2020_2021学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2 32页

2.3 　二次函数与一元二次方程、不等式 第 2 课时　二次函数与一元二次方程、不等式的应用 关键能力 · 合作学习 类型一　解分式不等式 ( 数学运算 ) 【 题组训练 】 1. 若 p ： ≥ 0 ， q ： x 2 -7x+10<0 ，则 p 是 q 的 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 若关于 x 的不等式 >0 的解集为 (-∞ ， -1)∪(4 ， +∞) ，则实数 a=_______.  3. 不等式 >1 的解集为 _______.  【 解析 】 1. 选 B.p ： (x-5)(x-2)≤0 且 x≠2 ， 故 20⇔(x+1)(x-a)>0 ， 又因为原不等式的解集为 (-∞ ， -1)∪(4 ， +∞) ， 所以 (x+1)(x-4)>0 ，所以 a=4. 答案： 4 3. 原不等式化为 -1>0 ，即 <0 ， 所以 (6x-4)(4x-3)<0 ，所以 所以原不等式的解集为 . 答案： 【 解题策略 】 解分式不等式的策略 (1) 对于形如 >0(<0) 的不等式可等价转化为 f(x)g(x)>0(<0) 来解决；对于形如 ≥ 0(≤0) 的不等式可等价转化为 来解决 . (2) 对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分 ( 不要去分母 ) ，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解 . 【 补偿训练 】 若不等式 +m<0 的解集为 {x|x<3 或 x>4} ，则 m 的值为 _____.  【 解析 】 由 +m<0 ，得 <0 ， 即 [(1+m)x+m 2 -1](x+m)<0. 因为不等式 +m<0 的解集为 {x|x<3 或 x>4}. 所以 x=3 与 x=4 是方程 [(1+m)x+m 2 -1](x+m)=0 的两个根，且 1+m<0. 所以 所以 m=-3. 答案： -3 类型二　一元二次不等式的实际应用 ( 数学建模、数学运算 ) 【 典例 】 国家原计划以 2 400 元 / 吨的价格收购某种农产品 m 吨 . 按规定，农户向国家纳税为：每收入 100 元纳税 8 元 ( 称作税率为 8 个百分点，即 8%). 为了减轻农民负担，制定积极的收购政策 . 根据市场规律，税率降低 x 个百分点，收购量能增加 2x 个百分点 . 试确定 x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的 78%. 四步 内容 理解 题意 条件： (1) 收购价 2 400 元 / 吨，收购量 m 吨； (2) 原税率 8 个百分点，降低 x 个百分点，收购量能增加 2x 个百分点 . 结论：求 x 的范围，使税收总收入不低于原计划的 78%. 思路 探求 按照“税收总收入 = 收购价 × 收购量 × 税率” 由题意，列出关系式并求解 . ① 四步 内容 书写 表达 设税率调低后“税收总收入”为 y 元 . y=2 400m(1+2x%)·(8-x)% =- m(x 2 +42x-400)(00 ，所以 00 对一切实数 x 都成立”，试求 k 的取值范围 . 【 解析 】 当 k=0 时，不等式为 >0 ，显然成立； 当 k≠0 时，则有 解得 00(a≠0) 恒成立⇔ ax 2 +bx+c≤0(a≠0) 恒成立⇔ (2) 在给定区间上的恒成立问题 . ①a>0 时， ax 2 +bx+c<0 在 x∈{x|α≤x≤β} 上恒成立⇔ y=ax 2 +bx+c 在 x=α ， x=β 时的函数值同时小于 0. ②a<0 时， ax 2 +bx+c>0 在 x∈{x|α≤x≤β} 上恒成立⇔ y=ax 2 +bx+c 在 x=α ， x=β 时的函数值同时大于 0. 【 题组训练 】 1. 设 a 为常数，∀ x∈R ， ax 2 +ax+1>0 ，则 a 的取值范围是 ( 　　 ) A.(0 ， 4) B.[0 ， 4) C.(0 ， +∞) D.(-∞ ， 4) 【 解析 】 选 B.∀x∈R ， ax 2 +ax+1>0 ， 则必有 或 a=0 ， 所以 0≤a<4. 2. 若对于任意 x∈[m ， m+1] ，都有 x 2 +mx-1<0 成立，则实数 m 的取值范围是 _______.  【 解析 】 作出二次函数 y=x 2 +mx-1 的草图，对于任意 x∈[m ， m+1] ，都有 x 2 +mx- 1<0 ，则 解得 - 0 C.m≠0 D. 不确定 【 解析 】 选 B. 因为 0∈M ，所以 <0. 所以 m>0. 4. 不等式 x 2 +mx+ >0 恒成立的条件是 _______.  【 解析 】 x 2 +mx+ >0 恒成立，等价于 Δ<0 ， 即 m 2 -4× <0⇔0100 ， 解得 n<2 或 n>7 ， 故 n=1 ， 8 ， 9 ， 10 ， 11 ， 12 ，共 6 个月 . 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 分式不等式 不等式的恒成立 不等式的实际应用 （1）分式不等式化为等价的一元二次不等式时，要注意分母不为 0 等隐藏条件 （2）共同特征即是集合中元素满足的条件 二次函数与 一元二次方程、 不等式的应用 一元二次不等式的恒成立问题： （ 1 ）判别式法：适用于在 R 上恒成立   数学运算： 通过不等式恒成立问题的求解，培养数学运算的核心素养 数学建模： 通过不等式的实际应用，培养数学建模的核心素养