高中数学人教版选修1-2课时提升作业十3-2-1复数代数形式的加减运算及其几何意义word版含答案 8页

温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。 关闭 Word 文档返回原板块。 课时提升作业 十 复数代数形式的加、减运算及其几何意义 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2016·太原高二检测)已知 A,B,C 是复平面内的三个不同点,点 A,B 对应的复数分别是 -2+3i,-i,若 = ,则点 C 表示的复数是 ( ) A.-2+2i B.-2+4i C.-1+i D.-1+2i 【解析】选 C.设 C 表示的复数为 x+yi,点 A,B 对应的复数分别是-2+3i,-i, =(x+2,y-3), =(-x,-1-y). 因为 = , 所以 x+2=-x,y-3=-1-y, 解得 x=-1,y=1. 点 C 表示的复数是-1+i. 2.(2016·昆明高二检测)实数 x,y 满足 z1=y+xi,z2=yi-x,且 z1-z2=2,则 xy 的值是 ( ) A.1 B.2 C.-2 D.-1 【解析】选 A.z1-z2=x+y+(x-y)i=2, ⇒ ⇒xy=1. 3.(2016·西宁高二检测)在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,若向量 , 对应的复数分别是 3+i,-1+3i,则 对应的复数是 ( ) A.2+4i B.-2+4i C.-4+2i D.4-2i 【解析】选 D.依题意有 = = - , 而(3+i)-(-1+3i)=4-2i, 即 对应的复数为 4-2i. 【补偿训练】(2016·武汉高二检测)在复平面上的平行四边形 ABCD 中, 对应的复数是 6+8i, 对应的复数是-4+6i,则 对应的复数是 ( ) A.2+14i B.1+7i C.2-14i D.-1-7i 【解析】选 D.由平行四边形法则可得 解得 =(1,7), 所以 =(-1,-7),所以 对应的复数是-1-7i. 4.设 f(z)=|z|,z1=3+4i,z2=-2-i,则 f(z1-z2)= ( ) A. B.5 C. D.5 【解析】选 D.因为 z1-z2=5+5i, 所以 f(z1-z2)=f(5+5i)=|5+5i|=5 . 【补偿训练】复数 z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数 a,b 的值为 ( ) A.a=-3,b=-4 B.a=-3,b=4 C.a=3,b=-4 D.a=3,b=4 【解析】选 A.由题意可知 z1+z2=(a-3)+(b+4)i 是实数,z1-z2=(a+3)+(4-b)i 是纯虚数,故 解得 a=-3,b=-4. 5.设复数 z 满足关系式 z+|z|=2+i,那么 z= ( ) A.- +i B. -i C.- -i D. +i 【解析】选 D.设 z=x+yi(x,y∈R), 则 x+yi+ =2+i, 因此有 解得 故 z= +i. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.已知|z|=4,且 z+2i 是实数,则复数 z=________. 【解析】因为 z+2i 是实数,可设 z=a-2i(a∈R), 由|z|=4 得 a2+4=16, 所以 a2=12,所以 a=±2 , 所以 z=±2 -2i. 答案:±2 -2i 7.(2016·成都高二检测)已知|z|=3,且 z+3i 是纯虚数,则 z=________. 【解析】设 z=a+bi(a,b∈R), 因为|z|=3,所以 a2+b2=9. 又 z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数, 所以 即 又 a2+b2=9,所以 a=0,b=3,所以 z=3i. 答案:3i 8.复数 z1,z2 分别对应复平面内的点 M1,M2,且|z1+z2|=|z1-z2|,线段 M1M2 的中点 M 对应的复数为 4+3i,则|z1|2+|z2|2=________. 【解题指南】利用复数加减法的几何意义解题. 【解析】根据复数加减法的几何意义,由|z1+z2|=|z1-z2|知,以 , 为邻边的平行四 边形是矩形(对角线相等),即∠M1OM2 为直角,M 是斜边 M1M2 的中点, | |= =5,| |=10. |z1|2+|z2|2=| |2+| |2=| |2=100. 答案:100 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.计算: (1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i). (2)5i-. 【解析】(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i) =(1+3-5)+(2-4-6)i=-1-8i. (2)5i-=5i-(4+i)=-4+4i. 10.已知 z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R),设 z=z1-z2=13-2i,求 z1,z2. 【解析】z=z1-z2 =(3x+y)+(y-4x)i- =+i =(5x-3y)+(x+4y)i, 又因为 z=13-2i,且 x,y∈R, 所以 解得 所以 z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i, z2=4×(-1)-2×2-i=-8-7i. 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2016·福州高二检测)已知复数 z1=(a2-2)-3ai,z2=a+(a2+2)i,若 z1+z2 是纯虚数,那么实数 a 的值为 ( ) A.1 B.2 C.-2 D.-2 或 1 【解析】选 C.由 z1+z2=a2-2+a+(a2-3a+2)i 是纯虚数,得 ⇒a=-2. 【误区警示】解答本题时,易将虚数与纯虚数的概念相混淆而导致错误. 2.设复数 z 满足|z-3-4i|=1,则|z|的最大值是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】选 D.因为|z-3-4i|=1,所以复数 z 所对应点在以 C(3,4)为圆心,半径为 1 的圆上, 由几何性质得|z|的最大值是 +1=6. 【一题多解】选 D.设 z=x+yi(x,y∈R), 所以 z-3-4i=(x+yi)-(3+4i)=(x-3)+(y-4)i,又|z-3-4i|=1, 所以(x-3)2+(y-4)2=1, 设 x=3+cosθ,y=4+sinθ, 则|z|= = = = (其中 sinφ= ,cosφ= ), 所以|z|的最大值是 6. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.(2016 · 大 连 高 二 检 测 ) 在 平 行 四 边 形 OABC 中 , 各 顶 点 对 应 的 复 数 分 别 为 zO=0,zA=2+ i,zB=-2a+3i,zC=-b+ai,则实数 a-b 为________. 【解析】因为 + = ,所以 2+ i+(-b+ai)=-2a+3i,所以 得 a-b=-4. 答案:-4 4.已知 z1,z2∈C,|z1+z2|=2 ,|z1|=2,|z2|=2,则|z1-z2|为________. 【解析】由复数加法、减法的几何意义知,以复平面上对应 z1,z2 的向量为邻边的平行四边形 为正方形, 所以|z1-z2|=2 . 答案:2 【补偿训练】若|z1|=|z2|=1,且|z1+z2|= ,求|z1-z2|. 【解析】|z1+z2|和|z1-z2|是以 和 为两邻边的平行四边形的两条对角线的长. 如 图 所 示 , 由 |z1|=|z2|=1,|z1+z2|= , 知 四 边 形 为 正 方 形 , 所 以 另 一 条 对 角 线 的 长 |z1-z2|= . 【拓展延伸】复数运算几何意义的应用 (1)已知复数 z1,z2,z1+z2 在复平面内分别对应点 A,B,C,O 为原点且|z1+z2|=|z1-z2|,把关系式 |z1+z2|=|z1-z2|给予几何解释为:平行四边形两对角线长相等,故四边形 OACB 为矩形. (2)因为|z1|,|z2|,|z1-z2|(或|z1+z2|)构成了三角形的三边(Z1,Z2,O 三点不共线),所以可用 解三角形来处理边与角的问题. 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 5.已知复平面内平行四边形 ABCD,A 点对应的复数为 2+i,向量 对应的复数为 1+2i,向量 对应的复数为 3-i,求: (1)点 C,D 对应的复数. (2)平行四边形 ABCD 的面积. 【解析】(1)因为向量 对应的复数为 1+2i,向量 对应的复数为 3-i, 所以向量 对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i. 又 = + , 所以点 C 对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i. 因为 = , 所以向量 对应的复数为 3-i,即 =(3,-1). 设 D(x,y),则 =(x-2,y-1)=(3,-1), 所以 解得 所以点 D 对应的复数为 5. (2)因为 · =| || |cosB, 所以 cosB= = = . 所以 sinB= . 所以 S=| || |sinB= × × =7, 所以平行四边形 ABCD 的面积为 7. 6.(2016·杭州高二检测)已知|z|=2,求|z+1+ i|的最大值和最小值. 【解题指南】先思考|z|=2 与|z+1+ i|的几何意义,再利用几何图形求|z+1+ i|的最大 值和最小值. 【解析】设 z=x+yi(x,y∈R),则由|z|=2 知 x2+y2=4, 故 z 对应的点在以原点为圆心,2 为半径的圆上, 又|z+1+ i|表示点(x,y)到点(-1,- )的距离. 又因为点(-1,- )在圆 x2+y2=4 上, 所以圆上的点到点(-1,- )的距离的最小值为 0,最大值为圆的直径 4, 即|z+1+ i|的最大值和最小值分别为 4 和 0. 【拓展延伸】数形结合求解复数问题 因为复数拥有实部与虚部“两条腿”,进而与复平面上的点建立了一一对应,又与以原点为起 点的向量建立一一对应.所以思考复数问题时关键是从数与形两个角度思考. 【补偿训练】已知|z1|=|z2|=1,z1+z2= + i,求复数 z1,z2. 【解析】因为|z1|=|z2|=1,|z1+z2|= =1, 所以 z1+z2 对应向量 ,其中∠COx=60°,如图 1 所示. 设 对应复数 z1, 对应复数 z2,则四边形 AOBC 是菱形,且△AOC 和△BOC 都是等边三角 形,于是 z1=1,z2= + i 或 z1= + i,z2=1.如图 2 和图 3 所示. 关闭 Word 文档返回原板块