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  • 2021-06-16 发布

高中数学人教a版选修2-3第一章计数原理1-3-1-3-2学业分层测评word版含答案

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学业分层测评 (建议用时:45分钟) [学业达标] 一、选择题 1.在(a-b)20的二项展开式中,二项式系数与第 6项的二项式系数相同的项 是( ) A.第 15项 B.第 16项 C.第 17项 D.第 18项 【解析】 第 6项的二项式系数为 C520,又 C1520=C520,所以第 16项符合条件. 【答案】 B 2.(2016·吉林一中期末)已知 x2+1 x n的展开式的二项式系数之和为 32,则展 开式中含 x项的系数是( ) A.5 B.20 C.10 D.40 【解析】 根据题意,该二项式的展开式的二项式系数之和为 32, 则有 2n=32,可得 n=5, Tr+1=Cr5x2(5-r)·x-r=Cr5x10-3r, 令 10-3r=1,解得 r=3, 所以展开式中含 x项的系数是 C35=10,故选 C. 【答案】 C 3.设(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,则 a0+a2+a4+…+a2n等于 ( ) 【导学号:97270026】 A.2n B.3 n-1 2 C.2n+1 D.3 n+1 2 【解析】 令 x=1,得 3n=a0+a1+a2+…+a2n-1+a2n,① 令 x=-1,得 1=a0-a1+a2-…-a2n-1+a2n,② ①+②得 3n+1=2(a0+a2+…+a2n), ∴a0+a2+…+a2n= 3n+1 2 .故选 D. 【答案】 D 4.(2016·信阳六高期中)已知(1+2x)8展开式的二项式系数的最大值为 a,系数 的最大值为 b,则 b a 的值为( ) A.128 5 B.256 7 C.512 5 D.128 7 【解析】 a=C48=70,设 b=Cr82r,则 Cr82r≥Cr-18 2r-1, Cr82r≥Cr+18 2r+1, 得 5≤r≤6,所以 b=C6826=C2826=7×28,所以 b a = 128 5 .故选 A. 【答案】 A 5.在(x- 2)2 010的二项展开式中,含 x的奇次幂的项之和为 S,当 x= 2时, S等于( ) A.23 015 B.-23 014 C.23 014 D.-23 008 【解析】 因为 S=x- 22 010-x+ 22 010 2 ,当 x= 2时,S=- 23 015 2 =-23 014. 【答案】 B 二、填空题 6.若(1-2x)2 016=a0+a1x+…+a2 016x2 016(x∈R),则 a1 2 + a2 22 +…+ a2 016 22 016 的值为 ________. 【解析】 令 x=0,得 a0=1.令 x=1 2 ,得 a0+a1 2 + a2 22 +…+ a2 016 22 016 =0,所以 a1 2 + a2 22 +…+ a2 016 22 016 =-1. 【答案】 -1 7.若 n是正整数,则 7n+7n-1C1n+7n-2C2n+…+7C n-1n 除以 9的余数是________. 【解析】 7n+7n-1C1n+7n-2C2n+…+7Cn-1n =(7+1)n-Cnn=8n-1=(9-1)n-1 =C0n9n(-1)0+C1n9n-1(-1)1+…+Cnn90(-1)n-1,∴n为偶数时,余数为 0;当 n为 奇数时,余数为 7. 【答案】 7或 0 8.在“杨辉三角”中,每一个数都是它“肩上”两个数的和,它开头几行如 图 135所示.那么,在“杨辉三角”中,第________行会出现三个相邻的数,其 比为 3∶4∶5. 【解析】 根据题意,设所求的行数为 n,则存在正整数 k, 使得连续三项 Ck-1n ,Ckn,Ck+1n ,有 Ck-1n Ckn = 3 4 且 Ckn Ck+1n = 4 5 . 化简得 k n-k+1 = 3 4 , k+1 n-k = 4 5 ,联立解得 k=27,n=62. 故第 62行会出现满足条件的三个相邻的数. 【答案】 62 三、解答题 9.已知(1+2x-x2)7=a0+a1x+a2x2+…+a13x13+a14x14. (1)求 a0+a1+a2+…+a14; (2)求 a1+a3+a5+…+a13. 【解】 (1)令 x=1, 则 a0+a1+a2+…+a14=27=128.① (2)令 x=-1, 则 a0-a1+a2-a3+…-a13+a14=(-2)7=-128.② ①-②得 2(a1+a3+…+a13)=256, 所以 a1+a3+a5+…+a13=128. 10.已知 1 4 +2x n的展开式中前三项的二项式系数的和等于 37.求展开式中二 项式系数最大的项的系数. 【解】 由 C0n+C1n+C2n=37,得 1+n+1 2 n(n-1)=37,得 n=8. 1 4 +2x 8的展 开式共有 9项,其中 T5=C48 1 4 4(2x)4=35 8 x4,该项的二项式系数最大,系数为 35 8 . [能力提升] 1.若( 2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+… +a9)2=( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 【解析】 令 x=1,得 a0+a1+a2+…+a10=( 2-1)10, 令 x=-1,得 a0-a1+a2-a3+…+a10=( 2+1)10, 故(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2 =(a0+a1+a2+…+a10)(a0-a1+a2-a3+…+a10) =( 2-1)10( 2+1)10=1. 【答案】 A 2.把通项公式为 an=2n-1(n∈N*)的数列{an}的各项排成如图 136所示的三 角形数阵.记 S(m,n)表示该数阵的第 m行中从左到右的第 n个数,则 S(10,6)对 应于数阵中的数是( ) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 …… 图 136 A.91 B.101 C.106 D.103 【解析】 设这个数阵每一行的第一个数组成数列{bn},则 b1=1,bn-bn-1 =2(n-1),∴bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1 =2[(n-1)+(n-2)+…+1]+1=n2-n+1, ∴b10=102-10+1=91,S(10,6)=b10+2×(6-1)=101. 【答案】 B 3.(2016·孝感高级中学期中)若(x2+1)(x-3)9=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x -2)3+…+a11(x-2)11,则 a1+a2+a3+…+a11的值为________. 【解析】 令 x=2,得-5=a0,令 x=3,得 0=a0+a1+a2+a3+…+a11,所 以 a1+a2+a3+…+a11=-a0=5. 【答案】 5 4.已知 f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,n∈N*)的展开式中 x的系数为 11. (1)求 x2的系数取最小值时 n的值; (2)当 x2的系数取得最小值时,求 f(x)展开式中 x的奇次项的系数之和. 【导学 号:97270027】 【解】 (1)由已知 C1m+2C1n=11,所以 m+2n=11, x2的系数为 C2m+22C2n= mm-1 2 +2n(n-1)=m2-m 2 +(11-m)· 11-m 2 -1 = m-21 4 2+ 351 16 . 因为 m∈N*,所以 m=5时,x2的系数取得最小值 22,此时 n=3. (2)由(1)知,当 x2的系数取得最小值时,m=5,n=3, 所以 f(x)=(1+x)5+(1+2x)3, 设这时 f(x)的展开式为 f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5, 令 x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33, 令 x=-1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1, 两式相减得 2(a1+a3+a5)=60, 故展开式中 x的奇次项的系数之和为 30.