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- 2021-06-16 发布
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6.2.3 向量的数乘运算
课
标
解
读
课标要求 核心素养
1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及
运算规则.
2.理解平面向量数乘运算的几何意义.(重
点)
3.理解两个平面向量共线的含义.(难点)
1.运用向量数乘运算律进行向量运算,培养数学
运算核心素养.
2.通过对比实数的运算律理解向量数乘的运算
律,培养类比推理的能力.
3.通过共线定理的应用培养直观想象核心素养.
一只兔子第 1 秒钟向东跑了 2 米,第 2、3 秒钟又向东各跑了 2 米.
问题 1:兔子 3 秒的位移一共是多少?
答案 设兔子第 1 秒的位移是向量 a,则 3 秒的位移是向量 3a.
问题 2:若兔子向西跑 3 秒,则向量是多少?
答案 -3a(用 a 表示向东跑 1 秒).
1.向量的数乘
定义 实数λ与向量 a 的积是一个①向量
记法 λa
长度 |λa|=|λ||a|
方向
λ>0 λa 的方向与 a 的方向②相同
λ<0 λa 的方向与 a 的方向③相反
几何
意义
λa 中的实数λ是向量 a 的系数
λ>0 λa 可以看作是把向量 a 沿着 a 的方向扩大④|λ|倍得到
λ<0 λa 可以看作是把向量 a 沿着 a 的反方向缩小|λ|倍得到
特别提醒
当λ=0 时,λa=0.当λ≠0 时,若 a=0,也有λa=0.
思考 1:实数与向量能否进行加减运算?
提示 不能.
2.向量的数乘运算的运算律
设λ,μ为实数,那么
(1)λ(μa)=(λμ)a;
(2)(λ+μ)a=⑤λa+μa;
(3)λ(a+b)=λa+λb.
思考 2:向量数乘运算律与实数乘法运算律有什么关系?
提示 两种运算律类似,(2)(3)式是向量因式不同的分配律.
3.向量的线性运算
(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是⑥向量.
(2)对于任意向量 a,b 以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.
思考 3:向量的线性运算法则与实数的运算法则有什么关系?
提示 在形式上类似.
4.共线向量定理
向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使⑦b=λa.
思考 4:λ与向量 a,b 的方向有什么关系?
提示 若λ>0,则 a 与 b 同向;若λ<0,则 a 与 b 反向.
探究一 向量的线性运算
例 1 (1)化简下列各式:
①3(6a+b)-9
+
1
3
;
②
1
2 3 + 2 - +
1
2
-2
1
2 +
3
8
;
③2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.
(2)已知向量 a,b,m,n 满足 a=3m+2n,b=m-3n,试用向量 a,b 表示向量 m,n.
解析 (1)①原式=18a+3b-9a-3b=9a.
②原式=
1
2 2 +
3
2
-a-
3
4
b=a+
3
4
b-a-
3
4
b=0.
③原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.
(2)a=3m+2n①,b=m-3n②,
则①×3+②×2 得 3a+2b=11m,
即 m=
3
11
a+
2
11
b.
①-②×3 得 a-3b=11n,
即 n=
1
11
a-
3
11
b.
思维突破
向量的线性运算的技巧
向量的线性运算类似于代数多项式的运算.
(1)实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等方法在向量线性运算中也
可以使用.
(2)这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.
1-1 化简下列各式:
(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a);
(2)
1
6
[2(2a+8b)-4(4a-2b)];
(3)(m+n)(a-b)-(m-n)(a+b).
解析 (1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b.
(2)原式=
1
6
×(4a+16b-16a+8b)=
1
6
×(-12a+24b)=-2a+4b.
(3)原式=m(a-b)+n(a-b)-m(a+b)+n(a+b)
=(m+n-m+n)a+(-m-n-m+n)b
=2na-2mb.
探究二 共线向量定理及其应用
例 2 设两个非零向量 a 与 b 不共线.
(1)若
=a+b,
=2a+8b,
=3(a-b),求证:A、B、D 三点共线;
(2)试确定实数 k,使 ka+b 与 a+kb 共线.
解析 (1)证明:∵
=a+b,
=2a+8b,
=3(a-b),
∴
=
+
=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5
.
∴
、
共线,
又∵
与
有公共点 B,
∴A、B、D 三点共线.
(2)∵ka+b 与 a+kb 共线,
∴存在实数λ,使 ka+b=λ(a+kb),
即 ka+b=λa+λkb,∴(k-λ)a=(λk-1)b.
∵a、b 是不共线的两个非零向量,
∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=±1.
思维突破
用向量法证明三点共线的关键与步骤
(1)关键:能否找到一个实数λ,使得 b=λa(a、b 为这三点构成的任意两个向量).
(2)步骤:先证明向量共线,然后指出两向量有公共点,从而证得三点共线.
2-1 如图,在平行四边形 ABCD 中,点 M 是 AB 的中点,点 N 在线段 BD 上,且有 BN=
1
3
BD,求
证:M,N,C 三点共线.
证明 设
=a,
=b,则
=
+
=
1
2
+
1
3
=
1
2
+
1
3
(
-
)=
1
2
a+
1
3
(b-
a)=
1
6
a+
1
3
b,
=
+
=
1
2
+
=
1
2
a+b=3×
1
6 +
1
3
=3
,∴
,
共线,又
与
有公
共点 M,∴M,N,C 三点共线.
探究三 向量线性运算的应用
例 3 (易错题)已知点 E,F 分别为四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 的中点,设
=a,
=b,
试用 a,b 表示
.
解析 如图所示,取 AB 的中点 P,连接 EP,FP.
在△ABC 中,EP 是中位线,
所以
=
1
2
=
1
2
a.
在△ABD 中,FP 是中位线,
所以
=
1
2
=-
1
2
=-
1
2
b.
在△EFP 中,
=
+
=-
+
=-
1
2
·a-
1
2
b
=-
1
2
(a+b).
易错点拨
在根据平面几何图形进行化简、证明时,要准确应用平面几何图形的性质.应根据题意
判断所给图形是不是特殊图形,不能盲目运用特殊图形的性质进行求解.
3-1 已知四边形 ABCD 是一个梯形,AB∥CD,且 AB=2CD,M,N 分别是 DC,AB 的中点,已知
=a,
=b,试用 a,b 表示
和
.
解析 解法一:如图,连接 CN,
易知 AN 与 DC 垂直且相等,
所以四边形 ANCD 是平行四边形.
=-
=-b,又因为
+
+
=0,
所以
=-
-
=b-
1
2
a,
=
-
=
+
1
2
=-b+
1
4
a.
解法二:因为
+
+
+
=0,
所以 a+
+
-
1
2
+(-b)=0,
所以
=b-
1
2
a,
又因为在四边形 ADMN 中有
+
+
+
=0,
所以 b+
1
4
a+
+
-
1
2
=0,
所以
=
1
4
a-b.
3-2 设 O 为△ABC 内任意一点,且满足
+2
+3
=0,若 D,E 分别是 BC,CA 的中点.
(1)求证:D,E,O 三点共线;
(2)求
△
△
的值.
解析 (1)证明:如图,
+
=2
,
+
=2
,
∴
+2
+3
=(
+
)+2(
+
)=2(2
+
)=0,
∴2
+
=0,∴
与
共线,
又
与
有公共点 O,
∴D,E,O 三点共线.
(2)由(1)知 2|
|=|
|,
∴S△AOC=2S△COE=2×
2
3
S△CDE=2×
2
3
×
1
4
×S△ABC=
1
3
S△ABC,
∴
△
△
=3.
1.已知非零向量 a,b 满足 a=4b,则( )
A.|a|=|b|
B.4|a|=|b|
C.a,b 的方向相同
D.a,b 的方向相反
答案 C ∵a=4b,4>0,∴|a|=4|b|.
∵4b 与 b 的方向相同,
∴a 与 b 的方向相同.
2.(多选题)下列向量中,a,b 一定共线的是( )
A.a=2e,b=-2e
B.a=e1-e2,b=-2e1+2e2
C.a=4e1-
2
5
e2,b=e1-
1
10
e2
D.a=e1+e2,b=2e1-2e2
答案 ABC A 中,b=-a,则 a,b 共线;B 中,b=-2a,则 a,b 共线;C 中,a=4b,则 a,b 共线;D
中,a,b 不共线.
3.已知向量 a=e1+λe2,b=2e1,λ∈R,且λ≠0,若 a∥b,则( )
A.e1=0 B.e2=0
C.e1∥e2 D.e1∥e2 或 e1=0 或 e2=0
答案 D
4.已知 x,y 是实数,向量 a,b 不共线,若(x+y-1)a+(x-y)b=0,则 x= ,y= .
答案
1
2
;
1
2解析 由已知得
+ -1 = 0,
- = 0,
解得 x=y=
1
2
.
5.已知两个非零向量 e1、e2 不共线,若
=2e1+3e2,
=6e1+23e2,
=4e1-8e2.求证:A、B、D
三点共线.
证明 ∵
=
+
+
=2e1+3e2+6e1+23e2+4e1-8e2
=12e1+18e2=6(2e1+3e2)=6
,
∴
,
共线.
又∵
和
有公共点 A,
∴A、B、D 三点共线.
数学运算——在几何图形中进行向量线性运算
如图所示,已知▱ABCD 的边 BC,CD 上的中点分别为 K,L,且
=e1,
=e2,试用 e1,e2 表示
,
.
审:几何图形中用已知向量表示待求向量,可考虑用三角形法则或共线定理.
联:结合图形特征,把待求向量放在三角形中,进行加减运算.
解:解法一:设
=a,则
=① ,
=
+
=e1-
1
2
a,
=
1
2
e1-
1
4
a.
又
=
=a,由
+
=
,得 a+
1
2
e1-
1
4
a=e2,
解得 a=② .
由
=-
,
=e1-
1
2
a,得
=③ .
解法二:设
=m,
=n,则
=
1
2
m,
=-
1
2
n.
由
+
=
,
+
=
,
得④ ,
得 m=
2
3
(2e2-e1),n=⑤ ,
即
=
4
3
e2-
2
3
e1,
=-
4
3
e1+
2
3
e2.
解法三:如图所示,BC 的延长线与 AL 的延长线交于点 E,则△DLA≌△CLE.
从而
=2
,
=
=
,
=
3
2
,
由
=
-
,得
3
2
=2e2-e1,
即
=⑥ .
同理可得
=⑦ .
思:解决此类问题的一般思路是将所表示向量置于某一个三角形内,用加减法进行运算,
然后逐步用已知向量表示待求向量,过程中体现数学运算核心素养.
答案 ①
1
2
a ②
4
3
e2-
2
3
e1,
即
=
4
3
e2-
2
3
e1
③-
4
3
e1+
2
3
e2
④
- +
1
2 = 1
-
1
2 = 2
⑤
2
3
(-2e1+e2)
⑥
4
3
e2-
2
3
e1 ⑦-
4
3
e1+
2
3
e2
如图所示,四边形 OADB 是以向量
=a,
=b 为邻边的平行四边形,又 BM=
1
3
BC,CN=
1
3
CD,试
用 a,b 表示
、
、
.
解析
=
1
3
=
1
6
=
1
6
(
-
)=
1
6
(a-b)=
1
6
a-
1
6
b,
∴
=
+
=b+
1
6
a-
1
6
b=
1
6
a+
5
6
b.
∵
=
1
3
=
1
6
,
∴
=
+
=
1
2
+
1
6
=
2
3
=
2
3
(
+
)=
2
3
a+
2
3
b,
=
-
=
2
3
a+
2
3
b-
1
6
a-
5
6
b=
1
2
a-
1
6
b.
1.将
1
12
[2(2a+8b)-4(4a-2b)]化简成最简形式为( )
A.2a-bB.2b-a
C.a-b D.b-a
答案 B
2.在△ABC 中,如果 AD,BE 分别为 BC,AC 上的中线,且
=a,
=b,那么
=( )
A.
2
3
a+
4
3
b B.
2
3
a-
2
3
b
C.
2
3
a-
4
3
b D.-
2
3
a+
4
3
b
答案 A
3.已知
=a+4b,
=2b-a,
=2(a+b),则( )
A.A、B、C 三点共线 B.A、B、D 三点共线
C.A、C、D 三点共线 D.B、C、D 三点共线
答案 B
4.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若
=2
,
=
1
3
+λ
,则λ等于( )
A.
2
3
B.
1
3
C.-
1
3
D.-
2
3答案 A 解法一:由
=2
,
可得
-
=2(
-
)⇒
=
1
3
+
2
3
,所以λ=
2
3
.
解法二:
=
+
=
+
2
3
=
+
2
3
(
-
)=
1
3
+
2
3
,所以λ=
2
3
.
5.已知四边形 ABCD 是菱形,点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A、C),则
=( )
A.λ(
+
),λ∈(0,1)
B.λ(
+
),λ∈
0,
2
2C.λ(
-
),λ∈(0,1)
D.λ(
-
),λ∈
0,
2
2答案 A 因为 P 是对角线 AC 上的一点(不包括端点 A、C),所以存在λ∈(0,1),使得
=λ
,于是
=λ(
+
),λ∈(0,1).
6.已知向量 a,b 不共线,实数 x,y 满足向量等式 5xa+(8-y)b=4xb+3(y+9)a,则
x= ,y= .
答案 3;-4
解析 因为 a 与 b 不共线,所以
5 = 3 + 27,
8- = 4 ,
解得
= 3,
= -4.7.若|a|=3,|b|=2,b 与 a 反向,则 a= b.
答案 -
3
2解析 因为 b 与 a 反向,所以 a=λb,λ<0.又|a|=3,|b|=2,所以|a|∶|b|=|λ|,
所以λ=-
3
2
,所以 a=-
3
2
b.
8.如图,在四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别为 BD,AB,AC,CD 的中点,求证:四边形 EFGH 为平行
四边形.
证明 ∵F,G 分别是 AB,AC 的中点,
∴
=
1
2
.同理,
=
1
2
.
∴
=
.
∴FG=EH,FG∥EH,
∴四边形 EFGH 为平行四边形.
9.已知△ABC 和点 M 满足
+
+
=0.若存在实数 m 使得
+
=m
成立,则 m=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 B 由
+
+
=0 可知,M 为△ABC 的重心,故
=
2
3
×
1
2
(
+
)=
1
3
(
+
),所以
+
=3
,即 m=3.
10.(多选题)在△ABC 中,点 D 在线段 BC 的延长线上,且
=3
,点 O 在线段 CD 上(与点 C、
D 不重合),若
=x
+(1-x)
,则 x 可以是( )
A.-
1
3
B.-
1
4
C.0 D.-
2
6答案 BD 当点 O 与点 C 重合时,
=0
+(1-0)·
,此时 x=0;当点 O 与点 D 重合
时,
=-
1
3
+
4
3
,
此时 x=-
1
3
.因为点 O 在线段 CD 上(与点 C、D 不重合),所以-
1
3