2019版一轮复习理数通用版高考达标检测 导数运算是基点几何意义是重点定积分应用是潜考点 6页

高考达标检测（十一） 导数运算是基点、几何意义是重点、 定积分应用是潜考点 一、选择题 1．若 a＝错误!xdx，则二项式 x－a＋1 x 6 展开式中的常数项是( ) A．20 B．－20 C．－540 D．540 解析：选 C a＝错误!xdx＝1 2x| 2 0 ＝2，则 x－3 x 6 展开式的通项 Tr＋1＝(－3)rCr6x6－2r， 令 6－2r＝0 可得 r＝3，则常数项是 T4＝(－3)3C36＝－540. 2．(2018·衡水调研)曲线 y＝1－ 2 x＋2 在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2 解析：选 A ∵y＝1－ 2 x＋2 ＝ x x＋2 ， ∴y′＝x＋2－x x＋22 ＝ 2 x＋22 ，y′|x＝－1＝2， ∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为 2， ∴所求切线方程为 y＋1＝2(x＋1)， 即 y＝2x＋1. 3．(2018·济南一模)已知曲线 f(x)＝ln x 的切线经过原点，则此切线的斜率为( ) A．e B．－e C.1 e D．－1 e 解析：选 C 法一：∵f(x)＝ln x，x∈(0，＋∞)， ∴f′(x)＝1 x. 设切点 P(x0，ln x0)， 则切线的斜率为 k＝f′(x0)＝ 1 x0 ＝kOP＝ln x0 x0 . ∴ln x0＝1，∴x0＝e，∴k＝ 1 x0 ＝1 e. 法二：(数形结合法)：在同一坐标系下作出 y＝ln x 及曲线 y＝ln x 经过原点的切线， 由图可知，切线的斜率为正，且小于 1，故选 C. 4．已知 f(x)＝ln x，g(x)＝1 2x2＋mx＋7 2(m＜0)，直线 l 与函数 f(x)，g(x)的图象都相切， 且与 f(x)图象的切点为(1，f(1))，则 m 的值为( ) A．－1 B．－3 C．－4 D．－2 解析：选 D ∵f′(x)＝1 x ， ∴直线 l 的斜率为 k＝f′(1)＝1. 又 f(1)＝0， ∴直线 l 的方程为 y＝x－1. g′(x)＝x＋m，设直线 l 与 g(x)的图象的切点为(x0，y0)， 则有 x0＋m＝1，y0＝x0－1， 又因为 y0＝1 2x20＋mx0＋7 2(m＜0)， 解得 m＝－2，故选 D. 5．(2018·南昌二中模拟)设点 P 是曲线 y＝x3－ 3x＋2 3 上的任意一点，P 点处切线倾斜 角α的取值范围为( ) A. 0，π 2 ∪ 5π 6 ，π B. 2π 3 ，π C. 0，π 2 ∪ 2π 3 ，π D. π 2 ，5π 6 解析：选 C 因为 y′＝3x2－ 3≥－ 3，故切线斜率 k≥－ 3， 所以切线倾斜角α的取值范围是 0，π 2 ∪ 2π 3 ，π . 6．已知曲线 y＝ 1 ex＋1 ，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( ) A．x＋4y－2＝0 B．x－4y＋2＝0 C．4x＋2y－1＝0 D．4x－2y－1＝0 解析：选 A y′＝ －ex ex＋12 ＝ －1 ex＋1 ex ＋2 ，因为 ex＞0，所以 ex＋1 ex ≥2 ex×1 ex ＝2(当且 仅当 ex＝1 ex ，即 x＝0 时取等号)，则 ex＋1 ex ＋2≥4，故 y′＝ －1 ex＋1 ex ＋2 ≥－1 4(当 x＝0 时取等 号)．当 x＝0 时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为 0，1 2 ，切线的方程为 y －1 2 ＝－1 4(x－0)，即 x＋4y－2＝0.故选 A. 二、填空题 7．若 a 和 b 是计算机在区间(0,2)上产生的随机数，那么函数 f(x)＝lg(ax2＋4x＋4b)的值 域为 R 的概率为________． 解析：由题意知 00， Δ＝16－16ab≥0， 化简可得 a>0， ab≤1， 如图所示， 不等式 a>0， b>0， ab≤1 所表示的图形的面积 S＝2×1 2 ＋  2 2  1 ada＝1＋ln a|11 2 ＝1＋2ln 2， 所以所求事件的概率为1＋2ln 2 4 . 答案：1＋2ln 2 4 8．已知函数 f(x)＝eax＋bx(a<0)在点(0，f(0))处的切线方程为 y＝5x＋1，且 f(1)＋f′(1) ＝12.则 a，b 的值分别为________． 解析：f(x)＝eax＋bx，那么 f′(x)＝aeax＋b， 由 f′0＝5， f1＋f′1＝12， 得 a＋b＝5， aea＋b＋b＋ea＝12， 化简得(ea－2)(a＋1)＝0， 由 a<0，得 a＝－1，b＝6. 答案：－1,6 9．(2017·东营一模)函数 f(x)＝xln x 在点 P(x0，f(x0))处的切线与直线 x＋y＝0 垂直，则 切点 P(x0，f(x0))的坐标为________． 解析：∵f(x)＝xln x， ∴f′(x)＝ln x＋1， 由题意得 f′(x0)·(－1)＝－1， 即 f′(x0)＝1⇔ln x0＋1＝1⇔ln x0＝0⇔x0＝1， ∴f(x0)＝1·ln 1＝0， ∴P(1,0)． 答案：(1,0) 10．设过曲线 f(x)＝－ex－x(e 为自然对数的底数)上的任意一点的切线为 l1，总存在过 曲线 g(x)＝mx－3sin x 上的一点处的切线 l2，使 l1⊥l2，则 m 的取值范围是________． 解析：设曲线 f(x)上任意一点 A(x1，y1)，曲线 g(x)上存在一点 B(x2，y2)，f′(x)＝－ex －1，g′(x)＝m－3cos x. 由题意可得 f′(x1)g′(x2)＝－1， 且 f′(x1)＝－ex1－1∈(－∞，－1)，g′(x2)＝m－3cos x2∈[m－3，m＋3]． 因为过曲线 f(x)＝－ex－x(e 为自然对数的底数)上的任意一点的切线为 l1，总存在过曲 线 g(x)＝mx－3sin x 上的一点处的切线 l2，使 l1⊥l2， 所以(0,1)⊆[m－3，m＋3]， 所以 m－3≤0，且 m＋3≥1，解得－2≤m≤3. 答案：[－2,3] 三、解答题 11．已知函数 f(x)＝1 3x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线 C. (1)求过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围； (2)若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标 的取值范围． 解：(1)由题意得 f′(x)＝x2－4x＋3， 则 f′(x)＝(x－2)2－1≥－1， 即过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线 C 的其中一条切线的斜率为 k， 则由题意，及(1)可知， k≥－1， －1 k ≥－1， 解得－1≤k＜0 或 k≥1， 故由－1≤x2－4x＋3＜0 或 x2－4x＋3≥1， 得 x∈(－∞，2－ 2]∪(1,3)∪[2＋ 2，＋∞)． 12．已知函数 f(x)＝1 2x2－ax＋(3－a)ln x，a∈R. (1)若曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线 2x－y＋1＝0 垂直，求 a 的值； (2)设 f(x)有两个极值点 x1，x2，且 x1－5. 解：(1)∵f′(x)＝x－a＋3－a x ＝x2－ax＋3－a x ， ∴f′(1)＝4－2a， 由题意知 4－2a＝－1 2 ，解得 a＝9 4. (2)证明：由题意知，x1，x2 为 f′(x)＝0 的两根， ∴ Δ＝a2－43－a>0， a>0， 3－a>0， ∴20，故 h′(a)在(2,3)上递增． 又 h′(2)＝－2<0，a→3 时，h′(a)→＋∞， ∴∃a0∈(2,3)，当 a∈(2，a0)时，h(a)递减，当 a∈(a0,3)时，h(a)递增， ∴h(a)min＝h(a0)＝－1 2a20＋a0－3＋(3－a0)·(－a0)＝1 2a20－2a0－3＝1 2(a0－2)2－5>－5， ∴∀a∈(2,3)，h(a)>－5， 综上，f(x1)＋f(x2)>－5. 1．(2018·广东七校联考)已知函数 y＝x2 的图象在点(x0，x20)处的切线为 l，若 l 也与函数 y＝ln x，x∈(0,1)的图象相切，则 x0 必满足( ) A．01， 设切点为(t，ln t)， 则切线 l 的方程为 y＝1 tx＋ln t－1， 因为函数 y＝x2 的图象在点(x0，x20)处的切线 l 的斜率为 2x0， 则切线方程为 y＝2x0x－x20， 因为 l 也与函数 y＝ln x，x∈(0,1)的图象相切， 则有 2x0＝1 t ， x20＝1－ln t， 则 1＋ln 2x0＝x20，x0∈(1，＋∞)． 令 g(x)＝x2－ln 2x－1，x∈(1，＋∞)， 所以该函数的零点就是 x0，则排除 A、B； 又因为 g′(x)＝2x－1 x ＝2x2－1 x >0， 所以函数 g(x)在(1，＋∞)上单调递增． 又 g(1)＝－ln 2<0，g( 2)＝1－ln 2 2<0，g( 3)＝2－ln 2 3>0， 从而 22)， 则φ(M，N)＝ |3x21－3x22| x1－x22＋x31＋2－x32－22 ＝ |3x21－3x22| x1－x22[1＋x21＋x1x2＋x222] ＝ 3|x1－x2|·|x1＋x2| |x1－x2| 1＋[x1＋x22－x1x2]2 ＝ 3|x1＋x2| 1＋[x1＋x22－1]2 ＝ 3|t| 1＋t2－12 ＝ 3 t2＋2 t2 －2 . 设 g(x)＝x＋2 x ，x>4，则 g′(x)＝1－ 2 x2>0， 所以 g(x)在(4，＋∞)上单调递增，所以 g(x)>g(4)＝9 2. 所以 t2＋2 t2 －2>5 2 ， 所以 0<φ(M，N)<3 10 5 . 答案： 0，3 10 5