2021届高考数学一轮复习第四章平面向量第1讲平面向量及其线性运算课件 47页

第四章　平面向量 第 1 讲　平面向量及其线性运算 课标要求 考情风向标 1. 通过力和力的分析等实例， 了解向量的实际背景，理解平 面向量和向量相等的含义，理 解向量的几何表示 . 2. 通过实例，掌握向量加、减 法的运算，并理解其几何意义 . 3. 通过实例，掌握向量数乘的 运算，并理解其几何意义，以 及两个向量共线的含义 . 4. 了解向量的线性运算性质及 其几何意义 从近几年的高考试题看，向量的线性 运算、共线问题是高考的热点，尤其 是向量的线性运算出现的频率最高， 多以选择题、填空题的形式出现，属 中低档题目 . 预计 2021 年高考仍将 以向量的线性运 算、向量的基本概念为主要考点，也 可与向量加、减的三角形法则和平行 四边形法则交汇命题 . 透彻理解平面向量的有关概念及运算 是学好本节的基础，因此复习时应注 意运用概念分析和求解相关问题 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向 量的大小叫做向量的长度 ( 或称模 ) 平面向量是自由向量 零向量 长度为零的向量；其方向是 任意的 记作 0 1. 向量的有关概念 名称 定义 备注 单位向量 长度等于 1 个单位的向 量 非零向量 a 的单位向 量为 ± 共线向量 ( 平行向量 ) 方向相同或相反的非零向量 零向量与任一向量平 行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 记作 a ＝ b ( 续表 ) 向量 运算 定义 法则 ( 或几何意义 ) 运算律 加法 求两个向量和 的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1) 交换律： a ＋ b ＝ b ＋ a . (2) 结合律： ( a ＋ b ) ＋ c ＝ a ＋ ( b ＋ c ) 2. 向量的线性运算 向量 运算 定义 法则 ( 或几何意义 ) 运算律 减法 求 a 与 b 的相反 向量－ b 的和的 运算叫做 a 与 b 的差 三角形法则 a － b ＝ a ＋ ( － b ) ( 续表 ) 向量 运算 定义 法则 ( 或几何意义 ) 运算律 数乘 求实数 λ 与向量 a 的积的运算 (1)| λ a| ＝ ________ ； (2) 当 λ >0 时， λ a 的 方向与 a 的方向相 同 ；当 λ <0 时， λ a 的 方向与 a 的方向相 反 ；当 λ ＝ 0 时， λ a ＝ ________ λ ( μ a ) ＝ ________ ； ( λ ＋ μ ) a ＝ λ a ＋ μ a ； λ ( a ＋ b ) ＝ _______ ( 续表 ) |λ|| a | 0 λμ a λ a ＋ λ b 3. 共线向量定理 向量 a ( a ≠ 0 ) 与 b 共线的充要条件是存在唯 一一个实数 λ ， 使得 b ＝ λ a . D A 量的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 B 解析： 结果为零向量的是 ①④ ，故选 B. ( ) 图 4-1-1 D 考点 1 平面向量的基本概念 答案： BC (2)(2017 年新课标 Ⅱ ) 设非零向量 a ， b 满足 |a ＋ b| ＝ |a － b| ， 则 ( ) A. a ⊥ b B. |a| ＝ |b| C. a ∥ b D. |a| > |b| 解析： 方法一，由 | a ＋ b | ＝ | a － b | ，得 | a ＋ b | 2 ＝ | a － b | 2 ，得 a·b ＝ 0 ⇒ a ⊥ b . 故选 A. 方法二，由 | a ＋ b | ＝ | a － b | 得平行四边形为矩形， ∴ a ⊥ b. 故 选 A. 答案： A 【 规律方法 】 (1) 相等向量具有 传递性，非零向量的平行也 具有传递性 .(2) 共线向量即为平行向量，它们均与起点无关 . (3) 向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量 . 解题时， 考点 2 平面向量的线性运算 答案： A 图 4-1-2 解析： 由题意可知 答案： D 答案： C 【 规律方法 】 (1) 解题的关键在 于熟练地找出图形中的相等 向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化 .(2) 用几个基本 向量表示某个向量问题的基本技巧： ① 观察各向量的位置； ② 寻找相应 的三角形或多边形； ③ 运用法则找关系； ④ 化简结 果 . 考点 3 共线向量定理 考向 1 共线向量定理的应用 答案： 2 (2)(2017 年山东济南模拟 ) 已知向量 a ， b 不共线，且 c ＝ λ a ＋ b ， d ＝ a ＋ (2 λ － 1) b ，若 c 与 d 共线反向，则实数 λ 的值为 ( ) 解析： 由于 c 与 d 共线反向，则存在实数 k 使 c ＝ k d ( k <0) ， 于是 λ a ＋ b ＝ k [ a ＋ (2 λ － 1) b ] ， 整理得 λ a ＋ b ＝ k a ＋ (2 λk － k ) b . 答案： B 【规律方法】 (1) 证明三点共线 问题，可用向量共线解决， 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且 有公共点时，才能得出三点共线 .(2) 向量 a ， b 共线是指存在不 全为零的实数 λ 1 ， λ 2 ，使 λ 1 a ＋ λ 2 b ＝ 0 成立；若 λ 1 a ＋ λ 2 b ＝ 0 ，当 且仅当 λ 1 ＝ λ 2 ＝ 0 时成立，则向量 a ， b 不共线 . 【 跟踪训练 】 1.(2015 年新课标 Ⅱ ) 设向量 a ， b 不平行，向量 λ a ＋ b 与 a ＋ 2 b 平行，则实数 λ ＝ ______. 答案： A 考向 2 三点共线的充要条件 【 跟踪训练 】 图 4-1-3 图 4-1-4 ∴ m ＋ n ＝ 2. 方法二，绕 O 旋转 MN ， N 与 C 重合时， M 与 B 重合，此 时 m ＝ n ＝ 1 ， ∴ m ＋ n ＝ 2. 答案： 2 难点突破 ⊙ 利用向量加法的几何意义解决三角形的四心问题 例题： (1) 已知 O 是平面上一定点， A ， B ， C 是平面上不共 则点 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的 ( ) A. 外心 B. 垂心 C. 内心 D. 重心 答案： D A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 图 4-1-5 ∴ 点 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的内心 . 答案： B A. 内心 C. 重心 B. 外心 D. 垂心 答案： C ④ 内心：三角形的三个内角角平分线的交点 ( 三角形内切圆 的圆心 ) ； 【 跟踪训练 】 A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心 C. 外心、重心、垂心 D. 外心、重心、内心 答案： C 6. 若 P 为 △ ABC 所在平面内一点 . ∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 . ∴ P 必过 △ ABC 的外心 . 答案： (1) 垂心 (2) 外心 1. 解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量 的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否 也满足条件 . 要特别注意零向量的特殊性 . 2. 向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多 联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可 多记忆一些有关的结论 . 在利用向量减法时，易弄错两向量的顺 序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误 . 3. 对于两个向量平行的充要条件： a ∥ b ⇔ a ＝ λ b ，只有 b ≠0 才是正确的 . 而当 b ＝ 0 时， a ∥ b 是 a ＝ λ b 的必要不充分条件 .