份检验,此时这 k 份血液的检验次数总共为 1k .
假设在接受检验的血液样本中,每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的,且每份样
本是阳性结果的概率为 0 1p p .现取其中 *, 2k k N k 份血液样本,记采用逐份检
验方式,样本需要检验的总次数为 1 ,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为 2 .
(1)若 1 2E E ,试求 p 关于 k 的函数关系式 p f k ;
(2)若 p 与干扰素计量 nx 相关,其中 1 2, , , 2nx x x n 是不同的正实数,满足 1 1x 且
* 2n N n 都有
1 2 2
2 13
2 2
1 2 2 3 1 2 1
1 1 1 n
n
n n
x xx ex x x x x x x x
成立.
(ⅰ)求证:数列 nx 为等比数列;
(ⅱ)当 3
4
11p
x
时,采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份
检验的总次数的期望值更少,求 k 的最大值.
( ln 4 1.3863 , ln 5 1.6094 )
【答案】(1)
1
11
k
f k k
;(2)(ⅰ)证明见解析;(ⅱ) k 的最大值为 4.
【解析】
【分析】
(1)由随机变量的概率公式和数学期望,计算可得所求函数 f k 的解析式;
(2)(ⅰ)当 2n 时可得 1
3
2x e ,当 2n 时,可得
1
3
2 2
1 2 2 3 1 3
1 1 1 11
1n n n
e
x x x x x x xe
,
- 20 -
1
3
2 2
1 2 2 3 1 1 13
1 1 1 1 11
1n n n n n
e
x x x x x x x x xe
两式作差可得
1
1 3n
n
x ex
即可得证;
(ⅱ)运用(ⅰ)的结论和构造函数,求得导数和单调性,计算可得所求最大值.
【详解】解:(1)由已知可得 1E k , 2 的所有取值为 1, 1k , 2 1 1 kP p ,
2 1P k 1 1 kp ,
2 1 1 1 1 1 1k k kE p k p k k p ,
由 1 2E E ,可得 1 1 kk k k p ,即 11 kp k
,即
1
11
k
p k
,即
1
11
k
p k
,
可得
1
11
k
f k k
, *k N , 2k ;
(2)(ⅰ)证明:当 2n 时,
12 2 2
2 2 13
2 2
1 2 2 1
x x xex x x x
,即
1
2 3
1
x ex
,由 1 1x ,得 1
3
2x e ,
因为当 2n 时,
1 2
2 3
2
1 2 2 3 1 3
11 1 1
1
n
n
n n
xx ex x x x x x e
,
所以
1
3
2 2
1 2 2 3 1 3
1 1 1 11
1n n n
e
x x x x x x xe
,
1
3
2 2
1 2 2 3 1 1 13
1 1 1 1 11
1n n n n n
e
x x x x x x x x xe
两式相减得
1
3
2 2 2
1 13
1 1 1
1n n n n
e
x x x xe
,
1
3
2 2
1 12
3 1
n n n n
ex x x x
e
则
1 1
1 3 3
1
n n
n n
x x e ex x
,可得
1
1 3n
n
x ex
,因为
1
2 3
1
x ex
,所以数列 nx 为等比数列,且
1
3
n
nx e
;
- 21 -
(ⅱ)由(ⅰ)可知 33
4
1 11 1p
x e
, 1 2E E ,可得 1 1 kk k k p ,即
1 1 kpk
3
1 k
e
,所以 1ln 3k k ,设 1ln 3f x x x , 0x , 3
3
xf x x
,当
3x 时, 0f x , f x 递减,又 ln 4 1.3863 , 4 1.33333
,则 4ln 4 3
;
ln 5 1.6094 , 5 1.66673
,则 5ln5 3
,可得 k 的最大值为 4.
【点睛】本题考查随机变量的数学期望和等比数列的证明,等比数列的通项公式的应用,考
查函数的导数的运用,考查化简运算能力,属于难题.
(二)选考题:共 10 分.请考生在 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做第一题记
分.
[选修 4-4:坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系 xOy 中,曲线 1C 的参数方程为
1+cos
1 cos
2sin
1 cos
x
y
( 为参数).以O 为极点,x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为 0 ( 0 (0, π) ),将曲线 1C 向左
平移 2 个单位长度得到曲线C .
(1)求曲线C 的普通方程和极坐标方程;
(2)设直线 l 与曲线C 交于 ,A B 两点,求 1 1
OA OB
的取值范围.
【答案】(1)C 的极坐标方程为 2 2sin 4 cos 8 0 ,普通方程为 2 4( 2)y x ;(2)
1 2( , ]2 2
【解析】
【分析】
(1)根据三角函数恒等变换可得
2
2
cos 2
sin 2
x
,
2cos 2
sin 2
y
,可得曲线 1C 的普通方程,再
运用图像的平移得依题意得曲线C 的普通方程为,利用极坐标与平面直角坐标互化的公式可
得方程;
- 22 -
(2)法一:将 0 代入曲线 C 的极坐标方程得 2 2
0 0sin 4 cos 8 0 ,运用韦达定理
可得 2
0
1 1 1 1 sin2OA OB
,根据 0 (0, π) ,可求得 1 1
OA OB
的范围;
法二:设直线 l 的参数方程为 cos
sin
x t
y t
(t 为参数, 为直线的倾斜角),代入曲线C 的普通
方程得 2 2sin 4 cos 8 0t t ,运用韦达定理可得 21 1 1 1 sin2OA OB
,根据
(0,π) ,可求得 1 1
OA OB
的范围;
【详解】(1)
2 2
2 2
2cos cos1+cos 2 2
1 cos 2sin sin2 2
x
,
2
4sin cos 2cos2sin 2 2 2
1 cos 2sin sin2 2
y
2
2
2
4cos 2 4
sin 2
y x
,即曲线 1C 的普通方程为 2 4y x ,
依题意得曲线C 的普通方程为 2 4( 2)y x ,
令 cosx , siny 得曲线C 的极坐标方程为 2 2sin 4 cos 8 0 ;
(2)法一:将 0 代入曲线 C 的极坐标方程得 2 2
0 0sin 4 cos 8 0 ,则
0
1 2 2
0
4cos
sin
, 1 2 2
0
8
sin
, 1 2 0 , 1 2, 异号
20
2 22
1 2 0 01 2 1 2 2
0
1 2 1 2 1 2
2
0
4cos 32( )sin sin( ) 41 1 1 1 1 1 sin8 2
sin
OA OB
,
- 23 -
0 (0,π) , 0sin (0,1] , 1 1 1 2( , ]2 2OA OB
;
法二:设直线 l 的参数方程为 cos
sin
x t
y t
(t 为参数, 为直线的倾斜角),代入曲线C 的普通
方程得 2 2sin 4 cos 8 0t t ,
则 1 2 2
4cos
sint t
, 1 2 2
8
sint t , 1 2 0t t , 1 2,t t 异号
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 2
1 2 1 2 1 2
2
4cos 32( )( ) 4 sin sin1 1 1 1 1 1 sin8 2
sin
t t t t t t
OA OB t t t t t t
(0,π) , sin (0,1] , 1 1 1 2( , ]2 2OA OB
.
【点睛】本题考查参数方程与普通方程,极坐标方程与平面直角坐标方程之间的转化,求解
几何量的取值范围,关键在于明确极坐标系中极径和极角的几何含义,直线的参数方程,参
数的几何意义,属于中档题.
[选修 4-5:不等式选讲]
23. 已知函数 2 7 2 5f x x x .
(1)解不等式 6f x ;
(2)设函数 f x 的最小值为 m,已知正实数 a,b,且
2 21max , a bk a b a b
,证明: 2 1k m .
【答案】(1) 3 9, ,2 2
;(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)分类讨论去绝对值,解不等式即可;
(2)由绝对值三角不等式可得 2f x ,得 2m ,由
2 2 2 2
2
1 1
2
a b a b
a b a b a b
得
22 1k ,进而可证明.
- 24 -
【详解】(1)不等式 6f x ,
即为不等式 2 7 2 5 6x x ,
当 5
2x 时,不等式可化为 2 7 2 5 6x x ,解得 3
2x ≤ ;
当 5 7
2 2x 时,不等式可化为 2 7 2 5 6x x ,即 2 6 ,无解;
当 7
2x 时,不等式可化为 2 7 2 5 6x x ,解得 9
2x .
综上,不等式 6f x 的解集是 3 9, ,2 2
;
(2) 2 7 2 5 2 7 2 5 2f x x x x x ,
当且仅当 2 7 2 5 0x x 时取等号,
2m .
2 2
2
1
2
a b
a b
,
2 21 1
2
a b
a b a b
.
2 21max , 0a bk a b a b
,
2 2
2 1 1
2
a bk a b a b
,
22 1k ,
即 2 1k m .
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法,考查不等式的证明,考查计算能力与分析能力,是
中档题.
- 25 -
相关文档
- 安徽省滁州市定远县重点中学2020届2021-06-1622页
- 湖南省常德市2020届高三下学期4月2021-06-1627页
- 【数学】山西省太原市第五中学20202021-06-1612页
- 湖南省株洲市第二中学2020届高三下2021-06-1625页
- 2019-2020学年山西省太原市第五中2021-06-165页
- 湖北省荆门市2020届高三下学期4月2021-06-1623页
- 2018-2019学年山西省太原市第五中2021-06-1614页
- 山西省太原市第五中学2019届高三下2021-06-1610页
- 山西省太原市第五中学2020届高三数2021-06-1612页
- 2017-2018学年山西省太原市第五中2021-06-153页