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- 2021-06-16 发布
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椭圆与双曲线的性质
椭 圆
1. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角.
2. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长
轴的两个端点.
3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5. 若 0 0 0( , )P x y 在椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
上,则过 0P 的椭圆的切线方程是 0 0
2 2 1x x y y
a b
.
6. 若 0 0 0( , )P x y 在椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线
方程是 0 0
2 2 1x x y y
a b
.
7. 椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点 1 2F PF ,则椭圆
的焦点角形的面积为
1 2
2 tan 2F PFS b
.
8. 椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
(a>b>0)的焦半径公式:
1 0| |MF a ex , 2 0| |MF a ex ( 1( ,0)F c , 2 ( ,0)F c 0 0( , )M x y ).
9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应
于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P
和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF.
11. AB 是椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
的不平行于对称轴的弦,M ),( 00 yx 为 AB 的中点,则
2
2OM AB
bk k a
,
即
0
2
0
2
ya
xbK AB 。
12. 若 0 0 0( , )P x y 在椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是
2 2
0 0 0 0
2 2 2 2
x x y y x y
a b a b
.
13. 若 0 0 0( , )P x y 在椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是
2 2
0 0
2 2 2 2
x x y yx y
a b a b
.
双曲线
1. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角.
2. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除
去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支)
5. 若 0 0 0( , )P x y 在 双 曲 线
2 2
2 2 1x y
a b
( a > 0,b > 0 ) 上 , 则 过 0P 的 双 曲 线 的 切 线 方 程 是
0 0
2 2 1x x y y
a b
.
6. 若 0 0 0( , )P x y 在双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
(a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、
P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 0 0
2 2 1x x y y
a b
.
7. 双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
(a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意一点 1 2F PF ,
则双曲线的焦点角形的面积为
1 2
2 t 2F PFS b co
.
8. 双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
(a>0,b>o)的焦半径公式:( 1( ,0)F c , 2 ( ,0)F c
当 0 0( , )M x y 在右支上时, 1 0| |MF ex a , 2 0| |MF ex a .
当 0 0( , )M x y 在左支上时, 1 0| |MF ex a , 2 0| |MF ex a
9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ
分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.
10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交
于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF.
11. AB 是双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M ),( 00 yx 为 AB 的中点,则
0
2
0
2
ya
xbKK ABOM ,即
0
2
0
2
ya
xbK AB 。
12. 若 0 0 0( , )P x y 在双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
(a>0,b>0)内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是
2 2
0 0 0 0
2 2 2 2
x x y y x y
a b a b
.
13. 若 0 0 0( , )P x y 在 双 曲 线
2 2
2 2 1x y
a b
( a > 0,b > 0 ) 内 , 则 过 Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是
2 2
0 0
2 2 2 2
x x y yx y
a b a b
.
椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)
椭 圆
1. 椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
(a>b>o)的两个顶点为 1( ,0)A a , 2 ( ,0)A a ,与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、
P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是
2 2
2 2 1x y
a b
.
2. 过椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
(a>0, b>0)上任一点 0 0( , )A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C
两点,则直线 BC 有定向且
2
0
2
0
BC
b xk a y
(常数).
3. 若 P 为椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点, 1 2PF F ,
2 1PF F ,则 tan t2 2
a c coa c
.
4. 设椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
(a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在
△PF1F2 中,记 1 2F PF , 1 2PF F , 1 2F F P ,则有 sin
sin sin
c ea
.
5. 若椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 0<e≤ 2 1 时,
可在椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.
6. P 为 椭 圆
2 2
2 2 1x y
a b
( a > b > 0 ) 上 任 一 点 ,F1,F2 为 二 焦 点 , A 为 椭 圆 内 一 定 点 , 则
2 1 12 | | | | | | 2 | |a AF PA PF a AF ,当且仅当 2, ,A F P 三点共线时,等号成立.
7. 椭 圆
2 2
0 0
2 2
( ) ( ) 1x x y y
a b
与 直 线 0Ax By C 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是
2 2 2 2 2
0 0( )A a B b Ax By C .
8. 已知椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
(a>b>0),O 为坐标原点,P、Q 为椭圆上两动点,且 OP OQ .(1)
2 2 2 2
1 1 1 1
| | | |OP OQ a b
;(2)|OP|2+|OQ|2 的最大值为
2 2
2 2
4a b
a b
;(3) OPQS 的最小值是
2 2
2 2
a b
a b
.
9. 过椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
(a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分
线交 x 轴于 P,则 | |
| | 2
PF e
MN
.
10. 已知椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交
于点 0( ,0)P x , 则
2 2 2 2
0
a b a bxa a
.
11. 设 P 点是椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 1 2F PF ,
则(1)
2
1 2
2| || | 1 cos
bPF PF
.(2)
1 2
2 tan 2PF FS b
.
12. 设 A、B 是椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
( a>b>0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点, PAB ,
PBA , BPA ,c、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1)
2
2 2 2
2 | cos || | s
abPA a c co
.(2)
2tan tan 1 e .(3)
2 2
2 2
2 cotPAB
a bS b a
.
13. 已知椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
( a>b>0)的右准线l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的直线与椭
圆相交于 A、B 两点,点C 在右准线 l 上,且 BC x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点.
14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必
与切线垂直.
15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂
直.
16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).
(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)
17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.
18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)
双曲线
1. 双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
(a>0,b>0)的两个顶点为 1( ,0)A a , 2 ( ,0)A a ,与 y 轴平行的直线交
双曲线于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是
2 2
2 2 1x y
a b
.
2. 过双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
(a>0,b>o)上任一点 0 0( , )A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲
线于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且
2
0
2
0
BC
b xk a y
(常数).
3. 若 P 为双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦点,
1 2PF F , 2 1PF F ,则 tan t2 2
c a coc a
(或 tan t2 2
c a coc a
).
4. 设双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任
意 一 点 , 在 △ PF1F2 中 , 记 1 2F PF , 1 2PF F , 1 2F F P , 则 有
sin
(sin sin )
c ea
.
5. 若双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 1<e≤ 2 1
时,可在双曲线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.
6. P 为双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
(a>0,b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为双曲线内一定点,则
2 1| | 2 | | | |AF a PA PF ,当且仅当 2, ,A F P 三点共线且 P 和 2,A F 在 y 轴同侧时,等号成
立.
7. 双 曲 线
2 2
2 2 1x y
a b
( a > 0,b > 0 ) 与 直 线 0Ax By C 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是
2 2 2 2 2A a B b C .
8. 已知双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
(b>a >0),O 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动点,且OP OQ .
(1) 2 2 2 2
1 1 1 1
| | | |OP OQ a b
;(2)|OP|2+|OQ|2 的最小值为
2 2
2 2
4a b
b a
;(3) OPQS 的最小值是
2 2
2 2
a b
b a
.
9. 过双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
(a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点,弦 MN
的垂直平分线交 x 轴于 P,则 | |
| | 2
PF e
MN
.
10. 已知双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
(a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x
轴相交于点 0( ,0)P x , 则
2 2
0
a bx a
或
2 2
0
a bx a
.
11. 设 P 点是双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记
1 2F PF ,则(1)
2
1 2
2| || | 1 cos
bPF PF
.(2)
1 2
2 cot 2PF FS b
.
12. 设 A、B 是双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
(a>0,b>0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点, PAB ,
PBA , BPA , c 、 e 分 别 是 双 曲 线 的 半 焦 距 离 心 率 , 则 有
(1)
2
2 2 2
2 | cos || | | s |
abPA a c co
.
(2) 2tan tan 1 e .(3)
2 2
2 2
2 cotPAB
a bS b a
.
13. 已知双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
(a>0,b>0)的右准线l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲线右焦点 F 的
直线与双曲线相交于 A、B 两点,点C 在右准线l 上,且 BC x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的
中点.
14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点
的连线必与切线垂直.
15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径
互相垂直.
16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).
17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.
18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
圆锥曲线问题解题方法
圆锥曲线中的知识综合性较强,因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理
问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确解题,还须掌握一些方法和技巧。
一. 紧扣定义,灵活解题
灵活运用定义,方法往往直接又明了。
例 1. 已知点 A(3,2),F(2,0),双曲线 x y2
2
3 1 ,P 为双曲线上一点。
求| | | |PA PF 1
2
的最小值。
解析:如图所示,
双曲线离心率为 2,F 为右焦点,由第二定律知 1
2 | |PF 即点 P 到准线距离。
| | | | | | | |PA PF PA PE AM1
2
5
2
二. 引入参数,简捷明快
参数的引入,尤如化学中的催化剂,能简化和加快问题的解决。
例 2. 求共焦点 F、共准线 l 的椭圆短轴端点的轨迹方程。
解:取如图所示的坐标系,设点 F 到准线 l 的距离为 p(定值),椭圆中心坐标为 M(t,0)(t 为
参数)
p b
c
2
,而 c t
b pc pt2
再设椭圆短轴端点坐标为 P(x,y),则
x c t
y b pt
消去 t,得轨迹方程 pxy 2
三. 数形结合,直观显示
将“数”与“形”两者结合起来,充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性,以数促形,用形助数,
结合使用,能使复杂问题简单化,抽象问题形象化。熟练的使用它,常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦
的问题。
例 3. 已知 x y R, ,且满足方程 )0(322 yyx ,又 m y
x
3
3
,求 m 范围。
解析:m y
x
3
3
的几何意义为,曲线 x y y2 2 3 0 ( ) 上的点与点(-3,-3)连线的斜率,
如图所示
k m kPA PB
3 3
2
3 5
2m
四. 应用平几,一目了然
用代数研究几何问题是解析几何的本质特征,因此,很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”
知识相关联,要抓住关键,适时引用,问题就会迎刃而解。
例 4. 已知圆 ( )x y 3 42 2 和直线 y mx 的交点为 P、Q,则| || |OP OQ 的值为________。
解: OMP OQN~
| || | | || |OP OQ OM ON 5
五. 应用平面向量,简化解题
向量的坐标形式与解析几何有机融为一体,因此,平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。
例 5. 已知椭圆: x y2 2
24 16 1 ,直线 l : x y
12 8 1 ,P 是 l 上一点,射线 OP 交椭圆于一点 R,点 Q
在 OP 上且满足| || | | |OQ OP OR 2 ,当点 P 在 l 上移动时,求点 Q 的轨迹方程。
分析:考生见到此题基本上用的都是解析几何法,给解题带来了很大的难度,而如果用向量共线
的条件便可简便地解出。
解 : 如 图 , OQ OR OP
, , 共 线 , 设 OR OQ
, OP OQ
, OQ x y
( ), , 则
OR x y
( ) , , OP x y
( ) ,
| || | | |OQ OP OR
2
| | | |OQ OQ2 2 2
2
点 R 在椭圆上,P 点在直线 l 上
2 2 2 2
24 16 1x y , x y
12 8 1
即 x y x y2 2
24 16 12 8
化简整理得点 Q 的轨迹方程为:
( ) ( )x y 1
5
2
1
5
3
1
2 2
(直线 y x 2
3
上方部分)
六. 应用曲线系,事半功倍
利用曲线系解题,往往简捷明快,收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题
方法和技巧之一。
例 6. 求经过两圆 x y x2 2 6 4 0 和 x y y2 2 6 28 0 的交点,且圆心在直线 x y 4 0
上的圆的方程。
解:设所求圆的方程为:
x y x x y y2 2 2 26 4 6 28 0 ( )
( ) ( ) ( )1 1 6 6 28 4 02 2 x y x y
则圆心为 ( )
3
1
3
1
, ,在直线 x y 4 0 上
解得 7
故所求的方程为 x y x y2 2 7 32 0
七. 巧用点差,简捷易行
在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程,往往采用点差法,此法比其它方法更简捷一些。
例 7. 过点 A(2,1)的直线与双曲线 x y2
2
2 1 相交于两点 P1、P2,求线段 P1P2 中点的轨迹方程。
解:设 P x y1 1 1( ), , P x y2 2 2( ), ,则
x y
x y
1
2 1
2
2
2 2
2
2 1 1
2 1 2
<2>-<1>得
( )( ) ( )( )x x x x y y y y
2 1 1 2
2 1 1 2
2
即 y y
x x
x x
y y
2 1
2 1
1 2
1 2
2
( )
设 P1P2 的中点为 M x y( )0 0, ,则
k y y
x x
x
yP P1 2
2 1
2 1
0
0
2
又 k y
xAM
0
0
1
2
,而 P1、A、M、P2 共线
k kP P AM1 2
,即 y
x
x
y
0
0
0
0
1
2
2
P P1 2 中点 M 的轨迹方程是 2 4 02 2x y x y
解析几何题怎么解
高考解析几何试题一般共有 4 题(2 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题), 共计 30 分左右, 考查的知
识点约为 20 个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥
曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组
与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这
点值得考生在复课时强化.
例 1 已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点,AB=2、OT=t (0
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