高中数学选修1-1课时提升作业十三2-2-2双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质精讲优练课型 9页

温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。 关闭 Word 文档返回原板块。 课时提升作业 十三 双曲线的简单几何性质 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2015·安徽高考)下列双曲线中,焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y=±2x 的 是 ( ) A.x2- =1 B. -y2=1 C. -x2=1 D.y2- =1 【解析】选 C.由题意知,选项 A,B 的焦点在 x 轴上,故排除 A,B,C 项的渐近线方程为 y=±2x. 2.(2016·合肥高二检测)点 P 为双曲线 C1: - =1(a>0,b>0)和圆 C2:x2+y2=a2+b2 的一个交点, 且 2∠PF1F2=∠PF2F1,其中 F1,F2 为双曲线 C1 的两个焦点,则双曲线 C1 的离心率为 ( ) A. B.1+ C. +1 D.2 【解题指南】由题意:PF1⊥PF2,且 2∠PF1F2=∠PF2F1,故∠PF1F2=30°,∠PF2F1= 60°.设|PF2|=m,则|PF1|= m,|F1F2|=2m.由 e= = ,能求出双曲线的离心率. 【解析】选 C.由题意:PF1⊥PF2,且 2∠PF1F2=∠PF2F1, 所以∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°. 设|PF2|=m, 则|PF1|= m, |F1F2|=2m. e= = = = +1. 【补偿训练】双曲线 - =1(a>0,b>0)的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率为 ( ) A.2 B. C. D. 【解析】选 C.依题意 · =-1,所以 a2=b2. 则 e2= = =2,所以 e= . 3.(2016·宁波高二检测)与双曲线 - =1 有共同的渐近线,且经过点(-3,2 )的双曲线 方程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 【解析】选 D.设所求双曲线方程为 - =λ(λ≠0),把(-3,2 )代入方程得 - =λ,所 以λ= . 故双曲线方程为 - = ,即 - =1. 4.设 a>1,则双曲线 - =1 的离心率 e 的取值范围是 ( ) A.( ,2) B.( , ) C.(2,5) D.(2, ) 【解析】选 B.e2= = + +2= +1, 因为 a>1,所以 0< <1,1< +1<2, 所以 21,所以 0,b>0),若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上,AB,CD 的中点为 E 的两个焦点,且 2|AB|=3|BC|,则 E 的离心率是 . 【解题指南】充分利用图象的几何性质,找出矩形一个顶点的坐标,代入曲线方程,便可求得 离心率. 【解析】假设点 A 在左支位于第二象限内,由双曲线和矩形的性质,可得 A ,代入双 曲线方程 - =1, 可得 - =1,所以 e2-1= ,又 e>1,所以可求得 e=2. 答案:2 7.(2016·菏泽高二检测)设 F1,F2 分别为双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点,以线段 F1F2 为直径的圆交双曲线左支于 A,B 两点,且∠AF1B=120°,若双曲线的离心率介于整数 k 与 k+1 之间,则 k= . 【解析】因为以线段 F1F2 为直径的圆交双曲线左支于 A,B 两点,且∠AF1B=120°, 所以△OF1A 是等边三角形, 所以|AF1|=c,|AF2|= c, 所以 2a=|AF2|-|AF1|=( -1)c, 所以 e= = = +1, 因为双曲线的离心率介于整数 k 与 k+1 之间, 所以 k=2. 答案:2 8.(2016·厦门高二检测)设椭圆 C1 的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上 的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为 . 【解析】设椭圆 C1 的方程为 + =1(a1>b1>0), 由已知得 所以 所以焦距为 2c1=10. 又因为 8<10,所以曲线 C2 是双曲线.设其方程为 - =1(a2>0,b2>0), 则 a2=4,c2=5,所以 =52-42=32=9, 所以曲线 C2 的方程为 - =1. 答案: - =1 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.(2016·威海高二检测)已知双曲线的一条渐近线为 x+ y=0,且与椭圆 x2+4y2=64 有相同 的焦距,求双曲线的标准方程. 【解析】椭圆方程为 + =1, 所以椭圆的焦距为 8 . ①当双曲线的焦点在 x 轴上时,设双曲线方程为 - =1(a>0,b>0), 所以 解得 . 所以双曲线的标准方程为 - =1. ②当双曲线的焦点在 y 轴上时,设双曲线方程为 - =1(a′>0,b′>0), 所以 解得 所以双曲线的标准方程为 - =1. 由①②可知,双曲线的标准方程为 - =1 或 - =1. 10.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 ,且过点(4,- ). (1)求此双曲线的方程. (2)若点 M(3,m)在此双曲线上,求证: · =0. 【解析】(1)因为离心率 e= = ,所以 a=b. 设双曲线方程为 x2-y2=n(n≠0), 因为点(4,- )在双曲线上, 所以 n=42-(- )2=6. 所以双曲线方程为 x2-y2=6. (2)因为点 M(3,m)在双曲线上,故 m2=3. 又点 F1(-2 ,0), 点 F2(2 ,0), 所以 · = · =- =-1. 所以 · =0. 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2014·重庆高考)设 F1,F2 分别为双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在 一点 P 使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|= ab,则该双曲线的离心率 为 ( ) A. B. C. D.3 【解析】选 B.由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a,又|PF1|+|PF2|=3b,所以 (|PF1|+|PF2|)2-(|PF1|-|PF2|)2=9b2-4a2,即 4|PF1|·|PF2|=9b2-4a2,又 4|PF1|·|PF2|=9ab,因此 9b2-4a2=9ab,即 9 - -4=0,则 =0,解得 = , 则双曲线的离心率 e= = . 2.(2016·唐山高二检测)设 F1,F2 分别是双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线 右支上存在一点 P 满足|PF2|=|F1F2|,且 cos∠PF1F2= ,则双曲线的渐近线方程为 ( ) A.3x±4y=0 B.4x±3y=0 C.3x±5y=0 D.5x±4y=0 【解题指南】根据|PF2|=|F1F2|,结合双曲线的定义,可得出|PF1|=2a+2c,再由 cos∠PF1F2= ,求出 的值. 【解析】选 B.作 F2Q⊥PF1 于点 Q, 因为|F1F2|=|PF2|,所以点 Q 为 PF1 的中点, 由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a, 所以|PF1|=2a+2c,故|F1Q|=a+c, 因为 cos∠PF1F2= ,所以 =cos∠PF1F2, 即 = ,得 3c=5a, 所以 3 =5a,得 = , 故双曲线的渐近线方程为 y=± x,即 4x±3y=0. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.(2016·深圳高二检测)已知双曲线 an-1y2-anx2=an-1an 的焦点在 y 轴上,一条渐近线方程为 y= x,其中{an}是以 4 为首项的正数数列,则数列{an}的通项公式是 . 【解析】双曲线即: - =1. 因为{an}是以 4 为首项的正数数列,一条渐近线方程为 y= x, 所以 = , =2,所以 an=4·2n-1=2n+1. 答案:an=2n+1 4.(2016·重庆高二检测)设 F1,F2 分别为双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上 存在一点 P 使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为 . 【解析】由双曲线的定义知, (|PF1|-|PF2|)2=4a2, 又(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab, 所以 4a2=b2-3ab, 等号两边同除以 a2, 化简得 -3· -4=0, 解得 =4 或 =-1(舍去), 故离心率 e= = = = = . 答案: 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 5.双曲线 - =1(a>1,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线 l 的距 离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s≥ c,求双曲线离心率 e 的取值范围. 【解析】设直线 l 的方程为 + =1, 即 bx+ay-ab=0. 由点到直线的距离公式,且 a>1,得点(1,0)到直线 l 的距离 d1= ,点(-1,0)到直线 l 的距离 d2= . 所以 s=d1+d2= = . 由 s≥ c,得 ≥ c,即 5a ≥2c2. 因为 e= ,所以 5 ≥2e2, 所以 25(e2-1)≥4e4, 即 4e4-25e2+25≤0, 所以 ≤e2≤5(e>1).所以 ≤e≤ , 即 e 的取值范围为 . 6.(2016·青岛高二检测)已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆 x2+y2=10 相交于点 P(3,-1), 若此圆过点 P 的切线与双曲线的渐近线平行,求此双曲线的方程. 【解析】切点为 P(3,-1)的圆的切线方程为 3x-y=10, 因为双曲线的一条渐近线平行于此切线,且双曲线关于两坐标轴对称. 所以双曲线的渐近线方程为 3x±y=0. 当焦点在 x 轴上时,设双曲线方程为 - =1(a>0,b>0), 则其渐近线方程为 y=± x,即 =3, 则双曲线方程可化为 - =1, 因为双曲线过点 P(3,-1), 所以 - =1,所以 a2= ,b2=80, 所以所求双曲线方程为 - =1. 当焦点在 y 轴上时,设双曲线方程为 - =1(a′>0,b′>0), 则渐近线方程为 y=± x,即 =3, 则双曲线方程可化为 - =1, 因为双曲线过点 P(3,-1), 所以 - =1,得- =1,无解. 综上可知所求双曲线方程为 - =1. 【一题多解】切点为 P(3,-1)的圆的切线方程为 3x-y=10. 因为双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称. 所以双曲线的两条渐近线方程为 3x±y=0, 设所求的双曲线方程为 9x2-y2=λ(λ≠0), 因为点 P(3,-1)在所求双曲线上,所以λ=80. 所以所求双曲线方程为 - =1. 关闭 Word 文档返回原板块