2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案：第1章 1 11页

www.ks5u.com 第2课时　空间向量与垂直关系 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.能利用平面法向量证明线面和面面垂直．(重点)‎ ‎2．能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系．(重点、难点)‎ ‎　借助空间向量证明线面垂直和面面垂直的学习，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.‎ 因为方向向量和法向量可以确定直线和平面的位置，那么我们就可以利用空间直线的方向向量和平面的法向量表示空间直线：平面间的平行和垂直问题．上节课我们研究了平行问题，下面我们来研究一下垂直问题．‎ ‎1．空间中有关垂直的向量关系 一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直．‎ ‎2．空间中垂直关系的向量表示 线线垂直 设直线l1的方向向量为u＝(a1，a2，a3)，直线l2的方向向量为v＝(b1，b2，b3)，则l1⊥l2⇔u·v＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0‎ 线面垂直 设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔u∥n⇔u＝λn⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)(λ∈R)‎ 面面 垂直 设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，则α⊥β ⇔ n1⊥n2 ⇔n1·n2＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0‎ 思考：若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？‎ ‎[提示]　垂直．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)同一个平面的法向量均为共线向量． (　　)‎ ‎(2)若a，b是平面α内的向量，且n·a＝0，n·b＝0，那么n可以作为平面α的一个法向量． (　　)‎ ‎(3)若点A、B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则·n＝0. (　　)‎ ‎[提示]　(1)√　(2)×　(3)√‎ ‎2．设直线l的方向向量u＝(－2,2，t)，平面α的一个法向量v＝(6，－6,12)，若直线l⊥平面α，则实数t等于(　　)‎ A．4 B．－4‎ C．2 D．－2‎ B　[因为直线l⊥平面α，所以u∥v，则＝＝，解得t＝－4，故选B.]‎ ‎3．若直线l1的方向向量为u1＝(1,3,2)，直线l2上有两点A(1,0，1)，B(2，－1,2)，则两直线的位置关系是______．‎ l1⊥l2　[＝(1，－1,1)，u1·＝1×1－3×1＋2×1＝0，‎ 因此l1⊥l2.]‎ ‎4．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是________．‎ 垂直　[由于a·b＝(2，－1,0)·(－1，－2,0)＝－2＋2＝0，所以α⊥β.]‎ 利用空间向量证明线线垂直 ‎【例1】　在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AC的中点．求证：(1)BD1⊥AC；‎ ‎(2)BD1⊥EB1.‎ ‎[解]　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 设正方体的棱长为1，则B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，‎ E，B1(1,1,1)．‎ ‎(1)∵＝(－1，－1,1)，＝(－1,1,0)，‎ ‎∴·＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0，‎ ‎∴⊥，即BD1⊥AC.‎ ‎(2)∵＝(－1，－1,1)，＝，‎ ‎∴·＝(－1)×＋(－1)×＋1×1＝0，‎ ‎∴⊥，‎ 即BD1⊥EB1.‎ 利用向量法证明线线垂直的方法 用向量法证明空间中两条直线l1，l2相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量a，b相互垂直，只需证明a·b＝0即可，具体方法如下：‎ ‎(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，计算出其数量积为0即可．‎ ‎(2)基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，利用数量积运算说明两向量的数量积为0.‎ ‎[跟进训练]‎ ‎1．在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.‎ ‎[证明]　以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，‎ C1(0，a，a)．‎ 设AE＝BF＝x，则E(a，x,0)，‎ F(a－x，a,0)．‎ ‎∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)．‎ ‎∴·＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)＝－ax＋ax－a2＋a2＝0，‎ ‎∴⊥，即A1F⊥C1E.‎ 用空间向量证明线面垂直 ‎[探究问题]‎ ‎1．利用空间向量证明线面垂直时，一般有哪几种思路？‎ ‎[提示]　利用基向量的办法和建立空间坐标系的方法，但往往都是求直线的方向向量与平面的法向量共线．‎ ‎2．证明线面垂直，能否不求平面的法向量？‎ ‎[提示]　可以，这时只需证明直线的方向向量分别与平面内两个不共线的向量的数量积为零即可．‎ ‎【例2】　如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是B1B，DC的中点，求证：AE⊥平面A1D1F.‎ ‎[思路探究]　建立空间直角坐标系，得到有关向量的坐标，求出平面A1D1F的法向量，然后证明与法向量共线．‎ ‎[证明]　如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，‎ 则A(1,0,0)，E，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，F，‎ ‎∴＝，＝(－1,0,0)，＝.‎ 设平面A1D1F的一个法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则即解得 令z＝1，得y＝2，则n＝(0,2,1)．又＝，‎ ‎∴n＝2.‎ ‎∴n∥，即AE⊥平面A1D1F.‎ ‎1．把本例“正方体”改为“长方体”，其中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点，如图，求证：直线PB1⊥平面PAC.‎ ‎[证明]　依题设，以D为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则C(1,0,0)，P(0,0,1)，A(0，1,0)，B1(1,1,2)，‎ 于是＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，＝(1,1,1)，‎ ‎∴·＝(－1,1,0)·(1,1,1)＝0，‎ ·＝(－1,0,1)·(1,1,1)＝0，‎ 故⊥，⊥，即PB1⊥CP，PB1⊥CA，‎ 又CP∩CA＝C，且CP⊂平面PAC，CA⊂平面PAC.‎ 故直线PB1⊥平面PAC.‎ ‎2.在本例中，把F改为“是B1D1的中点”，其他条件不变，求证：EF⊥平面B1AC.‎ ‎[证明]　建立如图所示的空间直角坐标系，令正方体的棱长为1，‎ 则A(1,0,0)，C(0,1,0)，B1(1,1,1)．‎ E，F.‎ ‎∴＝(－1,1,0)，(0,1,1)，‎ ＝.‎ 由·＝－＝0，‎ ·＝－＋＝0，得 ⊥，⊥ 也就是EF⊥AC，EF⊥AB1，‎ 又因AC，AB1⊂面AB1C，且AC∩AB1＝A，‎ 故EF⊥平面AB1C.‎ ‎1．坐标法证明线面垂直的两种方法 法一：(1)建立空间直角坐标系；‎ ‎(2)将直线的方向向量用坐标表示；‎ ‎(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；‎ ‎(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.‎ 法二：(1)建立空间直角坐标系；‎ ‎(2)将直线的方向向量用坐标表示；‎ ‎(3)求出平面的法向量；‎ ‎(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．‎ ‎2．使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用法二，否则常常选用法一解决．‎ 利用空间向量证明面面垂直 ‎【例3】　如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C.‎ ‎[思路探究]　要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n1，n2，证明n1·n2＝0.‎ ‎[解]　由题意得AB，BC，B1B两两垂直．以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E，‎ 则＝(0,0,1)，＝(－2,2,0)，＝(－2,2,1)，＝.‎ 设平面AA1C1C的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．‎ 则⇒ 令x1＝1，得y1＝1.∴n1＝(1,1,0)．‎ 设平面AEC1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)．‎ 则⇒ 令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.∴n2＝(1，－1,4)．‎ ‎∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0.‎ ‎∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.‎ ‎1．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．‎ ‎2．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．‎ ‎[跟进训练]‎ ‎3.如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.‎ ‎[解]　设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，‎ S(0,0,1)，E.‎ 法一：如图，连接AC，交BD于点O，连接OE，则点O的坐标为 .易知＝(0,0,1)，＝，∴＝，∴OE∥AS.‎ 又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD.‎ 又OE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD.‎ 法二：设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)．‎ 易知＝(－1,1,0)，＝，‎ 由 得 令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1,1,0)．‎ ‎∵AS⊥底面ABCD，∴平面ABCD的一个法向量为n2＝＝(0,0,1)．‎ ‎∵n1·n2＝0，∴平面BDE⊥平面ABCD.‎ 空间垂直关系的解决策略 几何法 向量法 线线 垂直 ‎(1)证明两直线所成的角为90°.‎ ‎(2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所有直线垂直 两直线的方向向量互相垂直 线面 垂直 对于直线l，m，n和平面α ‎(1)若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，m与n相交，则l⊥α.‎ ‎(2)若l∥m，m⊥α，则l⊥α ‎(1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直．‎ ‎(2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量 面面垂直 对于直线l，m和平面α，β ‎(1)若l⊥α，l⊂β，则α⊥β.‎ ‎(2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥β.‎ ‎(3)若平面α与β相交所成的二面角为直角，则α⊥β 证明两个平面的法向量互相垂直 ‎1．已知直线l1的方向向量a＝(1,2，－2)，直线l2的方向向量b＝(－2,3，m)．若l1⊥l2，则m＝(　　)‎ A．1 B．2 C． D．3‎ B　[由于l1⊥l2，所以a⊥b，故a·b＝－2＋6－2m＝0，即m＝2.]‎ ‎2．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于(　　)‎ A．3 B．6 C．－9 D．9‎ C　[∵l⊥α，v与平面α平行，∴u⊥v，即u·v＝0，‎ ‎∴1×3＋3×2＋z×1＝0，∴z＝－9.]‎ ‎3．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,2,3)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，则x＝________.‎ ‎－5　[∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝x－4＋9＝0，∴x＝－5.]‎ ‎4．已知a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对．‎ ‎0　[∵a·b＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0，a·c＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0，b·c＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0，∴a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个都不垂直．]‎ ‎5．如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．‎ ‎ ‎ 求证：AB1⊥平面A1BD.‎ ‎[证明]　如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.‎ ‎ ‎ 因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.‎ 取B1C1的中点O1，以O为原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，‎ 则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)．‎ 所以＝(1，2，－)，＝(－1，2，)，＝(－2，1，0)．‎ 因为·＝1×(－1)＋2×2＋(－)×＝0.‎ ·＝1×(－2)＋2×1＋(－)×0＝0.‎ 所以⊥，⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD.‎ 又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD.‎