高考数学考试万能工具包第二篇考前必看解题技巧专题2_2套用18个解题模板 35页

专题 02 套用 18 个解题模板 模板一 求函数值 例 1 已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1 时，f(－x)＝－f(x)；当 1 2x  时， 1 1 2 2f x f x            ，则 f(6)等于( ) A. －2 B. －1 C. 0 D. 2 【答案】D ▲模板构建 已知函数解析式求函数值,常伴随对函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性的考查,其解题 思路如下: 【变式训练】【2018 山西省太原市实验中学模拟】奇函数 f(x)的定义域为 R，若 f(x＋1)为偶函数，且 f(1) ＝2，则 f(8)＋f(5)的值为( ) A. 2 B. 1 C. －1 D. －2 模板二 函数的图象 例 2 【2018 江西省 K12 联盟质量检测】函数     2 24 4 logx xf x x  的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B ▲模板构建 由原函数的图象判断导函数的图象,关键是根据原函数的单调性与导函数值的正负的对应 关系进行判断,基本的解题要点如下: 【变式训练】【2018 甘肃省张掖市质检】函数     2 8 sin 2 x xf x x x    的部分图象大致是 （ ） A. B. C. D. 模板三 函数的零点问题 例 3 函数 f(x)＝|x－2|－lnx 在定义域内的零点可能落在的区间为( ) A. (0,1) B. (2,3) C. (3,4) D. (4,5) ▲模板构建 利用零点存在性定理可以根据函数 y=f(x)在某个区间端点处函数值的符号来确定零点所在区 间.这种方法适用于不需要确定零点的具体值,只需确定其大致范围的问题.基本的解题要点为: 【 变 式 训 练 】【 2018 南 京 市 、 盐 城 市 联 考 】 设 函 数  f x 是 偶 函 数 ， 当 x≥0 时 ，  f x =  3 , 0 3, { 3 1, >3 x x x xx      ，若函数  y f x m  有四个不同的零点，则实数 m 的取值范围是 ________． 模板四 三角函数的性质 例 4 【2018 湖南师范大学附属中学模拟】下列选项中为函数   1cos 2 sin26 4f x x x      的一个对 称中心为（ ） A. 7 ,024      B. ,03      C. 1,3 4     D. ,012      【答案】A ▲模板构建 在利用三角函数的性质求最值或值域时,要注意:(1)先确定函数的定义域;(2)将已知函数化 简为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式时,尽量化成 A>0,ω>0 的情况;(3)将ωx+φ视为一个整体.解题思路为: 【变式训练】【2018 辽宁省凌源市模拟】已知函数   2cos 3sin sin 2f x x x x        ，当 0, 2x     时， 函数  f x 的最小值与最大值之和为__________． 模板五 三角函数的图象变换 例 5 将函数   2sin 4f x x      的图象上各点的横坐标缩小为原来的 1 2 ，再向右平移φ(φ>0)个单位 后得到的图象关于直线 2x  对称，则φ的最小值是( ) A. 4  B. 3  C. 3 4  D. 3 8  【答案】D ▲模板构建 三角函数图象变换的主要类型:在 x 轴方向上的左、右平移变换,在 y 轴方向上的上、下平移 变换,在 x 轴或 y 轴方向上的伸缩变换.其基本步骤如下: 【变式训练】【2018 湖南省长郡中学模拟】为了得到函数 2sin 2 3y x      的图象，只需把函数 cos 2 3y x      的图象（ ） A. 向左平移 2  个单位长度 B. 向右平移 2  个单位长度 C. 向左平移 4  个单位长度 D. 向右平移 4  个单位长度 模板六 解三角形 例 6 【2018 湖南省长沙市第一中学模拟】已知在 ABC 中， D 是 AC 边上的点，且 AB AD ， 6 2BD AD ， 2BC AD ,则sinC 的值为 （ ） A. 15 8 B. 15 4 C. 1 8 D. 1 4 【答案】A . ▲模板构建 利用正弦定理、余弦定理都可以进行三角形的边、角之间的互化,当已知三角形的两边及一边 的对角,或已知两角及一角的对边时,可以利用正弦定理求解三角形中的有关量;如果已知三边或两边及其 夹角,则可利用余弦定理进行求解.其基本思路如下: 【变式训练】 【2018 河南省南阳市第一中学模拟】在 ABC 中，内角 , ,A B C 所对的边分别为  , , ,sin cos cos 3 cosa b c B a B b A c B  . （1）求 B ； （2）若 2 3,b ABC  的面积为 2 3 ，求 ABC 的周长. 模板七 利用函数性质解不等式 例 7 已 知 定 义 在 R 上 的 偶 函 数  f x 在  0, 上 递 减 且  1 0f  ， 则 不 等 式  4 1 4 log log 0f x f x       的解集为__________． 【答案】 1 ,44      ▲模板构建 函数性质法主要适用于解决抽象函数对应的不等式问题.其解题要点如下: 【变式训练】【2018 吉林省实验中模拟】设函数   2 1 2 xf x e x    ，则使得    2 1f x f x  成立的 x 的取值范围是 A. 1 ,13      B.  1, 1,3       C. 1 1,3 3     D. 1 1, ,3 3              模板八 利用基本不等式求最值 例 8．设正实数 x，y，z 满足 x2－3xy＋4y2－z＝0，则当 xy z 取得最大值时， 2 1 2 x y z   的最大值为________． 【答案】1 【解析】由 x2－3xy＋4y2－z＝0， 得 z＝x2－3xy＋4y2， ∴ xy z ＝ 2 2 xy 3xy 4x y  ＝ 1 4 3x y y x   ▲模板构建 拼凑法就是将函数解析式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的 形式,然后利用基本不等式求最值.应用此法求最值的基本思路如下: 【变式训练】已知 ,x y R ,且满足 2 2x y xy  ,那么3 4x y 的最小值为____. 模板九 不等式恒成立问题 例 9 【2018 河南省中原名校联考】已知函数    1 ln , 0mf x x m x mx      ，当  1,x e 时，   0f x  恒成立，则实数 m 的取值范围为（ ） A. 10, 2      B.  1, C.  0,1 D. 1 ,2     【答案】C 【解析】记函数  f x 在 1,e 上的最小值为  g m :    1 ln mf x x m x x     的定义域为 0, .   2 11 m mf x x x     . 令   0f x  ，得 mx  或 1x  . ① 0 m 1  时，对任意的 1 x e  ,   0f x  ，  f x 在  1,e 上单调递增，  f x 的最小值为  1 1 mf   ②当1 m e  时，  f x 的最小值为    m m 1 m 1 lnmf     ; 故实数 m 的取值范围为  0,1 . 故选 C. ▲模板构建 分离参数法是求解不等式恒成立问题的常用方法,其解题要点如下: 【变式训练】（Ⅰ）设不等式  22 1 1x m x   对满足 2m  的一切实数 m 的取值都成立，求 x 的取值 范围； （Ⅱ）是否存在实数 m ,使得不等式  22 1 1x m x   对满足 2x  的一切实数 x 的取值都成立． 模板十 简单的线性规划问题 例 10 已知 x ， y 满足约束条件 2 0, { 2 0, 4 18 0, x y x y x y        则目标函数 32 8 x yz  的最小值为__________． 【答案】 1 4 【解析】 ▲模板构建 线性规划问题是指在线性约束条件下求解线性目标函数的最值问题,解决此类问题最基本的 方法是数形结合法.其基本的解题步骤如下: 【变式训练】【2018 辽宁省凌源市联考】已知实数 ,x y 满足 7 3 , { 3 13, 1 y x x y x y       则 2 3 41 2 x y z       的最小值为 __________． 模板十一 数列的通项与求和 例 11 【2018 湖南省长沙市第一中学模拟】已知等差数列 na 中， 2 4 65, 22a a a   ，数列 nb 中，  1 13, 2 1 2n nb b b n    . （1）分别求数列   ,n na b 的通项公式； （2）定义    x x x  ，  x 是 x 的整数部分，  x 是 x 的小数部分，且  0 1x  .记数列 nc 满足 1 n n n ac b      ，求数列 nc 的前 n 项和. 两式相减，得 3 4 5 1 2 2 1 1 3 3 5 7 2 2 1 3 2 1 2 1 5 2 5 2 4 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2n n n n n n n n nS                    故 1 5 2 5 2 2n n nS    . ▲模板构建 数列的通项与求和问题的解题步骤如下: 【变式训练】【2018 贵州省贵阳市第一中学模拟】已知 ABC 的内角 A B C、 、 所对的边分别是 , ,a b c 且 2 2 2a c b cb   ， 3a  ；等差数列 na 的公差 1, 2sin ad aA   . （Ⅰ）若角 A 及数列 na 的通项公式； （Ⅱ）若数列 nb 满足 3log 2 n n ab  ，求数列 2 n na b    的前 n 项和 nS . 模板十二 空间中的平行与垂直 例 12【2018 南京市、盐城市一模】如图所示，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， CA CB ，点 ,M N 分别 是 1 1,AB A B 的中点. （1）求证： BN ∥平面 1A MC ； （2）若 1 1A M AB ，求证： 1 1AB AC . 【解析】证明：（1）因为 1 1 1ABC A B C 是直三棱柱，所以 1 1/ /AB A B ，且 1 1AB A B ， 又点 ,M N 分别是 1 1,AB A B 的中点，所以 1MB A N ，且 1/ /MB A N ． 则由侧面 1 1ABB A  底面 ABC ，侧面 1 1ABB A  底面 ABC AB ， CM AB ，且 CM  底面 ABC ，得 CM  侧面 1 1ABB A ． 又 1AB  侧面 1 1ABB A ，所以 1AB CM ． 又 1 1AB A M ， 1 ,A M MC  平面 1A MC ，且 1A M MC M  ， 所以 1AB  平面 1A MC ． 又 1AC  平面 1A MC ，所以 1 1AB AC ． ▲模板构建 证明空间中的平行与垂直的步骤如下: 【变式训练】如图， 1 1,AA BB 为圆柱 1OO 的母线， BC 是底面圆 O 的直径， D 是 1AA 的中点. （Ⅰ）问： 1CB 上是否存在点 E 使得 / /DE 平面 ABC ？请说明理由； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若 DE  平面 1CBB ，假设这个圆柱是一个大容器，有条体积可以忽略不计的小 鱼能在容器的任意地方游弋，如果小鱼游到四棱锥 1 1C ABB A 外会有被捕的危险，求小鱼被捕的概率. 模板十三 求空间角 例 13 【2018 吉林省实验中学模拟】如图， AB 为圆O 的直径，点 E ， F 在圆O 上， / /AB EF ， 矩形 ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直，已知 2AB  ， 1EF  ． （Ⅰ）求证：平面 DAF  平面CBF ； （Ⅱ）当 AD 的长为何值时，二面角 D FE B  的大小为 60． （Ⅱ） 设 EF 中点为G ，以O 为坐标原点， OA OG AD、 、 方向分别为 x 轴、 y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标 系 （ 如 图 ）． 设 ( 0)AD t t  ， 则 点 D 的 坐 标 为  1,0,t ， 则  1,0,C t ， 又     1 31,0,0 , 1,0,0 , , ,02 2A B F       ，∴ ， 因此，当 AD 的长为 6 4 时，平面 DFC 与平面 FCB 所成的锐二面角的大小为 60°。 ▲模板构建 空间角的求解可以用向量法.向量法是通过建立空间直角坐标系把空间图形的几何特征代数 化,避免寻找角和垂线段等诸多麻烦,使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化,具体步骤 如下: 【变式训练】 在四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中，底面 ABCD 是正方形，且 1 2BC BB  ， 1 1 60A AB A AD     ． （1）求证： 1BD CC ； （2）若动点 E 在棱 1 1C D 上，试确定点 E 的位置，使得直线 DE 与平面 1BDB 所成角的正弦值为 7 14 ． 模板十四 直线与圆的位置关系 例 14 【2018 四川省绵阳市南山中学模拟】若圆 2 2 4 4 10 0x y x y     上至少有三个不同的点到 直线 : 0l ax by  的距离为 2 2 ，则直线l 的斜率的取值范围是（ ） A. 2 3,2 3    B. 2 3, 3 2     C. 2 3,2 3     D. 2 3,2 3     【答案】B 【解析】圆 2 2 4 4 10 0x y x y     可化为   2 22 2 18x y    则圆心为（-2，2），半径为 3 2 ， 1+ 2 4 0b b a a             由直线 l 的斜率 k=- a b 则上式可化为 k2+4k+1≤0 解得 2 3 2 3k      故选 B ▲模板构建 几何法是通过比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小来确定直线和圆的位置关系的方法, 其基本步骤如下: 【变式训练】【2018 北京市丰台区模拟】已知直线 2 1 0x y   和圆  2 21 1x y   交于 ,A B 两点，则 AB  __________． 模板十五 圆锥曲线中的最值与范围问题 例 15【2018 辽宁省凌源模拟】知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的离心率为 3 2 ，且过点 33, 2      .过 椭圆 C 右焦点且不与 x 轴重合的直线l 与椭圆 C 交于    1 1 2 2, , ,P x y Q x y 两点，且 1 2 0y y  . （1）求椭圆C 的方程； （2）若点 1Q 与点Q 关于 x 轴对称，且直线 1Q P 与 x 轴交于点 R ，求 RPQ 面积的最大值. 【解析】（I )依题意， 2 2 2 2 2 3 ,2 9 3{ 1, 4 , c a a b a b c      解得 2 3, 3, 3a b c   ，故椭圆C 的方程为 2 2 112 3 x y  ； （2）依题意，椭圆右焦点 F 坐标为 3,0 ，设直线  : 3 0l x my m   ， 直线l 与椭圆C 方程联立 2 2 3, { 1,12 3 x my x y     化简并整理得 2 24 6 3 0m y my    ， ∴ 1 2 1 22 2 6 3,4 4 my y y ym m       ， 由题设知直线 1Q P 的方程为  1 2 1 1 1 2 y yy y x xx x    ， 令 0y  得      1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 3 3y x x my y my yx y x yx x y y y y y y          2 2 6 4 3 46 4 m m m m      ， ∴ 点 (当且仅当 2 2 91 1m m    即 2m   时等号成立) ∴ RPQ 的面积存在最大值，最大值为 1. ▲模板构建 与圆锥曲线有关的最值问题的变化因素多,解题时需要在变化的过程中掌握运动规律,抓住主 变元,目标函数法是避免此类问题出错的法宝,应注意目标函数式中自变量的限制条件(如直线与椭圆相 交,Δ>0 等).解题步骤如下: 【变式训练】(2018·合肥市质检)已知点 F 为椭圆 E： 2 2 2 2 1x y a b   (a>b>0)的左焦点，且两焦点与短轴的 一个顶点构成一个等边三角形，直线 14 2 x y  与椭圆 E 有且仅有一个交点 M. (1)求椭圆 E 的方程； (2)设直线 14 2 x y  与 y 轴交于 P，过点 P 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A，B，若λ|PM|2＝|PA|·|PB|， 求实数λ的取值范围． 模板十六 圆锥曲线中的探索性问题 例 16 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C:y= 与直线 l:y=kx+a(a>0)交于 M,N 两点. (1)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (2)在 y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由. 解析 (1)由题设可得 M(2 ,a),N(-2 ,a)或 M(-2 ,a),N(2 ,a). 因为 y'= x,所以 y= 在 x=2 处的导数值为 , 所以曲线 C 在(2 ,a)处的切线方程为 y-a= (x-2 ),即 x-y-a=0. y= 在 x=-2 处的导数值为- , 所以曲线 C 在(-2 ,a)处的切线方程为 y-a=- (x+2 ),即 x+y+a=0. 故所求切线方程为 x-y-a=0 和 x+y+a=0. (2)假设存在符合题意的点 P(0,b),(假设存在) 设 M(x1,y1),N(x2,y2),直线 PM,PN 的斜率分别为 k1,k2. 将 y=kx+a 代入曲线 C 的方程,整理得 x2-4kx-4a=0,(联立方程) 所以 x1+x2=4k,x1x2=-4a, 所以 k1+k2= + = = . 当 b=-a 时,有 k1+k2=0, 则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补, 故∠OPM=∠OPN,所以存在点 P(0,-a)符合题意.(得出结论) ▲模板构建 圆锥曲线中的探索性问题在高考中多以解答题的形式呈现,常用假设存在法求解,其解题 要点如下: 【变式训练】【2018 湖南师大附中模拟】已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点 F 与椭圆Γ： 2 2 x ＋y2＝1 的一 个焦点重合，点 M(x0，2)在抛物线上，过焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点． (Ⅰ)求抛物线 C 的方程以及|MF|的值； (Ⅱ)记抛物线 C 的准线与 x 轴交于点 H，试问是否存在常数λ∈R，使得 AF FB  且|HA|2＋|HB|2＝ 85 4 都 成立？若存在，求出实数λ的值； 若不存在，请说明理由． 模板十七 离散型随机变量 例 17 【2018 辽宁省凌源市模拟】共享单车因绿色、环保、健康的出行方式，在国内得到迅速推广. 最近，某机构在某地区随机采访了 10 名男士和 10 名女士，结果男士、女士中分别有 7 人、6 人表示“经常 骑共享单车出行”，其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”. （1）从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率； （2）从这些男士中抽取一人，女士中抽取两人，记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为 X ，求 X 的 分布列与数学期望. 故随机变量 X 的分布列为 X 的数学期望   1 19 71 7 190 1 2 325 75 150 30 10E X          . ▲模板构建 公式法就是直接利用古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件以及独立重复试验、条 件概率等的求解方法或计算公式求解离散型随机变量的概率的方法.其基本步骤如下: 【变式训练】某城市随机抽取一年（365 天）内 100 天的空气质量指数 API （Air Pollution Index）的 监测数据，结果统计如下： API [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] (250,300] 大于 300 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重 污染 重度污染 天数 10 15 20 30 7 6 12 （Ⅰ）若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季，其中有 7 天为重度污染，完成下面 2 2 列联表，并判断 能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 100 2 0P(K )k 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 附：        2 2K n ad bc a b c d a c b d      （Ⅱ）政府要治理污染，决定对某些企业生产进行管控，当 API 在区间 0,100 时企业正常生产；当 API 在 区间  100,200 时对企业限产30%（即关闭30%的产能），当 API 在区间 200,300 时对企业限产50%， 当 API 在 300 以上时对企业限产80%，企业甲是被管控的企业之一，若企业甲正常生产一天可得利润 2 万 元，若以频率当概率，不考虑其他因素： ①在这一年中随意抽取 5 天，求 5 天中企业被限产达到或超过50%的恰为 2 天的概率； ②求企业甲这一年因限产减少的利润的期望值． 模板十八 线性回归方程 例 18 某种设备的使用年限 x 和维修费用 y(万元),有以下的统计数据: x/年 3 4 5 6 y/万元 2.5 3 4 4.5 (1)画出上表中数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 y= x+ . 解 析 (1) 由 题 意 知 使 用 年 限 x 和 维 修 费 用 y 的 样 本 数 据 所 对 应 的 坐 标 分 别 为 (3,2.5),(4,3),(5,4),(6,4.5).(构建坐标) 在平面直角坐标系中画出散点图如图所示.(画图) (2) xiyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5, =32+42+52+62=86, = ×(3+4+5+6)=4.5, = ×(2.5+3+4+4.5)=3.5,(计算) 所以 = = = =0.7, = - =3.5-0.7×4.5=0.35,(代公式) 所以所求的线性回归方程为 y=0.7x+0.35.(得结果) ▲模板构建 线性回归方程常用来预估某变量的值,因此选择恰当的拟合函数是解题的关键,一般解题 要点如下: (1)作图.依据样本数据画出散点图,确定两个变量具有线性相关关系. (2)计算.计算出 , , , xiyi 的值;计算回归系数 , . (3)求方程.写出线性回归直线方程 y= x+ . 【变式训练】【2018 湖南省长沙市第一中学模拟】2017 年 4 月 1 日，新华通讯社发布：国务院决定设立 河北雄安新区.消息一出，河北省雄县、容城、安新 3 县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点. （1）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的 8 个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬 迁至雄安新区”的问卷调查，8 个学院的调查人数及统计数据如下： 调查人数( x ) 10 20 30 40 50 60 70 80 愿 意 整 体 搬 迁 人 数 ( y ) 8 17 25 31 39 47 55 66 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量 y 关于变量 x 的线性回归方程 y bx a  （b 保留小数点后 两位有效数字）；若该校共有教职员工 2500 人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数； （2）若该校的 8 位院长中有 5 位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这 8 位院长中随机选取 4 位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记 X 为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人 数，求 X 的分布列及数学期望. 参考公式及数据： 8 8 21 2 2 1 11 ,ˆ ˆ , 16310, 20400 · n i ii i i in i iii x y n x y b a y b x x y x x n x                 . 答案部分 模板一 求函数值 【变式训练】【答案】A f(8)=  0 0f  ，f(5)=  1 2f  ，所以 f(8)＋f(5)=2 故选 A 模板二 函数的图象 【变式训练】【答案】D 【解析】        2 8 sin ,2 x xf x f x f xx x        为奇函数，图象关于原点对称，排除 A ；当  0,1x 时 ， 设   sing x x x  ， 则  ' 1 cos 0g x x   ， 即   sing x x x  在 区 间  0,1 上 递 增 ， 且    0 0, 0g g x   ，又   2 2 2 1 0,x x x x      在区间 0,1 上   0f x  ，排除 B；当 1x  时，   0f x  ，排除 C，故选 D. 模板三 函数的零点问题 【变式训练】【答案】 91, 4     【解析】作图，由图可得实数 m 的取值范围是 91, 4     模板四 三角函数的性质 【变式训练】【答案】 1 2  模板五 三角函数的图象变换 【变式训练】【答案】C 【解析】 cos 2 3y x      = sin 2 sin 23 2 6x x               2sin 2 4 3x           所 以 需 把 函 数 cos 2 3y x      的图象向左平移 4  个单位长度得到函数 2sin 2 3y x      故选 C 模板六 解三角形 【变式训练】 【解析】（1）由题意及正弦定理得  sin sin cos sin cos 3sin cosB A B B A C B  ，  sin sin sin sin 3sin cosB A B B C C B    ，  0,C  ， sin 0C  ， sin 3cosB B  ， ∴ tan 3B  ． ∴ 2 2 20a c  ， ∴ 2 2 2 2 36a c a c ac     ， 6a c   ， 又 2 3b  ， ABC 的周长为 6 2 3 . 模板七 利用函数性质解不等式 【变式训练】【答案】A 【 解 析 】   2 1 2 xf x e x    为 偶 函 数 ， 且 在  0, 单 调 递 增 ， 因 为    2 1f x f x  ， 所 以    2 1 2 1f x f x x x     2 13 4 1 0 13x x x       选 A. 模板八 利用基本不等式求最值 【变式训练】【答案】 5 2 6 【解析】由 2 2x y xy  ，得 1 1 12x y   ． ∴   1 13 4 3 4 2x y x y x y        = 4 35 5 2 62 y x x y     ．当且仅当 4 3 2 y x x y  且 2 2x y xy  时等号成 立． ∴3 4x y 的最小值为 5 2 6 ． 模板九 不等式恒成立问题 【变式训练】【解析】（Ⅰ）不等式  22 1 1x m x   可化为  22 1 1 0x m x    ， ∴满足条件的 x 的取值范围为 7 1 3 1 2 2x－ ＋＜ ＜ . （Ⅱ）令    22 1 1g x x m x     2 2 1mx x m     ，使 2x  的一切实数都有  22 1 1x m x   . 当 0m  时，   2 1g x x  在 1 22 x  时，   0g x  ，不满足题意； 当 0m  时，  g x 只需满足下式   0, 1{ 2 2 0 m m g       ， ， 或   0, 1{ 2 0 4 4 1 0 m m m m           ， ， 或     0, { 2 0 2 0 m g g      ， ， 解之得上述不等式组的解集均为空集， 故不存在满足条件的 m 的值. 模板十 简单的线性规划问题 【变式训练】【答案】 1 64 【解析】作出不等式组所对应的可行域，如图所示： 当 2 3 41 2 x y z       过点 A 1,4 时， 2 3 41 2 x y z       有最小值为 1 64 . 故选： 1 64 模板十一 数列的通项与求和 相减得    2 1 13 3 1 2 3 3 ...... 3 3 33 1 n n n n nS n n            ， 则   12 1 3 3 4 n n nS   . 模板十二 空间中的平行与垂直 【变式训练】【解析】 （Ⅰ）存在，E 是 的中点． 证明：如图 由 平面 ，且由（Ⅰ）知 ，∴ 平面 ，∴ ， 又 是 中点，∴ ，因 是底面圆 的直径，得 ，且 ， ∴ 平面 ，即 为四棱锥 的高． 设圆柱高为 ，底面半径为 ，则 ，    21 2= 2 23 3V h r r hr锥 ， ∴ ∶ ，即 ． 模板十三 求空间角 【变式训练】【解析】（1）连接 1A B ， 1A D ， AC ， 因为 1AB AA AD  ， 1 1 60A AB A AD     ， 所以 1A AB 和 1A AD 均为正三角形， 于是 1 1A B A D ． 设 AC 与 BD 的交点为 O ，连接 1AO ，则 1AO BD ， 又四边形 ABCD 是正方形，所以 AC BD ， 而 1AO AC O  ，所以 BD  平面 1A AC ． 所以OA、OB 、 1OA 两两垂直． 如图，以点O 为坐标原点， OA 的方向为 x 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz ， 则  1,0,0A ，  0,1,0B ，  0, 1,0D  ，  1 0,0,1A ，  1,0,0C  ，  0,2,0DB  ，  1 1 1,0,1BB AA    ，  1 1 1,1,0D C DC    ， 由  1 1 1,0,1DD AA    ，易求得  1 1, 1,1D   ． 设 1 1 1D E DC  （  0,1  ）， 则   1, 1, 1 1,1,0E E Ex y z      ，即  1, 1,1E     ， 所以  1, ,1DE     ． 模板十四 直线与圆的位置关系 【变式训练】【答案】2 【解析】圆 2 21 1x y   ，表示圆心为(1,0)，半径为 1 的圆. 圆心（1，0）满足直线 2 1 0x y   ，即该直线过圆心，所以 2AB  . 答案为：2. 模板十五 圆锥曲线中的最值与范围问题 【变式训练】【解析】 (1)由题意，得 a＝2c，b＝ 3 c，则椭圆 E 为 2 2 2 2 14 3 x y c c   . ∵直线 14 2 x y  与 y 轴交于 P(0,2)， ∴|PM|2＝ 5 4 ， 当直线 l 与 x 轴垂直时， |PA|·|PB|＝(2＋ 3 )×(2－ 3 )＝1， ∴λ|PM|2＝|PA|·|PB|⇒λ＝ 4 5 ， 当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 2 2 2{ 3 4 12 0 y kx x y      ⇒(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0， 依题意得，x1x2＝ 2 4 3 4k ，且Δ＝48(4k2－1)>0， ∴|PA|·|PB|＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)· 2 4 3 4k ＝1＋ 2 1 3 4k ＝ 5 4 λ， ∴λ＝ 4 5 (1＋ 2 1 3 4k )， ∵k2> 1 4 ，∴ 4 5 <λ<1. 综上所述，λ的取值范围是[ 4 5 ，1)． 模板十六 圆锥曲线中的探索性问题 【变式训练】【解析】(Ⅰ)依题意，椭圆Γ： ＋y2＝1 中，a2＝2，b2＝1，故 c2＝a2－b2＝1，故 F ， 故 ＝1，则 2p＝4，故抛物线 C 的方程为 y2＝4x，将 M 代入 y2＝4x，解得 x0＝1， 故 ＝1＋ ＝2. (Ⅱ)(法一)依题意，F ，设 l：x＝ty＋1，设 A ，B ， 联立方程 ，消去 x，得 y2－4ty－4＝0.∴ ① 且 ，又 ＝λ 则 ＝λ ，即 y1＝－λy2，代入 ① 模板十七 离散型随机变量 【变式训练】【解析】 （Ⅰ）根据以上数据得到如下列联表： 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 23 7 30 非供暖季 65 5 70 合计 88 12 100  2 2 100 65 7 23 5 5.213 3.84188 12 70 30K         ， ②企业甲这一年的利润的期望值为 25 7 50365 (2 2100 10 100      1 13 1 122 2 ) 502.972 100 5 100        万元， 故企业甲这一年因限产减少的利润的期望值是 365 2 502.97 227.03   万元． 模板十八 线性回归方程 【变式训练】【解析】 （1）由已知有 1 2 2 1 16310 8 45 3645, 36, 0.820400 8 4 5 ˆ 5 4 n i ii n ii x y n x y x y b x n x                  ， 36 0.80 45 0a     ,故变量 y 关于变量 x 的线性回归方程为 0.8y x ，所以当 2500x  时， 2500 0.80 2000y    . （2）由题意可知 X 的可能取值有 1，2,3,4.     1 3 2 2 5 3 5 3 4 4 8 8 1 31 , 214 7 C C C CP X P XC C        ，     2 1 4 5 3 5 4 4 8 8 3 13 , 47 14 C C CP X P XC C       . 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 4 p 1 14 3 7 3 7 1 14   1 3 3 1 51 2 3 414 7 7 14 2E X         