【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第六章　第2讲　等差数列及其前n项和作业 5页

第2讲　等差数列及其前n项和 ‎[基础题组练]‎ ‎1．(2020·长春市质量监测(二))等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，a2＋a3＝10，S6＝54，则该数列的公差d为(　　)‎ A．2　　　　　　　　　　 B．3‎ C．4 D．6‎ 解析：选C.由题意，知解得故选C.‎ ‎2．(2020·江西省七校联合考试)在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝55，S3＝3，则a5等于(　　)‎ A．5 B．6‎ C．7 D．9‎ 解析：选C.设数列{an}的公差为d，因为数列{an}是等差数列，所以a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝55，所以a7＝11，又S3＝3，所以解得所以a5＝7.故选C.‎ ‎3．已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，若ak·ak＋1<0，则正整数k＝(　　)‎ A．21 B．22‎ C．23 D．24‎ 解析：选C.3an＋1＝3an－2⇒an＋1＝an－⇒{an}是等差数列，则an＝－n.因为ak·ak＋1<0，所以<0，所以0知d<0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10.‎ 所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．‎ ‎10．已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.‎ ‎(1)求a及k的值；‎ ‎(2)已知数列{bn}满足bn＝，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.‎ 解：(1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，‎ 由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，‎ 所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.‎ 由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，‎ 解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.‎ ‎(2)由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，‎ 则bn＝＝n＋1，‎ 故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，‎ 即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，‎ 所以Tn＝＝.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·广东揭阳期末改编)已知数列{an}满足a1＝－，an＋1＝(n∈N*)，则an＝ ，数列{an}中最大项的值为 ．‎ 解析：由题意知an≠0，由an＋1＝得＝＝＋8，整理得－＝8，即数列是公差为8的等差数列，故＝＋(n－1)×8＝8n－17，所以an＝.当n＝1，2时，an＜0；当n≥3时，an＞0，则数列{an}在n≥3时是递减数列，故{an}中最大项的值为a3＝.‎ 答案：　 ‎2．(创新型)(2020·安徽省淮南模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，若为常数，则称数列{an}为“精致数列”．已知等差数列{bn}的首项为1，公差不为0，若数列{bn}为“精致数列”，则数列{bn}的通项公式为 ．‎ 解析：设等差数列{bn}的公差为d，由为常数，设＝k且b1＝1，得n＋n(n－1)d＝k，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.因为对任意正整数n，上式恒成立，所以解得d＝2，k＝，所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1(n∈N＋)．‎ 答案：bn＝2n－1(n∈N＋)‎ ‎3．已知数列{an}满足：a3＝－13，an＝an－1＋4(n＞1，n∈N＋)．‎ ‎(1)求a1，a2及通项公式an；‎ ‎(2)设Sn为数列{an}的前n项和，则数列S1，S2，S3，…中哪一项最小？‎ 解：(1)因为数列{an}满足a3＝－13，an＝an－1＋4，‎ 所以an－an－1＝4，‎ 即数列{an}为等差数列且公差d＝4，‎ 所以a2＝a3－d＝－13－4＝－17，‎ a1＝a2－d＝－17－4＝－21，‎ 所以通项公式an＝a1＋(n－1)d＝－21＋4(n－1)＝4n－25.‎ ‎(2)令an＝4n－25≥0可解得n≥，‎ 所以数列{an}的前6项为负值，从第7项开始为正数，‎ 所以数列S1，S2，S3，…中S6最小．‎ ‎4．(2020·广东广州天河二模)已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1＜2，an＞0，6Sn＝a＋3an＋2，n∈N＋.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若对任意的n∈N＋，bn＝(－1)na，求数列{bn}的前2n项的和T2n.‎ 解：(1)当n＝1时，6a1＝a＋3a1＋2，且a1＜2，解得a1＝1.‎ 当n≥2时，6an＝6Sn－6Sn－1＝a＋3an＋2－(a＋3an－1＋2)．‎ 化简得(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0，‎ 因为an＞0，所以an－an－1＝3，‎ 所以数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列，‎ 所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2.‎ ‎(2)bn＝(－1)na＝(－1)n(3n－2)2.‎ 所以b2n－1＋b2n＝－(6n－5)2＋(6n－2)2＝36n－21.‎ 所以数列{bn}的前2n项的和 T2n＝36(1＋2＋…＋n)－21n＝36×－21n＝18n2－3n.‎