高考数学（理）一轮复习人教A版-第三章 第2节 第1课时 35页

第2节　导数在研究函数中的应用 最新考纲　1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单 调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)；2.了解函数在 某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值 (其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中 多项式函数不超过三次)；3.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会 解决与之有关的方程(不等式)问题； 4.会利用导数解决某些简单的实际问题. 1.函数的单调性与导数 (1)在区间D上，若f′(x)≥0，且f′(x)＝0不连续成立⇔函数f(x)在区间D上 ________； (2)在区间D上，若f′(x)≤0，且f′(x)＝0不连续成立⇔函数f(x)在区间D上 ________； (3)在区间D上，若f′(x)＝0恒成立⇔函数f(x)在区间D上是_________. 知 识 梳 理 递增 递减 常函数 2.函数的极值与导数 条件 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)__0，右侧f′(x)___0 x0附近的左侧f′(x)__0，右侧f′(x)___0 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f(x0)为极_____值 f(x0)为极_____值 极值点 x0为极_____值点 x0为极_____值点 > < < > 大 小 大 小 3.函数的最值与导数 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则____为函数的最小值，_____为函数 的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则____为函数的最大值，____ 为函数的最小值. f(a) f(b) f(a) f(b) [常用结论与微点提醒] 1.函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是 “f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件. 2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不 充分条件. 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(　　) (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调 性.(　　) (3)函数的极大值一定大于其极小值.(　　) (4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件.(　　) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.(　 　) 诊 断 自 测 解析　(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0. (3)函数的极大值也可能小于极小值. (4)x0为f(x)的极值点的充要条件是f′(x0)＝0，且x0两侧导函数异号. 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 2.(选修2－2P32A4 改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值 点的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右 正. 答案　A 答案　B 4.(2017·全国Ⅱ卷)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x) 的极小值为(　　) A.－1 B.－2e－3 C.5e－3 D.1 解析　f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1， 则f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0⇒a＝－1， 则f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1， 令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1， 当x<－2或x>1时，f′(x)>0， 当－20时，h(x)>0，当x<0时，h(x)<0. (1)当a<0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)， 当x∈(－∞，a)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增； 当x∈(a，0)时，x－a>0，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x∈(0，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增. (2)当a＝0时，g′(x)＝x(x－sin x)， 当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，g(x)单调递增； (3)当a>0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)， 当x∈(－∞，0)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增； 当x∈(0，a)时，x－a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x∈(a，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增. 综上所述： 当a<0时，函数g(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递增，在(a，0)上单调 递减； 当a＝0时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增； 当a>0时，函数g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调 递减. 规律方法　利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号， 当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.讨论 的标准有以下几种可能：(1)f′(x)＝0是否有根；(2)若f′(x)有根，求出的根 是否在定义域内； (3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小. 解　(1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x， 令g′(x)<0，得x(x＋1)(x＋4)<0， 解之得－1－1.即实数a的取值范围是(－1，＋∞). (2)由h(x)在[1，4]上单调递减， ∵x∈[1，4]， 当且仅当x＝4时等号成立.(***) ∴h(x)在[1，4]上为减函数. 规律方法　1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的 理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围. 2.若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解. 答案　A 当02时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当10时恒成立， 考点三　函数单调性的简单应用(多维探究) 命题角度1　利用函数的单调性解不等式 解析　(1)设m(x)＝f(x)－(2x＋4)， ∵m′(x)＝f′(x)－2>0， ∴m(x)在R上是增函数. ∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0， ∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}. 答案　(1)D　(2)A 规律方法　利用导数比较大小或解不等式的常用技巧：利用题目条件、构 造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为利用导数研究函数的 单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式. ∵当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，∴g′(x)<0. ∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数. 由f(x)为奇函数，知g(x)为偶函数，则g(－3)＝g(3)， 又a＝g(e)，b＝g(ln 2)，c＝g(－3)＝g(3)， ∴g(3)