高中数学第二章函数第4节二次函数性质的再研究第1课时基础知识素材北师大版必修11 6页

4.1 二次函数的图像 1．掌握二次函数解析式的三种形式，会利用待定系数法求解析式． 2．掌握二次函数的图像变换． 1．定义 (1)形如 y＝________(a≠0)的函数叫作二次函数，其中 a，b，c 分别称为二次项系数、 一次项系数、常数项．解析式 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)称为二次函数的一般式，二次函数的解 析式还有其他两种形式： 顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)； 零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)说明：所有二次函数的解析式均有一般式和顶点式，并不是所有二次函数的解析式 均有零点式，只有图像与 x 轴有交点的二次函数才有零点式． 【做一做 1－1】 二次函数 f(x)的图像与 x 轴交于(－2,0)，(4,0)两点，且顶点为 1，－9 2 ，求函数 f(x)的解析式． 【做一做 1－2】 二次函数 f(x)的图像经过点 A(1,0)，B(2,3)，且对称轴为 x＝3，求 函数 f(x)的解析式． 2．图像变换 (1)首先将二次函数的解析式整理成顶点式 y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，再由二次函数 y＝ x2 的图像经过下列的变换得到： ①将函数 y＝x2 的图像各点的纵坐标变为原来的____倍，横坐标不变，得到函数 y＝ax2 的图像． 函数 y＝f(x)的图像上各点的纵坐标变为原来的 a(a≠0)倍，横坐标不变，得到函数 y ＝af(x)的图像． ②将函数 y＝ax2 的图像向左(h＞0)或向右(h＜0)平移|h|个单位得到______的图像． 将函数 y＝f(x)的图像向左平移 a(a＞0)个单位得函数 y＝f(x＋a)的图像．将函数 y＝ f(x)的图像向右平移 a(a＞0)个单位得函数 y＝f(x－a)的图像．简称为“左加(＋)右减 (－)”． ③将函数 y＝a(x＋h)2 的图像向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|个单位得到________的 图像． 将函数 y＝f(x)的图像向上平移 b(b＞0)个单位得函数 y＝f(x)＋b 的图像；将函数 y＝ f(x)的图像向下平移 b(b＞0)个单位得函数 y＝f(x)－b 的图像．简称为“上加(＋)下减 (－)”． (2)一般地，二次函数 y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，____决定了二次函数图像的开口大小和 方向；____决定了二次函数图像的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；____决定了二 次函数图像的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”． 【做一做 2】 将函数 y＝4x2＋2x＋1 写成 y＝a(x＋h)2＋k 的形式，并说明它的图像是 由 y＝4x2 的图像经过怎样的变换得到的？ 答案：1．(1)ax2＋bx＋c 【做一做 1－1】 解：设函数解析式为 f(x)＝a(x＋2)(x－4)， 又∵函数图像过顶点 91, 2     ， ∴－9 2 ＝a(1＋2)(1－4)，解得 a＝1 2 . ∴函数解析式为 f(x)＝1 2 (x＋2)(x－4)， 即 f(x)＝1 2 x2－x－4. 【做一做 1－2】 解：设所求函数解析式为 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由已知得 a＋b＋c＝0， 4a＋2b＋c＝3， － b 2a ＝3， 解得 a＝－1， b＝6， c＝－5. ∴所求解析式为 f(x)＝－x2＋6x－5. 2．(1)①a ②y＝a(x＋h)2 ③y＝a(x＋h)2＋k (2)a h k 【做一做 2】 解：y＝4 x2＋1 2 x＋ 1 16 ＋1－1 4 ＝4 x＋1 4 2＋3 4 . 要得到 y＝4 x＋1 4 2＋3 4 的图像需将 y＝4x2 先向左平移1 4 个单位长度，再向上平移3 4 个单位 长度． 怎样快速画二次函数图像的草图？ 剖析：下面举例说明．例如画出函数 y＝3x2－6x－9 的草图． 函数的解析式化为顶点式 y＝3(x－1)2－12.可得顶点坐标(1，－12)；与 x 轴的交点是 点(－1,0)和点(3,0)；对称轴是直线 x＝1；抛物线的开口向上． 画法步骤： (1)描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，－12)，(－1,0)，(3,0)，画出直线 x ＝1； (2)连线：用光滑曲线连接点(1，－12)，(－1,0)，(3,0)，在连线的过程中，要保持关 于直线 x＝1 对称，即得函数 y＝3x2－6x－9 的草图，如图所示． 由此可见，画抛物线时，重点体现抛物线的特征：“三点一线一开口”．“三点”中有 一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与 x 轴的交点；“一线” 是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．根据这些特征在坐标系中可快速 画出抛物线的草图． 题型一 求二次函数的解析式 【例 1】 已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值为 8，试 确定此二次函数的解析式． 反思：求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，灵活运用解析式的形式，选 取最佳方案，利用待定系数法求之． (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0) 已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为一般式，然后列出三元一次方程组求解． (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k 为常数，a≠0) 当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式． (3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2 是常数，a≠0) 当已知抛物线与 x 轴的交点或交点的横坐标时，通常设函数解析式为两根式． 题型二 图像变换 【例 2】 函数 f(x)＝x2 的图像经过怎样的变换，得到函数 g(x)＝4x2－2x－1 的图像？ 分析：将函数 g(x)＝4x2－2x－1 的解析式化为顶点式． 反思：所有二次函数的图像均可以由函数 f(x)＝x2 的图像经过变换得到．变换前，先 将二次函数的解析式化为顶点式后，再确定变换的步骤． 题型三 图像的应用 【例 3】 已知二次函数 y＝2x2－4x－6. (1)求此函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图像． (2)求此函数图像与 x 轴、y 轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形的面积． (3)x 为何值时，y＞0，y＝0，y＜0? 分析：(1)已知二次函数，通过配方可求得对称轴及顶点坐标，再由函数的对称性列表 描点可画出图像； (2)函数图像与 x 轴、y 轴相交的条件分别是 y＝0、x＝0，可求对应的变量值，进一步 求出三角形的面积； (3)观察图像可得到图像在 x 轴上方(即 y＞0)时 x 的取值范围，y＝0 与 y＜0 时亦可得． 反思：根据配方法得到函数的性质，作图时，注意关键点的选取，如与 x 轴、y 轴的交 点，顶点和开口方向，对称轴及增减性等，使画图的操作更方便，图像更准确． 答案：【例 1】 解法 1：利用二次函数一般式． 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得 4a＋2b＋c＝－1， a－b＋c＝－1， 4ac－b2 4a ＝8， 解得 a＝－4， b＝4， c＝7. ∴所求二次函数解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7. 解法 2：利用二次函数的两根式． 由已知 f(x)＋1＝0 的两根为 x1＝2，x2＝－1， 故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即 f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值 8，∴－4a 2a＋1 －a2 4a ＝8. 解得 a＝－4，或 a＝0(舍)． ∴所求函数解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7. 解法 3：利用二次函数的顶点式． 设 f(x)＝a(x－m)2＋n.∵f(2)＝f(－1)， ∴抛物线的对称轴为 x＝2＋ －1 2 ＝1 2 ，即 m＝1 2 . 又∵f(x)的最大值为 8，∴n＝8. ∴f(x)＝a x－1 2 2＋8. ∵f(2)＝－1， ∴a 2－1 2 2＋8＝－1，解得 a＝－4. ∴f(x)＝－4 x－1 2 2＋8＝－4x2＋4x＋7. 【例 2】 解：g(x)＝4x2－2x－1＝4 x－1 4 2－5 4 . 变换的步骤是： (1)将函数 f(x)＝x2 的图像各点的纵坐标变为原来的 4 倍，横坐标不变，得到函数 f(x) ＝4x2 的图像； (2)将函数 f(x)＝4x2 的图像向右平移1 4 个单位，得到函数 f(x)＝4 x－1 4 2 的图像； (3)将函数 f(x)＝4 x－1 4 2 的图像向下平移5 4 个单位，得到 f(x)＝4 x－1 4 2－5 4 的图像， 即得到函数 g(x)＝4x2－2x－1 的图像． 【例 3】 解：(1)配方，得 y＝2(x－1)2－8. ∵a＝2＞0，∴函数图像开口向上，对称轴是直线 x＝1，顶点坐标是(1，－8)． 列表： x －1 0 1 2 3 y 0 －6 －8 －6 0 描点并画图，得函数 y＝2x2－4x－6 的图像，如图所示． (2)由图像得，函数图像与 x 轴的交点坐标为 A(－1,0)、B(3,0)，与 y 轴的交点坐标为 C(0，－6)． S△ABC＝1 2 |AB|·|OC|＝1 2 ×4×6＝12. (3)由函数图像知，当 x＜－1 或 x＞3 时，y＞0；当 x＝－1 或 x＝3 时，y＝0；当－1 ＜x＜3 时，y＜0. 1 下列关于二次函数 y＝x2＋x＋1 图像的开口方向和顶点的说法，正确的是( )． A．开口向下，顶点(1,1) B．开口向上，顶点(1,1) C．开口向下，顶点 1 3,2 4     D．开口向上，顶点 1 3,2 4     2 将函数 y＝x2 的图像向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位后所得函数解析式为 ( )． A．y＝(x＋2)2＋1 B．y＝(x－2)2＋1 C．y＝(x－2)2－1 D．y＝(x＋2)2－1 3 一次函数 y＝ax＋b 与二次函数 y＝ax2＋bx＋c 在同一坐标系中的图像大致是( )． 4 函数 y＝4x2 的图像各点的纵坐标变为原来的 1 4 倍，横坐标不变，所得图像的函数解析 式为__________． 5 已知二次函数 f(x)的图像的对称轴是直线 x＝－1，并且经过点(1,13)和(2,28)，求 二次函数 f(x)的解析式． 答案：1．D 2.C 3．C 选项 A，y＝ax＋b 中，a＞0 而 y＝ax2＋bx＋c 的图像开口向下，矛盾； 选项 B，y＝ax＋b 中，a＞0，b＞0，从而 y＝ax2＋bx＋c 的图像的对称轴 x＝ 2 b a  ＜0， 矛盾； 选项 D，y＝ax＋b 中，a＜0，b＜0，但 y＝ax2＋bx＋c 的图像开口向上，矛盾． 4．y＝x2 5．分析：设出二次函数的顶点式，利用待定系数法求函数 f(x)的解析式． 解：设 f(x)＝a(x＋1)2＋k， 由题意得 f(1)＝13，f(2)＝28，则有 4 13, 9 28, a k a k      解得 a＝3，k＝1，即 f(x)＝3(x＋1)2＋1.