人教版高中数学选修4-4练习：第二讲一第2课时圆的参数方程word版含解析 7页

第二讲 参数方程 一、曲线的参数方程 第 2 课时 圆的参数方程 A 级 基础巩固 一、选择题 1．已知圆 P： x＝1＋ 10cos θ， y＝－3＋ 10sin θ (θ为参数)，则圆心 P 及半径 r 分别是( ) A．P(1，3)，r＝10 B．P(1，3)，r＝ 10 C．P(1，－3)，r＝ 10 D．P(1，－3)，r＝10 解析：由圆 P 的参数方程可知圆心(1，－3)，半径 r＝ 10. 答案：C 2．圆 x2＋y2＋4x－6y－3＝0 的参数方程为( ) A. x＝2＋4cos θ， y＝－3＋4sin θ (θ为参数) B. x＝－2＋4cos θ， y＝3＋4sin θ (θ为参数) C. x＝2－4cos θ， y＝3－4sin θ (θ为参数) D. x＝－2－4cos θ， y＝3－4sin θ (θ为参数) 解析：圆的方程配方为：(x＋2)2＋(y－3)2＝16，所以圆的圆心为 (－2，3)，半径为 4，故参数方程为 B 选项． 答案：B 3．已知圆 O 的参数方程是 x＝2＋4cos θ， y＝－ 3＋4sin θ(0≤θ<2π)，圆上点 A 的坐标是(4，－3 3)，则参数θ＝( ) A.7π 6 B.4π 3 C.11π 6 D.5π 3 解析：由题意 4＝2＋4cos θ， －3 3＝－ 3＋4sin θ(0≤θ<2π)， 所以 cos θ＝1 2 ， sin θ＝－ 3 2 (0≤θ<2π)，解得θ＝5π 3 . 答案：D 4．若 P(x，y)是圆 x＝2＋cos α， y＝sin α (α为参数)上任意一点，则(x－ 5)2＋(y＋4)2 的最大值为( ) A．36 B．6 C．26 D．25 解析：依题意 P(2＋cos α，sin α)， 所以(x－5)2＋(y＋4)2＝(cos α－3)2＋(sin α＋4)2＝ 26－6cos α＋8sin α＝26＋10sin(α－φ) 其中 cos φ＝4 5 ，sin φ＝3 5 ， 所以当 sin(α－φ)＝1，即α＝2kπ＋π 2 ＋φ(k∈Z)时，有最大值为 36. 答案：A 5．直线：3x－4y－9＝0 与圆： x＝2cos θ， y＝2sin θ (θ为参数)的位置关 系是( ) A．相切 B．相离 C．直线过圆心 D．相交但直线不过圆心 解析：圆心坐标为(0，0)，半径为 2，显然直线不过圆心， 又圆心到直线距离 d＝9 5<2. 所以直线与圆相交，但不过圆心． 答案：D 二、填空题 6．已知圆的方程为 x2＋y2＝2x，则它的一个参数方程是______． 解析：将 x2＋y2＝2x 化为(x－1)2＋y2＝1 知圆心坐标为(1，0)， 半径 r＝1， 所以它的一个参数方程为 x＝1＋cos θ， y＝sin θ (θ为参数)． 答案： x＝1＋cos θ， y＝sin θ (θ为参数) 7．已知曲线方程 x＝1＋cos θ， y＝sin θ (θ为参数)，则该曲线上的点与 定点(－1，－2)的距离的最小值为________． 解析：设曲线上动点为P(x，y)，定点为 A， 则|PA|＝ （1＋cos θ＋1）2＋（sin θ＋2）2＝ 9＋4 2sin θ＋π 4 ， 故|PA|min＝ 9－4 2＝2 2－1. 答案：2 2－1 8．曲线 C：x＝cos θ， y＝－1＋sin θ(θ为参数)的普通方程为__________．如 果曲线 C 与直线 x＋y＋a＝0 有公共点，那么 a 的取值范围是 ________． 解析： x＝cos θ， y＝－1＋sin θ(θ为参数)消参可得 x2＋(y＋1)2＝1， 利用圆心到直线的距离 d≤r 得|－1＋a| 2 ≤1， 解得 1－ 2≤a≤1＋ 2. 答案：x2＋(y＋1 )2＝1 [1－ 2，1＋ 2] 三、解答题 9．已知曲线 C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐 标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的 参数方程是 x＝ 3 2 t＋m， y＝1 2t (t 为参数)． (1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 普通方程； (2)当 m＝2 时，直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，求|AB|的值． 解：(1)由ρ＝2cos θ，得：ρ2＝2ρcos θ， 所以 x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1， 所以曲线 C 的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1. 由 x＝ 3 2 t＋m， y＝1 2t 得 x＝ 3y＋m，即 x－ 3y－m＝0， 所以直线 l 的普通方程为 x－ 3y－m＝0. (2)设圆心到直线 l 的距离为 d， 由(1)可知直线 l：x－ 3y－2＝0， 曲线 C：(x－1)2＋y2＝1， 圆 C 的圆心坐标为(1，0)，半径为 1. 则圆心到直线 l 的距离为 d＝|1－ 3×0－2| 1＋（ 3）2 ＝1 2 ， 所以|AB|＝2 1－ 1 2 2＝ 3， 因此|AB|的值为 3. 10．在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈ 0，π 2 . (1)求 C 的参数方程； (2)设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 l：y＝ 3x＋2 垂直， 根据(1)中你得到的参数方程，确定 D 的坐标． 解：(1)C 的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)． 可得 C 的参数方程为 x＝1＋cos t， y＝sin t (t 为参数，0≤t≤π)．[来源:学.科.网] (2)设 D(1＋cos t，sin t)，由(1)知 C 是以 G(1，0)为圆心，1 为半 径的上半圆． 因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直， 所以直线 GD 与 l 的斜率相同，tan t＝ 3，t＝π 3. 故 D 的直角坐标为 1＋cosπ 3 ，sin π 3 ，即 3 2 ， 3 2 . B 级 能力提升 1．已知点 P(x，y)在曲线 C： x＝1＋cos θ， y＝sin θ (θ为参数)上，则 x －2y 的最大值为( ) A．2 B．－2 C．1＋ 5 D．1－ 5 解析：由题意，得 x＝1＋cos θ， y＝sin θ， 所以 x－2y＝1＋cos θ－2sin θ＝1－(2sin θ－cos θ)＝ 1－ 5 2 5sin θ－ 1 5cos θ ＝1－ 5sin(θ－φ) 其中 tan φ＝1 2 ， 所以 x－2y 的最大值为 1＋ 5. 答案：C 2．已知圆 C： x＝－3＋2sin θ， y＝2cos θ (θ∈[0，2π)，θ为参数)与 x 轴 交于 A，B 两点，则|AB|＝________． 解析：令 y＝2cos θ＝0，则 cos θ＝0，因为θ∈[0，2π)， 故θ＝π 2 或3π 2 ，当θ＝π 2 时，x＝－3＋2sinπ 2 ＝－1，[来源:Zxxk.Com] 当θ＝3π 2 时，x＝－3＋2sin3π 2 ＝－5，[来源:学,科,网 Z,X,X,K] 故|AB|＝|－1＋5|＝4. 答案：4 3．将圆 x2＋y2＝1 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原 来的 2 倍，得曲线 C. (1)写出 C 的参数方程； (2)设直线 l：2x＋y－2＝0 与 C 的交点为 P1，P2，以坐标原点为 极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程． 解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线 C 上的点 (x，y)，依题意，得 x＝x1， y＝2y1. 由 x21＋y21＝1 得 x2＋ y 2 2＝1，[来源:学科网 ZXXK] 即曲线 C 的方程为 x2＋y2 4 ＝1. 故 C 的参数方程为 x＝cos t， y＝2sin t (t为参数)． (2)由 x2＋y2 4 ＝1， 2x＋y－2＝0， 解得 x＝1， y＝0 或 x＝0， y＝2. 不妨设 P1(1，0)，P2(0，2)，则线段 P1P2 的中点坐标为 1 2 ，1 ， 所求直线斜率为 k＝1 2 ， 于是所求直线的方程为 y－1＝1 2 x－1 2 ，[来源:学#科#网] 化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝ 3 4sin θ－2cos θ 为过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极 坐标方程．