高中数学人教a版选修2-3第一章计数原理1-3-1-3-2学业分层测评word版含答案 5页

学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第 6项的二项式系数相同的项 是( ) A．第 15项 B．第 16项 C．第 17项 D．第 18项 【解析】 第 6项的二项式系数为 C520，又 C1520＝C520，所以第 16项符合条件． 【答案】 B 2．(2016·吉林一中期末)已知 x2＋1 x n的展开式的二项式系数之和为 32，则展 开式中含 x项的系数是( ) A．5 B．20 C．10 D．40 【解析】 根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为 32， 则有 2n＝32，可得 n＝5， Tr＋1＝Cr5x2(5－r)·x－r＝Cr5x10－3r， 令 10－3r＝1，解得 r＝3， 所以展开式中含 x项的系数是 C35＝10，故选 C. 【答案】 C 3．设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则 a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于 ( ) 【导学号：97270026】 A．2n B.3 n－1 2 C．2n＋1 D.3 n＋1 2 【解析】 令 x＝1，得 3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n，① 令 x＝－1，得 1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n，② ①＋②得 3n＋1＝2(a0＋a2＋…＋a2n)， ∴a0＋a2＋…＋a2n＝ 3n＋1 2 .故选 D. 【答案】 D 4．(2016·信阳六高期中)已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为 a，系数 的最大值为 b，则 b a 的值为( ) A.128 5 B.256 7 C.512 5 D.128 7 【解析】 a＝C48＝70，设 b＝Cr82r，则 Cr82r≥Cr－18 2r－1， Cr82r≥Cr＋18 2r＋1， 得 5≤r≤6，所以 b＝C6826＝C2826＝7×28，所以 b a ＝ 128 5 .故选 A. 【答案】 A 5．在(x－ 2)2 010的二项展开式中，含 x的奇次幂的项之和为 S，当 x＝ 2时， S等于( ) A．23 015 B．－23 014 C．23 014 D．－23 008 【解析】 因为 S＝x－ 22 010－x＋ 22 010 2 ，当 x＝ 2时，S＝－ 23 015 2 ＝－23 014. 【答案】 B 二、填空题 6．若(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋…＋a2 016x2 016(x∈R)，则 a1 2 ＋ a2 22 ＋…＋ a2 016 22 016 的值为 ________． 【解析】 令 x＝0，得 a0＝1.令 x＝1 2 ，得 a0＋a1 2 ＋ a2 22 ＋…＋ a2 016 22 016 ＝0，所以 a1 2 ＋ a2 22 ＋…＋ a2 016 22 016 ＝－1. 【答案】 －1 7．若 n是正整数，则 7n＋7n－1C1n＋7n－2C2n＋…＋7C n－1n 除以 9的余数是________． 【解析】 7n＋7n－1C1n＋7n－2C2n＋…＋7Cn－1n ＝(7＋1)n－Cnn＝8n－1＝(9－1)n－1 ＝C0n9n(－1)0＋C1n9n－1(－1)1＋…＋Cnn90(－1)n－1，∴n为偶数时，余数为 0；当 n为 奇数时，余数为 7. 【答案】 7或 0 8．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如 图 135所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其 比为 3∶4∶5. 【解析】 根据题意，设所求的行数为 n，则存在正整数 k， 使得连续三项 Ck－1n ，Ckn，Ck＋1n ，有 Ck－1n Ckn ＝ 3 4 且 Ckn Ck＋1n ＝ 4 5 . 化简得 k n－k＋1 ＝ 3 4 ， k＋1 n－k ＝ 4 5 ，联立解得 k＝27，n＝62. 故第 62行会出现满足条件的三个相邻的数． 【答案】 62 三、解答题 9．已知(1＋2x－x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14. (1)求 a0＋a1＋a2＋…＋a14； (2)求 a1＋a3＋a5＋…＋a13. 【解】 (1)令 x＝1， 则 a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27＝128.① (2)令 x＝－1， 则 a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝(－2)7＝－128.② ①－②得 2(a1＋a3＋…＋a13)＝256， 所以 a1＋a3＋a5＋…＋a13＝128. 10．已知 1 4 ＋2x n的展开式中前三项的二项式系数的和等于 37.求展开式中二 项式系数最大的项的系数． 【解】 由 C0n＋C1n＋C2n＝37，得 1＋n＋1 2 n(n－1)＝37，得 n＝8. 1 4 ＋2x 8的展 开式共有 9项，其中 T5＝C48 1 4 4(2x)4＝35 8 x4，该项的二项式系数最大，系数为 35 8 . [能力提升] 1．若( 2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋… ＋a9)2＝( ) A．1 B．－1 C．2 D．－2 【解析】 令 x＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a10＝( 2－1)10， 令 x＝－1，得 a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝( 2＋1)10， 故(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2 ＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a10) ＝( 2－1)10( 2＋1)10＝1. 【答案】 A 2．把通项公式为 an＝2n－1(n∈N*)的数列{an}的各项排成如图 136所示的三 角形数阵．记 S(m，n)表示该数阵的第 m行中从左到右的第 n个数，则 S(10,6)对 应于数阵中的数是( ) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 …… 图 136 A．91 B．101 C．106 D．103 【解析】 设这个数阵每一行的第一个数组成数列{bn}，则 b1＝1，bn－bn－1 ＝2(n－1)，∴bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1 ＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]＋1＝n2－n＋1， ∴b10＝102－10＋1＝91，S(10,6)＝b10＋2×(6－1)＝101. 【答案】 B 3．(2016·孝感高级中学期中)若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x －2)3＋…＋a11(x－2)11，则 a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________． 【解析】 令 x＝2，得－5＝a0，令 x＝3，得 0＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11，所 以 a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5. 【答案】 5 4．已知 f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展开式中 x的系数为 11. (1)求 x2的系数取最小值时 n的值； (2)当 x2的系数取得最小值时，求 f(x)展开式中 x的奇次项的系数之和. 【导学 号：97270027】 【解】 (1)由已知 C1m＋2C1n＝11，所以 m＋2n＝11， x2的系数为 C2m＋22C2n＝ mm－1 2 ＋2n(n－1)＝m2－m 2 ＋(11－m)· 11－m 2 －1 ＝ m－21 4 2＋ 351 16 . 因为 m∈N*，所以 m＝5时，x2的系数取得最小值 22，此时 n＝3. (2)由(1)知，当 x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3， 所以 f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3， 设这时 f(x)的展开式为 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5， 令 x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33， 令 x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1， 两式相减得 2(a1＋a3＋a5)＝60， 故展开式中 x的奇次项的系数之和为 30.