2019版一轮复习理数通用版高考达标检测（二十八） 基本不等式 6页

高考达标检测（二十八） 基本不等式 一、选择题 1．“a>0，b>0”是“ab< a＋b 2 2”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 D 因为当 a>0，b>0 时， a＋b 2 2≥ab， 所以当 a＝b 时，“ab< a＋b 2 2”不成立， 当“ab< a＋b 2 2”时，a，b 可以异号，所以“a>0，b>0”不一定成立， 故“a>0，b>0”是“ab< a＋b 2 2”的既不充分也不必要条件． 2．已知向量 a＝(3,2)，b＝(x,1－y)且 a∥b，若 x，y 均为正数，则3 x ＋2 y 的最小值是( ) A．24 B．8 C.8 3 D.5 3 解析：选 B ∵a＝(3,2)，b＝(x,1－y)且 a∥b， ∴3(1－y)＝2x，即 2x＋3y＝3. ∴2 3x＋y＝1， ∴3 x ＋2 y ＝ 3 x ＋2 y 2 3x＋y ＝2＋2＋3y x ＋4x 3y ≥4＋2 3y x ·4x 3y ＝8， 当且仅当 x＝3 4 ，y＝1 2 时取等号， 故3 x ＋2 y 的最小值是 8. 3．若直线 ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆 x2＋y2＋2x－4y＋1＝0 截得的弦长为 4，则 1 a ＋1 b 的最小值为( ) A.3 2 ＋ 2 B. 2 C.1 4 D.3 2 ＋2 2 解析：选 A 因为直线 ax－by＋2＝0 被圆 x2＋y2＋2x－4y＋1＝0 截得的弦长为 4，圆 的圆心为(－1,2)，半径为 2，所以直线 ax－by＋2＝0 过圆心(－1,2)，则有 a＋2b＝2，所以 1 a ＋1 b ＝1 2(a＋2b) 1 a ＋1 b ＝1 2 3＋2b a ＋a b ≥3 2 ＋ 2，当且仅当2b a ＝a b 时，等号成立．故1 a ＋1 b 的最小 值为3 2 ＋ 2. 4．(2018·开封摸底考试)已知 x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则 x＋2y 的最小值是( ) A．3 B．4 C.9 2 D.11 2 解析：选 B 由题意得 x＋2y＝8－x·2y≥8－ x＋2y 2 2，当且仅当 x＝2y 时，等号成立， 整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又 x＋2y>0，所以 x＋2y≥4， 所以 x＋2y 的最小值为 4. 5．设 x>0，y>0 且 x＋4y＝40，则 lg x＋lg y 的最大值是( ) A．40 B．10 C．4 D．2 解析：选 D ∵x>0，y>0 且 x＋4y＝40，∴40≥2 x·4y，即 xy≤100，当且仅当 x＝4y ＝20 时取等号．则 lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 100＝2，因此其最大值是 2. 6．不等式 x2＋2x1，b>2， 则 2 a－1 ＋ 1 b－2 ≥2 2 a－1 · 1 b－2 ＝2 2 ab－2a－b＋2 ＝2， 当且仅当 2 a－1 ＝ 1 b－2 ，即 a＝b＝3 时，等号成立，故 2 a－1 ＋ 1 b－2 的最小值为 2. 8．(2018·洛阳统考)若正实数 x，y，z 满足 x2＋4y2＝z＋3xy，则当xy z 取最大值时，1 x ＋ 1 2y －1 z 的最大值为( ) A．2 B.3 2 C．1 D.1 2 解析：选 D ∵z＝x2＋4y2－3xy，x，y，z∈(0，＋∞)， ∴xy z ＝ xy x2＋4y2－3xy ＝ 1 x y ＋4y x －3 ≤1(当且仅当 x＝2y 时等号成立)， 此时1 x ＋ 1 2y －1 z ＝1 y － 1 2y2 ，令1 y ＝t>0， 则1 x ＋ 1 2y －1 z ＝t－1 2t2＝－1 2(t－1)2＋1 2 ≤1 2(当且仅当 t＝1 时等号成立)． 二、填空题 9．已知 a>0，b>0，圆 C：(x－2)2＋(y＋1)2＝5 关于直线 ax－by－1＝0 对称，则3 b ＋2 a 的 最小值为________． 解析：由 a>0，b>0，圆 C：(x－2)2＋(y＋1)2＝5 关于直线 ax－by－1＝0 对称， 可得 2a＋b－1＝0， 所以3 b ＋2 a ＝ 3 b ＋2 a (2a＋b)＝6a b ＋2b a ＋7≥2 6a b ·2b a ＋7＝4 3＋7， 当且仅当6a b ＝2b a 且 2a＋b－1＝0，即 a＝2－ 3，b＝2 3－3 时取等号． 故3 b ＋2 a 的最小值为 7＋4 3. 答案：7＋4 3 10．(2018·湖南长郡中学月考)设正项等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S2 017＝4 034， 则 1 a9 ＋ 9 a2 009 的最小值为________． 解析：由等差数列的前 n 项和公式，得 S2 017＝2 017a1＋a2 017 2 ＝4 034， 则 a1＋a2 017＝4.由等差数列的性质得 a9＋a2 009＝4， 所以 1 a9 ＋ 9 a2 009 ＝1 4 4 a9 ＋9×4 a2 009 ＝1 4 a9＋a2 009 a9 ＋9a9＋a2 009 a2 009 ＝1 4 a2 009 a9 ＋ 9a9 a2 009 ＋10≥1 4 2 a2 009 a9 × 9a9 a2 009 ＋10 ＝4， 当且仅当 a2 009＝3a9 时等号成立．故 1 a9 ＋ 9 a2 009 的最小值为 4. 答案：4 11.如图，动点 A 在函数 y＝1 x(x<0)的图象上，动点 B 在函数 y＝ 2 x(x>0)的图象上，过点 A，B 分别向 x 轴，y 轴作垂线，垂足分别为 A1，A2，B1，B2，若|A1B1|＝4，则|A2B2|的最小值为________． 解析：设 A a，1 a ，B b，2 b ，a<0，b>0， 因为|A1B1|＝4，所以 b－a＝4， 故|A2B2|＝2 b －1 a ＝1 4 [b＋－a]· 2 b ＋ 1 －a ＝1 4 3＋－2a b ＋ b －a ≥1 4(3＋2 2)， 当且仅当 b2＝2a2，即 a＝4－4 2，b＝8－4 2时，|A2B2|取得最小值3＋2 2 4 . 答案：3＋2 2 4 12．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/ 次，一年的总存储费用为 4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是 ________． 解析：由题意，一年购买600 x 次，则总运费与总存储费用之和为600 x ×6＋4x＝ 4 900 x ＋x ≥8 900 x ·x＝240，当且仅当 x＝30 时取等号，故总运费与总存储费用之和最小 时 x 的值是 30. 答案：30 三、解答题 13．已知 x>0，y>0，且 x＋8y－xy＝0. (1)当 x，y 分别为何值时，xy 取得最小值？ (2)当 x，y 分别为何值时，x＋y 取得最小值？ 解：(1)∵x>0，y>0，且 x＋8y－xy＝0， ∴xy＝x＋8y≥4 2xy，当且仅当 x＝8y，即 x＝16，y＝2 时取等号， ∴xy≥32. ∴xy 的最小值为 32. (2)∵x＋8y－xy＝0，∴8 x ＋1 y ＝1， ∴x＋y＝(x＋y) 8 x ＋1 y ＝9＋x y ＋8y x ≥9＋4 2，当且仅当x y ＝8y x ，即 y＝1＋2 2，x＝8＋ 2 2时取等号． 因此 x＋y 的最小值为 9＋4 2. 14．某工地决定建造一批房型为长方体、房高为 2.5 m 的简易房，房的前后墙用 2.5 m 高的彩色钢板，两侧墙用 2.5 m 高的复合钢板．两种钢板的价格都用长度来计算(即：钢板 的高均为 2.5m．用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格)．已知彩色钢板每米单价为 450 元．复合钢板每米单价为 200 元，房的地面不需另买材料，房顶用其他材料建造，每平 方米材料费 200 元，每套房的材料费控制在 32 000 元以内． (1)设房前面墙的长为 x(m)，两侧墙的长为 y(m)，建造一套房所需材料费为 P(元)，试 用 x，y 表示 P； (2)试求一套简易房面积 S 的最大值是多少？当 S 最大时，前面墙的长度应设计为多少 米？ 解：(1)依题得，P＝2x×450＋2y×200＋xy×200＝900x＋400y＋200xy， 即 P＝900x＋400y＋200xy. (2)∵S＝xy，∴P＝900x＋400y＋200xy≥2 900×400S＋200S＝200S＋1 200 S， 又因为 P≤32 000，所以 200S＋1 200 S≤32 000， 解得 0< S≤10， ∴0y>z，且 1 x－y ＋ 1 y－z ≥ n x－z(n∈N)恒成立，则 n 的最大值为________． 解析：因为 x>y>z，所以 x－y>0，y－z>0，x－z>0， 不等式 1 x－y ＋ 1 y－z ≥ n x－z 恒成立等价于 n≤(x－z) 1 x－y ＋ 1 y－z 恒成立． 因为 x－z＝(x－y)＋(y－z)≥2 x－yy－z， 1 x－y ＋ 1 y－z ≥2 1 x－y × 1 y－z ， 所以(x－z) 1 x－y ＋ 1 y－z ≥2 x－yy－z·2 1 x－y × 1 y－z ＝4(当且仅当 x－y＝y－z 时等 号成立)，则要使 n≤(x－z)· 1 x－y ＋ 1 y－z 恒成立，只需使 n≤4(n∈N)，故 n 的最大值为 4. 答案：4