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- 2021-06-16 发布
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§1.3 三角函数的诱导公式(一)
课时目标 1.借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程.2.运用所学四组公式进
行求值、化简与证明.
1.设α为任意角,则π+α,-α,π-α的终边与α的终边之间的对称关系.
相关角 终边之间的对称关系
π+α与α 关于________对称
-α与α 关于________对称
π-α与α 关于________对称
2.诱导公式一~四
(1)公式一:sin(α+2kπ)=__________,cos(α+2kπ)=________,tan(α+2kπ)=________,其
中 k∈Z.
(2)公式二:sin(π+α)=______,cos(π+α)=________,tan(π+α)=________.
(3)公式三:sin(-α)=________,cos(-α)=________,tan(-α)=________.
(4)公式四:sin(π-α)=________,cos(π-α)=________,tan(π-α)=________.
一、选择题
1.sin 585°的值为( )
A.- 2
2 B. 2
2 C.- 3
2 D. 3
2
2.若 n 为整数,则代数式sinnπ+α
cosnπ+α
的化简结果是( )
A.±tan α B.-tan α
C.tan α D.1
2tan α
3.若 cos(π+α)=-1
2
,3
2π<α<2π,则 sin(2π+α)等于( )
A.1
2 B.± 3
2 C. 3
2 D.- 3
2
4.tan(5π+α)=m,则sinα-3π+cosπ-α
sin-α-cosπ+α
的值为( )
A.m+1
m-1
B.m-1
m+1
C.-1 D.1
5.记 cos(-80°)=k,那么 tan 100°等于( )
A. 1-k2
k
B.- 1-k2
k
C. k
1-k2 D.- k
1-k2
6.若 sin(π-α)=log8
1
4
,且α∈ -π
2
,0 ,则 cos(π+α)的值为( )
A. 5
3 B.- 5
3
C.± 5
3 D.以上都不对
二、填空题
7.已知 cos(π
6
+θ)= 3
3
,则 cos(5π
6
-θ)=________.
8.三角函数式 cosα+πsin2α+3π
tanα+πcos3-α-π
的化简结果是______.
9.代数式 1+2sin 290°cos 430°
sin 250°+cos 790°
的化简结果是______.
10.设 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+2,其中 a、b、α、β为非零常数.若 f(2 009)=1,
则 f(2 010)=____.
三、解答题
11.若 cos(α-π)=-2
3
,求sinα-2π+sin-α-3πcosα-3π
cosπ-α-cos-π-αcosα-4π
的值.
12.已知 sin(α+β)=1,求证:tan(2α+β)+tan β=0.
能力提升
13.化简:sin[k+1π+θ]·cos[k+1π-θ]
sinkπ-θ·coskπ+θ (其中 k∈Z).
14.在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B), 3cos A=- 2cos(π-B),求△ABC 的三
个内角.
1.明确各诱导公式的作用
诱导公式 作用
公式一 将角转化为 0~2π求值
公式二 将 0~2π内的角转化为 0~π之间的角求值
公式三 将负角转化为正角求值
公式四 将角转化为 0~π
2
求值
2.诱导公式的记忆
这组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变,符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名
称一致,符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角,只是公式
记忆的方便,实际上α可以是任意角.
§1.3 三角函数的诱导公式(一)
答案
知识梳理
1.原点 x 轴 y 轴
2.(1)sin α cos α tan α (2)-sin α -cos α tan α (3)-sin α cos α -tan α (4)sin α
-cos α -tan α
作业设计
1.A 2.C
3.D [由 cos(π+α)=-1
2
,得 cos α=1
2
,
∴sin(2π+α)=sin α=- 1-cos2 α=- 3
2 (α为第四象限角).]
4.A [原式=sin α+cos α
sin α-cos α
=tan α+1
tan α-1
=m+1
m-1
.]
5.B [∵cos(-80°)=k,∴cos 80°=k,
∴sin 80°= 1-k2.∴tan 80°= 1-k2
k
.
∴tan 100°=-tan 80°=- 1-k2
k
.]
6.B [∵sin(π-α)=sin α=log2 2-2
3
=-2
3
,
∴cos(π+α)=-cos α=- 1-sin2 α=- 1-4
9
=- 5
3 .]
7.- 3
3
8.tan α
解析 原式= -cos α·sin2α
tan α·cos3α+π
=-cos α·sin2α
-tan α·cos3α
=cos α·sin2α
sin α·cos2α
=sin α
cos α
=tan α.
9.-1
解析 原式= 1+2sin180°+110°·cos360°+70°
sin180°+70°+cos720°+70°
= 1-2sin 110°cos 70°
-sin 70°+cos 70°
= 1-2sin 70°cos 70°
cos 70°-sin 70°
=|sin 70°-cos 70°|
cos 70°-sin 70°
=sin 70°-cos 70°
cos 70°-sin 70°
=-1.
10.3
解析 f(2 009)=asin(2 009π+α)+bcos(2 009π+β)+2
=asin(π+α)+bcos(π+β)+2
=2-(asin α+bcos β)=1,
∴asin α+bcos β=1,
f(2 010)=asin(2 010π+α)+bcos(2 010π+β)+2
=asin α+bcos β+2=3.
11.解 原式=-sin2π-α-sin3π+αcos3π-α
-cos α--cos αcos α
=sin α-sin αcos α
-cos α+cos2α
= sin α1-cos α
-cos α1-cos α
=-tan α.
∵cos(α-π)=cos(π-α)=-cos α=-2
3
,
∴cos α=2
3.∴α为第一象限角或第四象限角.
当α为第一象限角时,cos α=2
3
,
sin α= 1-cos2α= 5
3
,∴tan α=sin α
cos α
= 5
2
,∴原式=- 5
2 .
当α为第四象限角时,cos α=2
3
,
sin α=- 1-cos2α=- 5
3
,∴tan α=sin α
cos α
=- 5
2
,∴原式= 5
2 .
综上,原式=± 5
2 .
12.证明 ∵sin(α+β)=1,
∴α+β=2kπ+π
2 (k∈Z),
∴α=2kπ+π
2
-β (k∈Z).
tan(2α+β)+tan β=tan 2 2kπ+π
2
-β +β +tan β
=tan(4kπ+π-2β+β)+tan β
=tan(4kπ+π-β)+tan β
=tan(π-β)+tan β
=-tan β+tan β=0,
∴原式成立.
13.解 当 k 为偶数时,不妨设 k=2n,n∈Z,则
原式=sin[2n+1π+θ]·cos[2n+1π-θ]
sin2nπ-θ·cos2nπ+θ
=sinπ+θ·cosπ-θ
-sin θ·cos θ
=-sin θ·-cos θ
-sin θ·cos θ
=-1.
当 k 为奇数时,设 k=2n+1,n∈Z,则
原式=sin[2n+2π+θ]·cos[2n+2π-θ]
sin[2n+1π-θ]·cos[2n+1π+θ]
=sin[2n+1π+θ]·cos[2n+1π-θ]
sinπ-θ·cosπ+θ
= sin θ·cos θ
sin θ·-cos θ
=-1.
∴上式的值为-1.
14.解 由条件得 sin A= 2sin B, 3cos A= 2cos B,
平方相加得 2cos2A=1,cos A=± 2
2
,
又∵A∈(0,π),∴A=π
4
或3
4π.
当 A=3
4π时,cos B=- 3
2 <0,∴B∈
π
2
,π ,
∴A,B 均为钝角,不合题意,舍去.
∴A=π
4
,cos B= 3
2
,∴B=π
6
,∴C= 7
12π.
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