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- 2021-06-16 发布
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第4节 幂函数与二次函数
考试要求 1.了解幂函数的概念;结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=x,y=的图象,了解它们的变化情况;2.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
知 识 梳 理
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0,+∞)上都有定义;
②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;
③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n).
零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
- 16 -
图象
(抛物线)
定义域
R
值域
对称轴
x=-
顶点
坐标
奇偶性
当b=0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在上是减函数;
在上是增函数
在上是增函数;
在上是减函数
[常用结论与微点提醒]
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则当时恒有f(x)>0;当时,恒有f(x)<0.
3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限;
(2)幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y=2x是幂函数.( )
(2)当α>0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上是增函数.( )
(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.( )
(4)二次函数y=ax2+bx+c(x∈[a,b])的最值一定是.( )
解析 (1)由于幂函数的解析式为f(x)=xα,故y=2x不是幂函数,(1)错.
(3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件,两个零点不能确定函数的解析式.
(4)对称轴x=-,当-小于a或大于b时,最值不是,故(4)错.
- 16 -
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.(老教材必修1P79T1改编)已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点,则k+α=( )
A. B.1 C. D.2
解析 因为f(x)=k·xα是幂函数,所以k=1.
又f(x)的图象过点,所以=,
所以α=,所以k+α=1+=.
答案 C
3.(新教材必修第一册P86T7改编)如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上单调递增,则实数a的取值范围是________.
解析 当a=0时,f(x)=2x-3在(-∞,4)单调递增.
当a≠0时,f(x)在(-∞,4)上单调递增.
则a需满足解得-≤a<0.
综上可知,-≤a≤0.
答案
4.(2016·全国Ⅲ卷)已知a=2,b=3,c=25,则( )
A.ba>b.
答案 A
5.(2020·河南省实验中学质检)已知函数f(x)=3x2-2(m+3)x+m+3的值域为[0,+∞),则实数m的取值范围为( )
A.{0,-3} B.[-3,0]
C.{0,3} D.(-∞,-3]∪[0,+∞)
解析 依题意,得Δ=4(m+3)2-4×3(m+3)=0,则m=0或m=-3.∴实数m
- 16 -
的取值范围是{0,-3}.
答案 A
6.(2018·上海卷)已知α∈,.若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=______.
解析 由y=xα为奇函数,知α取-1,1,3.
又y=xα在(0,+∞)上递减,∴α<0,取α=-1.
答案 -1
考点一 幂函数的图象和性质
【例1】 (1)幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的大致图象是( )
(2)(2020·衡水中学调研)已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图象上,设a=f,b=f(ln π),c=f(2-),则a,b,c的大小关系是( )
A.a1>2-=>,
- 16 -
所以f(ln π)>f(2-)>f,则b>c>a.
答案 (1)C (2)A
规律方法 1.对于幂函数图象的掌握,需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x所分区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.
2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.
【训练1】 (1)(2019·荆门模拟)已知点在幂函数f(x)的图象上,则f(x)是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数
(2)若幂函数y=x-1,y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则m与n的取值情况为( )
A.-10时,y=xα在(0,+∞)上为增函数,且0<α<1时,图象上凸,∴00且a≠1)与二次函数y=(a-1)x2-x在同一坐标系内的图象可能是( )
(2)设函数f(x)=x2+x+a(a>0),已知f(m)<0,则( )
A.f(m+1)≥0 B.f(m+1)≤0
C.f(m+1)>0 D.f(m+1)<0
解析 (1)若01,则y=loga x在(0,+∞)上是增函数,
y=(a-1)x2-x图象开口向上,且对称轴在y轴右侧,
因此B项不正确,只有选项A满足.
(2)因为f(x)的对称轴为x=-,f(0)=a>0,所以f(x)的大致图象如图所示.
- 16 -
由f(m)<0,得-10,所以f(m+1)>f(0)>0.
答案 (1)A (2)C
规律方法 1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析,“三点”中有一个点是顶点,另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点,常取与x轴的交点;“一线”是指对称轴这条直线;“一开口”是指抛物线的开口方向.
2.求解与二次函数有关的不等式问题,可借助二次函数的图象特征,分析不等关系成立的条件.
【训练3】 一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是( )
解析 A中,由一次函数y=ax+b的图象可得a>0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上,A错误;
B中,由一次函数y=ax+b的图象可得a>0,b>0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上,对称轴x=-<0,B错误;C中,由一次函数y=ax+b的图象可得a<0,b<0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下,对称轴x=-<0,C正确;
D中,由一次函数y=ax+b的图象可得a<0,b<0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下,D错误.
答案 C
考点四 二次函数的性质 多维探究
角度1 二次函数的单调性与最值
【例4-1】 已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R且a≠0),x∈R.
(1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,求f(x)的解析式,并写出单调区间;
(2)在(1)的条件下,f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,试求k的取值范围.
解 (1)由题意知解得
所以f(x)=x2+2x+1,
- 16 -
由f(x)=(x+1)2知,函数f(x)的单调递增区间为[-1,+∞),单调递减区间为(-∞,-1].
(2)由题意知,x2+2x+1>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,即k0时,x=∈(0,+∞),∴f(x)max=f=-6.
此时应有-6≤3,且a>0,解得00,所以f(x)在(-∞,2]上是递减的,在[2,+∞)上是递增的.
(2)∀x∈[-1,1]时,f(x)≥0⇔a(x-1)2≥x-1.(*)
当x=1时,a∈R,(*)式恒成立.
当x∈[-1,1)时,(*)式等价于a≥恒成立.
又t=在[-1,1)上是减函数,a≥=-.
综上知a≥-.
答案 (1)A (2)
A级 基础巩固
一、选择题
1.(2020·濮阳模拟)已知函数f(x)=(m2-m-1)xm2+2m-3是幂函数,且其图象与两坐标轴都没有交点,则实数m=( )
A.-1 B.2 C.3 D.2或-1
解析 由题意,得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.
当m=2时,f(x)=x5的图象与坐标轴有交点,不合题意.
当m=-1时,f(x)=x-4的图象与坐标轴无交点,符合题意.
综上可知,m=-1.
答案 A
2.已知p:|m+1|<1,q:幂函数y=(m2-m-1)xm在(0,+∞)上单调递减,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
- 16 -
解析 p:由|m+1|<1得-20),当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1恒成立,则f=________.
解析 当x∈[-1,1]时,|f(x)|≤1恒成立.
∴
因此n=-1,∴f(0)=-1,f(1)=1.
- 16 -
由f(x)的图象可知:要满足题意,则图象的对称轴为直线x=0,∴2-m=0,m=2,
∴f(x)=2x2-1,∴f=-.
答案 -
14.已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图象恒在函数y=2x+m的图象的上方,求实数m的取值范围.
解 (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由f(x+1)-f(x)=2x,得2ax+a+b=2x.
所以,2a=2且a+b=0,解得a=1,b=-1,
又f(0)=1,所以c=1.
因此f(x)的解析式为f(x)=x2-x+1.
(2)因为当x∈[-1,1]时,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方,
所以在[-1,1]上,x2-x+1>2x+m恒成立;
即x2-3x+1>m在区间[-1,1]上恒成立.
所以令g(x)=x2-3x+1=-,
因为g(x)在[-1,1]上的最小值为g(1)=-1,
所以m<-1.故实数m的取值范围为(-∞,-1).
C级 创新猜想
15.(组合选择题)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论:
①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a0,即b2>4ac,①正确.
对称轴为x=-1,即-=-1,2a-b=0,②错误.
结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误.
由对称轴为x=-1知,b=2a.
根据抛物线开口向下,知a<0,所以5a<2a,
即5a
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