2021届高考数学一轮复习第六章不等式第1讲不等式的概念与性质课件 34页

第六章 不等式 第1讲 不等式的概念与性质 课标要求 考情风向标 通过具体情境，感受在现实 世界和日常生活中存在着 大量的不等关系，了解不等 式(组)的实际背景 不等式的性质是解(证)不等式的基 础， 关键是正确理解和运用，要弄 清条件和结论，近几年高考中多以 小题出现，题目难度不大，复习时， 应抓好基本概念，少做偏难题 1. 两个实数比较大小的方法 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a > b ⇔ b < a ⇔ 传递性 a > b ， b > c ⇒________ ⇒ 可加性 a > b ⇔ a ＋ c > b ＋ c ⇔ 可乘性 注意 c 的符号 2. 不等式的基本性质 a ＞ c ac ＜ bc 性质 性质内容 特别提醒 同向可加性 ⇒ 同向同正 可乘性 ⇒ 可乘方性 a > b >0⇒ a n > b n ( n ∈ N ， n ≥2) a ， b 同为 正数 可开方性 (续表) ＞ ) 1.若 a > b >0， c < d <0，则一定有( 2.已知四个条件：① b ＞0＞ a ；②0＞ a ＞ b ；③ a ＞0＞ b ； A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 B C ) 3.下列四个结论中正确的是( ① a > b ， c < d ⇒ a － c > b － d ； ② a > b >0， c < d <0⇒ ac > bd ； A.①② B.②③ C.①④ D.①③ 解析： 利用不等式的同向可加性可知①正确； 对②根据不等式的性质可知 ac < bd ，故②不正确； 答案： C a ， b 的值依次为__ _____ _____________. 2，－1( 答案不唯一 ) 考点 1 不等式的基本性质 例 1 ： (1) (2018 年四川宜宾期中 ) 对于任意实数 a ， b ， c ， d ， 以下四个命题： ①若 a > b ， c > d ，则 a ＋ c > b ＋ d ； ②若 ac 2 > bc 2 ，则 a > b ； ④若 a > b ， c > d ，则 ac > bd . 其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 当 a ＝2， b ＝－1， c ＝0， d ＝－2 时， a > b ， c > d 但 ac < bd ，④错. 故选 B . 答案： B (2)(2019 年新课标Ⅱ ) 若 a > b ，则 ( A.ln( a － b )>0 C. a 3 － b 3 >0 ) B.3 a <3 b D.| a |>| b | 解析： 若 a > b ，则 a － b >0，ln( a － b )>0 和| a |>| b |不一定成立； 显然 3 a >3 b . 函数 f ( x )＝ x 3 单调递增，即 a 3 > b 3 . 答案： C (3)( 多选 ) 下列命题中，错误的是( ) A.若 a > b ， c > d ，则 ac > bd B.若 ac > bc ，则 a > b D.若 a > b ， c > d ，则 a － c > b － d 解析： 取 a ＝2， b ＝1， c ＝－1， d ＝－2，可知 A 错误； 当 c <0 时， ac > bc ⇒ a < b ，∴B 错误； 取 a ＝ c ＝2， b ＝ d ＝1，可知 D 错误. 答案： ABD (4)记方程①： x 2 ＋ a 1 x ＋1＝0，方程②： x 2 ＋ a 2 x ＋2＝0，方 程③： x 2 ＋ a 3 x ＋4＝0，其中 a 1 ， a 2 ， a 3 是正实数.当 a 1 ， a 2 ， a 3 ) 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是( A.方程①有实根，且②有实根 B.方程①有实根，且②无实根 C.方程①无实根，且②有实根 D.方程①无实根，且②无实根 答案： B 【规律方法】 (1) 判断一个关于 不等式的命题的真假时，先 把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近 的性质，并应用性质判断命题的真假 . (2) 特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，特别对 于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更方便 . 判断 一个命题为假命题时，可以用特殊值法，但不能用特殊值法肯 定一个命题，此时只能用所学知识严密 证明 . 考点 2 利用作差比较大小 例 2 ： (1) 有三个房 间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间 只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同 .已知三个房间的粉刷 面积(单位：m 2 )分别为 x ， y ， z ，且 x < y < z ，三种颜色涂料的粉 刷费用(单位：元/m 2 )分别为 a ， b ， c ，且 a < b < c .在不同的方案 中，最低的总费用(单位：元)是( A. ax ＋ by ＋ cz C. ay ＋ bz ＋ cx ) B. az ＋ by ＋ cx D. ay ＋ bx ＋ cz 解析： 由 x < y < z ， a < b < c ，∴ ax ＋ by ＋ cz －( az ＋ by ＋ cx )＝ a ( x － z )＋ c ( z － x )＝( x － z )( a － c )>0，故 ax ＋ by ＋ cz > az ＋ by ＋ cx ； 同理， ay ＋ bz ＋ cx －( ay ＋ bx ＋ cz )＝ b ( z － x )＋ c ( x － z )＝( x － z )( c － b )<0，故 ay ＋ bz ＋ cx < ay ＋ bx ＋ cz .∵ az ＋ by ＋ cx －( ay ＋ bz ＋ cx ) ＝ a ( z － y )＋ b ( y － z )＝( a － b )( z － y )<0，故 az ＋ by ＋ cx < ay ＋ bz ＋ cx . 故最低费用为 az ＋ by ＋ cx .故选 B. 答案： B (2)(2019 年北京 ) 李明自主创业，在网上经营一家水果店， 销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为 60 元/ 盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒.为增加销量，李明对这四种 水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x 元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%. ①当 x ＝10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支 付__________元 ； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低 于促销前总价的七折，则 x 的最大值为__________. 思维点拨： 由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨 论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得 x 的最大值 . 解析： ① x ＝1 0，顾客一次购买草莓和 西瓜各一盒，需要支 付 (60＋80)－10＝ 130(元). ②设顾客一次购买水果的促销前总价为 y 元， y <120 元时，李明得到的金额为 y ×80%，符合要求. y ≥120 元时，有( y － x )×80%≥ y ×70% 恒成立，即 8( y － ∴ x 的最大值为 15 元. 答案： ①130 ②15 (3) 已知等比数列 { a n } 的公比 q <0 ，其前 n 项和为 S n ，则 a 9 S 8 与 a 8 S 9 的大小关系是 ( ) A. a 9 S 8 < a 8 S 9 B. a 9 S 8 > a 8 S 9 C. a 9 S 8 ＝ a 8 S 9 D. a 9 S 8 与 a 8 S 9 的大小关系与 a 1 的值有关 答案： B 【规律方法】 作差比较法证明不等式的步骤是：作差、变 形、判断差的符号 . 作差是依据，变形是手段，判断差的符号才 是目的 . 常用的变形方法有配方法、通分法、因式分解法等 .有时 把差变形为常数，有时变形为常数与几个数平方和的形式，有 时变形为几个因式积的形式等 . 总之，变形到能判断出差的符号 为止 . 考点 3 利用作商比较大小 列，则( A. d <0 C. a 1 d <0 ) B. d >0 D. a 1 d >0 答案： C 【规律方法】 利用作商法判断数列的单调性 .所谓作商法： 形、判断商值与 1 的大小关系 . 指数不等式常用作商法证明 .有时 要用到指数函数的性质 . 如若 a ＞ 1 ，且 x ＞ 0 ，则 a x ＞ 1 等 . 【跟踪训练】 1.比较 18 16 与 16 18 的大小. 难点突破 ⊙利用不等式的性质求范围问题 例题： (2017 年山东青岛模拟 ) 设 f ( x )＝ a x 2 ＋ bx ，若 1≤ f (－ 1)≤2，2≤ f (1)≤4，则 f (－2)的取值范围是________. 思维点拨： (1) 应用同向不等式可以相加这一性质求解； (2) 用 f (1) 和 f ( － 1) 表示 f ( － 2) ，也就是把 f ( － 1) ， f (1)看作一 个整体求 f ( － 2) ，或用待定系数法求解 . 解析： ∵ y ＝ f ( x )＝ ax 2 ＋ bx ，∴ f (－1)＝ a － b ， f (1)＝ a ＋ b . 方法一(待定系数法)，设 f (－2)＝ mf (－1)＋ nf (1)， 又 f (－2)＝4 a －2 b ， ∴4 a －2 b ＝ m ( a － b )＋ n ( a ＋ b )＝( m ＋ n ) a ＋( n － m ) b ， ∴ f (－2)＝3 f (－1)＋ f (1). 又 1≤ f (－1)≤2,2≤ f (1)≤4， ∴5≤3 f (－1)＋ f (1)≤10. 故 5≤ f (－2)≤10. ∴ f (－2)＝4 a －2 b ＝3 f (－1)＋ f (1). 又 1≤ f (－1)≤2,2≤ f (1)≤4， ∴5≤3 f (－1)＋ f (1)≤10. 故 5≤ f (－2)≤10. 答案： [5,10 ] 【规律方法】 若题目中所给范围的式子比较复杂，一定要 把这样的式子当成一个整体，利用待定系数法求解，在解题过 程中还要注意不等式链中的隐含条件，本例中若直接求出 a ， b 范围，再求 f ( － 2) 范围，会因扩大范围而出错 . 【跟踪训练】 2.已知 1< a ＋ b ≤5，－1≤ a － b <3，则 3 a －2 b 的取值范围是 _________. 答案： (－2,10) 1.准确把握不等式的性质：对于不等式的性质，关键是理 解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件(特别是 符号的限制条件)改变后，结论是否发生变化；不等式的性质包 括“单向性”和“双向性”两种 情况， “ 单向性 ” 主要用于证 明不等式， “ 双向性 ” 主要用于解不等式，∵解不等式必须是 同解变形 . 2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊 值验证两种办法，特别对于有一定条件限制的选择题，用特殊 值验证的方法更方便. 3.两个(多个)同向不等式可相加或相乘(注意限制条件)，但 不能相减或相除.在求差或商的时候，可根据差 、商分别是和、 积的逆运算，先进行转化，再利用不等式的性质转化为同向不 等式的相加或相乘 .