高考数学黄金考点精析精训考点20三视图与几何体的体积和表面积文 22页

考点 20 三视图与几何体的体积和表面积 【考点剖析】 1.最新考试说明： 1.了解和正方体、球有关的简单组合体的结构特征，理解柱、锥、台、球的结构特征． 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图，会用斜二测画法画出它 们的直观图． 3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图或直观图，了解空间图形的不同表示形 式． 4.能识别三视图所表示的空间几何体；理解三视图和直观图的联系，并能进行转化. 5.会计算球、柱、锥台的表面积和体积(不要求记忆公式) 2.命题方向预测： 1.三视图是高考的热点和重点，几乎年年考． 2.空间几何体的表面积、体积是高考的热点，多与三视图相结合命题． 3.主要考查由三视图还原几何体并求表面积或体积，同时考查空间想象能力及运算能力．题型多为选择、 填空题. 3.课本结论总结： 1.空间几何体的结构特征 多面体 (1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形. (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形. (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似 多边形. 旋转体 (1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到. (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底 中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得 到. (4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到. 2.空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的 形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图. 3.空间几何体的直观图 画空间几何体的直观图常用斜二测画法，基本步骤： (1)在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴，两轴相交于点 O，画直观图时，把它们画成对应的 x′轴、 y′轴，两轴相交于点 O′，且使∠x′O′y′＝45°(或 135°). (2)已知图形中平行于 x 轴、y轴的线段，在直观图中分别平行于 x′轴、y′轴. (3)已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中长度保持不变，平行于 y 轴的线段，长度变为原来的一 半. (4)在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于 xOy 平面，在直观图中对应的 z′轴也垂直于 x′O′y′平面， 已知图形中平行于 z 轴的线段，在直观图中仍平行于 z′轴且长度不变. 4.柱、锥、台和球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆 柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆 锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 1V= Sh 3 台体(棱台和圆 台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 1V= (S +S + S S )h 3 下 下上 上 球 S＝4πR2 34V= R 3  正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底 面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． 正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱 均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边 形的中心． 4.名师二级结论： (1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和 接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各 个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对 角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多 面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图． (1)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过 已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三 棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值． (3)解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直 线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系. （4）求几何体体积问题需先由三视图确定几何体的结构特征，判断是否为组合体，由哪些简单几何体构 成，并准确判断这些几何体之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积， 最后求出组合体的体积. 5.课本经典习题： （1）必修 2 第 27 页 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )． A． 28- 3  B．8- 3  C．8－2π D. 2 3  【答案】A 【经典理由】糅合三视图与体积的求法于一个题，而且三视图中包含两个几何图形。 （2）必修 2 第 14 页 设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )． A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2 【答案】B 【经典理由】考察长方体外接球，说明了求多面体外接球的一般方法. （3）必修 2 第 12 页 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )． A．8 B．6 2 C．10 D．8 2 【答案】 C 【解析】 由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为 6, 6 2 ，8,10，所以面积 最大的是 10，故选择 C. 【经典理由】考察学生空间想象能力，求各个三角形面积时要把各个三角形平面化。 6.考点交汇展示： (1)三视图与球体交汇 【2018 届广雅中学、东华中学、河南名校高三上第一次联考】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗 实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A (2)三视图与体积、面积交汇 1.【2017 山东，文 13】由一个长方体和两个 1 4 圆柱构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积 为 . 【答案】 π2 2  【解析】试题分析：由三视图可知,长方体的长宽高分别为 2,1,1,圆柱的高为 1,底面圆半径为 1,所以 2π 1 π2 1 1 2 1 2 4 2 V          . 2.【2016 高考新课标 1 卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径. 若该几何体的体积是 28 3  ,则它的表面积是（ ） （A）17 （B）18 （C） 20 （D） 28 【答案】A 【解析】该几何体直观图如图所示： 是一个球被切掉左上角的 1 8 ,设球的半径为R ,则 37 4 28V R 8 3 3    ,解得R 2 ,所以它的表面积是 7 8 的球面面积和三个扇形面积之和 2 27 1= 4 2 +3 2 =17 8 4 S       故选 A． (3)体积与基本不等式交汇 【2017 届湖北省襄阳市第四中学高三周考】 是 的直径，点 是 上的动点，过动点 的直线 垂直于 所在的平面， 分别是 的中点． （1）试判断直线 与平面 的位置关系，并说明理由； （2）若已知 当三棱锥 体积最大时，求点 到面 的距离． 【答案】（1） 面 ，理由见解析；（2） . （2）设 ，则 ， ， 当且仅当 时取等号 体积最大时 ． ， 面积为 ， 设所求的距离为 ，由等体积法知 ． (4)体积与函数、导数交汇 【2016 高考江苏卷】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥 1 1 1 1P ABC D ， 下部分的形状是正四棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D (如图所示)，并要求正四棱柱的高 1PO 的四倍. （1）若 16 ,PO 2 ,AB m m  则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱柱的侧棱长为 6m,则当 1PO 为多少时，仓库的容积最大？ 【答案】（1）312（2） 1 2 3PO  (2)设 A1B1=a(m),PO1=h(m)，则 0