2020_2021学年新教材高中数学第七章复数7 29页

7 . 2 . 1 　 复数的加、减运算及其几何意义 课标阐释 思维脉络 1 . 掌握复数的加法、减法运算法则 . ( 数学抽象 ) 2 . 理解复数加法、减法运算的几何意义 . ( 直观想象 ) 3 . 能够利用复数的加法、减法运算法则及几何意义解决问题 . ( 逻辑推理、数学运算 ) 激趣诱思 知识点拨 任何两个实数都可以相加 , 而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律 , 即 a , b , c ∈ R 时 , 必定有 a+b=b+a ,( a+b ) +c=a+ ( b+c ) . 那么 , 复数中的加法应该如何规定 , 才能使得类似的交换律与结合律都成立呢 ? 激趣诱思 知识点拨 知识点一、复数的加、减运算 1 . 复数加法、减法的运算法则 设 z 1 =a+b i, z 2 =c+d i( a , b , c , d ∈ R ) 是任意两个复数 , 则有 : z 1 +z 2 = ( a+b i) + ( c+d i) = ( a+c ) + ( b+d )i ; z 1 -z 2 = ( a+b i) - ( c+d i) = ( a-c ) + ( b-d )i . 2 . 复数加法的运算律 设 z 1 , z 2 , z 3 ∈ C , 则有 : 交换律 : z 1 +z 2 = z 2 +z 1 ; 结合律 :( z 1 +z 2 ) +z 3 = z 1 + ( z 2 +z 3 ) . 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 若 z 1 =- 2 + 4i, z 2 = 3 - 2i, 则 z 1 +z 2 = 　　　　 .  (2)(5 - 5i) - 3i = 　　　　 .  解析 : (1) z 1 +z 2 = ( - 2 + 4i) + (3 - 2i) = 1 + 2i . (2)(5 - 5i) - 3i = 5 - 8i . 答案 : (1)1 + 2i 　 (2)5 - 8i 激趣诱思 知识点拨 知识点二、复数加法的几何 意义 激趣诱思 知识点拨 微 练习 解析 : (5 - 4i) + ( - 5 + 4i) = (5 - 5) + ( - 4 + 4)i = 0 . 答案 : 0 激趣诱思 知识点拨 知识点三、复数减法的几何 意义 激趣诱思 知识点拨 微 练习 答案 : - 1 - 7i 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 复数的加、减 运算 (2) 已知复数 z 满足 z+ 1 - 3i = 5 - 2i, 求 z. 分析 (1) 可根据复数的加、减法法则计算 . (2) 可设 z=x+y i( x , y ∈ R ), 根据复数相等计算 , 也可把等式看作 z 的方程 , 通过移项求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2) 解 : ( 方法一 ) 设 z=x+y i( x , y ∈ R ), 因为 z+ 1 - 3i = 5 - 2i, 所以 x+y i + (1 - 3i) = 5 - 2i, 即 x+ 1 = 5 且 y- 3 =- 2, 解得 x= 4, y= 1, 所以 z= 4 + i . ( 方法二 ) 因为 z+ 1 - 3i = 5 - 2i, 所以 z= (5 - 2i) - (1 - 3i) = 4 + i . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 复数加减运算的方法技巧 (1) 可把复数运算类比实数运算 , 若有括号 , 先计算括号里面的 ; 若没有括号 , 可以从左到右依次进行 . (2) 当利用交换律、结合律抵消掉某些项的实部或虚部时 , 可以利用运算律简化运算 , 注意正负号法则与实数相同 , 不能弄错 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 (1) 计算 ( - 4 - 6i) - (3 + 2i) + (5 + 4i) = 　　　　 .  (2) 若 (1 - 3i) +z= 6 + 2i, 则复数 z= 　　　　 .  解析 : (1)( - 4 - 6i) - (3 + 2i) + (5 + 4i) = ( - 4 - 3 + 5) + ( - 6 - 2 + 4)i =- 2 - 4i . (2) 由已知得 z= (6 + 2i) - (1 - 3i) = 5 + 5i . 答案 : (1) - 2 - 4i 　 (2)5 + 5i 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 复数加、减运算的几何 意义 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 用复数加、减运算的几何意义解题的策略 向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据 . 利用向量加法 “ 首尾相接 ” 和向量减法 “ 指向被减向量 ” 的特点 , 在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数 . 注意 向量 对应 的复数是 z B -z A ( 终点对应的复数减去起点对应的复数 ) . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 如图所示 , 平行四边形 OABC 的顶点 O , A , C 分别对应复数 0,3 + 2i, - 2 + 4i . 求 : 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 复数模的最值问题 例 3 (1) 如果复数 z 满足 |z+ i |+|z- i |= 2, 那么 |z+ i + 1 | 的最小值是 ( 　　 ) (1) 解析 : 设复数 - i,i, - 1 - i 在复平面内对应的点分别为 Z 1 , Z 2 , Z 3 , 因为 |z+ i |+|z- i |= 2, |Z 1 Z 2 |= 2, 所以点 Z 的集合为线段 Z 1 Z 2 . 问题转化为 : 动点 Z 在线段 Z 1 Z 2 上移动 , 求 |ZZ 3 | 的最小值 . 因为 |Z 1 Z 3 |= 1, 所以 |z+ i + 1 | min = 1 . 故选 A . 答案 : A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 复数模的问题的求解策略 |z 1 -z 2 | 表示复平面内 z 1 , z 2 对应的两点间的距离 . 利用此性质 , 可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题 , 从而进行数形结合 , 把复数问题转化为几何图形问题求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 (1) 若本例 (2) 条件改为 “ 设复数 z 满足 |z- 3 - 4i |= 1”, 求 |z| 的最大值 . (2) 若本例 (2) 条件改为已知 |z|= 1 且 z ∈ C , 求 |z- 2 - 2i | (i 为虚数单位 ) 的最小值 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 数形结合思想在复数中的应用 典例 复平面内点 A , B , C 对应的复数分别为 i,1,4 + 2i, 由 A → B → C → D 按逆时针顺序作 ▱ ABCD , 求 . 分析 首先由 A , C 两点坐标求解出 AC 的中点坐标 , 然后再由点 B 的坐标求解出点 D 的坐标 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛 (1) 解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形 , 然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解 . (2) 复数的几何意义包括三个方面 : 复数的表示 ( 点和向量 ) 、复数的模的几何意义及复数加、减运算的几何意义 . 复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法 , 即通过几何图形来研究代数问题 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 若 ( - 3 a+b i) - (2 b+a i) = 3 - 5i, a , b ∈ R , 则 a+b= ( 　　 ) 答案 : B 2 . 若复数 z 满足 z+ (3 - 4i) = 1, 则 z 的虚部是 ( 　　 ) A. - 2 B.4 C.3 D. - 4 解析 : z= 1 - (3 - 4i) =- 2 + 4i, 所以 z 的虚部是 4 . 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : C 4 . 若复数 z 满足 |z- i |= 3, 则复数 z 对应的点 Z 的轨迹所围成的图形的面积为 　　　　　 .  解析 : 由条件知 |z- i |= 3, 所以点 Z 的轨迹是以点 (0,1) 为圆心 , 以 3 为半径的圆 , 故其面积为 S= 9 π . 答案 : 9 π 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5 . 设 z 为复数 , 且 |z|=|z+ 1 |= 1, 求 |z- 1 | 的值 .