高考数学（理）一轮复习人教A版-第三章 第1节导数的概念及运算 28页

第1节　导数的概念及运算 知 识 梳 理 (2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上 点(x0，f(x0))处的切线的______.相应地，切线方程为___________________.y－y0＝f′(x0)(x－x0)斜率 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝______ f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝________ f(x)＝sin x f′(x)＝________ f(x)＝cos x f′(x)＝________ αxα－1 cos x －sin x 0 f(x)＝ex f′(x)＝________________ f(x)＝ax(a＞0) f′(x)＝________________ f(x)＝ln x f′(x)＝________________ f(x)＝logax (a＞0，a≠1) f′(x)＝________________ ex a xln a 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝_____________； (2)[f(x)·g(x)]′＝_________________； 5.复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝ yu′·ux′. f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.(　　) (2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.(　　) (3)(2x)′＝x·2x－1.(　　) (4)若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x.(　　) 解析　(1)f′(x0)是函数f(x)在x0处的导数，(f(x0))′是常数f(x0)的导数即 (f(x0))′＝0；(3)(2x)′＝2xln 2； (4)(e2x)′＝2e2x. 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 诊 断 自 测 2.函数y＝xcos x－sin x的导数为(　　) A.xsin x B.－xsin x C.xcos x D.－xcos x 解析　y′＝(xcos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x. 答案　B 答案　C 4.设f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x，则f′(0)＝________. 5.(2017·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的 切线为l，则l在y轴上的截距为________. 答案　1 考点一　导数的运算 解　(1)进行积的导数计算很烦琐，故先展开再求导.因为y＝(x2＋3x＋2)(x ＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， 所以y′＝3x2＋12x＋11. 规律方法　1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提， 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导， 尽量避免不必要的商的求导法则，这样可以减少运算量，提高运算速度减 少差错. 2.(1)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导. (2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元. 考点二　导数的几何意义(多维探究) 命题角度1　求切线的方程 由导数的几何意义，所求切线的斜率k＝1. (2)设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x. 又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x， 所以当x>0时，f(x)＝ex－1＋x.因此，当x>0时，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1 ＝2. 则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，所以切线方程为y－2 ＝2(x－1)，即2x－y＝0. 答案　(1)A　(2)2x－y＝0 命题角度2　求参数的值 又该切线与直线x＋ay＋1＝0垂直， 所以k1k2＝－1，解得a＝1. 答案　(1)B　(2)1 命题角度3　求切点坐标 解析　(1)设切点的横坐标为x0(x0>0)， 解得x0＝3或x0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3. (2)∵函数y＝ex的导函数为y′＝ex， ∴曲线y＝ex在点(0，1)处的切线的斜率k1＝e0＝1. 答案　(1)A　(2)(1，1) 规律方法　1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点 的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－ x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上 求解. 2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系 列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在 切线上；③切点在曲线上. 所以f′(1)＝2－1＝1，所以在(1，2)处的切线方程为y－2＝1×(x－1)， 即y＝x＋1. (2)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2 在(0，＋∞)上有解. 答案　(1)y＝x＋1　(2)B