2021届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第16讲导数与函数的单调性课件 38页

第 16 讲　导数与函数的单调性 课标要求 考情风向标 1. 结合实例，借助几何直观探索并了解函 数的单调性与导数的关系；能利用导数研 究函数的单调性，会求不超过三次的多项 式函数的单调区间 . 2. 结合函数的图象，了解函数在某点取得 极值的必要条件和充分条件；会用导数求 不超过三次的多项式函数的极大值、极小 值，以及闭区间上不超过三次的多项式函 数最大值、最小值；体会导数方法在研究 函数性质中的一般性和有效性 本节复习时，应理顺 导数与函数的关系， 体会导数在解决函 数有关问题时的工 具性作用 . 本节知识往往与其 他知识结合命题，如 不等式知识等，还应 注意分类讨论思想 的应用 1. 函数的单调性 函数 y ＝ f ( x ) 在 ( a ， b ) 内可导，则： 单调递减 (1) 若 f ′( x )>0 ，则 f ( x ) 在 ( a ， b ) 内单调递增； (2) 若 f ′( x )<0 ，则 f ( x ) 在 ( a ， b ) 内 __________. 2. 函数的极值 f ′ ( x ) ＜ 0 f ′ ( x ) ＞ 0 (1) 判断 f ( x 0 ) 是极值的方法： 一般地，当函数 f ( x ) 在点 x 0 处连续时， ① 如果在 x 0 附近的左侧 f ′ ( x ) ＞ 0 ，右侧 f ′ ( x ) ＜ 0 ，那么 f ( x 0 ) 是极大值； ② 如果在 x 0 附近的左侧 ____________ ，右侧 ___________ ，那么 f ( x 0 ) 是极小值 . (2) 求可导函数极值的步骤： ① 求 f ′ ( x ) ； ② 求方程 f ′ ( x ) ＝ 0 的根； 极小值 ③ 检查 f ′ ( x ) 在方程 f ′( x ) ＝ 0 的根的左、右值的符号 . 如果 左正右负，那么 f ( x ) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那 么 f ( x ) 在这个根处取得 __________ ；如果左右两侧符号一样，那 么这个根不是极值点 . 3. 函数的最值 (1) 函数 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上有最值的条件： 如果在区间 [ a ， b ] 上，函数 y ＝ f ( x ) 的图象是一条连续不断 的曲线，那么它必有最大值和最小值 . (2)① 若函数 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上单调递增，则 f ( a ) 为函数的最小 值， f ( b ) 为函数的最 大值； ② 若函数 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上单调递减，则 f ( a ) 为函数的最大值， f ( b ) 为函数的最小值 . (3) 求 y ＝ f ( x ) 在 [ a ， b ] 上的最大 ( 小 ) 值的步骤： ① 求函数 y ＝ f ( x ) 在 ( a ， b ) 内的极值； 极值 ② 将函数 y ＝ f ( x ) 的各 ________ 与端点值比较，其中最大的 一个是最大值，最小的一个是最小值 . 1. 如图 2-16-1 是函数 f ( x ) 的导函数 f ′ ( x ) 的图象，则下列判 断中正确的是 ( ) A 图 2-16-1 A. 函数 f ( x ) 在区间 ( － 3,0) 上是减函数 B. 函数 f ( x ) 在区间 (1,3) 上是减函数 C. 函数 f ( x ) 在区间 (0,2) 上是减函数 D. 函数 f ( x ) 在区间 (3,4) 上是增函数 D 2. 函数 f ( x ) ＝ ( x － 3)e x 的单调递增区间是 ( 　　 ) A.( －∞， 2) B.(0,3) D.(2 ，＋∞ ) C.(1,4) 解析： f ′ ( x ) ＝ ( x － 3) ′ e x ＋ ( x － 3)(e x ) ′ ＝ ( x － 2)e x ，令 f ′ ( x )>0 ，解得 x >2 ，故选 D. 3. 函数 f ( x ) ＝ x 2 － 2ln x 的单调递减区间是 ( 　　 ) B.(1 ，＋∞ ) A.(0,1) C.( －∞， 1) D.( － 1,1) A 1< x 0 ， 即 x 2 ＋ 2 x － 3<0. 解得－ 3< x <1. ∴ f ( x ) 的单调递增区间为 ( － 3,1). 故 选 D. 答案： D (3) 在 R 上可导的函数 f ( x ) 的图象如图 2-16-3 ，则关于 x 的 不等式 xf ′( x )<0 的解集为 ( ) 图 2-16-3 A.( －∞，－ 1)∪(0,1) B.( － 1,0)∪(1 ，＋∞ ) C.( － 2 ，－ 1)∪(1,2) D.( －∞，－ 2)∪(2 ，＋∞ ) 解析： 在 ( －∞，－ 1) 和 (1 ，＋∞ ) 上， f ( x ) 递增，∴ f ′( x )>0 ， 使 xf ′( x )<0 的范围为 ( －∞，－ 1) ； 在 ( － 1,1) 上， f ( x ) 递减，∴ f ′( x )<0 ，使 xf ′( x )<0 的范围为 (0,1). 综上，关于 x 的不等式 xf ′( x )<0 的解集为 ( －∞，－ 1)∪ (0,1). 答案： A 【 规律方法 】 求函数的单调区间与函数的极值时要养成列 表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能 . 如果一个 函数在给定的定义域上单调区间不止一个，这些区间之间一般 不能用并集符号 “ ∪ ” 连接，只能用 “ ， ” 或 “ 和 ” 字隔开 . 考点 2 含参数函数的单调性 例 2 ： 已知函数 f ( x ) ＝ x 3 － ax － 1. (1) 讨论 f ( x ) 的单调性； (2) 若 f ( x ) 在 R 上为增函数，求实数 a 的取值范围； (3) 若 f ( x ) 在区间 (1 ，＋∞ ) 上为增函数，求实数 a 的取值 范围； (4) 若 f ( x ) 在区间 ( － 1,1) 上为减函数，试求实数 a 的取值 范围； (5) 若 f ( x ) 的单调递减区间为 ( － 1,1) ，求实数 a 的值； (6) 若 f ( x ) 在区间 ( － 1,1) 上不单调，求实数 a 的取值范围 . (3) ∵ f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － a ，且 f ( x ) 在区间 (1 ，＋ ∞ ) 上为增函数， ∴ f ′ ( x ) ≥ 0 在 (1 ，＋ ∞ ) 上恒成立， 即 3 x 2 － a ≥ 0 在 (1 ，＋ ∞ ) 上恒成立 . ∴ a ≤ 3 x 2 在 (1 ，＋ ∞ ) 上恒成立 . ∴ a ≤ 3. 即实数 a 的取值范围为 ( － ∞ ， 3]. (4) 由 f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － a ≤ 0 在 ( － 1,1) 上恒成立，得 a ≥ 3 x 2 在 ( － 1,1) 上恒成立 . ∵ － 1 ＜ x ＜ 1 ， ∴ 3 x 2 ＜ 3. ∴ a ≥ 3. 即当实数 a 的取值范围为 [3 ，＋ ∞ ) 时， f ( x ) 在 ( － 1,1) 上为减函数 . 【 规律方法 】 若可导函数 f ( x ) 在指定的区间 D 上单调递增 ( 减 ) ，求参数取值范围问题： (1) 转化为 f ′ ( x ) ≥ 0[ 或 f ′ ( x ) ≤ 0] 恒成立问题，从而构建不等式，要注意“ ＝ ” 是否可以取到； (2) 利用集合间的包含关系处理： y ＝ f ( x ) 在 ( a ， b ) 上单调，则区 间 ( a ， b ) 是相应单调区间的子集 . 【 跟踪训练 】 答案： C 思想与方法 ⊙ 运用分类讨论思想讨论函数的单调性 例题： (2016 年新课标 Ⅰ ) 已知函数 f ( x ) ＝ ( x － 2)e x ＋ a ( x － 1) 2 . (1) 讨论 f ( x ) 的单调性； (2) 若 f ( x ) 有两个零点，求实数 a 的取值范围 . 解： (1) f ′ ( x ) ＝ ( x － 1)e x ＋ 2 a ( x － 1) ＝ ( x － 1)(e x ＋ 2 a ). ① 设 a ≥ 0 ，则当 x ∈ ( － ∞ ， 1) 时， f ′ ( x )<0 ； 当 x ∈(1 ，＋∞ ) 时， f ′ ( x )>0. ∴ f ( x ) 在 ( －∞， 1) 上单调递减，在 (1 ，＋∞ ) 上单调递增 . 故当 x ∈( －∞， 1)∪(ln( － 2 a ) ，＋∞ ) 时， f ′( x )>0 ； 当 x ∈(1 ， ln( － 2 a )) 时， f ′( x )<0. ∴ f ( x ) 在 ( －∞， 1) ， (ln( － 2 a ) ，＋∞ ) 上单调递增，在 (1 ， ln( － 2 a )) 上单调递减 . (2)① 设 a >0 ，则由 (1) 知， f ( x ) 在 ( －∞， 1) 上单调递减，在 (1 ，＋∞ ) 上单调递增 . 故 f ( x ) 在 (1 ，＋∞ ) 上至多有一个零点，在 ( －∞， 1) 上至多 有一个零点 . 【 规律方法 】 本题第一问是用导数研究函数单调性，对含 有参数的函数单调性的确定，通常要根据参数进行分类讨论， 要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数 取值范围，由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识， 越来越受到高考命题者的青睐，解决此类问题的思路是构造适 当的函数，利用导数研究函数的单调性或极值破解 . 【 跟踪训练 】 (1) 若函数 f ( x ) 在 [1 ，＋∞ ) 上为增函数，求正实数 a 的取值 范围； (2) 讨论函数 f ( x ) 的单调性 . 1. 利用导数求函数单调区间的基本步骤是： (1) 确定函数 f ( x ) 的定义域； (2) 求导数 f ′( x ) ； (3) 由 f ′( x ) ＞ 0( 或＜ 0) 解出相应的 x 的取值范围 . 当 f ′( x ) ＞ 0 时， f ( x ) 在相应的区间内是单调递增函数；当 f ′( x ) ＜ 0 时， f ( x ) 在相应的区间内是单调递减函数 . 一般需要通过列表，写出函数的单调区间 . 2. 已知单调性求解参数取值范围的步骤为： (1) 对含参数的函数 f ( x ) 求导，得到 f ′( x ) ； (2) 若函数 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上单调递增，则 f ′( x ) ≥ 0 恒成立； 若函数 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上单调递减，则 f ′( x ) ≤ 0 恒成立，得到关 于参数的不等式，解出参数取值范围； (3) 验证参数取值范围中取等号时，是否恒有 f ′( x ) ＝ 0. 若 f ′( x ) ＝ 0 恒成立，则函数 f ( x ) 在 ( a ， b ) 上为常数函数，舍去此参 数值 . 3. 求函数的单调区间与函数的极值时要养成列表的习惯， 可使问题直观且有条理，减少失分的可能 . 如果一个函数在给定 定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集 符号“ ∪ ” 连接，只能用 “ ， ” 或 “ 和 ” 字隔开 .