2020-2021学年人教B版数学选修2-2习题：2 4页

第 19 课时 复数的运算习题课 限时：45 分钟 总分：100 分 一、选择题(每小题 6 分，共 36 分) 1．复数 1 －2＋i ＋ 1 1－2i 的虚部是( B ) A.1 5i B.1 5 C．－1 5i D．－1 5 解析： 1 －2＋i ＋ 1 1－2i ＝－2－i 5 ＋1＋2i 5 ＝－1 5 ＋1 5i.故选 B. 2．设 i 是虚数单位，若复数 1－i 2－ai 为实数，则实数 a 为( A ) A．2 B．－2 C．－1 2 D.1 2 解析： 1－i 2－ai ＝2＋a＋a－2i 4＋a2 为实数，即 a＝2. 3．设 x＝3＋4i，则复数 z＝x－|x|－(1－i)在复平面上的对应点在 ( B ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：∵x＝3＋4i，∴|x|＝ 32＋42＝5. ∴z＝3＋4i－5－(1－i)＝－3＋5i. ∵－3<0,5>0， ∴z 对应的点在第二象限． 4．在复平面内，复数 i 1＋i ＋(1＋ 3i)2 对应的点位于( B ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：∵ i 1＋i ＋(1＋ 3i)2＝ i1－i 1＋i1－i ＋1＋2 3i＋( 3i)2＝i＋1 2 ＋2 3i－2＝－3 2 ＋(1 2 ＋2 3)i，∴复数对应的点的坐标为(－3 2 ，1 2 ＋ 2 3)，∴复数对应的点位于第二象限． 5．若(m2－5m＋4)＋(m2－2m)i>0，则实数 m 的值为( D ) A．1 B．0 或 2 C．2 D．0 解析：由 m2－5m＋4>0 m2－2m＝0 ，得 m＝0. 6．设 i 是虚数单位. z 是复数 z 的共轭复数．若 z· z i＋2＝2z，则 z 等于( A ) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 解析：设 z＝a＋bi，a，b∈R， 代入 z· z i＋2＝2z，整理得：(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi， 则 2a＝2 a2＋b2＝2b， 解得 a＝1 b＝1， 因此 z＝1＋i. 二、填空题(每小题 6 分，共 18 分) 7．已知复数 z＝2－i 1－i ，其中 i 是虚数单位，则|z|＝ 10 2 . 解析：z＝2－i1＋i 2 ＝3＋i 2 ， |z|＝ 3 2 2＋ 1 2 2＝ 10 2 . 8．复平面内点 A、B、C 对应的复数分别为 i、1、4＋2i，由 A→B→C→D 按逆时针顺序作平行四边形 ABCD，则|BD→ |等于 13. 解析：zD＝zA＋zC－zB＝3＋3i，BD→ 对应复数为 2＋3i， ∴|BD→ |＝ 13. 9．已知 z1＝1＋i，z2＝cosθ＋(sinθ－1)i，且 z1＋z2>0，写出符合 条件的三个θ的值－2π或 0 或 2π(本题为开放题，答案不唯一)． 解析：∵z1＋z2>0，即 1＋cosθ＋isinθ>0， 从而 1＋cosθ>0， sinθ＝0. ∴θ＝2kπ，k∈Z. 三、解答题(共 46 分，写出必要的文字说明、计算过程或演算步 骤) 10．(15 分)设复数 z＝1＋i2＋31－i 2＋i ，若 z2＋a·z＋b＝1＋i，求 实数 a，b 的值． 解：z＝1＋i2＋31－i 2＋i ＝2i＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i ＝3－i2－i 5 ＝1－i. 因为 z2＋a·z＋b＝1＋i， 所以(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i. 所以(a＋b)－(a＋2)i＝1＋i. 所以 a＋b＝1. －a＋2＝1， 解得 a＝－3，b＝4. 即实数 a，b 的值分别是－3,4. 11．(15 分)已知复数 z 的共轭复数为 z ，且 z· z －3iz＝ 10 1－3i ， 求 z. 解：z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi. 又 z· z －3iz＝ 10 1－3i ， ∴a2＋b2－3i(a＋bi)＝101＋3i 10 ， ∴a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i， ∴ a2＋b2＋3b＝1， －3a＝3. ∴ a＝－1， b＝0， 或 a＝－1， b＝－3. ∴z＝－1，或 z＝－1－3i. 12．(16 分)是否存在复数 z，使其满足 z ·z＋2i z ＝3＋ai？如果 存在，求实数 a 的取值范围；如果不存在，请说明理由． 解：设 z＝x＋yi(x，y∈R)，则原条件等式可化为 x2＋y2＋2i(x－ yi)＝3＋ai. 由复数相等的充要条件，得 x2＋y2＋2y＝3， 2x＝a. 消去 x，得 y2＋2y＋a2 4 －3＝0. 所以当Δ＝4－4 a2 4 －3 ＝16－a2≥0， 即－4≤a≤4 时，复数 z 存在． 故存在满足条件的复数 z，且实数 a 的取值范围为－4≤a≤4.