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  • 2021-06-16 发布

高中数学第三章指数函数和对数函数3_3指数函数问题导学案北师大版必修11

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3.3 指数函数 问题导学 一、指数函数的概念 活动与探究 1 下列函数中一定是指数函数的是__________.(只填序号) (1)y=10x;(2)y=10x+1;(3)y=-4x;(4)y=xx;(5)y=xα(α是常数);(6)y=(2a- 1)x. 迁移与应用 (1)若函数 f(x)=(a2-a-1)·ax 是一个指数函数,则实数 a 的值为__________; (2)若指数函数 f(x)的图像经过点(-1,4),则 f(2)=__________. 1.判断一个函数是否是指数函数,关键是分析该函数解析式是否完全符合指数函数解 析式 y=ax(a>0,且 a≠1),其特征是: ①底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数,不含有自变量 x; ②指数位置是自变量 x,且 x 的系数是 1; ③ax 的系数是 1. 2.已知某函数是指数函数求参数值时,可采用待定系数法,先通过一个条件确定解析 式中 a 的值,再解决其他问题. 二、求指数型函数的定义域、值域(最值) 活动与探究 2 求下列函数的定义域与值域: (1) 1 42 xy  ; (2)y= 2 3 -|x|. 迁移与应用 1.函数 y=4 x-1的定义域是__________,值域是__________. 2.求 y= 1- 1 2 x的定义域和值域. 1.对于指数型函数 y=af(x)(a>0,且 a≠1),其定义域就是函数 f(x)的定义域,可按 照求函数定义域的一般方法进行求解. 2.求指数型函数 y=af(x)(a>0,且 a≠1)的值域时,通常采用逐步推的办法,先确定 f(x)的取值范围,再结合指数函数的单调性求得原函数的值域. 三、指数函数单调性的应用 活动与探究 3 (1)比较下列各组数的大小: ①1.72.5 与 1.73; ② 3 4 -1.8 与 3 4 -2.6; ③2.3-0.28 与 0.67-3.1. (2)求函数 f(x)= 3 5 2x-1 的单调区间. 迁移与应用 1.比较下列各题中两个值的大小: (1)0.8-0.1,0.8-0.2;(2)1.70.3,0.93.1;(3)a1.3,a2.5(a>0,a≠1). 2.函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为 6,求 a 的值. 1.在进行数的大小比较时,若底数相同,则可根据指数函数的单调性得出结果;若底 数不相同,则首先考虑能否化为同底数,然后根据指数函数的单调性得出结果;不能化成同 底数的,要考虑引进第三个数(如 0,1 等)分别与之比较,从而得出结果.总之,比较时要尽 量转化成同底的形式,根据指数函数的单调性进行判断. 2.函数 y=af(x)(a>0,且 a≠1)的单调性与单调区间可按如下规则确定: (1)当 a>1 时,函数 y=af(x)的单调性、单调区间与 f(x)的单调性、单调区间相同; (2)当 0<a<1 时,函数 y=af(x)的单调性、单调区间与 f(x)的单调性、单调区间相反; (3)当底数 a 不确定时,要对其分 a>1 和 0<a<1 两种情况讨论. 四、指数型函数的图像及图像变换问题 活动与探究 4 画出函数 y= 1 2 |x|的图像,并根据图像写出函数的值域及单调区间. 迁移与应用 1.为了得到函数 y=2x-3-1 的图像,只需把函数 y=2x 的图像上所有的点( ). A.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 B.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 C.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 D.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 2.若函数 f(x)=ax-1+3(a>0,且 a≠1)的图像恒过定点 P,试求点 P 的坐标. 函数图像变换问题的处理方法: (1)抓住图像上的特殊点.如指数函数的图像过定点(0,1); (2)利用图像变换.如函数图像的平移变换(左右平移、上下平移); (3)利用函数的奇偶性与单调性. 当堂检测 1.若指数函数 y=ax 经过点(-1,3),则 a 等于( ). A.3 B.1 3 C.2 D.1 2 2.若 1 20.5a  , 1 30.5b  , 1 40.5c  ,则 a,b,c 的大小顺序是( ). A.a>b>c B.a<b<c C.a<c<b D.b<c<a 3.函数 11 3 x y      的值域是( ). A.(-∞,0) B.(0,1] C.[1,+∞) D.(-∞,1] 4.为了得到 y= 1 4 |x-1|的图像,可以把 y= 1 4 x 的图像向______平移______个单位长度. 5.试求函数 f(x)=2|x-1|的单调区间. 提示:用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部 分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。 答案: 课前预习导学 【预习导引】 1.y=ax R 预习交流 1 提示:因为当 a=0 时,ax 总为 0 或没有意义; 当 a<0 时,如 a=-2,x=1 2 ,ax= 1 2( 2) = -2显然没意义;当 a=1 时,ax 恒等于 1, 没有研究必要. 因此规定 a>0,且 a≠1. 预习交流 2 提示:从形式上看,指数函数与幂函数的解析式都是幂的形式,但自变量 x 的位置不同.指数函数中幂的底数为常数,自变量出现在指数位置上,而幂函数中幂的指 数是常数,自变量出现在底数位置上. 预习交流 3 提示:确定函数 y=ax(a>0,a≠1,x∈R)的解析式的关键是确定底数 a 的值. 2.上方 (0,1) y>1 0<y<1 0<y<1 y>1 增函数 减函数 y 轴 预习交流 4 提示:在指数函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1)中,不论 a 取何值,总有 f(0) =a0=1,所以其图像经过定点(0,1).在指数型函数 y=k·af(x)+b 中,令 f(x)=0 若得 x =x0,则其图像经过定点(x0,k+b). 预习交流 5 提示: a>1 0<a<1 定义域 R 值域 [1,+∞) (0,1] 奇偶性 偶函数 单调性 在(0,+∞)上是增加的 在(-∞,0)上是减少的 在(0,+∞)上是减少的 在(-∞,0)上是增加的 课堂合作探究 【问题导学】 活动与探究 1 (1) 解析:(1)y=10x 符合定义,是指数函数; (2)y=10x+1 指数是 x+1 而非 x,不是指数函数; (3)y=-4x 中系数为-1 而非 1,不是指数函数; (4)y=xx 中底数和指数均是自变量 x,不符合指数函数的定义,不是指数函数. (5)y=xα中底数是自变量,不是指数函数. (6)y=(2a-1)x 中由于底数可能不大于 0 或可能为 1,故不一定是指数函数. 迁移与应用 (1)2 (2) 1 16 解析:(1)依题意应有 a2-a-1=1, a>0, a≠1, 解得 a=2(a=- 1 舍去). (2)设 f(x)=ax(a>0,且 a≠1),则有 a-1=4,所以 a=1 4 ,即 f(x)= 1 4 x. 于是 f(2)= 1 16 . 活动与探究 2 思路分析:求定义域要根据函数自身的要求,找出关于 x 的不等式或不 等式组,解此不等式或不等式组可得定义域.求值域要根据定义域,借助换元思想与指数函 数的单调性求解. 解:(1)∵令 x-4≠0,得 x≠4, ∴定义域为{x|x∈R,且 x≠4}. ∵ 1 x-4 ≠0,∴ 1 42 x ≠1. ∴y= 1 42 x 的值域为{y|y>0,且 y≠1}. (2)由题意可知定义域为 R.∵|x|≥0, ∴y= 2 3 -|x|= 3 2 |x|≥ 3 2 0=1. 故 y= 2 3 -|x|的值域为{y|y≥1}. 迁移与应用 1.[1,+∞) [1,+∞) 解析:要使函数有意义,则有 x-1≥0,即 x≥1, 所以定义域是[1,+∞);当 x-1≥0 时,y= 14 x ≥40=1,即值域是[1,+∞). 2.解:∵1- 1 2 x≥0, ∴ 1 2 x≤1,即 x≥0. ∴函数 y= 1- 1 2 x的定义域为[0,+∞). 令 t= 1 2 x,∴0<t≤1. ∴0≤1-t<1.∴0≤ 1-t<1. ∴y= 1- 1 2 x的值域为[0,1). 活动与探究 3 思路分析:(1)由于①②中的底数相同,因此可直接应用指数函数的单 调性进行比较,而③中的底数不同、指数也不同,可借助中间值来比较大小;(2)先分析函 数 u=2x-1 的单调性,再结合增减函数定义分析 y= 3 5 u 的增减性,确定单调区间. 解:(1)①∵y=1.7x 在 R 上是增函数,且 2.5<3, ∴1.72.5<1.73. ②∵y= 3 4 x 在定义域 R 上是减函数, 且-1.8>-2.6,∴ 3 4 -1.8< 3 4 -2.6. ③(中间量法)由指数函数的性质,知 2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1, ∴2.3-0.28<0.67-3.1. (2)设 u=2x-1, 当 x∈(-∞,+∞)时,u 是增加的, 而在函数 y= 3 5 u 中,由于 0<3 5 <1,所以 y= 3 5 u 是减少的,因此当 x∈(-∞,+∞) 时,f(x)= 3 5 2x-1 是减少的. 即函数的递减区间是(-∞,+∞),无递增区间. 迁移与应用 1.解:(1)由于 0<0.8<1,所以指数函数 y=0.8x 在 R 上为减函数.又因 为-0.1>-0.2,所以 0.8-0.1<0.8-0.2. (2)1.70.3>1,0.93.1<1,所以 1.70.3>0.93.1. (3)当 a>1 时,函数 y=ax 在 R 上是增函数,此时 a1.3<a2.5; 当 0<a<1 时,函数 y=ax 在 R 上是减函数,此时 a1.3>a2.5. 综上,当 a>1 时,a1.3<a2.5; 当 0<a<1 时,a1.3>a2.5. 2.解:若 a>1,则 f(x)在[1,2]上递增, ∴a2+a=6,解得 a=2 或 a=-3(舍去). 若 0<a<1,则 f(x)在[1,2]上递减, ∴a2+a=6,解得 a=2(舍去)或 a=-3(舍去). 综上,a=2. 活动与探究 4 思路分析:因为 y= 1 2 |x|= 1 2 x,x≥0, 2x,x<0, 所以分段画出函数的图像 即可. 解:∵y= 1 2 |x|= 1 2 x,x≥0, 2x,x<0, ∴在平面直角坐标系内画出函数 y= 1 2 x(x≥0)及 y=2x(x<0)的图像.这两段图像合起 来就是所求函数的图像,如下图. 由图像可知所求函数的值域是(0,1],递增区间是(-∞,0],递减区间是[0,+∞). 迁移与应用 1.A 解析:由图像平移知识,可知 y=2x-3 可由 y=2x 向右平移 3 个单位 长度得到,而 y=2x-3-1 可由 y=2x-3 向下平移 1 个单位长度得到,这两个步骤可交换顺序. 2.解:由 x-1=0,ax-1=1 知,当 x=1 时,f(1)=4. 故点 P 的坐标为(1,4). 【当堂检测】 1.B 解析:依题意有 a-1=3, 即1 a =3.所以 a=1 3 . 2.B 解析:因为 y=0.5x 在 R 上是减函数, 又1 2 >1 3 >1 4 , 所以 11 1 32 40.5 <0.5 <0.5 ,即 a<b<c. 3.B 解析:∵ x-1≥0, ∴ 11 3 x     ≤ 1 3 0=1,且 11 3 x     >0. ∴所求值域为(0,1]. 4.右 1 5.解:设 u=|x-1|,当 x∈(-∞,1]时,u 是减少的.y=2u 在 R 上是增函数,因此 f(x)在(-∞,1]上是减少的;当 x∈[1,+∞)时,u 是增加的.y=2u 在 R 上是增函数,因 此 f(x)在[1,+∞)上是增加的,故 f(x)的递增区间是[1,+∞),递减区间是(-∞,1].