高中数学人教版选修1-2：单元质量评估（二）word版含答案 9页

温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。 关闭 Word 文档返回原板块。 单元质量评估(二) (第二章) (120 分钟 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1.(2016·锦州高二检测)下列说法正确的是( ) ①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一般是正确的；③演绎推理的一 般形式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【解析】选 C.演绎推理只有大前提、小前提和推理形式都正确才能保证结论正确，故②错 误，其他说法都正确. 2.(2016·菏泽高二检测)下列推理过程是类比推理的是( ) A.人们通过大量实验得出掷硬币出现正面的机率为 B.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼 C.通过检验溶液的 PH 值得出溶液的酸碱性 D.数学中由周期函数的定义来判断某函数是否为周期函数 【解析】选 B.由题设及推理知识知，A 是归纳推理.C，D 都是演绎推理.B 是类比推理. 3.“蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴等爬行动物是用肺呼吸的，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的.” 此推理方法是( ) A.演绎推理 B.归纳推理 C.类比推理 D.以上都不对 【解析】选 B.由部分推断全体，是归纳推理. 4.(2016·珠海高二检测)若 a>b>0，c B. < C. > D. < 【解析】选 B.因为 a>b>0，c-d>0， 所以-ac>-bd>0，即 ac0，所以 < ，即 < . 5.(2015·浙江高考)设实数 a，b，t 满足|a+1|=|sinb|=t.( ) A.若 t 确定，则 b2 唯一确定 B.若 t 确定，则 a2+2a 唯一确定 C.若 t 确定，则 sin 唯一确定 D.若 t 确定，则 a2+a 唯一确定 【解析】选 B.当 t=0 时，sinb=0，b=kπ(k∈Z)， 此时 b2 不确定，故 A 错. sin =sin =0，1 或-1，故 C 错； 当 t=2 时，|a+1|=2 得 a=1 或 a=-3，所以 a2+a=2 或 a2+a=6，故 D 错. 因为当|a+1|=t 时 a2+2a=t2-1. 当 t 确定时，t2-1 唯一确定，即 a2+2a 也唯一确定. 6.如果对象 A 和对象 B 都具有相同的属性 P，Q，R 等，此外已知对象 A 还有一个属性 S，而 对象 B 还有一个未知的属性 x，由此类比推理，可以得出下列哪个结论可能成立( ) A.x 就是 P B.x 就是 Q C.x 就是 R D.x 就是 S 【解析】选 D.因为 P，R，Q 是均具有的属性，所以可能得出的结论只能是“x 就是 S”. 【拓展延伸】类比推理的基本原则 类比推理是由特殊到特殊的推理，它的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对 象，可以从几何元素的数目，位置关系，度量等方面入手，由一类事物的特征类比出另一类 事物的相关特征. 平面图形与空间图形的类比如下： 平面 空间 平面 空间 线 面 平面角 二面角 点 线 面积 体积 边长 面积 三角形 四面体 7.(2016·鞍山高二检测)观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11…，则 a11+b11=( ) A.28 B.76 C.123 D.199 【解析】选 D.由已知 a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4=3+1，a4+b4=7=4+3，a5+b5=7+4=11，a6+b6=11+7=18， a7+b7=18+11=29，a8+b8=29+18=47，a9+b9=47+29=76，a10+b10=76+47=123，a11+b11=123+76=199. 8.(2016·潍坊高二检测)若函数 f(x)=x2-2x+m(x∈R)有两个零点，并且不等式 f(1-x)≥-1 恒成立，则实数 m 的取值范围为( ) A.(0，1) B. D. 【解析】选 B.因为 f(x)=x2-2x+m 有两个零点. 所以 4-4m>0，即 m<1. 由 f(1-x)≥-1 得(1-x)2-2(1-x)+m≥-1， 即 m≥-x2 因为-x2≤0，故 0≤m<1. 9.已知 f(x)=x3+x，x∈R，若 a，b，c∈R，且 a+b>0，b+c>0，c+a>0，则 f(a)+f(b)+f(c)的 值一定( ) A.大于 0 B.小于 0 C.等于 0 D.正负都有可能 【解析】选 A.因为 f(x)为奇函数且为增函数， 又因为 a+b>0，所以 a>-b， 所以 f(a)>f(-b)，即 f(a)+f(b)>0， 同理 f(a)+f(c)>0，f(b)+f(c)>0. 所以 2(f(a)+f(b)+f(c))>0， 所以 f(a)+f(b)+f(c)>0. 10.用反证法证明“若整数系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根，那么 a，b，c 中 至少有一个是偶数”，应假设( ) A.a，b，c 中至多有一个是偶数 B.a，b，c 中至少有一个是奇数 C.a，b，c 中全是奇数 D.a，b，c 中恰有一个是偶数 【解析】选 C.“a，b，c 中至少有一个是偶数”包括“a，b，c 中有一个或 2 个或 3 个偶数”， 其反面是 a，b，c 中没有偶数，即全是奇数. 11.已知 1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c 对一切 n∈N*都成立，那么 a，b，c 的值 为( ) A.a= ，b=c= B.a=b=c= C.a=0，b=c= D.不存在这样的 a，b，c 【解析】选 A.令 n=1，2，3， 得 所以 a= ，b=c= . 12.(2016·青岛高二检测)观察下列各式：|x|+|y|=1 的不同整数解(x，y)的个数为 4， |x|+|y|=2 的不同整数解(x，y)的个数为 8，|x|+|y|=3 的不同整数解(x，y)的个数为 12，…， 则|x|+|y|=20 的不同整数解(x，y)的个数为( ) A.76 B.80 C.86 D.92 【解析】选 B.通过观察可以发现|x|+|y|的值为 1，2，3 时，对应的(x，y)的不同整数解的 个数分别为 4，8，12，可推得当|x|+|y|=n 时，对应的不同整数解(x，y)的个数为 4n，所 以|x|+|y|=20 时的不同整数解的个数为 4×20=80. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.(2016·聊城高二检测)已知 x，y∈R 且 2x+2y=1，则 x+y 的取值范围为________. 【解析】因为 2x+2y=1≥2 ， 所以 2x+y≤ =2-2，所以 x+y≤-2. 答案：(-∞，-2] 14.(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3.甲、乙、丙三人各取走 一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后 说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的 卡片上的数字是________. 【解题指南】丙拿的卡片上的数字不是“2 和 3”，只能是 1 和 2，1 和 3，分类讨论. 【解析】由题意得：丙不拿(2，3)， 若丙(1，2)，则乙(2，3)，甲(1，3)满足， 若丙(1，3)，则乙(2，3)，甲(1，2)不满足， 故甲的卡片上的数字为 1 和 3. 答案：1 和 3 15.观察下列等式： i= n2+ n， i2= n3+ n2+ n， i3= n4+ n3+ n2， i4= n5+ n4+ n3- n， i5= n6+ n5+ n4- n2， i6= n7+ n6+ n5- n3+ n， … ik=ak+1nk+1+aknk+ak-1nk-1+ak-2nk-2+…+a1n+a0， 可以推测，当 k≥2(k∈N*)时，ak+1= ，ak= ，ak-1=________，ak-2=________. 【解析】由题意知，当 k=2，3，4，5，6 时，ak-1 分别为 ， ， ， ， ，即 ， ， ， ， ，可以推测 ak-1= .当 k=2，3，4，5，6 时，ak-2 分别为 0，0，0，0，0，可以推测 ak-2=0. 答案： 0 16.(2016·临沂高二检测)观察下图： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 …… 则第________行的各数之和为 20172. 【解析】第 1 行各项和为 1=12；第 2 行各项之和为 9=32； 第 3 行各项和为 25=52；第 4 行各项之和为 49=72； 即第 n 行各项之和为(2n-1)2. 令 2n-1=2017 得 n=1009. 答案：1009 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 17.(10 分)在正实数数列{an}中，a1=1，a2=5，且{ }成等差数列.证明数列{an}中有无穷多 项为无理数. 【证明】由已知有： =1+24(n-1)，从而 an= ，取 n-1=242k-1，则 an= (k∈N*). 用反证法证明这些 an 都是无理数. 假设 an= 为有理数，则 an 必为正整数，且 an>24k，故 an-24k≥1，an+24k>1，与 (an-24k)(an+24k)=1 矛盾，所以 an= (k∈N*)都是无理数，即数列{an}中有无穷 多项为无理数. 18.(12 分)(2016·德州高二检测)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等 于同一个常数. ①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°； ②sin215°+cos215°-sin 15°·cos 15°； ③sin218°+cos212°-sin 18°·cos 12°； ④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°； ⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数. (2)根据(1)中结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论. 【解析】(1)选择②式，计算如下： sin215°+cos215°-sin 15°cos 15° =1- sin 30°=1- = . (2)三角恒等式为 sin2α+cos2(30°-α)-sinα·cos(30°-α)= . 证明如下： sin2α+cos2(30°-α)-sinα·cos(30°-α) =sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2- sinα(cos30°cosα+sin30°sinα) =sin2α+ cos2α+ sinαcosα+ sin2α- sinαcosα- sin2α= sin2α+ cos2α= . 19.(12 分)(2016·泉州高二检测)已知 a>0，b>0，用分析法证明： ≥ ， 【证明】因为 a>0，b>0，要证 ≥ ， 只要证，(a+b)2≥4ab，只要证(a+b)2-4ab≥0， 即证 a2-2ab+b2≥0， 而 a2-2ab+b2=(a-b)2≥0 恒成立， 故 ≥ 成立. 20.(12 分)已知 a>b>0，求证： < . 【证明】因为 a>b>0，所以 - >0，a-b>0. 所以要证 < 成立， 只需证 - < 成立， 只需证 2 · -2b0 成立，而( - )2>0 显然成立，故( - )2< 成立. 21.(12 分)(2016·西安高二检测)直线 y=kx+m(m≠0)与椭圆 W： +y2=1 相交于 A，C 两点， O 是坐标原点. (1)当点 B 的坐标为(0，1)，且四边形 OABC 为菱形时，求 AC 的长. (2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时，证明： 四边形 OABC 不可能为菱形. 【解析】(1)因为四边形 OABC 为菱形， 所以 AC 与 OB 相互垂直平分. 所以可设 A ，代入椭圆方程得 + =1， 即 t=± ，所以 AC=2 . (2)假设四边形 OABC 为菱形. 因为点 B 不是 W 的顶点，且 AC⊥OB. 由 消 y 并整理得 (1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0， 设 A(x1，y1)，C(x2，y2)，则 =- ， =k +m= . 所以 AC 的中点为 M . 因为 M 为 AC 和 OB 的交点，且 m≠0，k≠0， 所以直线 OB 的斜率为- . 因为 k· ≠-1，所以 AC 与 OB 不垂直， 所以四边形 OABC 不是菱形，与假设矛盾. 所以当点 B 不是 W 的顶点时，四边形 OABC 不可能为菱形. 22.(12 分)(2016·昆明高二检测)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图为她们刺绣中最 简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的 规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形. (1)求出 f(5)的值. (2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 f(n+1)与 f(n)之间的关系式，并根据你得到的 关系式求出 f(n)的表达式. (3)求 + + +…+ 的值. 【解析】(1)f(5)=41. (2)因为 f(2)-f(1)=4=4×1， f(3)-f(2)=8=4×2， f(4)-f(3)=12=4×3， f(5)-f(4)=16=4×4， … 由以上规律，可得出 f(n+1)-f(n)=4n， 因为 f(n+1)-f(n)=4n，所以 f(n+1)=f(n)+4n， 所以 f(n)=f(n-1)+4(n-1) =f(n-2)+4(n-1)+4(n-2) =f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3) =… =f(n-(n-1))+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4 =2n2-2n+1. (3)当 n≥2 时， = = ， 所以 + + +…+ =1+ =1+ = - . 关闭 Word 文档返回原板块