2021新高考数学解题方法（共4讲） 223页

第 1 讲　选择题、填空题的解法 第二部分 2021 内容索引 01 02 03 方法思路概述 解法分类指导 专题方法归纳 方法思路概述 高考选择题、填空题注重多个知识点的小型综合 , 渗透各种数学思想和方法 , 体现利用基础知识深度考基础、考能力的导向 ; 使作为中低档题的选择题、填空题成为具备较佳区分度的基本题型 . 因此能否在选择题、填空题上获取高分 , 对高考数学成绩影响重大 . 解答选择题、填空题的基本策略是准确、迅速 . (1) 解题策略 : 小题巧解 , 不需“小题大做” , 在准确、迅速、合理、简洁的原则下 , 充分利用题设和选择支这两方面提供的信息作出判断 . 先定性后定量 , 先特殊后一般 , 先间接后直接 , 多种思路选最简 . 对于选择题可先排除后求解 , 既熟悉通法又结合选项支中的暗示及知识能力 , 运用特例法、筛选法、图解法等技巧求解 . (2) 解决方法 : 主要分直接法和间接法两大类 , 具体方法为直接法 , 特值、特例法 , 筛选法 , 数形结合法 , 等价转化法 , 构造法 , 代入法等 . 解法分类指导 方法一 直接法 直接法 , 就是直接从题设的条件出发 , 运用有关的概念、性质、公理、定理、法则和公式等 , 通过严密的推理和准确的计算 , 然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应的选择 . 多用于涉及概念、性质的辨析或运算较简单的定性题目 . 【 例 1】(1)(2020 山东泰安一模 ,2) 已知复数 =1-bi, 其中 a,b∈R,i 是虚数单位 , 则 |a+bi|=( 　　 ) A.-1+2i B.1 C.5 D. 答案 D 　 A. 函数 f(x) 的最小正周期为 2π B. 函数 f(x) 的最大值为 1 答案 BD 【 对点训练 1】(1)(2020 福建福州模拟 , 理 6) 已知数列 {an} 为等差数列 , 若 a1,a6 为函数 f(x)=x2-9x+14 的两个零点 , 则 a3a4=( 　　 ) A.-14 B.9 C.14 D.20  答案 D 　 解析令 f(x)=0, 则方程 x2-9x+14=0, 解得方程的两个根为 2,7. ∵ 等差数列 {an} 中 ,a1,a6 为函数 f(x)=x2-9x+14 的两个零点 , ∴a1=2,a6=7, 或 a1=7,a6=2, (2)(2020 浙江 ,17) 已知平面单位向量 e1,e2 满足 |2e1-e2|≤ , 设 a=e1+e2,b=3e1+e2, 向量 a,b 的夹角为 θ, 则 cos2 θ 的最小值是　　　　　 .  方法二 特值、特例法 特值、特例法是在题设普遍条件都成立的情况下 , 用特殊值 ( 取得越简单越好 ) 进行探求 , 从而清晰、快捷地得到正确的答案 , 即通过对特殊情况的研究来判断一般规律 , 从而“小题小做”或“小题巧做” . 当题目已知条件中含有某些不确定的量时 , 可将题目中变化的不定量选取一些符合条件的特殊值 ( 或特殊函数 , 特殊角 , 特殊数列 , 特殊图形 , 图形特殊位置 , 特殊点 , 特殊方程 , 特殊模型等 ) 进行处理 , 从而得出探求的结论 . 这样可大大地简化推理、论证的过程 . 【 例 2】(1)(2020 山东模考卷 ,8) 若 a>b>c>1, 且 aclogbc>logca B.logcb>logba>logac C.logcb>logab>logca D.logba>logcb>logac 答案 B 　 解析 因为 a>b>c>1, 且 ac1>logab, 故 A,C 错 ; logcb=3>logba= , 故 D 错 ,B 正确 . 解析 所求的问题是个定值问题 ,“ 在△ ABC 中”和在特殊△ ABC 中所求的值相等 , 所以将所给条件“在△ ABC 中”特殊化为“在等边△ ABC 中” . 如下图 , 【 对点训练 2】(1)(2020 浙江高考压轴卷 ,8) 已知 a,b∈R, 且 a>b, 则 ( 　　 ) 答案 C 　 (2) 在平面直角坐标系中 , 设 A,B,C 是曲线 y= 上三个不同的点 , 且 D,E,F 分别为 BC,CA,AB 的中点 , 则过 D,E,F 三点的圆一定经过定点　　　　 .  答案 (1,0) 　 解析 曲线 y= 的对称中心为 (1,0), 设过对称中心的直线与曲线交于 A,B 两点 , 则 A,B 的中点为对称中心 (1,0), 所以过 D,E,F 三点的圆一定经过定点 (1,0). 方法三 等价转化法 在应用等价转化法解决问题时 , 没有一个统一的模式去进行 . 可以在数与数、形与形之间进行转换 ; 可以在宏观上进行等价转换 ; 也可以在函数、方程、不等式之间进行等价转化 . 但都需要保持命题的真假不变 . 等价转化法的转化原则是将陌生的问题转化为熟悉的问题 , 将复杂的问题转化为简单的问题 , 将抽象的问题转化为直观的问题 , 比如从超越式到代数式、从无理式到有理式 , 从分式到整式 . 答案 A 　 解析 当 x>0 时 , 函数 f(x) 过点 (1,0), 又函数 f(x) 有且只有一个零点 , 可推出 , 当 x≤0 时 , 函数 y=-2x+a 没有零点 , 即在 (-∞,0] 内 , 函数 y=2x 与直线 y=a 无公共点 . 由数形结合 , 可得 a≤0 或 a>1. 又因 {a|a<0}⫋{a|a≤0 或 a>1}, 故选 A. 答案 C 　 解析 依题意得 f(x)=asin(1-x),g(x)=ln x, 设 h(x)=g(x)-x=ln x-x,x∈(0,1], 【 对点训练 3】(1) 在四面体 P-ABC 中 ,△ABC 为等边三角形 , 边长为 3,PA=3,PB=4,PC=5, 则四面体 P-ABC 的体积为 ( 　　 ) 答案 C 　 解析 如图 , 延长 CA 至 D, 使得 AD=3, 连接 DB,PD, 因为 AD=AB=3, 故△ ADB 为等腰三角形 . 又∠ DAB=180°-∠CAB=120°, 方法四 数形结合法 数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系 , 既分析其数量关系 , 又揭示其几何意义 , 使数量关系和几何图形巧妙地结合起来 , 并充分地利用这种结合 , 探求解决问题的思路 , 使问题得以解决的思考方法 . 每个几何图形中蕴含着一定的数量关系 , 而数量关系常常又通过图形的直观性作出反映和描述 , 数与形之间可以相互转化 , 将问题化难为易 , 化抽象为具体 . 数形结合的思想方法通过借数解形、以形助数 , 能使某些较复杂的数学问题迎刃而解 . 答案 A 　 解析 作出对勾函数 y=x+ (x>0) 的图象如图 , 由图象知函数的最低点坐标为 A(2,4), 圆心坐标为 C(2,0), 半径 R=1, 则由图象知当 A,B,C 三点共线时 ,|AB| 最小 , 此时最小值为 4-1=3, 故选 A. (2)(2020 山东 ,5) 某中学的学生积极参加体育锻炼 , 其中有 96% 的学生喜欢足球或游泳 ,60% 的学生喜欢足球 ,82% 的学生喜欢游泳 , 则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 ( 　　 ) A.62% B.56% C.46% D.42% 答案 C 　 解析 设既喜欢足球又喜欢游泳的学生比例数为 x. 由维恩图可知 , 82%-x+60%=96%, 解得 x=46%, 故选 C. 【 对点训练 4】(1) 已知函数 f(x)= 若存在实数 a,b,c, 满足 f(a)=f(b)=f(c), 其中 c>b>a, 则 (a+b)f(c) 的取值范围是 ( 　　 ) A.(24,36) B.(48,54) C.(24,27) D.(48,+∞) 答案 B 　 ∵a0 B.ln(y-x+1)<0 C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0 答案 A 　 解析 ∵ 2x-2y<3-x-3-y,∴2x-3-x<2y-3-y. ∵f(t)=2t-3-t 在 R 上为增函数 , 且 f(x)0,∴y-x+1>1, ∴ln(y-x+1)>ln 1=0. 故选 A. (2)(2020 山东烟台模拟 ,16) 设定义域为 R 的函数 f(x) 满足 f'(x)>f(x), 则不等式 ex-1f(x)1,∴ 不等式 ex-1f(x)b>a B.b>c>a C.a>b>c D.a>c>b 答案 C 　 (2)(2020 浙江 ,9) 已知 a,b∈R 且 ab≠0, 对于任意 x≥0 均有 (x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0, 则 ( 　　 ) A.a<0 B.a>0 C.b<0 D.b>0 答案 C 　 解析 当 a<0 时 , 在 x≥0 上 ,x-a≥0 恒成立 , 所以只需满足 (x-b)(x-2a-b)≥0 恒成立 , 此时 2a+b0 不满足条件 ; 当 b<0 时 , 在 [0,+∞) 上 ,x-b≥0 恒成立 , 所以只需满足 (x-a)(x-2a-b)≥0 恒成立 , 此时两根分别为 x=a 和 x=2a+b, ①当 a+b>0 时 , 此时 00, 满足 (x-a)(x-2a-b)≥0 恒成立 . 综上可知 , 满足 (x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0 在 x≥0 恒成立时 , 只有 b<0. 故选 C. 方法六 排除法 ( 针对选择题 ) 数学选择题的解题本质就是去伪存真 , 舍弃不符合题目要求的选项 , 找到符合题意的正确结论 . 排除法 ( 又叫筛选法 ) 就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例 , 对于错误的选项逐一剔除 , 从而获得正确的结论 . 【 例 6】(1)(2020 全国 Ⅱ, 文 5) 已知单位向量 a,b 的夹角为 60°, 则在下列向量中 , 与 b 垂直的是 ( 　　 ) A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b 答案 D 　 (2)(2020 浙江高考压轴卷 ,7) 函数 f(x)= ( 其中 e 为自然对数的底数 ) 的图象大致为 ( 　　 ) 答案 A 　 【 对点训练 6】(1)( 多选 )(2020 山东联考 ,9) 在下列函数中 , 最小值是 2 的是 ( 　　 ) 答案 BD 解析 对于 A, 若 x<0, 则最小值不为 2, 故 A 错误 ; 对于 B,y=2x+2-x≥2, 当且仅当 x=0 时等号成立 , 故 B 正确 ; 对于 D,y=x2-2x+3=(x-1)2+2≥2, 当 x=1 时取等号 , 故 D 正确 . 故选 BD. (2)(2020 浙江 ,4) 函数 y=xcos x+sin x 在区间 [- π,π] 上的图象可能是 ( 　　 ) 答案 A 解析 因为 f(-x)=(-x)cos(-x)+sin(-x)=-(xcos x+sin x)=-f(x),x∈[- π,π], 所以函数 f(x) 是奇函数 , 故排除 C,D, 当 x 时 ,xcos x+sin x>0, 所以排除 B. 故选 A. 方法七 估算法 选择题提供了正确的选择支 , 解答又无需过程 . 因此 , 有些题目 , 不必进行准确的计算 , 只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计 , 便能作出正确的判断 , 这就是估算法 . 估算法往往可以减少运算量 , 但是加强了思维的层次 . A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm 答案 B 　 解析 设人体脖子下端至肚脐长为 x cm, 则 , 得 x≈42.07, 又其腿长为 105 cm, 所以其身高约为 42.07+105+26=173.07(cm), 接近 175 cm. 故选 B. 答案 A 专题方法归纳 1. 解选择题、填空题的基本方法比较多 , 但大部分选择题、填空题的解法是直接法 , 在解题时要根据题意灵活运用上述一种或几种方法“巧解” , 在“小题小做”“小题巧做”上做文章 , 切忌盲目地采用直接法 . 2. 由于选择题供选选项多、信息量大、正误混杂、迷惑性强 , 稍不留心就会误入“陷阱” , 应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证 , 既谨慎选择 , 又大胆跳跃 . 3. 解填空题不要求求解过程 , 从而结论是判断正确的唯一标准 , 因此解填空题时要注意以下几个方面 : (1) 要认真审题 , 明确要求 , 思维严谨、周密 , 计算要准确 ; (2) 要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论 ; (3) 要重视对所求结果的检验 . 4. 作为平时训练 , 解完一道题后 , 还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算” , 并注意及时总结 , 这样才能有效地提高解题能力 . 高考总复习 第 2 讲　函数与方程思想、数形结合思想 第二部分 2021 内容索引 01 02 一、函数与方程思想 二、数形结合思想 一、函数与方程思想 函数与方程思想 , 渗透到中学数学的各个领域 , 是历年高考考查的重点和热点 . 一般通过函数与导数、三角函数、数列及解析几何等知识运用的交汇处 , 思想方法和相关能力的结合处进行考查 . 思想方法诠释 1. 函数的思想 : 是用运动和变化的观点 , 分析和研究数学中的数量关系 , 是对函数概念的本质认识 , 建立函数关系或构造函数 , 运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题 , 从而使问题获得解决 . 2. 方程的思想 : 就是分析数学问题中变量间的等量关系 , 建立方程或方程组 , 或者构造方程 , 通过解方程或方程组 , 或者运用方程的性质去分析、转化问题 , 使问题获得解决 . 方程思想是动中求静 , 研究运动中的等量关系 . 3. 函数思想与方程思想的联系 : 函数思想与方程思想密切相关 , 对于函数 y=f(x), 当 y=0 时 , 转化为方程 f(x)=0, 也可以把函数 y=f(x) 看作二元方程 y-f(x)=0. 函数与方程的问题可相互转化 . 求方程 f(x)=0 的解就是求函数 y=f(x) 的零点 . 求方程 f(x)=g(x) 的解的问题 , 可以转化为求函数 y=f(x)-g(x) 与 x 轴的交点问题 . 思想分类应用 应用一　函数思想与方程思想的转换  【 例 1】 设函数 f(x)= ,g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0), 若 y=f(x) 的图象与 y=g(x) 的图象有且仅有两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2), 则下列判断正确的是 ( 　　 ) 　　 　　　　　　　　　　　　　　 A. 当 a<0 时 ,x1+x2<0,y1+y2>0 B. 当 a<0 时 ,x1+x2>0,y1+y2<0 C. 当 a>0 时 ,x1+x2<0,y1+y2<0 D. 当 a>0 时 ,x1+x2>0,y1+y2>0 答案 B 解析 在同一坐标系中分别画出两个函数的图象 , 当 a<0 时 , 要想满足条件 , 如图 , 作出点 A 关于原点的对称点 C, 则 C 点坐标为 (-x1,-y1). 由图象知 -x1y2, 即 x1+x2>0,y1+y2<0, 同理当 a>0 时 , 则有 x1+x2<0,y1+y2>0, 故选 B. 【 对点训练 1】 已知函数 f(x) 的定义域为 R, 且有 2f(x)+f(x2-1)=1, 则 f(- )= 　　　　　 .  应用二　函数与方程思想在解三角形中的应用  答案 D 思维升华函数思想的实质是使用函数方法解决数学问题 ( 不一定只是函数问题 ), 构造函数解题是函数思想的一种主要体现 . 方程思想的本质是根据已知得出方程 ( 组 ), 通过解方程 ( 组 ) 解决问题 . 【 对点训练 2】 已知 a,b,c 分别为△ ABC 的内角 A,B,C 的对边 ,S 为△ ABC 的面积 ,sin(B+C)= . (1) 证明 :A=2C; (2) 若 b=2, 且△ ABC 为锐角三角形 , 求 S 的取值范围 . 又 sin A≠0,∴bc=a2-c2, 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A, 则 bc=b2-2bccos A. 又 b≠0,∴c=b-2c·cos A, 由正弦定理得 sin C=sin B-2sin C·cos A, 即 sin C=sin(A+C)-2sin C·cos A=sin(A-C). 又 02b B.a<2b C.a>b2 D.a0 或 f(x)<0 恒成立 , 一般可转化为 f(x)min>0 或 f(x)max<0. 已知恒成立求参数取值范围可先分离参数 , 再利用函数最值求解 . 【 对点训练 3】(1)(2020 全国 Ⅲ, 文 10) 设 a=log32,b=log53,c= , 则 ( 　　 ) A.a0, 则 g(x)=(1-x)(1+x)x4=(1-x2)x4, 思维升华关于概率的应用题 , 首先应用概率的相关知识得到两个量的等量关系 , 然后利用函数模型研究函数的最值、极值问题 , 重在考查考生的“数学建模”的核心素养和知识的迁移能力等 . 【 对点训练 5】(2018 全国 1, 理 20) 某工厂的某种产品成箱包装 , 每箱 200 件 , 每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验 , 如检验出不合格品 , 则更换为合格品 . 检验时 , 先从这箱产品中任取 20 件作检验 , 再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验 . 设每件产品为不合格品的概率都为 p(00; 当 p∈(0.1,1) 时 ,f'(p)<0. 所以 f(p) 的最大值点为 p0=0.1. (2) 由 (1) 知 ,p=0.1. ① 令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数 , 依题意知 Y~B(180,0.1), X=20×2+25Y, 即 X=40+25Y. 所以 E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=490. ② 如果对余下的产品作检验 , 则这一箱产品所需要的检验费为 400 元 . 由于 E(X)>400, 故应该对余下的产品作检验 . 应用方法归纳 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面 : (1) 借助有关初等函数的性质 , 解有关求值、解 ( 证 ) 不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题 ; (2) 在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数 , 把研究的问题化为讨论函数的有关性质 , 达到化难为易、化繁为简的目的 . 二、数形结合思想 数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧 , 在高考试题中 , 数形结合思想主要用于解选择题和填空题 , 有直观、简单、快捷等特点 ; 而在解答题中 , 考虑到推理论证的严密性 , 图形只是辅助手段 , 最终要用“数”写出完整的解答过程 . 思想方法诠释 以形助数 ( 数题形解 ) 以数辅形 ( 形题数解 ) 借助形的生动性和直观性来阐述数形之间的联系 , 即以形作为手段 , 数作为目的 借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性 , 即以数作为手段 , 形作为目的 数形结合思想通过 “ 以形助数 , 以数辅形 ”, 使复杂问题简单化 , 抽象问题具体化 , 能够变抽象思维为形象思维 , 有助于把握数学问题的本质 思想分类应用 应用一　利用数形结合求函数的零点  答案 D 　 (1) 若 k>0, 则如图 . (2) 若 k<0, 如图 . 思维升华讨论方程的解 ( 或函数的零点 ) 的个数一般可构造两个函数 , 转化为讨论两曲线 ( 或曲线与直线等 ) 的交点个数 , 其基本步骤是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式 ( 不熟悉时 , 需要作适当变形转化为两个熟悉的函数 ), 再在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象 , 图象的交点个数即为方程解 ( 或函数零点 ) 的个数 . 【 对点训练 1】(2020 安徽安庆二模 , 理 12) 函数 f(x)=|ln x|-ax 恰有两个零点 x1,x2, 且 x10 时 , 考查函数 g(x)=|ln x| 与 h(x)=ax 的图象的交点 . 易知 ,g(x) 与 h(x) 图象在区间 (0,1) 内必有一个交点 , 则在区间 (1,+∞) 内有且仅有一个公共点 , 应用二　利用数形结合思想求参数的范围或解不等式  【 例 2】(2020 湖南永州二模 , 理 9) 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x<0 时 ,f(x)=2-|x+2|. 若对任意的 x∈[-1,2],f(x+a)>f(x) 成立 , 则实数 a 的取值范围是 ( 　　 ) A.(0,2) B.(0,2)∪(-∞,-6) C.(-2,0) D.(-2,0)∪(6,+∞) 答案 D 　 解析 ∵ f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x<0 时 ,f(x)=2-|x+2|. 作出 f(x) 的图象 , 如图所示 . y=f(x+a) 的图象可以看成是 y=f(x) 的图象向左 (a>0) 或向右 (a<0) 平移 |a| 个单位长度而得 . 当 a>0 时 ,y=f(x) 的图象至少向左平移 6 个单位长度 ( 不含 6 个单位长度 ) 才能满足对任意的 x∈[-1,2],f(x+a)>f(x) 成立 , 当 a<0 时 ,y=f(x) 的图象向右平移至多 2 个单位长度 ( 不含 2 个单位长度 ) 才能满足对任意的 x∈[-1,2],f(x+a)>f(x) 成立 , 故 a∈(-2,0)∪(6,+∞). 故选 D. 思维升华在解含有参数的不等式时 , 由于涉及参数 , 往往需要讨论 , 导致演算过程烦琐冗长 . 如果题设与几何图形有联系 , 那么利用数形结合的方法 , 问题将会简练地得到解决 . 【 对点训练 2】(2020 北京 ,6) 已知函数 f(x)=2x-x-1, 则不等式 f(x)>0 的解集是 ( 　　 ) A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞) 答案 D 　 解析 因为 f(x)=2x-x-1, 所以 f(x)>0 等价于 2x>x+1, 在同一直角坐标系中作出 y=2x 和 y=x+1 的图象如图 . 两函数图象的交点坐标为 (0,1),(1,2), 由图象可知 , 不等式 2x>x+1 的解集为 (-∞,0)∪(1,+∞). 所以不等式 f(x)>0 的解集为 (-∞,0)∪(1,+∞). 故选 D. 应用三　数形结合思想在解析几何中的应用  【 例 3】(2020 山东枣庄二模 ,8) 已知点 P(m,n) 是函数 y= 图象上的动点 , 则 |4m+3n-21| 的最小值是 ( 　　 ) A.25 B.21 C.20 D.4 答案 C 2. 解析几何中的一些范围及最值问题 , 常结合几何图形的性质 , 使问题得到简便快捷地解决 . 思维升华 1. 如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征 , 那么就要考虑用数形结合的思想方法来解题 , 即用几何法求解 , 比较常见的有 : 【 对点训练 3】 已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F, 过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线 C 交于 A,B 两点 , 若在以线段 AB 为直径的圆上存在两点 M,N, 在直线 l:x+y+a=0 上存在一点 Q, 使得∠ MQN=90°, 则实数 a 的取值范围为 ( 　　 ) A.[-13,3] B.[-3,1] C.[-3,13] D.[-13,13] 答案 A 解析 过点 F(1,0) 且斜率为 1 的直线方程为 y=x-1. 则 x1+x2=6,y1+y2=x1+x2-2=4. AB 的中点坐标为 (3,2),|AB|=x1+x2+p=8, 所以以线段 AB 为直径的圆 D: (x-3)2+(y-2)2=16, 圆心 D 为 (3,2), 半径 r=4, 因为在圆 C 上存在两点 M,N, 在直线 l 上存在一点 Q, 使得∠ MQN=90°, 应用方法归纳 方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面 : (1) 解方程或解不等式 ; (2) 含参数的方程或不等式的讨论 , 常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用 ; (3) 需要转化为方程的讨论 , 如曲线的位置关系等 ; (4) 构造方程或不等式求解问题 . 第 3 讲　分类讨论思想、转化与化归思想 第二部分 2021 内容索引 01 02 一、分类讨论思想 二、转化化归思想 一、分类讨论思想 思想方法诠释 1. 分类讨论的思想含义 分类讨论 , 就是当问题所给的对象不能进行统一研究时 , 就需要对研究对象按某个标准分类 , 然后对每一类分别研究得出每一类的结论 , 最后综合各类结果得到整个问题的结果 . 实质上 , 分类讨论是“化整为零 , 各个击破 , 再积零为整”的数学策略 . 2. 分类讨论的原则 (1) 不重不漏 ;(2) 标准要统一 , 层次要分明 ;(3) 能不分类的要尽量避免 , 决不无原则地讨论 . 3. 分类讨论的常见类型 (1) 由数学概念而引起的分类讨论 ;(2) 由数学运算要求而引起的分类讨论 ;(3) 由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论 ;(4) 由图形的不确定性而引起的分类讨论 ;(5) 由参数的变化而引起的分类讨论 ;(6) 由实际意义引起的讨论 . 思想分类应用 应用一　由数学的概念、定理、公式引起的分类讨论  答案 A 　 (2) 设等比数列 {an} 的公比为 q, 前 n 项和 Sn>0(n=1,2,3,…), 则 q 的取值范围是　　　　　 .  答案 (-1,0)∪(0,+∞) 解析 由 {an} 是等比数列 ,Sn>0, 可得 a1=S1>0,q≠0, 当 q=1 时 ,Sn=na1>0, 符合题意 ; 由①得 -11. 综上 , 可得 q 的取值范围是 (-1,0)∪(0,+∞). 思维升华 1. 在中学数学中 , 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性 , 基本不等式 , 等比数列的求和公式等在不同的条件下有不同的结论 , 或者在一定的限制条件下才成立 , 应根据题目条件确定是否进行分类讨论 . 2. 有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的 . 比如除以一个数时 , 这个数能否为零的讨论 ; 解方程及不等式时 , 两边同乘一个数 , 这个数是零、是正数还是负数的讨论 ; 二次方程运算中对两根大小的讨论 ; 差值比较中的差的正负的讨论 ; 有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等 . 【 对点训练 1】(1)“a≤0” 是“函数 f(x)=|(ax-1)x| 在区间 (0,+∞) 上单调递增”的 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 C 解析 (1) 当 a=0 时 ,f(x)=|x| 在区间 (0,+∞) 上单调递增 ; 当 a<0 时 , 结合二次函数的图象可知 f(x)=|(ax-1)x| 在区间 (0,+∞) 上单调递增 ; 当 a>0 时 , 函数 f(x)=|(ax-1)x| 的大致图象如图 . 函数 f(x) 在区间 (0,+∞) 上有增有减 , 所以 a≤0 是函数 f(x)=|(ax-1)x| 在区间 (0,+∞) 上单调递增的充要条件 , 故选 C. (2)(2020 广东茂名一模 , 理 12) 已知函数 f(x)= (a∈R), 若函数 f(x) 有四个零点 , 则 a 的取值范围是 ( 　　 ) A.(-∞,0) B.(e,+∞) C.(4,+∞) D.(4,e2) 答案 C 故函数 f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增 , 则 f(x)>f(1)=1, 即 x>1 时 , 函数 f(x) 与 x 轴无交点 ; 则当 a<0 时 , 函数 f(x) 有一个零点 . 与题意不符 , 舍去 . 令 f'(x)=0, 得 x=a, 当 00, 在 (1,+∞) 内单调递增 , 与已知矛盾 , 不符合题意 , 舍去 ; 当 a>1 时 ,x∈(a,+∞) 时 ,f(x) 单调递增 ,x∈(1,a) 时 ,f(x) 单调递减 ,f(a)=a-aln a, 函数 f(x) 在 (1,+∞) 最多有两个零点 . 应用二　由参数引起的分类讨论  【 例 2】 设函数 f(x)=ln(x+a)+x2. 若 f(x) 存在极值 , 求 a 的取值范围 , 并证明所有极值之和大于 思维升华含有参数的分类讨论问题主要包括 :(1) 含有参数的不等式的求解 ;(2) 含有参数的方程的求解 ;(3) 函数解析式中含参数的最值与单调性问题 ;(4) 二元二次方程表示曲线类型的判定等 . 【 对点训练 2】(2020 山东潍坊临朐模拟一 ,22) 已知函数 f(x)=mln x-x+ (m∈R). (1) 讨论 f(x) 的单调性 ; (2) 略 应用三　由图形位置或形状引起的分类讨论  若∠ F1PF2=90°, 则 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2, 所以 |PF1|2+(6-|PF1|)2=20, 所以 |PF1|=4,|PF2|=2, 思维升华圆锥曲线形状不确定时 , 常按椭圆、双曲线来分类讨论 , 求圆锥曲线的方程时 , 常按焦点的位置不同来分类讨论 . 【 对点训练 3】 设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1,F2, 若曲线 C 上存在点 P 满足 |PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2, 则曲线 C 的离心率等于　　　　　 .  解析 不妨设 |PF1|=4t,|F1F2|=3t,|PF2|=2t, 其中 t≠0. 若该曲线为椭圆 , 则有 |PF1|+|PF2|=6t=2a, 应用方法归纳 1. 简化分类讨论的策略 :(1) 消去参数 ;(2) 整体换元 ;(3) 变更主元 ;(4) 考虑反面 ;(5) 整体变形 ;(6) 数形结合 ;(7) 缩小范围等 . 2. 分类讨论遵循的原则 : 不遗漏、不重复 , 科学地划分 , 分清主次 , 不越级讨论 . 二、转化化归思想 转化与化归思想方法 , 就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化 , 进而得到解决的一种方法 . 一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题 , 将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题 , 将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题 . 思想方法诠释 1. 转化与化归思想的含义 转化与化归的思想方法 , 就是在研究和解决有关数学问题时 , 采用某种手段将问题通过变换使之转化 , 进而得到解决的一种思想方法 . 2. 转化与化归的原则 (1) 熟悉化原则 ;(2) 简单化原则 ;(3) 直观化原则 ;(4) 正难则反原则 ;(5) 等价性原则 . 3. 常见的转化与化归的方法 (1) 直接转化法 ;(2) 换元法 ;(3) 数形结合法 ;(4) 构造法 ;(5) 坐标法 ;(6) 类比法 ;(7) 特殊化方法 ;(8) 等价问题法 ;(9) 补集法 ;(10) 参数法 . 思想分类应用 应用一　特殊与一般化  答案 A 解析 因为实数 a,b,c,d 满足 =1, 所以 b=a-2ea,d=3-c, 所以点 (a,b) 在曲线 y=x-2ex 上 , 点 (c,d) 在曲线 y=3-x 上 ,(a-c)2+(b-d)2 的几何意义就是曲线 y=x-2ex 上的点到曲线 y=3-x 上的点的距离的平方 , 最小值即为曲线 y=x-2ex 上与直线 y=3-x 平行的切线 , 因为 y'=1-2ex, 求曲线 y=x-2ex 上与直线 y=3-x 平行的切线 , 即 y'=1-2ex=-1, 解得 x=0, 所以切点为 (0,-2), 思维升华 1. 当问题难以入手时 , 应先对特殊情形进行观察、分析 , 发现问题中特殊的数量或关系 , 再推广到一般情形 , 以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡 , 这就是特殊化的化归策略 . 2. 数学题目有的具有一般性 , 有的具有特殊性 , 解题时 , 有时需要把一般问题化归为特殊问题 , 有时需要把特殊问题化归为一般问题 . 答案 B 则 f(x) 在 (-∞,0) 内单调递增 , 在 (0,+∞) 上单调递减 , 若 0f(x)>f(ln 3), 应用二　命题等价转化  【 例 2】(2020 上海考前压轴卷 ,11) 已知 a,b,2c 是平面内三个单位向量 , 若 a⊥b, 则 |a+4c|+2|3a+2b-c| 的最小值是　　　　　 .  解析 由题意 , 令 2c=e, 设 a=(1,0),b=(0,1),e 对应的点 C(x,y) 在单位圆上 , 所以问题转化为求 |a+2e|+|6a+4b-e| 的最小值 . 因为 |a+2e|=|2a+e|, 思维升华本例题充分体现了命题等价转化的重要性 , 首先将条件“三个向量都是单位向量及 a⊥b”, 等价转化为“ 2c=e 及 a=(1,0),b=(0,1)”, 这样就达到了变陌生为熟悉的目的 ; 其次将“ |a+2e|” 等价转化为“ |2a+e|”, 为求最值创造了有利条件同时也简化了运算 ; 然后将“两向量模的和的最值”等价转化为“两根式和的最值” , 最后根据两根式和的几何意义 , 将问题等价转化为两点的距离 . 【 对点训练 2】(1) 已知在 (-∞,1] 上单调递减的函数 f(x)=x2-2tx+1, 且对任意的 x1,x2∈[0,t+1], 总有 |f(x1)-f(x2)|≤2, 则实数 t 的取值范围为 ( 　　 ) 答案 B 　 解析 函数 f(x)=x2-2tx+1 在区间 (-∞,1] 上单调递减 , 所以其图象的对称轴 x=t≥1. 则在区间 [0,t+1] 上 ,0 距对称轴 x=t 最远 , 故要使得对任意的 x1,x2∈[0,t+1], 都有 |f(x1)-f(x2)|≤2, 答案 C 　 应用三　常量与变量的转化  【 例 3】 已知函数 f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f'(x)-ax-5, 其中 f'(x) 是 f(x) 的导函数 . 对满足 -1≤a≤1 的一切 a 的值 , 都有 g(x)<0, 则实数 x 的取值范围为　　　　 .  解析 由题意 , 知 g(x)=3x2-ax+3a-5, 令 φ( a)=(3-x)a+3x2-5,-1≤a≤1. 思维升华在处理多变量的数学问题中 , 在常量 ( 或参数 ) 在某一范围取值的前提下求变量 x 的范围时 , 经常进行常量与变量之间的转化 , 即可以选取其中的参数 , 将其看做是变量 , 而把变量看做是常量 , 从而达到简化运算的目的 . 【 对点训练 3】 设 f(x) 是定义在 R 上的增函数 , 若 f(1-ax-x2)≤f(2-a) 对任意 a∈[-1,1] 恒成立 , 则 x 的取值范围为　　　　　　 .  答案 (-∞,-1]∪[0,+∞) 解析 因为 f(x) 是 R 上的增函数 , 所以 1-ax-x2≤2-a,a∈[-1,1].(*) (*) 式可化为 (x-1)a+x2+1≥0 对 a∈[-1,1] 恒成立 . 令 g(a)=(x-1)a+x2+1, 解得 x≥0 或 x≤-1. 即实数 x 的取值范围是 (-∞,-1]∪[0,+∞). 应用四　函数、方程、不等式之间的转化  【 例 4】 已知不等式 xy≤ax2+2y2 对于 x∈[1,2],y∈[2,3] 恒成立 , 则 a 的取值范围是 ( 　　 ) A.[1,+∞) B.[-1,4) C.[-1,+∞) D.[-1,6] 答案 C 思维升华函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系 , 解决方程、不等式的问题需要函数帮助 , 解决函数的问题需要方程、不等式的帮助 , 因此借助于函数、方程、不等式之间的转化可以将问题化繁为简 , 常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题 ; 将不等式证明问题转化为函数的单调性与最值问题 ; 将方程的求解问题转化为函数的零点问题、两个函数图象的交点问题等 . 【 对点训练 4】(1)(2020 山东菏泽一模 ,8) 已知大于 1 的三个实数 a,b,c 满足 (lg a)2-2lg alg b+lg blg c=0, 则 a,b,c 的大小关系不可能是 ( 　　 ) A.a=b=c B.a>b>c C.b>c>a D.b>a>c 答案 D 解析 令 f(x)=x2-2xlg b+lg blg c, 则 lg a 为 f(x) 的零点 , 且该函数图象的对称轴为 x=lg b, 故 Δ=4 lg2b-4lg blg c≥0. 因为 b>1,c>1, 故 lg b>0,lg c>0, 所以 lg b≥lg c, 即 b≥c. 又 f(lg b)=lg blg c-lg2b=lg b(lg c-lg b),f(lg c)=lg2c-lg blg c=lgc(lg c-lg b), 若 b=c, 则 f(lg b)=f(lg c)=0, 故 lg a=lg b=lg c, 即 a=b=c. 若 b>c, 则 f(lg b)<0,f(lg c)<0, 利用二次函数图象 , 可得 lg a1, 都有 f(x+t)≤3ex, 求 m 的最大值 . 解 因为当 t∈[-1,+∞), 且 x∈[1,m] 时 ,x+t≥0, 所以 f(x+t)≤3ex 等价于 ex+t≤ex, 则 t≤1+ln x-x. 所以原命题等价转化为 : 存在实数 t∈[-1,+∞), 使得不等式 t≤1+ln x-x 对任意 x∈[1,m] 恒成立 . 令 h(x)=1+ln x-x(1≤x≤m). 因为 h'(x)= -1≤0, 所以函数 h(x) 在 [1,+∞) 内为减函数 . 又 x∈[1,m], 所以 h(x)min=h(m)=1+ln m-m. 所以要使得对任意 x∈[1,m],t 值恒存在 , 只需 1+ln m-m≥-1. 应用五　正难则反的转化  解析 g'(x)=3x2+(m+4)x-2, 若 g(x) 在区间 (t,3) 上总为单调函数 , 则有两种情况 :①g'(x)≥0 在 (t,3) 上恒成立 ;②g'(x)≤0 在 (t,3) 上恒成立 . 思维升华否定性命题 , 常要利用正反的相互转化 , 先从正面求解 , 再取正面答案的补集即可 . 一般地 , 题目若出现多种成立的情形 , 则不成立的情形相对很少 , 从反面考虑较简单 . 因此 , 间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中 . 【 对点训练 5】 安排甲、乙、丙、丁 4 人参加 3 个运动项目 , 每人只参加一个项目 , 每个项目都有人参加 . 若甲、乙 2 人不能参加同一个项目 , 则不同的安排方案的种数为　　　　　 .( 用数字作答 )  答案 30 　 解析 根据题意 , 用间接法分析 : 先将甲、乙、丙、丁 4 人分成 3 组 , 再将分成的三组分别参加 3 个项目 , 有 =6×6=36 种不同的安排方案 , 其中甲、乙参加同一个项目 , 则丙、丁参加另外的 2 个项目 , 有 =6 种情况 , 则甲、乙 2 人不能参加同一个项目的安排方案有 36-6=30 种 . 应用方法归纳 1. 在应用化归与转化的思想方法去解决数学问题时 , 没有一个统一的模式 , 它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换 . 2. 转化与化归思想在解题中的应用 (1) 在三角函数和解三角形中 , 主要的方法有公式的“三用” ( 顺用、逆用、变形用 ), 角度的转化 , 函数的转化 , 通过正弦、余弦定理实现边角关系的相互转化 . (2) 在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时 , 常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化 . (3) 在解决数列问题时 , 常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解 . (4) 在利用导数研究函数问题时 , 常将函数的单调性、极值 ( 最值 ) 、切线问题 , 转化为由其导函数 f'(x) 构成的方程、不等式问题求解 . 第 4 讲　从审题中寻找解题思路 第二部分 2021 审题亦即提取有效信息 , 挖掘隐含信息 , 提炼关键信息 . 条件是题目的“泉眼” . 为考核学生的观察、理解、分析、推理等能力 , 高考试题往往变换概念的表述形式 , 精简试题从条件到结论的中间环节 , 透析试题的条件之间的联系 , 隐去问题涉及的数学思想及背景 . 如何科学地审题是同学们最需要掌握的基本技能 . 事实上 , 审题能力的培养并未引起应有的重视 , 很多同学热衷于题型的总结与解题方法和技巧的训练 , 把数学学习等同于解题训练 , 一味地机械模仿导致应变能力不强 , 遇到陌生的问题往往束手无策 , 致使解题失误或陷入误区 . 审题与解题的关系 审题和解题是解答数学试题的重要两步 , 其中 , 审题是解题的前提 , 详细全面地审题为顺利解题扫除大部分障碍 , 正确把握数学试题中的已知条件和所求 , 从题目关键词语中挖掘隐含条件、启发解题思路 , 最短时间内理解条件和结论所包含的详细信息是保障解题效率与解题质量的必需条件 . 解题作为审题活动的升华 , 是全面解答数学试题的核心 . 怎样算是审清题意 一、审清条件信息 审视条件一般包括“挖掘隐含信息、洞察结构特征、洞悉图形趋势、研读图表数据”等几方面 . 审题时要避开过去熟悉的同类题目的影响 , 看似相同 , 就按过去同类型题目进行求解 , 要审出同还是不同 , 不能似是而非 . 【 例 1】(1)(2019 广东广州二模 , 文 12) 若函数 f(x)=-x2(x2+ax+b) 的图象关于直线 x=-1 对称 , 则 f(x) 的最大值是 ( 　　 ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 答案 C 解析 ( 方法一 )∵f(x)=-x2(x2+ax+b) 的图象关于直线 x=-1 对称 , 且 f(x)=0 有重根 0, 所以 x2+ax+b=0 有重根 -2,∴f(x)=-x2(x+2)2= 所以当 x=0 时 ,f(x) 的最大值是 0. ( 方法二 ) 由对称性可知 f(-2)=f(0), 得 2a=b+4,① 由 f(x) 关于 x=-1 对称 , 可知 f'(-1)=0, 得 3a=2b+4,② 联立①②解得 a=b=4, 得 f(x)=-x2(x+2)2, 可知 f(x)≤0, 所以当 x=0 时 ,f(x) 的最大值是 0. ( 方法三 ) 因为 f(x)=-x2(x2+ax+b) 的图象关于直线 x=-1 对称 , 则满足 f(x-1)=f(-1-x). 运用特殊值法 . 取 x=1,x=2, 代入上式 , 当 a=b=4 时 ,f(x)=f(-2-x) 恒成立 , 即 a=b=4 满足题意 . 即 f(x)=-x2(x+2)2. 当 x=0 时 ,f(x) 取最大值 0, 故选 C. (2)(2019 河北衡水高三联考 , 理 12) 如图 , 在△ ABC 中 ,∠ABC=90°, AB= ,BC=1,P 为△ ABC 内一点 ,∠BPC=90°. 若∠ APB=150°, 则 tan ∠PBA=( 　　 ) 答案 C ( 方法二 ) 借助平面几何知识 , 寻找到线段长度关系 . 延长 BP, 过 A 点作 BP 延长线的垂线 , 垂足为 D. 记∠ PBA=θ, 由∠ ABC=∠BPC=90°, 得∠ PCB=θ. (1) 审题指导一从题目条件中只能看到图象关于直线 x=-1 对称 , 但从已知中找不到与函数 f(x) 的零点的关系 , 所以应注意到方程 f(x)=0 隐含有重根 0, 根据对称性 , 发现重根 -2, 确定函数 f(x) 的解析式 , 从而求出最大值 . 审题指导二根据对称性可知 f(-2)=f(0), 且 x=-1 是函数 f(x) 的极值点 , 得到 f'(-1)=0, 联立得到关于 a,b 的方程组 , 从而求出 f(x) 的解析式 , 从而求出最大值 . 审题指导三对于函数对称性问题 , 可以运用特殊值法 . 若函数 f(x) 关于 x=a 对称 , 则满足 f(x+a)=f(a-x); 若函数 f(x) 关于 (a,b) 对称 , 则满足 f(x+a)+f(a-x)=2b. (2) 审题指导一利用 Rt△ABC 和 Rt△BPC 的边角关系 , 求得∠ PCB=∠ABP =θ, 进而推出 PC=cos θ, 同理根据∠ PCB+∠PCA=∠ACB=∠PCA+∠PAC, 推出∠ PAC=θ, 将已知条件转化为已知两边及其对角 , 解△ APC, 由正弦定理及同角三角函数关系 , 求得 tan ∠PBA. 审题指导二借助平面几何知识 , 过 A 点作 BP 延长线的垂线 , 构造 Rt△ADB, 利用 Rt△ABC 和 Rt△BPC 的边角关系 , 求得∠ PCB=∠ABP=θ, 解 Rt△ADB 、 Rt△BPC 、 Rt△ADP, 找出 AD 、 BD 、 PD 、 BP 之间的关系 , 并用与 θ 有关的正、余弦表示出来 , 利用 BD=BP+PD 建立等量关系求解 tan ∠PBA. 二、审条件中的隐含 有的数学试题条件并不明显 , 审题时要注意挖掘隐含条件和信息 , 对条件进行再认识、再加工 , 只有这样 , 方可避免因忽视隐含条件而出现错误 . 要注意已知条件中的概念本身容易疏忽的限定信息 , 关注问题中易于疏忽的特殊情形、可能情形、相近概念之间的差异 , 要清晰定理成立、公式存在的前提 . 答案 C (2)(2020 浙江考前模拟 ,10) 若对圆 (x-1)2+(y-1)2=1 上任意一点 P(x,y), |3x-4y+a|+|3x-4y-9| 的取值与 x,y 无关 , 则实数 a 的取值范围是 ( 　　 ) A.(-∞,4] B.[-4,6] C.(-∞,4]∪[6,+∞) D.[6,+∞) 答案 D 表示 P(x,y) 到两条平行直线 3x-4y+a=0 和 3x-4y-9=0 的距离之和 , 由距离之和与圆上任意一点的坐标 x,y 无关 , 故两条平行直线在圆的两侧 , 又直线 3x-4y-9=0 在圆的下方 , 所以直线 3x-4y+a=0 应该在圆的上方 , 故圆心 (1,1) 到直线 3x-4y+a=0 的距离 d= 1, 解得 a≥6 或 a≤-4( 舍去 ), 故选 D. (2) 审题指导一看到 |3x-4y+a|+|3x-4y-9| 联想点到直线的距离公式 , 能审出其表示的是点 P(x,y) 到两条平行直线 3x-4y+a=0 和 3x-4y-9=0 的距离之和 ; 审题指导二由距离之和与 x,y 无关 , 能审出隐含条件两条平行直线在圆的两侧 , 从而圆心 (1,1) 到每条直线的距离都大于或等于半径 1, 由此得到 a 的取值范围是 a≥6 或 a≤-4; 审题指导三由直线 3x-4y-9=0 的表达式 , 能审出该直线在圆的下方 , 所以另一直线必须在圆的上方 , 从而舍去 a≤-4. 三、审条件中的结构特征 高考数学试题中的已知条件 , 很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的 . 在这些问题的数式结构中 , 往往隐含着某种特殊关系 , 我们不仅要认真审视数式的浅层结构特征 , 还要对数式结构进行深入的分析、加工、转化 , 努力弄清其深层结构特征 , 在这个逐步清晰的过程中 , 力争寻找到突破问题的方案 . 答案 C 　 ∴bc=25.∵a2=b2+c2-2bccos A,∴b2+c2=a2+bc=50, 则 (b+c)2=100,∴b+c=10. ∴b=c=5.∴△ABC 为等边三角形 . ∴bc=25.∵a2=b2+c2-2bccos A, ∴b2+c2=a2+bc=50. 则 (b+c)2=100,∴b+c=10, ∴b=c=5.∴△ABC 为等边三角形 . 审题指导已知条件有 3 个 . 由 a=5 和 S△ABC= 得不出结果 , 所以突破口为 b2+c2-a2=accos C+c2cos A, 该条件是关于三边两角的关系式 , 等式左边的结构与余弦定理的变式 2bccos A 相等 , 代换后进行化简得结论 A= , 此为解法一 ; 观察该等式的右边 , 为减少变量进行角边的转换 , 利用边表示角 , 得第二种解法 . 四、审图形特点寻简捷 在一些高考数学试题中 , 问题的条件往往是以图形的形式给出 , 或将条件隐含在图形之中 , 因此在审题时 , 最好画一个图 , 并在图中标出必要的条件和数据 , 画图的过程是一个熟悉问题的过程 , 是一个对已知条件进行再认识的过程 . 不仅如此 , 还要善于观察图形 , 洞悉图形所隐含的特殊的关系、数值的特点、变化的趋势 , 抓住图形的特征 , 利用图形所提供的信息来解决问题 . 【 例 4】(2020 北京 ,15) 为满足人民对美好生活的向往 , 环保部门要求相关企业加强污水治理 , 排放未达标的企业要限期整改 . 设企业的污水排放量 W 与时间 t 的关系为 W=f(t), 用 - 的大小评价在 [a,b] 这段时间内企业污水治理能力的强弱 , 已知整改期内 , 甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示 . 给出下列四个结论 : ① 在 [t1,t2] 这段时间内 , 甲企业的污水治理能力比乙企业强 ; ② 在 t2 时刻 , 甲企业的污水治理能力比乙企业强 ; ③ 在 t3 时刻 , 甲、乙两企业的污水排放都已达标 ; ④ 甲企业在 [0,t1],[t1,t2],[t2,t3] 这三段时间中 , 在 [0,t1] 的污水治理能力最强 . 其中所有正确结论的序号是　　　　　 .  答案 ①②③ 解析 - 表示区间端点连线斜率的负数 , 在 [t1,t2] 这段时间内 , 甲的斜率比乙的小 , 所以甲的斜率的相反数比乙的大 , 因此甲企业的污水治理能力比乙企业强 ,① 正确 ; 在 t2 时刻 , 甲切线的斜率比乙的小 , 所以甲切线的斜率的相反数比乙的大 , 甲企业的污水治理能力比乙企业强 ,② 正确 ; 在 t3 时刻 , 甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下 , 所以都已达标 ,③ 正确 ; 甲企业在 [0,t1],[t1,t2],[t2,t3] 这三段时间中 , 甲企业在 [t1,t2] 这段时间内斜率最小 , 则其相反数最大 , 即在 [t1,t2] 的污水治理能力最强 ,④ 错误 . 故正确的结论为①②③ . 五、审图表数据找关联 数据分析是数学学科核心素养之一 . 此类问题关注现实生活 , 试题中的图表、数据隐藏着丰富的数据和信息及其内在联系 , 也往往暗示着解决问题的目标和方向 , 要求考生发现生活中的问题 , 学着运用课堂上学到的知识来分析、解决 . 在审题时 , 要认真观察分析图表、数据的特征和规律 , 找到其中的内在联系 , 为解决问题提供有效的途径 . 【 例 5】 某公司计划购买 1 台机器 , 该种机器使用三年后即被淘汰 . 机器有一易损零件 , 在购进机器时 , 可以额外购买这种零件作为备件 , 每个 200 元 . 在机器使用期间 , 如果备件不足再购买 , 则每个 500 元 . 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件 , 为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数 , 得下面柱状图 : 记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数 ,y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用 ( 单位 : 元 ),n 表示购机的同时购买的易损零件数 . (1) 若 n=19, 求 y 与 x 的函数解析式 ; (2) 若要求“需更换的易损零件数不大于 n” 的频率不小于 0.5, 求 n 的最小值 ; (3) 假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件 , 或每台都购买 20 个易损零件 , 分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数 , 以此作为决策依据 , 购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件 ? 解 (1) 当 x≤19 时 ,y=3 800; 当 x>19 时 ,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700. (2) 由柱状图知 , 需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46, 不大于 19 的频率为 0.7, 故 n 的最小值为 19. (3) 若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件 , 则这 100 台机器中有 70 台在购买易损零件上的费用为 3 800 元 ,20 台的费用为 4 300 元 ,10 台的费用为 4 800 元 , 因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 (3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000 元 . 若每台机器在购机同时都购买 20 个易损零件 , 则这 100 台机器中有 90 台在购买易损零件上的费用为 4 000 元 ,10 台的费用为 4 500 元 , 因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 (4 000×90+4 500×10)=4 050 元 . 比较两个平均数可知 , 购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件 . 审题指导把统计与函数结合在一起进行考查 , 有综合性但难度不大 . (1) 当 n=19 时 , 探求 y 与 x 的函数解析式 , 由于机器使用前额外购买这种零件的价格与机器使用期间再购买这种零件的价格不同 , 需对 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数 x 与购机的同时购买的易损零件数 n=19 加以比较 , 自然应用分类讨论思想对 x≤19 与 x>19, 分别探求 y 与 x 的函数解析式 ; (2) 本题的统计图表不是高频考查的频率分布直方图 , 而是统计图表中的柱状图 ; (3) 许多考生没有读懂题意 , 本问是判断购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件 , 而判断的决策依据是 : 这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数 , 为此需计算两种方案时的平均数 . 每一种方案 , 在求解其平均数时自然需要借助于柱状图 . 六、审结论善转换 结论是解题的最终目标 , 解决问题的思维在很多情形下都是在目标意识下启动和定向的 . 审视结论是要探索已知条件和结论间的联系与转化规律 , 可以从结论中捕捉解题信息 , 确定解题方向 . 有些问题的结论看似不明确或不利于解决 , 我们可以转换角度 , 达到解决问题的目的 . 【 例 6】(2020 山东济南三模 ,16) 已知函数 f(x)=2ln x,g(x)=ax2-x- (a>0). 若直线 y=2x-b 与函数 y=f(x),y=g(x) 的图象均相切 , 则 a 的值为　　　　　 ; 若总存在直线与函数 y=f(x),y=g(x) 的图象均相切 , 则 a 的取值范围是　　　　　 .  审题指导一将条件两函数 f(x) 与 g(x) 的图象都与直线相切 , 转换成两个函数的导数都等于该直线的斜率 , 从而得到方程组 , 解出参数 a 的值 . 审题指导二将条件总存在直线与函数 y=f(x),y=g(x) 的图象均相切 , 首先转换成函数 f(x) 的图象的切线与函数 g(x) 的图象相切 , 其次再转换成由 f(x) 的图象的切线方程与函数 g(x) 的解析式组成的方程有两相等实根 , 然后将有两相等实根转换成判别式等于 0, 从而得出关于参数 a 的表达式 , 最后转换成求 a 的最小值 . 七、审已知与结论建联系 高考试题的条件和结论是两个信息源 , 其条件和结论很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的 . 弄清问题不仅要弄清条件 , 弄清结论 , 还要弄清条件与所求结论的相互联系 , 以求手段与目标的统一 . 答案 A 审题指导一求 sin A+sin B 取最大值时 ,△ABC 内切圆的半径 , 首先要求出 sin A+sin B 取最大值时角 A,B 所具备的关系 . 审题指导二如何应用上已知条件 cos A+cos B= 是解决问题的突破口 , 条件是两角的余弦 , 要求的最大值是两角的正弦 , 同角三角函数的平方公式能够将条件和要求的结论联系起来 , 从而找到解决问题的思路 . 审题策略归纳 1. 试题的条件和结论是解题的两个信息源 , 题目的条件对于得出结论是充分的 , 解题的钥匙就放在题目的条件里 , 其中的许多信息常常是通过语言文字、公式符号以及它们之间的联系间接地告诉我们 , 所以 , 审题要逐字逐句看清楚 , 力求从语法结构、逻辑关系、数字含义、条件特征、答题形式、数据联系等各方面真正弄懂题意 . 只有细致审题才能挖掘出来 , 避免发生会而不对、对而不全的现象 . 欲速则不达 , 审题不要怕慢 ! 当然这有待于平时的审题训练 . 2. 审题决定成败 . 审题是解题的一个重要步骤 , 通过审题收集信息、加工信息 , 熟悉题目并深入到题目内部去思考、去分析 , 我们就会找到问题解决的突破口 .