数学北师大版（2019）必修第二册：4-1 同角三角函数的基本关系 学案与作业 7页

第四章 三角恒等变换 §1 同角三角函数的基本关系 (15 分钟 30 分) 1.下列结论中成立的是( ) A.sin α= 且 cos α= B.tan α=2 且 = C.tan α=1 且 cos α=± D.sin α=1 且 tan α·cos α=1 【解析】选 C.A 中,sin2α+cos2α= ≠1,故不成立;B 中 = ,即 tan α=3,与 tan α=2 矛盾,故不成立;D 中 sin α=1 时角α的终边落在 y 轴的非负半轴上,此时 tan α无意义,故不成立. 2.已知α是第二象限角且 cos α=- ,则 tan α的值是( ) A. B.- C. D.- 【 解 析 】 选 D. 因 为 α 为 第 二 象 限 角 , 所 以 sin α= = = , 所以 tan α= = =- . 【补偿训练】 已知 sin α-cos α= ,α∈(0,π),则 tan α=( ) A.-1 B.- C. D.1 【解析】选 A.由 sin α-cos α= ①,两边平方得 1-2sin αcos α=2, 即 2sin αcos α=-1,故(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=0,即 sin α+cos α=0②,联立①②得 sin α= ,cos α=- ,故 tan α= =-1. 3.已知 tan α=2,则 =( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 【解析】选 D. = ,把 tan α=2 代入,得原式=3. 4.若 sin θ=- ,tan θ>0,则 cos θ=________. 【 解 析 】 由 已 知 得 θ 是 第 三 象 限 角 , 所 以 cos θ =- =- =- . 答案:- 5.化简下列各式:(1) ; (2) (1-cos α). 【解析】(1)原式= = =1; (2)原式= (1-cos α)= (1-cos α)= =sin α. 【补偿训练】 化简: - (α为第二象限角). 【解析】因为α是第二象限角,所以 cos α<0. 则原式= - = · - = + = = =tan α. (20 分钟 40 分) 一、单选题(每小题 5 分,共 15 分) 1. cos2x=( ) A.tan x B.sin x C.cos x D. 【解析】选 D. cos2x = ·cos2x= cos2x = . 2.若α∈[0,2π)且 + =sin α-cos α,则α的取 值范围是( ) A. B. C. D. 【解析】选 B.因为 + = + =sin α-cos α,所以 sin α≥0 且 cos α≤0,所以α∈ . 【误区警示】在 = , = 上,易犯 =sin α, =cos α的错误. 3.设 A 是△ABC 的一个内角且 sin A+cos A= ,则这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【解析】选 B.将 sin A+cos A= 两边平方得 sin2A+2sin Acos A+cos2A= , 又 sin2A+cos2A=1,故 sin Acos A=- .因为 00,则 cos A<0,即 A 是钝角. 二、多选题(共 5 分,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错的 得 0 分) 4.已知 sin θ= ,cos θ= ,则 m 的值可以等于( ) A.0 B.4 C.6 D.8 【解析】选 AD.因为 sin2θ+cos2θ=1,所以 + =1,解得 m=0 或 8.经检验,m=0 或 8 符合题意. 三、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.已知 sin αcos α= ,则 sin α-cos α=________. 【解析】因为(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-2× =0,所以 sin α- cos α=0. 答案:0 6. 已 知 tan α=3, 则 =________; =________. 【解析】因为 tan α=3,所以 cos α≠0. 原式的分子、分母同除以 cos α, 得 = = = . 将 的 分 子 、 分 母 同 除 以 cos2 α , 即 = = =- . 答案: - 【补偿训练】 已知 tan α=2,则 4sin2α-3sin αcos α-5cos2α=________. 【解析】4sin2α-3sin αcos α-5cos2α = = = = =1. 答案:1 四、解答题 7.(10 分)已知- 0,所 以 sin x-cos x<0,所以 sin x-cos x=- . (2)由已知条件及(1),可知 解得 所以 = = . 【补偿训练】 1.已知 sin α+cos α= ,其中 0<α<π,求 sin α-cos α的值. 【解析】因为 sin α+cos α= ,所以(sin α+cos α)2= ,可得 sin α cos α=- .因为0<α<π,且sin αcos α<0,所以sin α>0,cos α<0, 所以 sin α-cos α>0.又(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α= ,所 以 sin α-cos α= . 2.已知在△ABC 中 sin A+cos A= . (1)求 sin Acos A; (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求 tan A 的值. 【解题指南】可先把 sin A+cos A= 两边平方得出 sin Acos A,然后借 助于 A∈(0,π)及三角函数符号法则可得 sin A 与 cos A 的符号,从而 进一步构造 sin A-cos A 的方程,最后联立求解. 【解析】(1)因为 sin A+cos A= ①,所以两边平方得 1+2sin Acos A= , 所以 sin Acos A=- . (2)由(1)sin Acos A=- ,且 A∈(0,π),可得 cos A<0,所以 A 为钝角, 所以△ABC 是钝角三角形. (3)因为(sin A-cos A)2=1-2sin Acos A=1+ = , 又 sin A>0,cos A<0,所以 sin A-cos A>0, 所以 sin A-cos A= ②, 所以由①,②可得 sin A= ,cos A=- , 所以 tan A=- . 关闭 Word 文档返回原板块