2020-2021学年人教B版数学选修2-3课时作业：第二章　概率 单元质量评估2 11页

第二章单元质量评估(二) 时间：120 分钟 总分：150 分 第Ⅰ卷(选择题，共 60 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 60 分) 1．某射手射击所得环数ξ的分布列如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的数学期望 E(ξ)＝8.9，则 y 的值为( B ) A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 解析：∵E(ξ)＝7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝7(0.6－y)＋10y＋3.5 ＝7.7＋3y，∴7.7＋3y＝8.9，∴y＝0.4. 2．若 X 的分布列为 X 0 1 P 0.5 a 则 D(X)等于( B ) A．0.8 B．0.25 C．0.4 D．0.2 解析：由题意知 0.5＋a＝1，E(X)＝0×0.5＋a＝a＝0.5，所以 D(X) ＝0.25. 3．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车准时到站的概率 为3 5 ，则他在 3 天乘车中，此班次公共汽车至少有 2 天准时到站的概 率为( C ) A. 36 125 B. 54 125 C. 81 125 D. 27 125 解析：设此班次公共汽车准时到站的天数为随机变量 X，则此班 次公共汽车至少有 2 天准时到站的概率为 P(X＝2)＋P(X＝3)＝ C23 3 5 2×2 5 ＋C33 3 5 3＝ 81 125. 4．设随机变量 X～N(μ，σ2)，且 P(Xc)，则 c 的值为 ( C ) A．0 B．1 C．μ D.μ 2 解析：因为 P(Xc)，由正态曲线的对称性知μ＝c. 5．将三颗骰子各掷一次，记事件 A＝“三个点数都不同”，B ＝“至少出现一个 6 点”，则条件概率 P(A|B)，P(B|A)分别是( A ) A.60 91 ，1 2 B.1 2 ，60 91 C. 5 18 ，60 91 D. 91 216 ，1 2 解析：由题意得事件 A 包含的基本事件个数为 6×5×4＝120， 事件 B 包含的基本事件个数为 63－53＝91，在 B 发生的条件下 A 发 生包含的基本事件个数为 C13A25＝60，在 A 发生的条件下 B 发生包含 的基本事件个数为 C13A25＝60，所以 P(A|B)＝60 91 ，P(B|A)＝ 60 120 ＝1 2.故 正确答案为 A. 6．箱中装有标号为 1,2,3,4,5,6 且大小相同的 6 个球．从箱中一 次摸出两个球，记下号码后放回，如果两球号码之积是 4 的倍数，则 获奖．现有 4 人参与摸奖，恰好有 3 人获奖的概率是( B ) A. 16 625 B. 96 625 C.624 625 D. 4 625 解析：若摸出的两球中含有 4，必获奖，有 5 种情形；若摸出的 两球是 2,6，也能获奖．故获奖的情形共 6 种，获奖的概率为 6 C26 ＝2 5. 现有 4 人参与摸奖，恰有 3 人获奖的概率是 C34 2 5 3×3 5 ＝ 96 625. 7．已知 X 的分布列为 X 1 2 3 P 1 6 2 3 1 6 且 Y＝aX＋3，E(Y)＝7 3 ，则 a 为( C ) A．－1 B．－1 2 C．－1 3 D．－1 4 解析：E(X)＝1×1 6 ＋2×2 3 ＋3×1 6 ＝2， 由 Y＝aX＋3，得 E(Y)＝aE(X)＋3. 所以7 3 ＝2a＋3，解得 a＝－1 3. 8．已知变量 x 服从正态分布 N(4，σ2)，且 P(x>2)＝0.6，则 P(x>6) ＝( A ) A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 解析：因为 P(x>2)＝0.6，所以 P(x<2)＝1－0.6＝0.4.因为 N(4， σ2)，所以此正态曲线关于 x＝4 对称，所以 P(x>6)＝P(x<2)＝0.4.故选 A. 9．设由“0”，“1”组成的三位数组中，若用 A 表示“第二位数字 为‘0’的事件”，用 B 表示“第一位数字为‘0’的事件”，则 P(A|B) 等于( C ) A.2 5 B.3 4 C.1 2 D.1 8 解析：因为 P(B)＝1×2×2 2×2×2 ＝1 2 ，P(A∩B)＝1×1×2 2×2×2 ＝1 4 ，所以 P(A|B) ＝PA∩B PB ＝1 2. 10．把 10 个骰子全部投出，设出现 6 点的骰子的个数为 X，则 P(X≤2)＝( D ) A．C210× 1 6 2× 5 6 8 B．C110×1 6 × 5 6 9＋ 5 6 10 C．C110×1 6 × 5 6 9＋C210×1 6 2× 5 6 8 D．以上都不对 解析：P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝C010× 1 6 0× 5 6 10 ＋C110×1 6 × 5 6 9＋C210× 1 6 2× 5 6 8. 11．已知随机变量 X～B(6,0.4)，则当η＝－2X＋1 时，D(η)＝ ( C ) A．－1.88 B．－2.88 C．5.76 D．6.76 解析：由已知D(X)＝6×0.4×0.6＝1.44，则D(η)＝4D(X)＝4×1.44 ＝5.76. 12．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利 50 元， 生产一件乙等品可获利 30 元，生产一件次品，要赔 20 元，已知这台 机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为 0.6,0.3 和 0.1，则这台 机器每生产一件产品，平均预期可获利( B ) A．39 元 B．37 元 C．20 元 D.100 3 元 解析：ξ的分布列为 ξ 50 30 －20 P 0.6 0.3 0.1 ∴E(ξ)＝50×0.6＋30×0.3＋(－20)×0.1＝37 元，故选 B. 第Ⅱ卷(非选择题，共 90 分) 二、填空题(每小题 5 分，共 20 分) 13．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次 品率分别为 1 70 ，1 69 ，1 68 ，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次 品率为 3 70. 解析：加工出来的零件的合格品率为 1－ 1 70 × 1－ 1 69 × 1－ 1 68 ＝67 70 ， 所以次品率为 1－67 70 ＝ 3 70. 14．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)内的概率和落在区 间(3,5)内的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为 1. 解析：区间(－3，－1)和区间(3,5)关于 x＝1 对称(－1 的对称点是 3，－3 的对称点是 5)，所以正态分布的数学期望就是 1. 15．如果一个随机变量ξ～B 15，1 2 ，则使得 P(ξ＝k)取得最大值 的 k 的值为 7,8. 解析：P(ξ＝k)＝Ck15 1 2 15，则只需 C k15最大即可，此时 k＝7,8. 16．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件 1 或元 件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作．设三个电子元 件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布 N(1 000,502)，且各个元件 能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概 率为3 8. 解析：设元件 1,2,3 的使用寿命超过 1 000 小时的事件分别记为 A， B，C，显然 P(A)＝P(B)＝P(C)＝1 2 ，所以该部件的使用寿命超过 1 000 的事件为(A B ＋ A B＋AB)C. 所以该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率为 1 2 ×1 2 ＋1 2 ×1 2 ＋1 2 ×1 2 ×1 2 ＝3 8. 三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共 70 分) 17．(10 分)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5，购买乙种商品的概率为 0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相 互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的． (1)求进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概 率； (2)记ξ表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的 一种的人数，求ξ的分布列及期望． 解：(1)由题可得，至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率为 p ＝1－(1－0.5)(1－0.6)＝0.8. (2)ξ可能的取值有 0,1,2,3， p(ξ＝0)＝(1－0.8)3＝0.008， p(ξ＝1)＝C13(1－0.8)20.8＝0.096， p(ξ＝2)＝C23(1－0.8)10.82＝0.384， p(ξ＝3)＝0.83＝0.512. 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 p 0.008 0.096 0.384 0.512 ξ的数学期望 E(ξ)＝3×0.8＝2.4. 18．(12 分)某同学参加 3 门课程的考试．假设该同学第一门课程 取得优秀成绩的概率为4 5 ，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分 别为 p，q(p>q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生 取得优秀成绩的课程数，其分布列为 ξ 0 1 2 3 P 6 125 a b 24 125 (1)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率； (2)求 p，q 的值； (3)求数学期望 E(ξ)． 解：记事件 Ai 表示“该生第 i 门课程取得优秀成绩”，i＝1,2,3. 由题意知 P(A1)＝4 5 ，P(A2)＝p，P(A3)＝q. (1)由于事件“该生至少有 1 门课程取得优秀成绩”与事件“ξ＝ 0”是对立的，所以该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率是 1－ P(ξ＝0)＝1－ 6 125 ＝119 125. (2)由题意知 P(ξ＝0)＝P( A 1 A 2 A 3)＝1 5(1－p)(1－q)＝ 6 125 ， P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＝4 5pq＝ 24 125. 整理得 pq＝ 6 25 ，p＋q＝1. 由 p>q，可得 p＝3 5 ，q＝2 5. (3) 由 题 意 知 a ＝ P(ξ ＝ 1) ＝ P(A1 A 2 A 3) ＋ P( A 1A2 A 3) ＋ P( A 1 A 2A3)＝4 5(1－p)(1－q)＋1 5p(1－q)＋1 5(1－p)q＝ 37 125 ， b＝P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝ 58 125. 所以E(ξ)＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝ 9 5. 19．(12 分)一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡 片上的数字是 1,3 张卡片上的数字是 2,2 张卡片上的数字是 3.从盒中 任取 3 张卡片． (1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率； (2)X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布列与数学 期望． (注：若三个数 a，b，c 满足 a≤b≤c，则称 b 为这三个数的中位 数．) 解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为 P＝C34＋C33 C39 ＝ 5 84. (2)X 的所有可能值为 1,2,3，且 P(X＝1)＝C24C15＋C34 C39 ＝17 42 ， P(X＝2)＝C13C14C12＋C23C16＋C33 C39 ＝43 84 ， P(X＝3)＝C22C17 C39 ＝ 1 12 ，故 X 的分布列为 X 1 2 3 P 17 42 43 84 1 12 从而 E(X)＝1×17 42 ＋2×43 84 ＋3× 1 12 ＝47 28. 20．(12 分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日 销售量的频率分布直方图，如图所示． 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互 独立． (1)求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率； (2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随 机变量 X 的分布列，期望 E(X)及方差 D(X)． 解：(1)设 A1 表示事件“日销售量不低于 100 个”，A2 表示事件 “日销售量低于 50 个”，B 表示事件“在未来连续 3 天里有连续 2 天日销售量不低于 100 个且另一天销售量低于 50 个”． 因此 P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P(A2)＝0.003×50＝0.15， P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108. (2)X 可能取的值为 0,1,2,3，相应的概率为 P(X＝0)＝C03·(1－0.6)3＝0.064， P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288， P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432， P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216. 分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因为 X～B(3,0.6)，所以期望 E(X)＝3×0.6＝1.8，方差 D(X)＝ 3×0.6×(1－0.6)＝0.72. 21．(12 分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功 的概率分别为2 3 和3 5.现安排甲组研发新产品 A，乙组研发新产品 B.设 甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率； (2)若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产 品 B 研发成功，预计企业可获利润 100 万元．求该企业可获利润的分 布列和数学期望． 解：记 E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成 功}．由题设知 P(E)＝2 3 ，P( E )＝1 3 ，P(F)＝3 5 ，P( F )＝2 5 ， 且事件 E 与 F，E 与 F ， E 与 F， E 与 F 都相互独立． (1)记 H＝{至少有一种新产品研发成功}，则 H ＝ E F ，于是 P( H )＝P( E )P( F )＝1 3 ×2 5 ＝ 2 15 ， 故所求的概率为 P(H)＝1－P( H )＝1－ 2 15 ＝13 15. (2)设企业可获利润为 X(万元)，则 X 的可能取值为 0,100,120,220. 因 P(X＝0)＝P( E F )＝1 3 ×2 5 ＝ 2 15 ， P(X＝100)＝P( E F)＝1 3 ×3 5 ＝ 3 15 ， P(X＝120)＝P(E F )＝2 3 ×2 5 ＝ 4 15 ， P(X＝220)＝P(EF)＝2 3 ×3 5 ＝ 6 15 ， 故所求的分布列为 X 0 100 120 220 P 2 15 3 15 4 15 6 15 数学期望为 E(X)＝0× 2 15 ＋100× 3 15 ＋120× 4 15 ＋220× 6 15 ＝ 300＋480＋1 320 15 ＝2 100 15 ＝140. 22．(12 分)设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的 概率分别为 0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立． (1)求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率； (2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求 X 的数学期望． 解：记 Ai 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备， i＝0,1,2， B 表示事件：甲需使用设备， C 表示事件：丁需使用设备， D 表示事件：同一工作日至少 3 人需使用设备． (1)D＝A1·B·C＋A2·B＋A2· B ·C. P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(Ai)＝Ci2×0.52，i＝0,1,2， 所以 P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2· B ·C) ＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2· B ·C) ＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P( B )P(C) ＝0.31. (2)X 的可能取值为 0,1,2,3,4，其分布列为 P(X＝0)＝P( B ·A0· C )＝P( B )P(A0)P( C ) ＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06， P(X＝1)＝P(B·A0· C ＋ B ·A0·C＋ B ·A1· C ) ＝P(B)P(A0)P( C )＋P( B )P(A0)P(C)＋P( B )P(A1)P( C ) ＝ 0.6×0.52×(1 － 0.4) ＋ (1 － 0.6)×0.52×0.4 ＋ (1 － 0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25， P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06， P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25， P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06 －0.25－0.25－0.06＝0.38， 数 学 期 望 E(X) ＝ 0×P(X ＝ 0) ＋ 1×P(X ＝ 1) ＋ 2×P(X ＝ 2) ＋ 3×P(X＝3)＋4×P(X＝4) ＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.