2021届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用课时作业5函数的单调性与最值含解析苏教版 5页

课时作业5　函数的单调性与最值 一、选择题 ‎1．(2020·长春质监)下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减的是(　A　)‎ A．y＝22－x B．y＝ C．y＝log D．y＝－x2＋2x＋a 解析：A中，y＝22－x，令t＝2－x，∵t＝2－x在(0，＋∞)上单调递减，∴t∈(－∞，2)，y＝2t在(－∞，2)上单调递增，∴y＝22－x在(0，＋∞)上单调递减．B中，y＝＝1－，令t＝x＋1，∵t＝x＋1在(0，＋∞)上单调递增，∴t∈(1，＋∞)，y＝1－在(1，＋∞)上单调递增，∴y＝在(0，＋∞)上单调递增．C中，y＝log＝log2x在(0，＋∞)上单调递增．D中，y＝－x2＋2x＋a图象的对称轴为直线x＝1，所以函数在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故选A.‎ ‎2．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　D　)‎ A．(－∞，－2) B．(－∞，1)‎ C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)‎ 解析：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．‎ ‎3．已知函数f(x)＝a＋log2(x2＋a)(a>0)的最小值为8，则(　A　)‎ A．a∈(5,6) B．a∈(7,8)‎ C．a∈(8,9) D．a∈(9,10)‎ 解析：因为f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝a＋log‎2a＝8.令g(a)＝a＋log‎2a－8，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，又g(5)＝5＋log25－8<0，g(6)＝6＋log26－8>0，所以a∈(5,6)．故选A.‎ ‎4．函数f(x)＝的单调递增区间是(　C　)‎ A．(－∞，1) B．(1，＋∞)‎ C．(－∞，1)，(1，＋∞) D．(－∞，－1)，(1，＋∞)‎ 解析：因为f(x)＝＝－1＋，所以f(x)的图象是由y＝－的图象沿x 5‎ 轴向右平移1个单位，然后沿y轴向下平移一个单位得到，而y＝－的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)；所以f(x)的单调递增区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．故选C.‎ ‎5．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　A　)‎ A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)‎ C．f(π)f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．‎ ‎6．若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是(　B　)‎ A. B．[－6，－4]‎ C．[－3，－2] D．[－4，－3]‎ 解析：由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f(x)在[3，＋∞)上为增函数，在[1,2]上为减函数，故－∈[2,3]，即a∈[－6，－4]．‎ ‎7．函数y＝，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是(　D　)‎ A．(1,2) B．(－1,2)‎ C．[1,2) D．[－1,2)‎ 解析：函数y＝＝＝－1，‎ 且在x∈(－1，＋∞)时单调递减，在x＝2时，y＝0；‎ 根据题意x∈(m，n]时，y的最小值为0，所以－1≤m<2.‎ ‎8．(2020·福州质检)已知函数f(x)＝ 当x∈[m，m＋1]时，不等式f(‎2m－x)x＋m，即2x>，所以f()>f()>f()，‎ 即b>a>c，故选A.‎ 二、填空题 ‎10．函数f(x)＝(x∈[2,5])的最大值与最小值之和等于.‎ 解析：f(x)＝在[2,5]上是减函数，所以最大值为f(2)＝1，最小值为f(5)＝，f(2)＋f(5)＝.‎ ‎11．设函数f(x)＝的最小值为2，则实数a的取值范围是[3，＋∞)．‎ 解析：当x≥1时，f(x)≥2，当x<1时，f(x)>a－1.由题意知a－1≥2，所以a≥3.‎ ‎12．已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a＝－f，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为a>b>c.‎ 解析：∵f(x)在R上是奇函数，‎ ‎∴a＝－f＝f＝f(log25)．‎ 又f(x)在R上是增函数，‎ 且log25>log24.1>log24＝2>20.8，‎ ‎∴f(log25)>f(log24.1)>f(20.8)，∴a>b>c.‎ ‎13．(2020·济南模拟)已知函数f(x)＝ 若f(x)的最小值为f(1)，则实数a的取值范围是[2，＋∞)．‎ 解析：由题意可知要保证f(x)的最小值为f(1)，需满足解得a≥2.‎ 三、解答题 ‎14．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．‎ ‎(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；‎ ‎(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．‎ 解：(1)证明：设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0，‎ 因为f(x2)－f(x1)＝－ ‎＝－＝>0，‎ 所以f(x2)>f(x1)，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．‎ ‎(2)因为f(x)在上的值域是，‎ 又由(1)得f(x)在上是单调增函数，‎ 5‎ 所以f＝，f(2)＝2，解得a＝.‎ ‎15．(2020·河南南阳月考)设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，F(x)＝ ‎(1)若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的解析式；‎ ‎(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．‎ 解：(1)∵f(－1)＝0，∴b＝a＋1.‎ 由f(x)≥0恒成立，知a>0且方程ax2＋bx＋1＝0中Δ＝b2－‎4a＝(a＋1)2－‎4a＝(a－1)2≤0，‎ ‎∴a＝1，b＝2.‎ 从而f(x)＝x2＋2x＋1.∴F(x)＝ ‎(2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1，‎ ‎∴g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1，‎ 由g(x)在[－2,2]上是单调函数，知－≤－2或－≥2，得k≤－2或k≥6.‎ 即实数k的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．‎ ‎16．(2020·陕西西安八校联考)如果定义在R上的奇函数y＝f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x‎1f(x1)＋x‎2f(x2)>x‎1f(x2)＋x‎2f(x1)，则称函数y＝f(x)为“H函数”．下列函数为“H函数”的是(　D　)‎ A．f(x)＝sinx B．f(x)＝ex C．f(x)＝x3－3x D．f(x)＝x|x|‎ 解析：根据题意，对于任意的不相等实数x1，x2，都有x‎1f(x1)＋x‎2f(x2)>x‎1f(x2)＋x‎2f(x1)恒成立，则有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0恒成立，即函数f(x)是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数．对于A，f(x)＝sinx为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，f(x)＝ex为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，f(x)＝x3－3x为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，f(x)＝x|x|＝为奇函数且在R上为增函数，符合题意．故选D.‎ ‎17．(2020·郑州质量预测)设函数f(x)＝2ln(x＋)＋3x3(－20成立的x的取值范围是(　B　)‎ A．(－1,1) B．(，1)‎ C．(，1) D．(，)‎ 解析：因为f(x)＝2ln(x＋)＋3x3，－20可转化为f(2x)>－f(4x－3)＝f(3－4‎ 5‎ x)，则由题意，得解得0，试确定a的取值范围．‎ 解：(1)由x＋－2>0，得>0，‎ 当a>1时，x2－2x＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)；‎ 当a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}；‎ 当01＋}．‎ ‎(2)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，g′(x)＝1－＝>0恒成立，‎ 所以g(x)＝x＋－2在[2，＋∞)上是增函数．‎ 所以f(x)＝lg在[2，＋∞)上是增函数．‎ 所以f(x)＝lg在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lg.‎ ‎(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，‎ 即x＋－2>1对任意x∈[2，＋∞)恒成立．‎ 所以a>3x－x2，令h(x)＝3x－x2，‎ 而h(x)＝3x－x2＝－2＋在[2，＋∞)上是减函数，所以h(x)max＝h(2)＝2，所以a>2.‎ 即a的取值范围为(2，＋∞)．‎ 5‎