人教版高中数学选修2-3练习：第一章1-2-1-2-2第2课时组合的综合应用word版含解析 5页

第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 组合 第 2 课时 组合的综合应用 A 级 基础巩固 一、选择题 1．一个口袋中装有大小相同的 6 个白球和 4 个黑球，从中取 2 个 球，则这两个球同色的不同取法有( ) A．27 种 B．24 种 C．21 种 D．18 种 解析：分两类：一类是 2 个白球有 C26＝15 种取法，另一类是 2 个 黑球有 C24＝6 种取法，所以取法共有 15＋6＝21(种)． 答案：C 2．4 位同学每人从甲、乙、丙三门课程中选修 1 门，则恰有 2 人 选修课程甲的不同选法共有( ) A．12 种 B．24 种 C．30 种 D．36 种 解析：依题意，满足题意的选法共有 C24×2×2＝24(种)． 答案：B 3．从编号为 1、2、3、4 的四种不同的种子中选出 3 种，在 3 块 不同的土地上试种，每块土地上试种一种，其中 1 号种子必须试种， 则不同的试种方法有( ) A．24 种 B．18 种 C．12 种 D．96 种 解析：从 3 块不同的土地中选 1 块种 1 号种子，有 C 13种方法，从 其余的 3 种种子中选 2 种种在另外的 2 块土地上，有 A 23种方法，所以 所求方法有 C13A23＝18(种)． 答案：B 4．将 4 个颜色互不相同的球全部收入编号为 1 和 2 的 2 个盒子里， 使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球 方法有( ) A．10 种 B．20 种 C．36 种 D．52 种 解析：根据 2 号盒子里放球的个数分类：第一类，2 号盒子里放 2 个球，有 C 24种放法，第二类，2 号盒子里放 3 个球，有 C 34种放法， 剩下的小球放入 1 号盒中，共有不同放球方法 C24＋C34＝10(种)． 答案：A 5．某电视台连续播放 5 个广告，其中有 3 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告，要求最后播放的必须是公益广告，且 2 个公益广 告不能连续播放，则不同的播放方式有( ) A．120 种 B．48 种 C．36 种 D．18 种 解析：依题意，所求播放方式的种数为 C12C13A33＝2×3×6＝36. 答案：C 二、填空题 6．北京市某中学要把 9 台型号相同的电脑送给西部地区的三所希 望小学，每所小学至少得到 2 台，共有________种不同送法． 解析：每校先各得一台，再将剩余 6 台分成 3 份，用插板法解， 共有 C25＝10(种)． 答案：10 7．某校开设 9 门课程供学生选修，其中 A、B、C 三门由于上课 时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修 4 门，共有________ 种不同选修的方案(用数字作答)． 解析：分两类，第一类学生不选 A，B，C 中的任意一门，选法有 C46＝15(种)．第二类学生从 A，B，C 中选一门，再从其他 6 门中选 3 门课程，共有 C13C36＝60 种选法．所以选法共有 15＋60＝75(种)． 答案：75 8．以正方体的顶点为顶点的四面体共有________个． 解析：先从 8 个顶点中任取 4 个的取法为 C 48种，其中，共面的 4 点有 12 个，则四面体的个数为 C48－12＝58(个)． 答案：58 三、解答题 9．为了提高学生参加体育锻炼的热情，光明中学组织篮球比赛， 共 24 个班参加，第一轮比赛是先分四组进行单循环赛，然后各组取前 两名再进行第二轮单循环赛(在第一轮中相遇过的两个队不再进行比 赛)，问要进行多少场比赛？ 解：第一轮每组 6 个队进行单循环赛，共有 C 26场比赛，4 个组共 计 4C 26场． 第二轮每组取前两名，共计 8 个组，应比赛 C 28场，由于第一轮中 在同一组的两队不再比赛，故应减少 4 场，因此第二轮的比赛应进行 C28＝4(场)． 综上，两轮比赛共进行 4C26＋C28－4＝84(场)． 10．有 6 本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的 分配方式？ (1)分成 1 本、2 本、3 本三组； (2)分给甲、乙、丙三人，其中一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本； (3)分成每组都是 2 本的三组； (4)分给甲、乙、丙三人，每人 2 本． 解：(1)分三步：选选一本有 C 16种选法；再从余下的 5 本中选 2 本有 C 25有种选法；对于余下的三本全选有 C 33种选法，由分步乘法计 数原理知选法有 C16C25C33＝60(种)． (2)由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)的基础上，还应考虑再分 配的问题，因此选法共有 C16C25C33A33＝360(种)． (3)先分三步，则应是 C26C24C 22种选法，但是这里面出现了重复， 不妨记 6 本书分别为 A，B，C，D，E，F，若第一步取了(AB，CD， EF)，则 C26C24C 22种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD， EF，AB)，(EF，AB，CD)，(EF，CD，AB)共 A 33种情况，而且这 A 33 种情况仅是 AB，CD，EF 的顺序不同，因此，只算作一种情况，故分 配方式有C26C24C22 A33 ＝15(种)． (4)在问题(3)的基础上再分配，故分配方式有C26C24C22 A33 ·A33＝C26C24C22 ＝90(种)． B 级 能力提升 1．已知圆上 9 个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有 ( ) A．36 个 B．72 个 C．63 个 D．126 个 解析：此题可化归为：圆上 9 个点可组成多少个四边形，每个四 边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有 C49＝126(个)． 答案：D 2．某科技小组有六名学生，现从中选出三人去参观展览，至少有 一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为________． 解析：设男生人数为 x，则女生有(6－x)人．依题意 C36－C3x＝16， 则 6×5×4 ＝ x(x － 1)(x － 2) ＋ 16×6 ， 所 以 x(x － 1)(x － 2) ＝ 2×3×4，解得 x＝4.即女生有 2 人． 答案：2 3．有五张卡片，它们的正、反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与 9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少 个不同的三位数？ 解：法一 依 0 与 1 两个特殊值分析，可分三类： (1)取 0 不取 1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有 C 14种方法； 0 可在后两位；有 C 12种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有 C 13种方法；又除含 0 的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能， 故此时可得不同的三位数有 C14C12C13·22 个． (2)取 1 不取 0，同上分析可得不同的三位数 C24·22·A 33个． (3)0 和 1 都不取，有不同三位数 C34·23·A 33个． 综上所述，不同的三位数共有 C14C12C13·22＋C24·22·A23＋C34·23·A33＝432(个)． 法二 任取三张卡片可以组成不同三位数 C35·23·A 33个， 其中 0 在百位的有 C24·22·A 22个，这是不合题意的， 故可组成的不同三位数共有 C35·23·A33－C24·22·A22＝432(个)．