高中数学人教a版选修2-2（课时训练）：3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 8页

3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 [学习目标] 1．了解引进虚数单位 i 的必要性，了解数集的扩充过程． 2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念． 3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件． [知识链接] 为解决方程 x2＝2，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实 数范围内也有很多问题不能解决，如从解方程的角度看，x2＝－1 这个方程在实数范围内就 无解，那么怎样解决方程 x2＝－1 在实数系中无根的问题呢？ 答 设想引入新数 i，使 i 是方程 x2＝－1 的根，即 i·i＝－1，方程 x2＝－1 有解，同时得到 一些新数． [预习导引] 1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如 a＋bi 的数叫做复数，其中 a，b∈R，i 叫做虚数单位．a 叫做复数的 实部，b 叫做复数的虚部． (2)复数的表示方法：复数通常用字母 z 表示，即 z＝a＋bi. (3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．通常用大写字母 C 表示． 2．复数的分类及包含关系 (1)复数(a＋bi，a，b∈R) 实数b＝0 虚数b≠0 纯虚数a＝0 非纯虚数a≠0 (2)集合表示： 3．复数相等的充要条件 设 a，b，c，d 都是实数，那么 a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d. 要点一 复数的概念 例 1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． ①2＋3i；②－3＋1 2i；③ 2＋i；④π；⑤－ 3i；⑥0. 解 ①的实部为 2，虚部为 3，是虚数；②的实部为－3，虚部为1 2 ，是虚数；③的实部为 2， 虚部为 1，是虚数；④的实部为π，虚部为 0，是实数；⑤的实部为 0，虚部为－ 3，是纯虚 数；⑥的实部为 0，虚部为 0，是实数． 规律方法 复数 a＋bi 中，实数 a 和 b 分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的 虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部． 跟踪演练 1 已知下列命题： ①复数 a＋bi 不是实数； ②当 z∈C 时，z2≥0； ③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i 是纯虚数，则实数 x＝±2； ④若复数 z＝a＋bi，则当且仅当 b≠0 时，z 为虚数； ⑤若 a、b、c、d∈C 时，有 a＋bi＝c＋di，则 a＝c 且 b＝d. 其中真命题的个数是________． 答案 0 解析 根据复数的有关概念判断命题的真假．①是假命题，因为当 a∈R 且 b＝0 时，a＋bi 是实数．②是假命题，如当 z＝i 时，则 z2＝－1<0，③是假命题，因为由纯虚数的条件得 x2－4＝0， x2＋3x＋2≠0 ，解得 x＝2，当 x＝－2 时，对应复数为实数．④是假命题，因为没有强调 a，b∈R.⑤是假命题，只有当 a、b、c、d∈R 时，结论才成立． 要点二 复数的分类 例 2 实数 m 为何值时，复数 z＝mm＋2 m－1 ＋(m2＋2m－3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解 (1)要使 z 是实数，m 需满足 m2＋2m－3＝0，且mm＋2 m－1 有意义即 m－1≠0，解得 m＝ －3. (2)要使 z 是虚数，m 需满足 m2＋2m－3≠0，且mm＋2 m－1 有意义即 m－1≠0，解得 m≠1 且 m≠－3. (3)要使 z 是纯虚数，m 需满足mm＋2 m－1 ＝0， 且 m2＋2m－3≠0， 解得 m＝0 或 m＝－2. 规律方法 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不 等式求参数． 跟踪演练 2 实数 k 为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3) 纯虚数；(4)零． 解 由 z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i. (1)当 k2－5k－6＝0 时，z∈R，即 k＝6 或 k＝－1. (2)当 k2－5k－6≠0 时，z 是虚数，即 k≠6 且 k≠－1. (3)当 k2－3k－4＝0 k2－5k－6≠0 时，z 是纯虚数，解得 k＝4. (4)当 k2－3k－4＝0 k2－5k－6＝0 时，z＝0，解得 k＝－1. 要点三 两个复数相等 例 3 (1)已知 x2－y2＋2xyi＝2i，求实数 x、y 的值． (2)关于 x 的方程 3x2－a 2x－1＝(10－x－2x2)i 有实根，求实数 a 的值． 解 (1)∵x2－y2＋2xyi＝2i， ∴ x2－y2＝0， 2xy＝2， 解得 x＝1， y＝1， 或 x＝－1， y＝－1. (2)设方程的实数根为 x＝m，则原方程可变为 3m2－a 2m－1＝(10－m－2m2)i， ∴ 3m2－a 2m－1＝0， 10－m－2m2＝0， 解得 a＝11 或 a＝－71 5 . 规律方法 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要 条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数． 跟踪演练 3 已知 x，y 均是实数，且满足(x＋y)＋(y－1)i＝2x＋3y＋(2y＋1)i，求 x 与 y. 解 由复数相等的充要条件得 x＋y＝2x＋3y 且 y－1＝2y＋1，解得 x＝4，y＝－2. 1．已知复数 z＝a2－(2－b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3，则实数 a，b 的值分别是( ) A. 2，1 B．2，5 C．± 2，5 D．± 2，1 答案 C 解析 令 a2＝2 －2＋b＝3 ，得 a＝± 2，b＝5. 2．下列复数中，满足方程 x2＋2＝0 的是( ) A．±1 B．±i C．± 2i D．±2i 答案 C 3．下列命题正确的是( ) A．若 a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数 B．若 a，b∈R 且 a>b，则 a＋i>b＋i C．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i 是纯虚数，则实数 x＝±1 D．两个虚数不能比较大小 答案 D 解析 对于复数 a＋bi(a，b∈R)， 当 a＝0 且 b≠0 时为纯虚数． 在 A 中，若 a＝－1，则(a＋1)i 不是纯虚数，故 A 错误； 在 B 中，两个虚数不能比较大小，故 B 错误； 在 C 中，若 x＝－1，不成立，故 C 错误；D 正确． 4．在下列几个命题中，正确命题的个数为( ) ①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等； ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等； ③1－ai(a∈R)是一个复数； ④虚数的平方不小于 0； ⑤－1 的平方根只有一个，即为－i； ⑥i 是方程 x4－1＝0 的一个根； ⑦ 2i 是一个无理数． A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 答案 B 解析 命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误． 1．对于复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制 a，b 的值得到复数 z 的不同情况． 2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断. 一、基础达标 1．如果 z＝m(m＋1)＋(m2－1)i 为纯虚数，则实数 m 的值为( ) A．1 B．0 C．－1 D．－1 或 1 答案 B 解析 由题意知 mm＋1＝0 m2－1≠0 ，∴m＝0. 2．(2013·青岛二中期中)设 a，b∈R.“a＝0”是“复数 a＋bi 是纯虚数”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 B 解析 因为 a，b∈R.“a＝0”时“复数 a＋bi 不一定是纯虚数”．“复数 a＋bi 是纯虚数” 则“a＝0”一定成立．所以 a，b∈R.“a＝0”是“复数 a＋bi 是纯虚数”的必要而不充分条 件． 3．以－ 5＋2i 的虚部为实部，以 5i＋2i2 的实部为虚部的新复数是( ) A．2－2i B．－ 5＋ 5i C．2＋i D． 5＋ 5i 答案 A 解析 设所求新复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知：复数－ 5＋2i 的虚部为 2；复数 5i ＋2i2＝ 5i＋2×(－1)＝－2＋ 5i 的实部为－2，则所求的 z＝2－2i.故选 A. 4．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则 2x＋y 的值为( ) A.1 2 B．2 C．0 D．1 答案 D 解析 由复数相等的充要条件知， x＋y＝0， x－1＝0， 解得 x＝1， y＝－1， ∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1. 5．z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且 z1＝z2，则实数 m＝________，n＝________. 答案 2 ±2 解析 由 z1＝z2 得 －3＝n2－3m－1 －4＝n2－m－6 ， 解得 m＝2 n＝±2 . 6．(2013·上海)设 m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 m＝________. 答案 －2 解析 m2＋m－2＝0 m2－1≠0 ⇒m＝－2. 7．已知(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，求实数 x，y 的值． 解 ∵(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0， ∴ 2x－y＋1＝0， y－2＝0. 解得 x＝1 2 ， y＝2. 所以实数 x，y 的值分别为1 2 ，2. 二、能力提升 8．若(x3－1)＋(x2＋3x＋2)i 是纯虚数，则实数 x 的值是( ) A．1 B．－1 C．±1 D．－1 或－2 答案 A 解析 由题意，得 x3－1＝0， x2＋3x＋2≠0. 解得 x＝1. 9．若 sin 2θ－1＋i( 2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( ) A．2kπ－π 4(k∈Z) B．2kπ＋π 4(k∈Z) C．2kπ±π 4(k∈Z) D．k 2π＋π 4(k∈Z) 答案 B 解析 由题意，得 sin 2θ－1＝0 2cos θ＋1≠0 ，解得 θ＝kπ＋π 4 θ≠2kπ±3π 4 (k∈Z)，∴θ＝2kπ＋π 4 ，k∈Z. 10．在给出下列几个命题中，正确命题的个数为________． ①若 x 是实数，则 x 可能不是复数； ②若 z 是虚数，则 z 不是实数； ③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1 没有平方根． 答案 1 解析 因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③ 错；因－1 的平方根为±i，故④错． 11．实数 m 分别为何值时，复数 z＝2m2＋m－3 m＋3 ＋(m2－3m－18)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯 虚数． 解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为 0. 故若使 z 为实数，则 m2－3m－18＝0 m＋3≠0 ， 解得 m＝6.所以当 m＝6 时，z 为实数． (2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为 0. 故若使 z 为虚数，则 m2－3m－18≠0，且 m＋3≠0， 解得 m≠6 且 m≠－3，所以当 m≠6 且 m≠－3 时，z 为虚数． (3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为 0，虚部不为 0. 故若使 z 为纯虚数，则 2m2＋m－3＝0 m＋3≠0 m2－3m－18≠0 ， 解得 m＝－3 2 或 m＝1. 所以当 m＝－3 2 或 m＝1 时，z 为纯虚数． 12．设 z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若 z1－1，如何求自然数 m，n 的值？ 解 因为 log1 2(m＋n)－(m2－3m)i>－1， 所以 log1 2(m＋n)－(m2－3m)i 是实数，从而有 m2－3m＝0， ① log1 2 m＋n>－1， ② 由①得 m＝0 或 m＝3， 当 m＝0 时，代入②得 n<2，又 m＋n>0，所以 n＝1； 当 m＝3 时，代入②得 n<－1，与 n 是自然数矛盾， 综上可得 m＝0，n＝1