河北省张家口市2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷 Word版含解析 21页

- 1 - 2020-2021学年第一学期阶段测试卷 高二数学 第Ⅰ卷（选择题 共 60分） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 命题 p： x R  ， 2 1 3x x  ，则 p 是（ ） A. x R  ， 2+1 3x x B. x R  ， 2+1 3x x C. x R  ， 2+1 3x x D. x R  ， 2+1 3x x 【答案】C 【解析】 【分析】 由特称命题的否定为全称命题，全称命题的否定为特称命题，判断即可得解. 【详解】由全称命题的否定为特称命题可得： 命题 p： x R  ， 2 1 3x x  ， 则 p 是 x R  ， 2+1 3x x； 故选：C. 2. 直线 1ax by  与圆 2 2 1x y  有两个公共点，那么点  ,a b 与圆 2 2+ 1x y  的位置关系 是（ ） A. 点在圆外 B. 点在圆内 C. 点在圆上 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】 直线 1ax by  与圆 2 2 1x y  有两个公共点，可得 | | 2 2 1 1 a b   ，即为 2 2 1a b  ， 由此可得点与圆的位置关系． 【详解】因为直线 1ax by  与圆 2 2 1x y  有两个公共点， - 2 - 所以有 | | 2 2 1 1 a b   ， 即 2 2 1a b  ， 因为点 ( , )b a 与 2 2 1x y  的圆心的距离为 2 2a b ， 圆 2 2 4x y  的半径为 1，所以点 P在圆外. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将直线与圆的位置关系的判断式和点与圆的关系的判断 式联系起来. 3. 椭圆 E： 2 2 1 16 4 x y   的左焦点为 1F，过 1F的直线交椭圆于 ,A B两点，则 2ABF 的周长 为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】 利用椭圆的定义求解. 【详解】如图所示： 由椭圆的定义得： 1 2 1 22 8, 2 8AF AF a BF BF a      , 则 2ABF 的周长为 2 2 4 16AB AF BF a    . 故选：D 4. 已知“0 m t  ”是“ 2 2 2 2 2 3 0x y mx y m     ”表示圆的必要不充分条件，则实数 - 3 - t的取值范围是（ ） A. [1, ) B. ( 1, )  C. ( ,1) D. ( , 1)  【答案】A 【解析】 【分析】 求出 2 2 2 2 2 3 0x y mx y m     表示圆的充要条件，然后可判断出答案. 【详解】若 2 2 2 2 2 3 0x y mx y m     表示圆，则 2 2(2 ) ( 2 2) 12 0m m    ， 即 8 8 0m   ，解得0 1m  . “0 m t  ”是“ 2 2 2 2 2 3 0x y mx y m     ”表示圆的必要不充分条件， 所以实数 t的取值范围是[1, ) . 故选：A 5. 已知椭圆M 的焦点为椭圆 N ： 2 2 1 4 x y  在长轴上的顶点，且椭圆M 经过  3,1 ，则M 的方程为（ ） A. 2 2 1 6 2 y x   B. 2 2 1 6 2 x y   C. 2 2 1 5 x y  D. 2 23 1 12 4 x y   【答案】B 【解析】 【分析】 可求出椭圆 M的焦点坐标，再设出椭圆标准方程，代入条件求解. 【详解】椭圆 N在长轴上的顶点为  2,0 ，故椭圆 M的焦点为  2,0 ，设椭圆 M的方程为   2 2 2 2 1 0x y m n m n     ， 由题意得， 2 2 4m n  ，  2 2 3 1 1 0m n m n     ， 解得： 2 26, 2m n  ， - 4 - 所以M 的方程为 2 2 1 6 2 x y   ， 故选：B 【点睛】求椭圆的标准方程有两种方法： ①定义法：根据椭圆的定义，确定 a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． ②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出 a，b；若焦 点位置不明确，则需要分焦点在 x轴上和 y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为 Ax2＋By2 ＝1(A>0，B>0，A≠B)． 6. 若点  1, 1P   为圆 2 2 6 0x y x   的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为 （ ） A. 2 3 0x y   B. 2 1 0x y   C. 2 3 0x y   D. 2 1 0x y   【答案】D 【解析】 【分析】 连接圆心与弦中点，根据垂径定理的逆定理得到直线 AP与弦所在的直线垂直，由圆的标准方 程求出圆心 A的坐标，再由弦中点 P的坐标，求出直线 AP的斜率，根据两直线垂直斜率的 乘积为 1 ，求出弦所在直线的斜率，再由弦中点 P的坐标及求出的斜率，写出弦所在直线的 方程即可． 【详解】解：由题意，知圆的标准方程为  2 23 9x y   ，圆心为  3 0A  , . 因为点  1, 1P   为弦MN的中点，所以 AP MN . 又 AP的斜率 1 0 1 1 3 2 k        ，所以直线MN的斜率为 2， 所以弦MN所在直线的方程为  1 2 1y x   ， 即2 1 0x y   . 故选：D 【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，直线 斜率的求法，两直线垂直时斜率满足的关系，以及直线的点斜式方程，解题的关键是连接圆 - 5 - 心与弦中点，根据垂径定理的逆定理得到直线 AP与弦所在的直线垂直． 7. 若过直线3 4 2 0x y   上一点M 向圆C：   2 22 3 4x y    作一条切线切于点T ， 则 MT 的最小值为（ ） A. 10 B. 4 C. 2 2 D. 2 3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，求出圆的圆心与半径，由切线长公式可得 2 2 2| | | | | | 4MT MC r MC    ，当 | |MC 取得最小值时， | |MT 的值最小，由点到直线的距离分析 | |MC 的最小值，进而计算可 得答案． 【详解】根据题意，圆 2 2: ( 2) ( 3) 4C x y    ，其圆心为 ( 2, 3)  ，半径 2r m ， 过点M 向圆C作一条切线切于点T ，则 2 2 2| | | | | | 4MT MC r MC    ， 当 | |MC 取得最小值时， | |MT 的值最小， 而 | |MC 的最小值为点C到直线3 4 2 0x y   的距离，则 | 6 12 2 || | 4 9 16minMC       ， 则 | |MT 的最小值为 16 4 2 3  ， 故选：D 【点睛】方法点睛：解析几何中的最值问题，常用的方法有：（1）函数单调性法；（2）导数 法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.本题利 用的是数形结合的方法求最值的. 8. 已知椭圆   2 2 2 2 1 0x y a b a b     的离心率为 2 5 ，以原点为圆心以椭圆短半轴长为半径的 圆与直线 2 1y x  相切，则 a （ ） A. 2 B. 5 C. 3 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】 - 6 - 由题意可得 2 2 2 1 5 2 5 b ce a a b c             ，解出即可． 【详解】解：由题意有，以原点为圆心以椭圆短半轴长为半径的圆的方程为 2 2 2x y b  ， 直线 2 1y x  的一般式为 2 1 0x y   ， 又椭圆 2 2 2 2 1x y a b   的离心率为 2 5 ， ∴ 2 2 2 1 5 2 5 b ce a a b c             ，解得 1 5 5 2 5 5 a b c           ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查直线与圆的位置关系，属于中档 题． 二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 3分. 9. 若不等式 2x a  成立的充分条件是0 3x  ，则实数 a的取值范围可以是（ ） A. 2a  B. 1a  C. 3 5a  D. 2a  【答案】ABC 【解析】 【分析】 不等式 2x a  解集为  , 2A a   ，由题知  0,3 AÜ ，进而得 1a  ，再结合各选项即 可得答案. 【详解】解：设不等式 2x a  的解集为 A，所以  , 2A a   不等式 2x a  成立的充分条件是0 3x  ， 则  0,3 AÜ ，所以 2 3a  ，即： 1a  . - 7 - 所以实数 a的取值范围为 1, 的真子集均可. 故 A，B，C均正确. 故选：ABC 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若 p是q的必要不充分条件，则q对应集合是 p对应集合的真子集； （2） p是q的充分不必要条件， 则 p对应集合是q对应集合的真子集； （3） p是q的充分必要条件，则 p对应集合与q对应集合相等； （4） p是q的既不充分又不必要条件， q对的集合与 p对应集合互不包含． 10. 若方程 2 2 1 3 1 x y t t     所表示的曲线为椭圆，则下列命题正确的是（ ） A. 该椭圆焦距为 2 2 B. 1 2t  表示焦点在 x轴上的椭圆 C. 离心率为 3 2 时， t的取值为 7 5 或 13 5 D. 焦距为 2 | 2 4 |t  【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据焦点在 x轴和 y轴两种情况分别讨论即可得答案. 【详解】解：由题意知 3 0 1 0 3 1 t t t t          ，解得1 3t  且 2t  ， 若1 2t  ，则方程 2 2 1 3 1 x y t t     表示焦点在 x轴上的椭圆， 此时 2 3a t  ， 2 1b t  ， 所以 2 2 3a t  ，2 2 1b t  ， 2 2 | 2 4 |c t  ； 所以 2 4 2 3 3 4 te t     ，解得 7 5t  ， 若2 3t  ，则方程 2 2 1 3 1 x y t t     表示焦点在 y轴上的椭圆， 此时 2 3b t  ， 2 1a t  ， - 8 - 所以 2 2 3b t  ， 2 2 1a t  ，2 | 2 4 |c t  ， 所以 2 2 4 3 1 4 te t     ，解得 13 5 t  ， 综上，BCD选项正确，A选项错误. 故选：BCD 【点睛】本题解题的关键在于根据题意，分焦点在 x轴和 y轴两种情况分别讨论，考查分类讨 论思想和运算求解能力，是中档题. 11. 设椭圆的方程为 2 2 1 4 x y  ，斜率为 k的直线 l不经过原点O，而且与椭圆相交于 ,A B两 点，M 为线段 AB的中点，下列结论正确的是（ ） A. 直线 AB与OM 垂直 B. 若点M 坐标为  1, 1 ，则直线 l的方程为 4 5 0x y   C. 若直线 l的方程为 1y x  ，则点M 坐标为 33, 4       D. 若直线 l过椭圆焦点，则1 4AB  【答案】BD 【解析】 【分析】 根据直线和椭圆的位置关系，及其相关结论 2 2AB OMk k b a   ，逐个分析判断即可得解. 【详解】对于 A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质， 1 1 4AB OMk k     ，所以 A项不正确； 对于 B项， 1 4ABk  ，所以直线方程为  11 1 4 y x   ， 即 4 5 0x y   ，所以 B项正确； 对于 C项，若直线方程为 1y x  ，点 33, 4 M       ， 则 11 4 4 4AB OMk k      ，所以 C项不正确； - 9 - 对于 D项，椭圆方程 2 2 1 4 x y  的通径长是最短的，最短为 1，最长为长周长， 由于 l有斜率为且不经过原点O，故等号取不到，所以 D正确. 故选：BD 12. 已知曲线C的方程是 2 2( ) ( ) 2 x y x y x y     ，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C与两坐标轴有公共点 B. 曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形 C. 若点 ,P Q在曲线C上，则 PQ 的最大值是 4 2 D. 曲线C围成的面积为8 4 【答案】BCD 【解析】 【分析】 对绝对值里面的正负分类讨论求出方程，作出图象，即可判定 A错误，B正确，结合对称性 判断 C选项，根据图形特征计算面积. 【详解】解：当 0x  ， 0y  时，方程    2 21 1 2x y    ， 当 0x  ， 0y  时，方程    2 21 1 2x y    ， 当 0x  ， 0y  时，方程    2 21 1 2x y    ， 当 0x  ， 0y  时，方程    2 21 1 2x y    ， 作出图象： - 10 - 由于 0x  ， 0y  ，所以 A错误. 曲线C既是中心对称，又是轴对称图形， 对称中心为  0,0 ，对称轴为 ,x y轴，B正确. 点 P，Q在曲线C上，当且仅当 P，Q与圆弧所在的圆心共线时取得最大值， | |PQ 的最大值为圆心距加两个半径 4 2，C正确. 在当 0x  ， 0y  时，    2 21 1 2x y    与坐标轴的交点  2,0M 和  0,2N 平分圆， 故第一象限的面积为 2  ，故总的面积为8 4 . 第Ⅱ卷（非选择题 共 90分） 三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分. 13. 方程 2 2 22 2 1 0x y ax ay a a       表示圆，则 a的取值范围是___________. 【答案】 22, 3      【解析】 【分析】 根据方程 2 2 0x y Dx Ey F     表示圆，由 2 2 4 0D E F   求解. 【详解】方程 2 2 22 2 1 0x y ax ay a a       表示圆， 所以    2 2 22 4 2 1 0a a a a     ， 即 23 4 4 0a a   ， 解得 22 3a   ， 所以 a的取值范围是 22, 3      故答案为： 22, 3      14. 已知 p： 1 2x  ，q：    2 1 0 0x x a a a     ，若 p是q的充分不必要条件，则 实数 a的取值范围为___________. 【答案】 (0,1] - 11 - 【解析】 【分析】 先利用绝对值不等式和一元二次不等式的解法化简命题 p，q，再根据 p是q的充分不必要条 件，由 A B 且 A B 求解. 【详解】 p： 3x  或 1x   ，记  | 3A x x  或 1x   ， q： x a  或 1x a  ，记  |B x x a   或 1x a  ， 因为 p是q的充分不必要条件， 所以 A B 且 A B ， 所以 0 1 1 3 a a a        ， 解得0 1a  , 当 1a  时，满足题意， 所以实数 a的取值范围为是 (0,1] 故答案为： (0,1] 15. 若圆 1O ： 2 2 5x y  与圆 2O ：    2 2 20 0x m y m    相交于 ,A B两点，且两圆在 点 A处的切线互相垂直，则 AB的直线方程为___________. 【答案】 1x   【解析】 【分析】 且两圆在点 A处的切线互相垂直，由 2 2 2 1 2 1 2OO O A O A  求得 m，然后两圆方程相减即可. 【详解】如图所示： - 12 - 连接 1O A， 2O A， 因为圆 1O ，圆 2O ，在点 A处的切线互相垂直， 所以 1 2O A O A ， 所以 2 2 2 1 2 1 2OO O A O A  ，即 2 5 20 25m    ， 所以 5m  ， 所以 2O ：  2 25 20x y   ， 由圆 1O 和圆 2O 的方程相减得： 1x   ， 所以 AB的直线方程为 1x   . 故答案为： 1x   16. 如图，在平面直角坐标系 xOy中， 1B ， 2B 是椭圆 2 2 1 18 9 x y   的短轴端点， P是椭圆上 异于点 1B ， 2B 的一动点，设点Q满足： 1 1QB PB ， 2 2QB PB ，则 1 2PB B△ 与 1 2QB B 的 面积之比为___________. - 13 - 【答案】2 【解析】 【分析】 设  0 0,P x y ，  1 1,Q x y ，联立直线 1QB 、 2QB 的方程求出 2 0 1 0 9yx x   ，再根据  0 0,P x y 在 椭圆 2 2 1 18 9 x y   上，得到 2 2 0 0 9 2 xy    ，所以 0 1 2 xx   ，即得解. 【详解】解：设  0 0,P x y ，  1 1,Q x y ， 直线 1PB 的斜率为 1 0 0 3 PB yk x   ， 由 1 1QB PB ，所以直线 1QB 的斜率为 1 0 0 3QB xk y    ， 于是直线 1QB 的方程为 0 0 3 3 xy x y     ， 同理，直线 2QB 的方程为 0 0 3 3 xy x y     联立两直线方程，消去 y，得 2 0 1 0 9yx x   . 因为  0 0,P x y 在椭圆 2 2 1 18 9 x y   上， 所以 2 2 0 0 1 18 9 x y   ，从而 2 2 0 0 9 2 xy    . 所以 0 1 2 xx   ，所以 1 2 1 2 0 1 | | 2PB B QB B S x S x    . 故答案为：2 【点睛】思路点睛：由题易得 1 2 1 2 0 1 | |PB B QB B S x S x   ，所以即求 0 1 | |x x 的值，要求 0 1 | |x x 的值就要找到 0 1,x x 的关系，首先要求出 1x 的值，所以要联立两直线的方程. 四、解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. - 14 - 17. 已知圆C过两点  2,0A  ，  2,4B 且圆心在直线 2 4 0x y   上. （1）求该圆C的方程； （2）求过点  3,1P 的直线被圆C截得弦长最大时的直线 l的方程. 【答案】（1） 2 2 4 12 0x y x    ；（2） 2 0x y   . 【解析】 【分析】 （1）求出 AB的中垂线，根据 2 2 4 0 y x x y       求出圆心坐标，求出半径即可得解； （2）直线被圆截得的弦长最大时是过圆心的直线，求出直线方程. 【详解】解：（1）因为圆C过两点  2,0A  ，  2,4B ， 设 AB的中点为M ，则  0,2M ， 因为   4 0 1 2 2ABk      ，所以 AB的中垂线方程为  2 ,0y x   ，即 2y x  又因为圆心在直线 2 4 0x y   上， 2 2 4 0 y x x y       解得 2 0 x y    ，圆心  2,0C ， 4r  故圆的方程为 2 2 4 12 0x y x    . （2）因为直线被圆截得的弦长最大时是过圆心的直线，所以直线 l过点C， 由过点 P，C的斜率为 1 0 1 3 2CPk     ， 所以直线 l的方程为 1 3y x   ， 故直线 l的方程为 2 0x y   . 18. 已知椭圆 1C 的中心在坐标原点，焦点在 x轴上，左焦点为  , 0F c ，右顶点为  , 0A a ， 短轴长为 2b，点 E的坐标为  0,c ， EFA△ 的面积为 2 2 b . （1）求椭圆 1C 的离心率； - 15 - （2）若椭圆过 (2, 6)，求椭圆的方程. 【答案】（1） 1 2 ；（2） 2 2 1 12 9 x y   . 【解析】 【分析】 （1）由题意， | |AF a c  ， | |EO c ，再由 EFA△ 的面积可得 2 2c ac b  ，结合 2 2 2a b c  即可求椭圆 1C 的离心率； （2）椭圆 1C 的中心在坐标原点，焦点在 x轴上，设方程为 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     ， 由椭圆的离心率、椭圆过定点及 2 2 2a b c  可求椭圆方程. 【详解】（1）椭圆 1C 的离心率为 ce a  ， 依题意有： | |AF a c  ， | |EO c ， 所以 21 ( )| | | | 2 2 2EFA c a c bS AF EO      ， 即 2 2c ac b  ，又 2 2 2a b c  ， 所以 2 22 0c ac a   ，即 22 1 0e e   ，0 1e  ， 椭圆 1C 的离心率 1 2 e  . （2） 2 2 2 1 4 ce a   ， 2 2 2 11 4 be a    ， 2 2 3 4 b a  椭圆 1C 的中心在坐标原点，焦点在 x轴上， 所以方程为 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     ， 2 2 22 1 3 4 x y aa   ， 22 4 6 1 3 4 aa   ， 2 12a  ， 2 9b  ， 椭圆的方程为 2 2 1 12 9 x y   . - 16 - 【点睛】方法点睛：本题考查椭圆的几何性质，第一问的关键点是由 EFA△ 的面积得出 2 2c ac b  ，然后得到 e的齐次方程，考查椭圆方程的求法，考查运算求解能力. 19. 已知椭圆C： 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     的离心率为 2 2 ，过右焦点 2F 且斜率为 1的直线 l与 圆    2 22 2 2 1x y    相切. （1）求椭圆C的方程； （2） 1F为椭圆的左焦点， P为椭圆上的一点，若 1 2 120PF F  ，求 1 2PF F△ 的面积. 【答案】（1） 2 2 1 2 x y  ；（2） 2 6 3 7  . 【解析】 【分析】 （1）运用椭圆的离心率和 a，b，c的关系，设出直线 l的方程，由直线和圆相切的条件，解 方程可得 c，即可得到椭圆方程； （2）在 1 2PFF 中，运用余弦定理和椭圆的定义，解方程可得 1| |PF ，运用三角形的面积公式， 计算可得所求值． 【详解】解：（1） 2 2 c a  ，可得 2a c ，所以 2 2 2 2b a c c   ， 所以椭圆C的方程可化为 2 2 2 2 1 2 x y c c   . 过椭圆的右焦点且斜率为 1的直线方程为 y x c  ， 此直线与圆    2 22 2 2 1x y    相切， 所以 | 2 2 | 2 22 c   ，解得 1c  ， 所求椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y  . （2）在 1 2PF F△ 中，设 1| |PF m ， 2| |PF n ， 2 2m n  ， 1 2| | 2F F = ， 由余弦定理得， 2 2 4 2 2cos120n m m    ， 2 2 4 2n m m   ， - 17 - 因为 2 2n m  代入上式解得 2 2 2 1 m   ， 所以 1 2PF F△ 面积 1 2 1 1 2 3 2 6 3sin120 2 2 2 2 72 2 1 S m F F          故 1 2PF F△ 的面积为 2 6 3 7  . 【点睛】方法点睛：对于椭圆和双曲线的问题，看到焦半径要马上联想到椭圆双曲线的定义， 利用其定义解题，必要时需借助正弦余弦定理求解. 20. 如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为菱形， AC与 BD交于点G， PB PD . （1）求证：平面 PAC 平面 PBD； （2）若平面PBD 平面 ABCD， 60ABC  ， 2PA AB  ，E为 PD的中点，求二面 角C DE B  的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 15 5 . 【解析】 【分析】 （1）连结 PG，先证明 BD 平面 PAC，进而证明平面 PAC 平面 PBD； （2）由平面PBD 平面 ABCD得PG 平面 ABCD，进而建立空间直角坐标系，用向量的 方法求解即可. 【详解】（1）证明：连结 PG，因为底面 ABCD为菱形， 所以G为 BD的中点， BD AC ， 又PB PD ，所以 BD PG ， - 18 - ,AC PG 平面 PAC， AC PG G  ， 所以 BD 平面 PAC .又 BD 平面 PBD， 所以平面 PAC 平面 PBD . （2）因为平面 PBD 平面 ABCD， BD PG ， 所以 PG 平面 ABCD，又因为 AC BD ， 以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz ， 则  0,0,0G ，  0,0, 3P ，  0,1,0C ，  3,0,0D  ， 3 3,0, 2 2 E        ，  0,1,0GC   ， 3 3, 1, 2 2 CE           ， ( 3, 1,0)CD     设平面 ECD的法向量为  , ,n x y z   ， 则 0 0 n CD n CE         ，即 3 0   3 3 0 2 2 x y x y z           ， 令 3x  ，则 3y   ， 3z   所以取  3, 3, 3n     . 因为CG 平面 PBD，所以取平面 PBD的法向量为  0,1,0GC   . 于是 3 15cos , 515 1 GCGC GC nn n              ， 因为C DE B  为锐角， - 19 - 所以二面角C DE B  的余弦值为 15 5 . 【点睛】方法点睛：本题考查面面垂直与二面角的求解，考查空间思维能力与运算求解能力， 是中档题. 常见的面面的证明方法有：①通过线面垂直得面面垂直；②通过二面角为直二面角求证面面； ③通过空间向量求证； 常见的二面角的求解方法有：①几何法——即找出二面角的平面角，再根据几何关系求解； ②利用空间向量求解. 21. 已知圆C：   2 23 4 25x y    ，点Q的坐标为  2, 2 ，从圆C外一点 P向该圆引切 线 PT ，T 为切点，且 PT PQ . （1）证明：点 P恒在一条定直线上，并求出定直线 l的方程； （2）求直线 l与椭圆 2 2 1 2 yx   上点的最近距离. 【答案】（1）证明见解析； 2 4 0x y   .（2） 5 5 【解析】 【分析】 （1）设  ,P x y ，由切线长求得 PT ，再根据 | | | |PT PQ 求解. （2）设与 l平行的直线为 2 0x y n   ，将直线与椭圆联立，由 0  求得切线方程，再求 得相应切线与直线 l的距离即可. 【详解】（1）设  ,P x y ，由题可得 PT CT ， 所以 2 2 2 2| | | | | | ( 3) ( 4) 25PT PC CT x y       ， ∵ | | | |PT PQ ， ∴ 2 2 2 2( 3) ( 4) 25 ( 2) ( 2)x y x y        ， 整理得 2 4 0x y   ， 所以点 P恒在直线 2 4 0x y   上. （2）设与 l平行的直线为 2 0x y n   ，将直线与椭圆联立， - 20 - 2 2 2 0 2 2 x y n x y       ，化简得 2 29 8 2 2 0y ny n    ，  2 2( 8 ) 4 9 2 2 0n n        ， 解得 3n   ，即当 3n   时直线 2 0x y n   与椭圆相切， 切线与直线 l最近的是 3n  时， 故直线 l与椭圆 2 2 1 2 yx   上点的最近距离为 2 4 0x y   与 2 3 0x y   的距离， | 3 4 | 5 51 4 d     ， 所以直线 l与椭圆 2 2 1 2 yx   上点的最近距离为 5 5 . 22. 已知椭圆C： 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     的右焦点为 F ，离心率为 2 2 e  ，过原点的直线 l （不与坐标轴重合）与C交于 ,A B两点，且 4 2AF BF  . （1）求椭圆C的方程； （2）过 A作 AM x 轴于点M ，连接 BM ，并延长交椭圆C于 N ，证明以线段 BN 为直径 的圆经过点 A . 【答案】（1） 2 2 1 8 4 x y   ；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）设椭圆的左焦点为F ，运用椭圆的对称性和定义，以及离心率公式，解方程可得 a，b， c，可得椭圆方程； （2）设直线 l的斜率为 ( 0)k k  ， 0(A x ， 0 )y ，可得直线 l的方程为 y kx ， 0(B x ， 0 )y ， 0(M x ， 0)，求得直线 BM 的斜率，直线 BM 的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理求得 N 的坐标， 求得 AN的斜率，可得 AN BN ，即可得证． 【详解】解：（1）设椭圆的左焦点为F ， 根据对称性 | | | | | | 4 2 2PF QF PF PF a     ， 2 2a  ， - 21 - 又离心率为 2 2 ce a   ，所以 2c  ， 8 4 2b    所以椭圆C的方程为 2 2 1 8 4 x y   （2）证明：设直线 l的斜率为  0k k  ，   0 0 0, 0A x y x  ， 则直线 l的方程为 y kx ，  0 0,B x y  ，  0 ,0M x ， 直线 BM 的斜率为 0 0 0 0 0 2 2 2 y kx k x x    ， 所以直线 BM 的方程为  02 ky x x  联立   2 2 0 1 8 4 2 x y ky x x         得  2 2 2 2 2 0 02 2 16 0k x k x x k x     记 ,B N 的坐标分别为  ,B BB x y ，  ,N NN x y ， 由韦达定理知 2 0 0 2 2 2B N N k xx x x x k       所以 2 0 02 2 2N k xx x k    ，于是 3 0 2  2N k xy k   ， 所以直线 AN的斜率为 3 0 02 0 2 00 2 12 2 2 N N k x kxy y k k xx x k k       因为 1 1k k         ，所以 AN BN ， 所以以线段BN 为直径的圆经过点 A . 【点睛】方法点睛：求解直线和圆锥曲线的位置关系的问题，通常要把直线和圆锥曲线联立 得到韦达定理，再利用韦达定理去消元求解.