2021届高考数学一轮总复习课时作业68不等式的证明含解析苏教版 3页

课时作业68　不等式的证明 ‎1．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1.‎ ‎(1)求证：a2＋b2＋c2≥；‎ ‎(2)求证：＋＋≥1.‎ 证明：(1)∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，‎ ‎∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，‎ ‎∵(a＋b＋c)2＝1，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，‎ ‎∴3(a2＋b2＋c2)≥1，即a2＋b2＋c2≥.‎ ‎(2)∵＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，∴＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c，‎ ‎∵a＋b＋c＝1，∴＋＋≥1.‎ ‎2．已知函数f(x)＝|x－3|.‎ ‎(1)求不等式f(x)2a2＋2b2.‎ 解：(1)当x≥3时，|x－3|1，所以11}．‎ ‎(2)证明：因为(a2＋1)(b2＋1)－(2a2＋2b2)‎ ‎＝(ab)2＋a2＋b2＋1－2a2－2b2‎ ‎＝(ab)2－a2－b2＋1＝(a2－1)(b2－1)，‎ 又因为a，b∈M，所以a>1，b>1，‎ 因此a2>1，b2>1，a2－1>0，b2－1>0，‎ 所以(a2－1)(b2－1)>0，‎ 所以原不等式(a2＋1)(b2＋1)>2a2＋2b2成立．‎ ‎3．(2020·昆明市教学质量检测)已知函数f(x)＝|2x－1|.‎ ‎(1)解不等式f(x)＋f(x＋1)≥4；‎ ‎(2)当x≠0，x∈R时，证明：f(－x)＋f()≥4.‎ 解：(1)不等式f(x)＋f(x＋1)≥4等价于|2x－1|＋|2x＋1|≥4，‎ 等价于或或 3‎ 解得x≤－1或x≥1，‎ 所以原不等式的解集是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．‎ ‎(2)证明：当x≠0，x∈R时，f(－x)＋f()＝|－2x－1|＋|－1|，因为|－2x－1|＋|－1|≥|2x＋|＝2|x|＋≥4，当且仅当 即x＝±1时等号成立，‎ 所以f(－x)＋f()≥4.‎ ‎4．已知函数f(x)＝|x＋4|，不等式f(x)>8－|2x－2|的解集为M.‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)设a，b∈M，证明：f(ab)>f(2a)－f(－2b)．‎ 解：(1)将f(x)＝|x＋4|代入不等式整理得|x＋4|＋|2x－2|>8.‎ ‎①当x≤－4时不等式转化为－x－4－2x＋2>8，‎ 解得x<－，所以此时x≤－4；‎ ‎②当－48，‎ 解得x<－2，所以此时－48，‎ 解得x>2，所以此时x>2，‎ 综上，M＝{x|x<－2或x>2}．‎ ‎(2)证明：因为f(2a)－f(－2b)＝|2a＋4|－|－2b＋4|≤|2a＋4＋2b－4|＝|2a＋2b|，‎ 所以要证f(ab)>f(2a)－f(－2b)，‎ 只需证|ab＋4|>|2a＋2b|，‎ 即证(ab＋4)2>(2a＋2b)2，‎ 即证a2b2＋8ab＋16>4a2＋8ab＋4b2，‎ 即证a2b2－4a2－4b2＋16>0，‎ 即证(a2－4)(b2－4)>0.‎ 因为a，b∈M，所以a2>4，b2>4，‎ 所以(a2－4)(b2－4)>0成立，所以原不等式成立．‎ ‎5．设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.‎ ‎(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；‎ ‎(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，证明：a≤－3或a≥－1.‎ 解：(1)由于[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)(z＋1)＋(z＋1)(x－1)]≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，‎ 故由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥，当且仅当x＝，y＝－，z＝－时等号成立．‎ 所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值为.‎ 3‎ ‎(2)证明：由于[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)]≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]，‎ 故由已知得(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥，当且仅当x＝，y＝，z＝时等号成立．‎ 因此(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2的最小值为.‎ 由题设知≥，解得a≤－3或a≥－1.‎ ‎6．(2020·成都市第二次诊断性检测)已知函数f(x)＝|x－m|‎ ‎－|x＋2m|的最大值为3，其中m>0.‎ ‎(1)求m的值；‎ ‎(2)若a，b∈R，ab>0，a2＋b2＝m2，求证：＋≥1.‎ 解：(1)∵m>0，‎ ‎∴f(x)＝|x－m|－|x＋2m|‎ ‎＝ ‎∴当x≤－2m时，f(x)取得最大值3m，∴3m＝3，∴m＝1.‎ ‎(2)证明：由(1)，得a2＋b2＝1，‎ ＋＝＝＝－2ab.‎ ‎∵a2＋b2＝1≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，‎ ‎∴0