2017—2018 学年度高二上学期期中考试 数学试题（文科） 8页

2017—2018 学年度高二上学期期中考试 数学试题（文科） 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换      yy xx 3 5 后，曲线 C 变为曲线 14 22  yx ，则 曲线 C 的方程为（ ） A. 13625 22  yx B. 11009 22  yx C. 12410 22  yx D. 19 8 25 2 22  yx 2.抛物线 2y ax 的准线方程是 1y   ，则 a 的值为 （ ） A. 4 B. 1 4 C. 2 D. 1 2 3.在极坐标系中，过点（2，π）且与极轴的倾斜角为 4  的直线的极坐标方程是（ ） A． 2)4cos(   B. 2)4cos(   C． 2)4cos(   D． 2)4cos(   4.设点    0, 5 , 0,5M N ， MNP 的周长为36 ，则 MNP 的顶点 P 的轨迹方程为（ ） A.   2 2 1 0169 144 x y y   B.   2 2 1 0169 144 y x x   C.   2 2 1 0169 25 x y y   D.   2 2 1 0169 25 y x x   5.已知双曲线 2 2 19 x y m   的一条渐近线方程为 2 3y x ，则双曲线的焦距为（ ） A. 13 B. 2 13 C. 2 5 D.10 6.若动点  ,x y 在曲线 2 2 14 x y  上运动，则 2x y 的最大值为（ ） A. 2 2 B. 2 C. 2 D. 4 7.在极坐标系中，若点 3, , 3,3 6A B           ，则 AOB (O 为极点)的面积为（ ） A. 3 4 B.3 C. 9 4 D.9 8.已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yE a ba b     的右焦点为  3,0F ，过点 F 的直线交 E 于 ,A B 两点， 若 AB 的中点坐标为 1, 1 ，则 E 的方程为（ ） A. 2 2 145 36 x y  B. 2 2 136 27 x y  C. 2 2 127 18 x y  D. 2 2 118 9 x y  9.已知 1 2,F F 分别是双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的左、右焦点，过点 1F 作垂直于 x 轴的 直线交双曲线于 ,A B 两点，若 2ABF 为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是 （ ） A. 1 2,1 2  B. 1 2,  C. 1,1 2 D. 2, 2 1 10.已知 ,A B 两点均在焦点为 F 的抛物线  2 2 0y px p  上，若 4AF BF  ，线段 AB 的中点到直线 2 px  的距离为 1，则 p 的值为（ ） A.1 B.1 或 3 C.2 D.2 或 6 11.已知 P 是椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     上的点， 1 2,F F 分别是椭圆的两个焦点，椭圆的半焦 距为 c ，则 1 2PF PF 的最大值与最小值之差一定是（ ） A.1 B. 2a C. 2b D. 2c 12.已知点 A 是抛物线 2 4x y 的对称轴与准线的交点，点 B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上 且满足 PA m PB ，当 m 取最大值时，点 P 恰好在以 ,A B 为焦点的双曲线上，则双曲线的 离心率为（ ） A. 2 1 B. 5 1 C. 2 1 2  D. 5 1 2  二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上.） 13.在极坐标系中，以点 1 ,2 2      为圆心， 1 2 为半径的圆的极坐标方程是 14.函数 223)( abxaxxxf  在 1x 处有极值 10，则 a ， b 15.已知 M 是抛物线 2 4x y 上一点， F 为其焦点，点 A 在圆    2 2: 1 5 1C x y    上， 则 MA MF 的最小值是 16.若等轴双曲线C 的左、右顶点 ,A B 分别为椭圆   2 2 2 1 01 x y aa    的左、右焦点，点 P 是双曲线上异于 ,A B 的点，直线 ,PA PB 的斜率分别为 1 2,k k ，则 1 2k k  三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 10 分） 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程 为 cos 13       ， ,M N 分别为C 与 x 轴、 y 轴的交点. （Ⅰ）写出C 的直角坐标方程，并求 ,M N 的极坐标； （Ⅱ）设 MN 的中点为 P ，求直线OP 的极坐标方程. 18. （本小题满分 12 分） 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是 22 2 2 2 x t y t      （ t 为参数），以原点 O 为极点， 以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 4 2 cos 4       . （Ⅰ）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与圆C 相交于 ,A B 两点，点 P 的坐标为  2,0 ，试求 1 1 PA PB  的值. 19.（本小题满分 12 分） 设函数 )0(13)( 23  kxkxxf ． （Ⅰ）求函数 )(xf 的单调区间； （Ⅱ）若函数 )(xf 的极小值大于 0，求 k 的取值范围． 20.（本小题满分 12 分） 已知 )(xf 是二次函数， )(xf  是它的导函数，且对任意的 2)1()(, xxfxfRx  恒成立． （Ⅰ）求 )(xf 的解析表达式； （Ⅱ）设 0t ，曲线 C： )(xfy  在点 ))(,( tftP 处的切线为l ，l 与坐标轴围成的三角形面 积为 )(tS ．求 )(tS 的最小值． 21.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C 的两个焦点分别为    1 21,0 , 1,0F F ，短轴的两个端点分别为 1 2,B B . （Ⅰ）若 1 1 2F B B 为等边三角形，求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若椭圆 C 的短轴长为 2 ，过点 2F 的直线l 与椭圆C 相交于 ,P Q 两点，且 1 1F P FQ  ， 求直线l 的方程. 22.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 :C   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的离心率为 3 2 ，以原点为圆心，椭圆 C 的短半轴长为半 径的圆与直线 2 0x y   相切.A、B 是椭圆的左、右顶点，直线l 过 B 点且与 x 轴垂直. （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）设 G 是椭圆 C 上异于 A、B 的任意一点，作 GH x 轴于点 H，延长 HG 到点 Q 使得 HG GQ ，连接 AQ 并延长交直线l 于点 M，N 为线段 MB 的中点，判断直线 QN 与以 AB 为直 径的圆 O 的位置关系，并证明你的结论. 数学试题评分标准（文） 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D B B A C D C B D A 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上.） 13. sin  14. 11,4 15. 5 16. 1 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 10 分） 解析：（Ⅰ）曲线 C 的直角坐标方程为 3 2 0x y   ……3 分 当 0  时， 2  ，所以  2,0M ……4 分 当 2   时， 2 3 3   ，所以 2 3 ,3 2N       ……5 分 （Ⅱ）点 ,M N 的直角坐标分别为   2 32,0 , 0, 3M N       点 P 的直角坐标为 31, 3       则 P 点的极坐标为 2 3 ,3 6       直线OP 的极坐标方程为  6 R   ……10 分 18.（本小题满分 12 分） 解析：（Ⅰ）圆 C 的方程可化为 4cos 4sin    ，即 2 4 cos 4 sin      圆 C 的直角坐标方程为 2 2 4 4 0x y x y    ……4 分 （Ⅱ）把直线l 的参数方程与圆 C 的直角坐标方程联立， 可得： 2 2 2 4 0t t   ……6 分 设点 A、B 对应的参数分别为 1 2,t t ，则 1 2 1 22 2, 4t t t t     ……8 分  2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 41 1 1 1 6 2 t t t tt t PA PB t t t t t t         ……12 分 19.（本小题满分 12 分） 解析：（I）当 k=0 时，f（x）=﹣3x2+1 ∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，0]，单调减区间[0，+∞）．……2 分 当 k＞0 时，f'（x）=3kx2﹣6x=3kx（x﹣ ） ∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，0]，[ ，+∞），单调减区间为[0， ]． ……6 分 （II）当 k=0 时，函数 f（x）不存在最小值． ……7 分 当 k＞0 时，依题意 f（ ）= ﹣ +1＞0， ……9 分 即 k2＞4， ……11 分 由条件 k＞0，所以 k 的取值范围为（2，+∞） ……12 分 20.（本小题满分 12 分） 解析：（I）设 f（x）=ax2+bx+c（其中 a≠0）， 则 f'（x）=2ax+b，f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+c=ax2+（2a+b）x+a+b+c． 由已知，得 2ax+b=（a+1）x2+（2a+b）x+a+b+c， ∴ ， 解之，得 a=﹣1，b=0，c=1， ∴f（x）=﹣x2+1． ……4 分 （II）由（I）得，P（t，1﹣t2），切线 l 的斜率 k=f'（t）=﹣2t， ∴切线 l 的方程为 y﹣（1﹣t2）=﹣2t（x﹣t），即 y=﹣2tx+t2+1．……6 分 从而 l 与 x 轴的交点为 ，l 与 y 轴的交点为 B（0，t2+1）， ∴ （其中 t＞0）． ……8 分 ∴ ． ……10 分 当 时，S'（t）＜0，S（t）是减函数； 当 时，S'（t）＞0，S（t）是增函数． ∴ ． ……12 分 21.（本小题满分 12 分） 解析：（Ⅰ）设椭圆 C 的方程为   2 2 2 2 1 0x y a ba b     由题意知 2 2 2 1 a b a b     解得 2 24 1,3 3a b  故椭圆 C 的方程为 2 2 14 1 3 3 x y  ……4 分 （II）由题意知椭圆 C 的方程为 2 2 12 x y  当直线l 的斜率不存在时，其方程为 1x  ，不符合题意； ……5 分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为  1y k x  由   2 2 1 12 y k x x y     得   2 2 2 22 1 4 2 1 0k x k x k     ……7 分 设    1 1 2 2, , ,P x y Q x y ，则  22 1 2 1 22 2 2 14 ,2 1 2 1 kkx x x xk k         1 1 1 1 2 21, , 1,F P x y FQ x y      1 1 1 1 0F P FQ F P FQ        即        2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 7 11 1 1 1 1 02 1 kx x y y k x x k x x k k             解得： 2 1 7k  ，即 7 7k   ……11 分 故直线l 的方程为 7 1 0x y   或 7 1 0x y   ……12 分 22.（本小题满分 12 分） 解析：（Ⅰ）由题意： O 到直线 2 0x y   的距离为b ，则 1b  23 42e a   椭圆 C 的标准方程为 2 2 14 x y  ……4 分 （Ⅱ）设  0 0,G x y ，则  0 0,2Q x y  2,0A  直线 AQ 的方程为  0 0 2 22 yy xx   ……6 分 与 2x  联立得： 0 0 82, 2 yM x      0 0 42, 2 yN x      则直线QN 的方程为   0 0 0 0 0 0 4 222 2 y yxy y x xx    ……8 分 即  2 0 0 0 02 4 8 0x y x x y y    2 20 0 14 x y  方程可化为 0 02 4 0x x y y   ……10 分  0,0 到直线QN 的距离为 2 2 0 0 4 2 4x y   故直线QN 与以 AB 为直径的圆 O 相切. ……12 分