【数学】2021届一轮复习北师大版（理）23三角函数的图像与性质作业 8页

三角函数的图像与性质 建议用时：45 分钟 一、选择题 1．下列函数中，周期为 2π 的奇函数为(　　) A．y＝sin x 2cos x 2 　　　　 B．y＝sin2x C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cos 2x A　[y＝sin2x 为偶函数；y＝tan 2x 的周期为π 2 ；y＝sin 2x＋cos 2x 为非奇非偶 函数，故 B、C、D 都不正确，故选 A.] 2．函数 y＝|cos x|的一个单调增区间是(　　) A.[－π 2 ，π 2] B．[0，π] C.[π，3π 2 ] D.[3π 2 ，2π] D　[将 y＝cos x 的图像位于 x 轴下方的图像关于 x 轴对称翻折到 x 轴上方， x 轴上方(或 x 轴上)的图像不变，即得 y＝|cos x|的图像(如图)．故选 D. ] 3．如果函数 y＝3cos(2x＋φ)的图像关于点(4π 3 ，0)对称，那么|φ|的最小值为 (　　) A.π 6 　　　　 B.π 4 C.π 3 　　　　 D.π 2 A　[由题意得 3cos(2 × 4π 3 ＋φ)＝3cos(2π 3 ＋φ＋2π)＝3cos(2π 3 ＋φ)＝0， 所以2π 3 ＋φ＝kπ＋π 2 ，k∈Z. 所以 φ＝kπ－π 6 ，k∈Z，取 k＝0， 得|φ|的最小值为π 6.] 4．函数 y＝cos2x－2sin x 的最大值与最小值分别为(　　) A．3，－1 B．3，－2 C．2，－1 D．2，－2 D　[y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x ＝－sin2x－2sin x＋1， 令 t＝sin x， 则 t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2， 所以 ymax＝2，ymin＝－2.] 5．若函数 f(x)＝ 3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数，且在[－π 4 ，0]上为减函 数，则 θ 的一个值为(　　) A．－π 3 B．－π 6 C.2π 3 D.5π 6 D　[由题意得 f(x)＝ 3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin(2x＋θ＋π 6).因为函数 f(x) 为奇函数，所以 θ＋π 6 ＝kπ，k∈Z，故 θ＝－π 6 ＋kπ，k∈Z.当 θ＝－π 6 时，f(x)＝2sin 2x，在[－π 4 ，0]上为增函数，不合题意．当 θ＝5π 6 时，f(x)＝－2sin 2x，在[－π 4 ，0] 上为减函数，符合题意．故选 D.] 二、填空题 6．函数 y＝cos (π 4 －2x)的单调递减区间为________． [kπ＋π 8 ，kπ＋5π 8 ](k∈Z)　[因为 y＝cos(π 4 －2x)＝cos(2x－π 4)， 所以令 2kπ≤2x－π 4 ≤2kπ＋π(k∈Z)，解得 kπ＋π 8 ≤x≤kπ＋5π 8 (k∈Z)， 所以函数的单调递减区间为[kπ＋π 8 ，kπ＋5π 8 ](k∈Z)．] 7．已知函数 f(x)＝2sin(ωx－π 6)＋1(x∈R)的图像的一条对称轴为 x＝π，其中 ω 为常数，且 ω∈(1,2)，则函数 f(x)的最小正周期为________． 6π 5 　[由函数 f(x)＝2sin(ωx－π 6)＋1(x∈R)的图像的一条对称轴为 x＝π，可得 ωπ－π 6 ＝kπ＋π 2 ，k∈Z， ∴ω＝k＋2 3 ，又 ω∈(1,2)，∴ω＝5 3 ， 从而得函数 f(x)的最小正周期为2π 5 3 ＝6π 5 .] 8．设函数 f(x)＝sin(2x＋π 3).若 x1x2＜0，且 f(x1)－f(x2)＝0，则|x2－x1|的取值范 围为________． (π 6 ，＋∞)　[如图，画出 f(x)＝sin (2x＋π 3)的大致图像， 记 M(0， 3 2 )，N(π 6 ， 3 2 )，则|MN|＝π 6.设点 A，A′是平行于 x 轴的直线 l 与 函数 f(x)图像的两个交点(A，A′位于 y 轴两侧)，这两个点的横坐标分别记为 x1， x2，结合图形可知，|x2－x1|＝|AA′|∈(|MN|，＋∞)，即|x2－x2|∈(π 6 ，＋∞).] 三、解答题 9．已知 f(x)＝ 2sin(2x＋π 4). (1)求 f(x)的单调递增区间； (2)当 x∈[π 4 ，3π 4 ]时，求函数 f(x)的最大值和最小值． [解]　(1)令 2kπ－π 2 ≤2x＋π 4 ≤2kπ＋π 2 ，k∈Z， 得 kπ－3π 8 ≤x≤kπ＋π 8 ，k∈Z. 故 f(x)的单调递增区间为[kπ－3π 8 ，kπ＋π 8]，k∈Z. (2)当 x∈[π 4 ，3π 4 ]时，3π 4 ≤2x＋π 4 ≤7π 4 ， 所以－1≤sin(2x＋π 4)≤ 2 2 ， 所以－ 2≤f(x)≤1， 所以当 x∈[π 4 ，3π 4 ]时，函数 f(x)的最大值为 1，最小值为－ 2. 10．已知 a＝(sin x， 3cos x)，b＝(cos x，－cos x)，函数 f(x)＝a·b＋ 3 2 . (1)求函数 y＝f(x)图像的对称轴方程； (2)若方程 f(x)＝1 3 在(0，π)上的解为 x1，x2，求 cos(x1－x2)的值． [解]　(1)f(x)＝a·b＋ 3 2 ＝(sin x， 3cos x)·(cos x，－cos x)＋ 3 2 ＝sin x·cos x－ 3cos2x＋ 3 2 ＝1 2sin 2x－ 3 2 cos 2x＝sin(2x－π 3). 令 2x－π 3 ＝kπ＋π 2(k∈Z)，得 x＝5π 12 ＋k 2π(k∈Z)， 即函数 y＝f(x)图像的对称轴方程为 x＝5π 12 ＋k 2π(k∈Z)． (2)由(1)及已知条件可知(x 1，f(x1))与(x2，f(x2))关于 x＝5π 12 对称，则 x1＋x2＝ 5π 6 ， ∴cos(x1－x2)＝cos[x1－(5π 6 －x1)] ＝cos(2x1－5π 6 )＝cos[(2x1－π 3)－π 2] ＝sin(2x1－π 3)＝f(x1)＝1 3. 1．(2019·太原模拟)已知函数 f(x)＝2sin (ωx＋π 3)的图像的一个对称中心为 (π 3 ，0)，其中 ω 为常数，且 ω∈(1,3)．若对任意的实数 x，总有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)， 则|x1－x2|的最小值是(　　) A．1 B．π 2 C．2 D．π B　[因为函数 f(x)＝2sin (ωx＋π 3)的图像的一个对称中心为(π 3 ，0)，所以 π 3ω＋π 3 ＝kπ，k∈Z，所以 ω＝3k－1，k∈Z，由 ω∈(1,3)，得 ω＝2.由题意得|x1－x2|的最 小值为函数的半个周期，即T 2 ＝π ω ＝π 2.] 2．已知函数 f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b 对任意实数 x 有 f(x＋π 4)＝f(－x)恒成立， 且 f(π 8 )＝1，则实数 b 的值为(　　) A．－1 B．3 C．－1 或 3 D．－3 C　[由 f(x＋π 4)＝f(－x)可知函数 f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b 关于直线 x＝π 8 对称，又 函数 f(x)在对称轴处取得最值，故±2＋b＝1，∴b＝－1 或 b＝3.] 3．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(0＜φ＜2π 3 )的最小正周期为 π. (1)求当 f(x)为偶函数时 φ 的值； (2)若 f(x)的图像过点(π 6 ， 3 2 )，求 f(x)的单调递增区间． [解]　由 f(x)的最小正周期为 π，则 T＝2π ω ＝π，所以 ω＝2，所以 f(x)＝sin(2x ＋φ)． (1)当 f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)， 所以 sin(2x＋φ)＝sin(－2x＋φ)， 展开整理得 sin 2xcos φ＝0， 由已知上式对任意 x∈R 都成立， 所以 cos φ＝0.因为 0＜φ＜2π 3 ，所以 φ＝π 2. (2)因为 f(π 6 )＝ 3 2 ， 所以 sin(2 × π 6 ＋φ)＝ 3 2 ，即π 3 ＋φ＝π 3 ＋2kπ 或π 3 ＋φ＝2π 3 ＋2kπ(k∈Z)， 故 φ＝2kπ 或 φ＝π 3 ＋2kπ(k∈Z)， 又因为 0＜φ＜2π 3 ，所以 φ＝π 3 ， 即 f(x)＝sin(2x＋π 3)， 由－π 2 ＋2kπ≤2x＋π 3 ≤π 2 ＋2kπ(k∈Z) 得 kπ－5π 12 ≤x≤kπ＋ π 12(k∈Z)， 故 f(x)的递增区间为[kπ－5π 12 ，kπ＋ π 12](k∈Z)． 1．设函数 f(x)＝sin(2x＋π 4)(x ∈ [0，9π 8 ])，若方程 f(x)＝a 恰好有三个根，分 别为 x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，则 2x1＋3x2＋x3 的值为(　　) A.π B.3π 4 C.3π 2 D.7π 4 D　[由题意 x∈[0，9π 8 ]，则 2x＋π 4 ∈[π 4 ，5π 2 ]， 画出函数的大致图像，如图所示． 由图可得，当 2 2 ≤a＜1 时，方程 f(x)＝a 恰有三个 根．由 2x＋π 4 ＝π 2 得 x＝π 8 ， 由 2x＋π 4 ＝3π 2 得 x＝5π 8 ， 由图可知，点(x1，a)与点(x2，a)关于直线 x＝π 8 对称，点(x2，a)与点(x3，a)关 于直线 x＝5π 8 对称， 所以 x1＋x2＝π 4 ，x2＋x3＝5π 4 ， 所以 2x1＋3x2＋x3＝2(x1＋x2)＋(x2＋x3)＝7π 4 .] 2．已知函数 f(x)＝a(2cos2x 2 ＋sin x)＋b. (1)若 a＝－1，求函数 f(x)的单调增区间； (2)当 x∈[0，π]时，函数 f(x)的值域是[5,8]，求 a，b 的值． [解]　f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b ＝ 2asin(x＋π 4)＋a＋b. (1)当 a＝－1 时，f(x)＝－ 2sin(x＋π 4)＋b－1， 由 2kπ＋π 2 ≤x＋π 4 ≤2kπ＋3π 2 (k∈Z)， 得 2kπ＋π 4 ≤x≤2kπ＋5π 4 (k∈Z)， ∴f(x)的单调增区间为[2kπ＋π 4 ，2kπ＋5π 4 ](k∈Z)． (2)∵0≤x≤π，∴π 4 ≤x＋π 4 ≤5π 4 ， ∴－ 2 2 ≤sin(x＋π 4)≤1.依题意知 a≠0， ①当 a＞0 时，Error! ∴a＝3 2－3，b＝5； ②当 a＜0 时，Error! ∴a＝3－3 2，b＝8. 综上所述，a＝3 2－3，b＝5 或 a＝3－3 2，b＝8.