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- 2021-06-16 发布
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§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
【学习目标】1. 通过对物理中有关概念的分析,了解向量的实际背景,进而深刻理解向量的概念;
2. 掌握向量的几何表示;理解向量的模、零向量与单位向量的概念.
3. 在理解向量和平行向量的基础上掌握相等向量和共线向量的概念.
【学习过程】
一、自主学习
(一)知识链接:
复习:有一类量如长度、质量、面积、体积等,只有 没有 ,这类量我们称之为数量. 而力是常见的物理
量,重力、浮力、弹力等都是既有 又有 的量;那这样的量叫什么呢?
(二)自主探究:(预习教材 P74-P77)
探究一:向量的概念:数学中,我们把这种既有 ,又有 的量叫做向量.
问题 1:数量和向量的异同点有哪些?
探究二:向量的表示法
问题 2:向量有几种表示方法?
⑴我们常用 来表示向量,线段按一定比例画出,它的长短表示向量的大小,
箭头的指向表示向量的方向.
⑵以 A 为起点, B 为终点的有向线段记作 ,线段 AB 的长度称为模,记作 AB
.有向线段包含三个要素:
⑶有向线段也可用字母如 a
, ,表示.
探究三:几个特殊的向量
零向量:长度为 的向量;单位向量:长度等于 的向量.
平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量. 若向量 a
, b
平行,
记作: //a b
. 因为任一组平行向量都可以移动到同一条直线上,因此,
平行向量也叫做共线向量
问题 3:如何理解零向量的方向?
探究四:相等向量:长度相等且 的向量叫做相等向量,用有向线段表示的
向量 a
与b
相等,记作: a b .
二、合作探究
1、在如图所示的坐标纸中,用直尺和圆规画出下列向量:
⑴ 3OA ,点 A 在点 O 的正北方向;
⑵ 2 2OB ,点 B 在点 O 南偏东 60 方向.
2、如下图,设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,分别写出图中与 OD
,
OE
, OF
相等的向量.
变式:(1)与 AB
相等的向量有哪些?
(2)OA 与 EF 相等吗?OB 与 AF 相等吗?
三、自学检测
1、下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功.
其中不是向量的有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
2、下列说法中正确的有( )个
⑴零向量是没有方向的向量;⑵零向量与任一向量平行;
⑶零向量的方向是任意的;⑷零向量只能与零向量平行.
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
3、下列说法中正确的是
①若 //a b
,则 a b ; ②若 a b ,则 a b ; ③若 a b ,则 //a b
; ④若 a b ,则 a b .
4、下列说法中正确的有
①向量可以比较大小; ②零向量与任一向量平行;
③向量就是有向线段; ④非零向量 a
的单位向量是 a
a
.
5、如右图所示, D 、 E 、 F 分别是正 ABC 的各边中点,则在以
A 、 B 、C 、 D 、 E 、 F 六个点中任意两点为起点与终点的向量中,
找出与向量 DE
平行的向量.
四、巩固训练(A 组必做,B 组选做)
A 组:1、下列说法正确的是( ).
A.向量 AB
与向量 BA
的长度不等 B.两个有共同起点长度相等的向量,则终点相同
C.零向量没有方向 D.任一向量与零向量平行
2、在四边形 ABCD 中, AB DC ,则相等的向量是( ) .
A. AD
与CB
B.OB
与 OD
C. AC
与 BD
D. AO
与OC
3、边长为 3 的等边 ABC 的底边 BC 上的中线
向量 AD
的模 AD
为 .
4、四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边形.
⑴与向量 ED
相等的向量有哪些?
⑵若 3AB ,则向量 EC
的模等于多少?
B 组:1、若 AB AD ,且 BA CD ,则四边形 ABCD 的形状为( ).
A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.等腰梯形
2、下列命题中,说法正确的有
①若 a b ,b c ,则 a c ; ②若 //a b
, //b c
,则 //a c
; ③若 a b ,则 a b 或 a b ;
④若 AB DC ,则 A , B ,C , D 是一个平行四边形的四个顶点.
3、在正方体 ABCD A B C D 中,与 AB
平行的向量有哪些?
A
FD
C
EB
BA
D CE
O
CD
BA
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