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  • 2021-06-16 发布

高中数学人教a版必修四课时训练:1.3 三角函数的诱导公式(一)

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§1.3 三角函数的诱导公式(一) 课时目标 1.借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程.2.运用所学四组公式进 行求值、化简与证明. 1.设α为任意角,则π+α,-α,π-α的终边与α的终边之间的对称关系. 相关角 终边之间的对称关系 π+α与α 关于________对称 -α与α 关于________对称 π-α与α 关于________对称 2.诱导公式一~四 (1)公式一:sin(α+2kπ)=__________,cos(α+2kπ)=________,tan(α+2kπ)=________,其 中 k∈Z. (2)公式二:sin(π+α)=______,cos(π+α)=________,tan(π+α)=________. (3)公式三:sin(-α)=________,cos(-α)=________,tan(-α)=________. (4)公式四:sin(π-α)=________,cos(π-α)=________,tan(π-α)=________. 一、选择题 1.sin 585°的值为( ) A.- 2 2 B. 2 2 C.- 3 2 D. 3 2 2.若 n 为整数,则代数式sinnπ+α cosnπ+α 的化简结果是( ) A.±tan α B.-tan α C.tan α D.1 2tan α 3.若 cos(π+α)=-1 2 ,3 2π<α<2π,则 sin(2π+α)等于( ) A.1 2 B.± 3 2 C. 3 2 D.- 3 2 4.tan(5π+α)=m,则sinα-3π+cosπ-α sin-α-cosπ+α 的值为( ) A.m+1 m-1 B.m-1 m+1 C.-1 D.1 5.记 cos(-80°)=k,那么 tan 100°等于( ) A. 1-k2 k B.- 1-k2 k C. k 1-k2 D.- k 1-k2 6.若 sin(π-α)=log8 1 4 ,且α∈ -π 2 ,0 ,则 cos(π+α)的值为( ) A. 5 3 B.- 5 3 C.± 5 3 D.以上都不对 二、填空题 7.已知 cos(π 6 +θ)= 3 3 ,则 cos(5π 6 -θ)=________. 8.三角函数式 cosα+πsin2α+3π tanα+πcos3-α-π 的化简结果是______. 9.代数式 1+2sin 290°cos 430° sin 250°+cos 790° 的化简结果是______. 10.设 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+2,其中 a、b、α、β为非零常数.若 f(2 009)=1, 则 f(2 010)=____. 三、解答题 11.若 cos(α-π)=-2 3 ,求sinα-2π+sin-α-3πcosα-3π cosπ-α-cos-π-αcosα-4π 的值. 12.已知 sin(α+β)=1,求证:tan(2α+β)+tan β=0. 能力提升 13.化简:sin[k+1π+θ]·cos[k+1π-θ] sinkπ-θ·coskπ+θ (其中 k∈Z). 14.在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B), 3cos A=- 2cos(π-B),求△ABC 的三 个内角. 1.明确各诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将角转化为 0~2π求值 公式二 将 0~2π内的角转化为 0~π之间的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将角转化为 0~π 2 求值 2.诱导公式的记忆 这组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变,符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名 称一致,符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角,只是公式 记忆的方便,实际上α可以是任意角. §1.3 三角函数的诱导公式(一) 答案 知识梳理 1.原点 x 轴 y 轴 2.(1)sin α cos α tan α (2)-sin α -cos α tan α (3)-sin α cos α -tan α (4)sin α -cos α -tan α 作业设计 1.A 2.C 3.D [由 cos(π+α)=-1 2 ,得 cos α=1 2 , ∴sin(2π+α)=sin α=- 1-cos2 α=- 3 2 (α为第四象限角).] 4.A [原式=sin α+cos α sin α-cos α =tan α+1 tan α-1 =m+1 m-1 .] 5.B [∵cos(-80°)=k,∴cos 80°=k, ∴sin 80°= 1-k2.∴tan 80°= 1-k2 k . ∴tan 100°=-tan 80°=- 1-k2 k .] 6.B [∵sin(π-α)=sin α=log2 2-2 3 =-2 3 , ∴cos(π+α)=-cos α=- 1-sin2 α=- 1-4 9 =- 5 3 .] 7.- 3 3 8.tan α 解析 原式= -cos α·sin2α tan α·cos3α+π =-cos α·sin2α -tan α·cos3α =cos α·sin2α sin α·cos2α =sin α cos α =tan α. 9.-1 解析 原式= 1+2sin180°+110°·cos360°+70° sin180°+70°+cos720°+70° = 1-2sin 110°cos 70° -sin 70°+cos 70° = 1-2sin 70°cos 70° cos 70°-sin 70° =|sin 70°-cos 70°| cos 70°-sin 70° =sin 70°-cos 70° cos 70°-sin 70° =-1. 10.3 解析 f(2 009)=asin(2 009π+α)+bcos(2 009π+β)+2 =asin(π+α)+bcos(π+β)+2 =2-(asin α+bcos β)=1, ∴asin α+bcos β=1, f(2 010)=asin(2 010π+α)+bcos(2 010π+β)+2 =asin α+bcos β+2=3. 11.解 原式=-sin2π-α-sin3π+αcos3π-α -cos α--cos αcos α =sin α-sin αcos α -cos α+cos2α = sin α1-cos α -cos α1-cos α =-tan α. ∵cos(α-π)=cos(π-α)=-cos α=-2 3 , ∴cos α=2 3.∴α为第一象限角或第四象限角. 当α为第一象限角时,cos α=2 3 , sin α= 1-cos2α= 5 3 ,∴tan α=sin α cos α = 5 2 ,∴原式=- 5 2 . 当α为第四象限角时,cos α=2 3 , sin α=- 1-cos2α=- 5 3 ,∴tan α=sin α cos α =- 5 2 ,∴原式= 5 2 . 综上,原式=± 5 2 . 12.证明 ∵sin(α+β)=1, ∴α+β=2kπ+π 2 (k∈Z), ∴α=2kπ+π 2 -β (k∈Z). tan(2α+β)+tan β=tan 2 2kπ+π 2 -β +β +tan β =tan(4kπ+π-2β+β)+tan β =tan(4kπ+π-β)+tan β =tan(π-β)+tan β =-tan β+tan β=0, ∴原式成立. 13.解 当 k 为偶数时,不妨设 k=2n,n∈Z,则 原式=sin[2n+1π+θ]·cos[2n+1π-θ] sin2nπ-θ·cos2nπ+θ =sinπ+θ·cosπ-θ -sin θ·cos θ =-sin θ·-cos θ -sin θ·cos θ =-1. 当 k 为奇数时,设 k=2n+1,n∈Z,则 原式=sin[2n+2π+θ]·cos[2n+2π-θ] sin[2n+1π-θ]·cos[2n+1π+θ] =sin[2n+1π+θ]·cos[2n+1π-θ] sinπ-θ·cosπ+θ = sin θ·cos θ sin θ·-cos θ =-1. ∴上式的值为-1. 14.解 由条件得 sin A= 2sin B, 3cos A= 2cos B, 平方相加得 2cos2A=1,cos A=± 2 2 , 又∵A∈(0,π),∴A=π 4 或3 4π. 当 A=3 4π时,cos B=- 3 2 <0,∴B∈ π 2 ,π , ∴A,B 均为钝角,不合题意,舍去. ∴A=π 4 ,cos B= 3 2 ,∴B=π 6 ,∴C= 7 12π.